coulombin voima ja sähkökenttä, pistevaraukset, jatkuvat

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ,
PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
SISÄLTÖ:
Coulombin voima
Sähkökenttä
Coulombin voiman ja sähkökentän laskeminen pistevarauksille
Jatkuvan varauksen paloitteleminen pistevarauksiksi
Coulombin voima
Koko sähkömagnetismin perusta on Coulombin voima, jota kuvataan Coulombin lain avulla. Sen
mukaan sähköisesti varatut kappaleet joko vetävät toisiaan puoleensa tai hylkivät toisiaan. Varausta
on kahdenlaista: toista varaustyyppiä sanotaan positiiviseksi varaukseksi, toista negatiiviseksi.
Erityyppiset varaukset vetävät toisiaan puoleensa, samantyyppiset hylkivät. Coulombin laki kahden
pistevarauksen väliselle voimalle on yhtälön muodossa:
F 
q1 q 2
1
4 0 r 2
Tämä yhtälö on otettu peruskurssin kirjasta University Physics, eikä tämä anna voiman suuntaa
vaan vain varattujen kappaleiden välisen voiman suuruuden. Sen sijaan luentomonisteen yhtälöt
antavat myös voiman suunnan:
F 21 
q 2 q1
r 21
4 0 (r21 ) 3
1
Tässä r 21 tarkoittaa vektoria, joka piirretään pistevarauksesta q2 pistevaraukseen q1. F 21 on voima,
jonka pistevaraus q2 aiheuttaa pistevaraukseen q1.
Toinen esitysmuoto kyseiselle voimalle on:
F 21 
q 2 q1
1
4 0 r 1  r 2
3
r
1
 r2

Tässä vektorit r 2 ja r 1 tarkoittavat pistevarausten q2 ja q1 paikkoja.
Usean pistevarauksen tapauksessa yhtälö tulee muotoon:
Fj 
1
4 0

i j
q j qi
r j  ri
3
r
j
 ri

Tässä F j on kokonaisvoima jonka varaukset qi yhdessä aiheuttavat varaukseen qj.
Sähkökenttä
Koko sähkömagnetismin idea sisältyy Coulombin lakiin. Asioiden (matemaattistakin) käsittelyä ja
ymmärtämistä helpottamaan on sähköopissa otettu käyttöön useita käsitteitä, joista ensimmäisenä
esitellään sähkökenttä. Sähkökentän ominaisuuksia:
● Sähkökenttää on siellä missä Coulombin voima vaikuttaa.
● Sähkökenttä on samalla tavalla vektorisuure kuin voima.
● Sähkökenttä vaikuttaa eri tavalla positiivisesti varattuihin hiukkasiin kuin negatiivisesti
varattuihin hiukkasiin: positiivisesti varatut hiukkaset pyrkivät sähkökentän suuntaan, negatiivisesti
varatut päinvastaiseen suuntaan.
● Sähkökentän voimavaikutus varattuun hiukkaseen on yhtälön avulla lausuttuna F  q E
● Pistevarausten aiheuttama sähkökenttä voidaan laskea yksinkertaisilla yhtälöillä.
● Jatkuvan varauksen aiheuttaman sähkökentän laskemiseen käytetään useita erilaisia menetelmiä,
joita esitellään tällä kurssilla ja jotka ovat tärkeä osa kurssia. Näitä menetelmiä ovat muun muassa
integroimismenetelmä, Gaussin lain avulla laskeminen ja sähkökentän laskeminen potentiaalin
gradienttina.
Coulombin voiman ja sähkökentän laskeminen pistevarauksille
Pistevarauksien sähkökentän yhtälö on peruskurssin kirjan University Physics mukaan:
E 
1
q
4 0 r 2
Tämä yhtälö ei anna sähkökentän suuntaa. Seuraava luentomonisteen yhtälö antaa sähkökentän
suunnan:
E (r ) 
1
4 0

i
qi
r  ri
3
r  r 
i
Tämä yhtälö antaa pistevarausten qi aiheuttaman sähkökentän pisteessä r . Aloittelevan
sähkömagnetismin harrastajan on joskus vaikea ymmärtää, että pisteessä r ei useimmiten ole
varausta. Siinä vaikuttaa vain lähistöllä olevien varausten aiheuttama Coulombin voima ja täten
sähkökenttäkin.
Esimerkki 1: Kolme pistevarausta Q, 3Q ja –2Q on tasasivuisen kolmion kärjissä. Mikä on
varaukseen 3Q kohdistuva kokonaisvoima, kun Q = 2,00 μC ja L = 3,00 cm?
-2Q
L
L
Q
L
3Q
Ratkaisu:
Lasketaan tämä lasku kahdella tavalla.
Tapa I
Käytetään yhtälöä: F 21 
q 2 q1
r 21
4 0 (r21 ) 3
1
Nyt olisi määritettävä vektori r 13 , joka tarkoittaa vektoria varauksesta Q varaukseen 3Q, ja vektori
r 23 varauksesta -2Q varaukseen 3Q.
Vektori on määritetty, kun tiedetään sen suuruus ja suunta. Näiden vektoreiden suuruus on L.
Suunta ilmoitetaan yksikkövektorilla. Vektori r 13 on helppo tapaus, koska se on positiivisen
x-akselin suuntainen eli yksikkövektorin iˆ (eli ê x ) suuntainen. Vektori r 13 on siis L iˆ .
-2Q
r 13
60o
Q
r 23
Seuraavaksi määritetään vektori r 23 . Suuruus on tietenkin L. Suunta (katso kuvasta, nyt ei tarvitse
itse päätellä, onko kyseessä vetovoima vai poistovoima) on 60o alaspäin positiivisen x-akselin
suunnasta. Tämän suuntainen yksikkövektori on:
0
r 23  (1  cos 60 0 )iˆ  (1  sin 60 0 ) ˆj

Jolloin: r 23  L (1  cos 60 0 )iˆ  (1  sin 60 0 ) ˆj

Nyt on kokonaisvoima:
1 3Q  Q ˆ
1 3Q  (2Q)
F 3  F 13  F 23 
Li 
L (1  cos 60 0 )iˆ  (1  sin 60 0 ) ˆj
3
3
4 0 L
4 0
L






Q2
1 Q2
0 ˆ
o ˆ
(
3

6
cos
60
)
i

(
6
sin
60
)
j

(6 sin 60 o ) ˆj  (208 N ) ˆj
4 0 L2
4 0 L2
1

Tapa II
Käytetään idioottivarmaa yhtälöä: F 21 
q 2 q1
1
4 0 r 1  r 2
3
r
1
 r2

Tässä tapauksessa kokonaisvoima on:
F 3  F 13  F 23 
Q  3Q
1
4 0 r 3  r 1
3
r
3

 r1 
 2Q  3Q
1
4 0 r 3  r 2
3
r
3
 r2

Vektorit r 1 , r 2 ja r 3 ovat varausten Q, -2Q ja 3Q paikkavektoreita:
r1  0
r 2  L(cos 60 0 )iˆ  L(sin 60 0 ) ˆj
r 3  Liˆ
-2Q
r2
60o
Q
r3
r1
r
F 3  F 13  F 23 


Q  3Q
1
4 0 Liˆ  0 3
Liˆ  0
 2Q  3Q
1
4 0 Liˆ  L(cos 60 0 )iˆ  L(sin 60 0 ) ˆj

Liˆ  L(cos 60 )iˆ  L(sin 60 ) ˆj 
0
3


0 ˆ
0 ˆ
 3iˆ   6 (1  cos 60 )i  sin 60 j
4 0 L2 
(1  cos 60 0 ) 2  ( sin 60 0 ) 2

Q2
 

0


3





3 ˆ
 6 (0.5)iˆ 
j

2    Q 2

Q2  ˆ


3i 
 
3 3  ˆj  (208 N ) ˆj
2 
2

1
4 0 L
4 0 L


 


 
Tämä tapa on helpoin (vaikka näyttää monimutkaiselta), sillä ei tarvitse itse miettiä vektoreiden
suuntia.
Esimerkki 2: Neljä pistevarausta (Q, -2Q, 3Q ja -4Q) on asetettu kuvan mukaisesti neliön kärkiin.
Neliön sivun pituus on L. Laske sähkökenttä neliön keskipisteessä. Oleta, että Q > 0.
-2Q
3Q
L
Q
-4Q
Ratkaisu: Käytetään luentomonisteessa annettua yhtälöä:
E (r ) 
1
4 0

i
qi
r  ri
3
r  r 
i
Tämä yhtälö kuvaa pistevarausten (joita on i kappaletta) aiheuttamaa sähkökenttää paikassa r .
Vektorit r i ovat pistevarausten paikkoja, jotka tässä tapauksessa ovat:
r1  
r3 
Lˆ L ˆ
i j
2
2
Lˆ L ˆ
i j
2
2
r2  
r4 
Lˆ L ˆ
i j
2
2
Lˆ L ˆ
i j
2
2
Nyt vain sijoitetaan vektorit ja varaukset yhtälöön. Vektori r on nollavektori, näinhän me
koordinaatiston olemme valinneet. Saamme sähkökentän origossa:
E (0) 

1
4 0
Q
0  (
3Q
L
L
0  ( iˆ  ˆj )
2
2
3
Lˆ L ˆ
i  j)
2
2
3
L
L 

 0  ( iˆ  ˆj )  
2
2 

L
L 

 0  ( iˆ  ˆj )  
2
2 

 2Q
0  (
 4Q
L
L
0  ( iˆ  ˆj )
2
2
3
Lˆ L ˆ
i  j)
2
2
3
L
L 

 0  ( iˆ  ˆj )  
2
2 

L
L 

 0  ( iˆ  ˆj ) 
2
2 

 2Q
 L ˆ L ˆ
 L ˆ L ˆ
i  j 
 i  j 
3 
4 0 
2  
2 
2
2   2
2
2   2
L
L
L
L
      
       
 2 2 
 2  2 




3Q
 4Q
 L ˆ L ˆ
 L ˆ L ˆ

 i  j 
 i  j
3 
3 
2  
2
2 
2
2  
  L 2  L 2   2
L L

      
      
  2  2 
  2 2 




L
Q
Q
4
2Q ˆ
2

(1  2  3  4)iˆ  (1  2  3  4) ˆj 
0iˆ  4 ˆj  
j
3
3 2
4 0  2 L 
4 0 ( 2 ) L
 0 L2


 2 



1
Q
3




Vaikka tämä menetelmä vaikuttaa monimutkaiselta, tämä on siinä mielessä helppo, että oikea
suunta ja suuruus tulevat automaattisesti.
Esimerkki 3: Tässä on vielä yksi esimerkki, joka voidaan laskea peruskurssin kirjassa esiintyvillä
kaavoilla:
Tämä lasku voidaan laskea usealla erilaisella tavalla, joista kaksi esitetään tässä.
TAPA I
Lasketaan ensin sähkökenttien suuruudet. Jaetaan kentät x- ja y-akseleiden suuntaisiin
komponentteihin ja lasketaan komponentit yhteen. Vastaus voidaan antaa vektorina tai lasketaan
komponenteista kokonaiskenttä ja suunta.
y
q1
E1
q2
E2
x
Käytetään Anita Aikion Sähkö- ja magnetismiopin luentomonisteessa esiintyvää pistevarauksen
aiheuttaman sähkökentän lauseketta
Lasketaan molempien pistevarausten aiheuttamat kokonaiskentät erikseen:
Jaetaan sähkökentät komponentteihin:
y
0,6 m
q1
0,8 m
E1y
E1
q2
E2
E1x
ja
x
Lasketaan kokonaiskenttä
Kentän suuruus on
Kentän suunta on
y
E
q1
E1
E2
q2
x
TAPA II
Käytetään peruskurssin luentomonisteen yhtälöä
Lasketaan sähkökentät vektorimuodossa molemmille varauksille ja sen jälkeen lasketaan kentät
yhteen.
Yllä olevassa yhtälössä on sähkökentän suuntainen yksikkövektori. Lasketaan se molempien
varausten aiheuttamalle kentälle:
y
q1
q2
x
(Tämä saadaan päättelemällä)
Sijoitetaan nämä yksikkövektorit edellä laskettuihin sähkökentän suuruuden lausekkeisiin
Lasketaan molempien pistevarausten aiheuttamat kokonaiskentät erikseen:
Kokonaiskentäksi saadaan
Kentän suuruus on
Kentän suunta on
Jatkuvan varauksen paloitteleminen pistevarauksiksi
Edellä laskettiin pistevarausten aiheuttamia sähkökenttiä. Nyt valmistaudutaan laskemaan jatkuvien
varausjakaumien aiheuttamia sähkökenttiä.
Varaus Q voi olla jakautunut tasaisesti aineeseen eli varausjakauma on silloin vakio. Tällöin
varaustiheys aineessa (tilavuus V) on
Q

V
Vastaavasti jos pinnalle S on jakautunut tasaisesti varaus Q, on pinta-varaustiheys:

Q
S
Sähköopissa käytetään myös käsitettä varaus pituusyksikköä kohden:

Q
L
Myöhemmin käsitellään Gaussin laki, jonka avulla sähkökentän laskeminen käy kätevästi. Aina
Gaussin lakia ei voi käyttää. Silloin täytyy varausjakauma paloitella varausalkioiksi, joita voidaan
käsitellä pistevarauksina ja laskea pistevarausten yhtälöillä. Integroimalla saadaan koko kappaleen
aiheuttama sähkökenttä.
Esimerkki 4: Pitkä suora lanka on varattu siten, että positiivinen varaustiheys langassa on vakio λ.
Laske sähkökenttä langan toisen pään kohdalla pisteessä P, jonka kohtisuora etäisyys langasta on a.
x
a
·P
Opastus:
dx
1
 (x 2  a 2 )3/ 2  a 2
y
x
x2  a2
Ratkaisu:
Esimerkki 5: Ympyrän muotoisesta langasta, jonka säde on R, on varattu puolet siten, että tällä
varatulla alueella positiivinen varaustiheys on vakio λ. Laske sähkökenttä ympyrän akselilla
pisteessä P, jonka kohtisuora etäisyys ympyrän tasosta on a.
z
·P
a
R
Ratkaisu:
y
x