Bachelorafhandling Endelig.pages

AARHUS UNIVERSITY
BUSINESS & SOCIAL SCIENCE
DEPARTMENT OF ECONOMICS & BUSINESS
HA ALMEN, 6. SEMESTER
FORFATTER:
MARTIN KOCK ANDERSEN
20117156
BACHELORAFHANDLING
VEJLEDER:
MICHAEL CHRISTENSEN
LEKTOR
CAPITAL ASSET PRICING MODEL
EN TEORETISK & EMPIRISK ANALYSE AF CAPM’S ANVENDELSESMULIGHEDER ANNO 2015
Dato: 04.05.15
AARHUS UNIVERSITY
BUSINESS & SOCIAL SCIENCE
DEPARTMENT OF ECONOMICS & BUSINESS
ANTAL ANSLAG: 72576 ANSLAG SVARENDE TIL 32.98 SIDER
ABSTRACT
The traditional Sharpe-Lintner version of the Capital Asset Pricing Model (CAPM) is a widely accepted
model, and has for many years been used by academics and financial managers for asset pricing valuations. Empirical studies, however, have shown a compelling amount of evidence against the CAPM
which is why many believe that the model has to be revised. This bachelor thesis therefore seeks to account for, and discuss the traditional CAPM. This will be done in the light of earlier theoretical and empirical studies. Furthermore this thesis will conduct its own empirical study of the American stock market to either confirm, or reject the CAPM. The test will be split into two parts. 1) A test on stocks, and 2)
a test on portfolios. The test on stocks consists of 883 randomly collected stocks from the NASDAQ,
New York Stock Exchange (NYSE), and Standard & Poor's 500 (S&P 500). The test on portfolios consists of 10 portfolios each constructed by stocks from the NYSE, NASDAQ, and American Stock Exchange (AMEX). The portfolios are then arranged by the firms capital value where portfolio 1 consist of
the 10 percent largest firms, portfolio 2 the next 10 percent, etc. Center for Research in Security Prices
(CRSP) value-weighted index will be used as the proxy for the market portfolio. The proxy chosen for
the risk-free rate is the monthly return from the US Treasury bills. For the estimation of alphas and betas
a first-pass time series regression will be conducted followed by a second-pass (cross sectional) regression. To test whether the time horizon has any influence on the final results the test will be conducted
using a time period of 5, 10, 15 and 20 years using monthly data. For the CAPM to be confirmed, the
test results must satisfy the hypothesis that 1) alpha is significantly equal to zero, 2) the slope of the security market line (SML) is positive, and 3) equal to the average excess return of the market portfolio of
that period (eg. 20 years period). The findings of the empirical test on stocks shows that the CAPM is
rejected in all the four time periods. Furthermore the adjusted R2, which indicates how well data fit the
statistical model, is only 0.1542, 0.0288, 0.0470 and 0.0016 for the 20, 15, 10 and 5 years time period,
respectively. The results of the test on portfolios only ejects the CAPM in two of the time periods. The
adjusted R2 on the other hand is only 0.5526, 0.6950, 0.3211 and 0.3333 for the 20, 15, 10 and 5 years
time period, respectively, and therefore not nearly high enough to confirm the CAPM. Furthermore, the
test indicates that the size factor influences the final result of the test due to the small firm effect. The
traditional Sharpe-Lintner version of the CAPM states that beta should be the only explanatory variable
and because of this, the overall conclusion is that the traditional CAPM gets rejected. There are, however, some problems with the test which has to be accounted for. One of the major problems is that the test
use proxy’s for the market portfolio and the risk-free rate. Some financial researchers believe that the
CAPM will hold if the real market portfolio was used. This has yet to be proven. Another major problem
is the assumptions on which the CAPM is based on. These assumptions are fairly unrealistic which have
led to several discussions of whether the CAPM should be abandoned and replaced with a less restrictive model. Nevertheless the CAPM is a mathematical and theoretical marvel which is the reason of the
model’s renown and widely acceptance.
INDHOLDSFORTEGNELSE
1. CAPITAL ASSET PRICING MODEL
1
1.1. INDLEDNING & PROBLEMSTILLING
1
1.2. PROBLEMFORMULERING
2
1.3. STRUKTUR
2
1.4. AFGRÆNSNING
2
2. CAPITAL ASSET PRICING MODEL - EN TEORETISK GENNEMGANG
4
2.1. FORUDSÆTNINGER FOR CAPM
5
2.2. MARKOWITZ’S EFFICIENTE RAND
6
2.3. DET OPTIMALE PORTEFØLJE VALG VED INKLUDERING AF DEN RISIKOFRIE INVESTERING
8
2.4. SHARPE-LINTNER’S CAPM
3. STATISTISK RAMME FOR DEN EMPIRISKE TEST
10
13
3.1. UDVÆLGELSE AF DATA
13
3.2. FORUDSÆTNINGER FOR TESTEN
14
3.3. ESTIMATION AF PARAMETRE
15
4. TEST AF CAPM
16
4.1. T-TEST PÅ VÆRDIPAPIRER
17
4.2. T-TEST PÅ PORTEFØLJER
19
4.3. F-TEST PÅ PORTEFØLJER
22
5. CAPM, BLOT TEORI?
25
5.1. GENERELLE PROBLEMER VED TEST AF CAPM
25
5.2. PORTEFØLJE TEST RESULTATER & SMALL FIRM EFFECT
27
5.3. DISKUSSION AF FORUDSÆTNINGER
28
5.4. AFSLUTTENDE DISKUSSION
29
5.5. VIDERE UNDERSØGELSER
30
6. KONKLUSION
31
7. LITTERATURLISTE
32
8. BILAG
34
BILAG 1: BEREGNINGER AF AFKAST, GENNEMSNITLIG AFKAST & STANDARDAFVIGELSE
34
BILAG 2: UDLEDNING AF MARKOWITZ’S EFFICIENTE RAND
35
BILAG 3: UDLEDNING AF CAPITAL MARKET LINE
39
BILAG 4: UDLEDNING AF SHARPE-LINTNER’S CAPM
43
BILAG 5: HISTOGRAM AF GENNEMSNITLIG MERAFKAST & SCATTERPLOT AF RESIDUALER
45
1. CAPITAL ASSET PRICING MODEL
1.1. INDLEDNING & PROBLEMSTILLING
Mennesket har altid stræbet efter at finde en mening med tingene. Dette gælder alt fra livets helt store
spørgsmål til små ligegyldigheder. Der ønskes en forklaring på alt, og det skal gerne kunne skrives som
en formel.
“My goal is simple. It is a complete understanding of the universe, why it is as it is and why it exists at all”
Stephen Hawking
Økonomer og matematikere har igennem tiden forsøgt at formulere en investeringsmodel, der kan
forudsige fremtidig afkast. Harry Markowitz (1959) var den første til at formulere en model, som beregnede det forventede afkast under hensynstagen til risikoen (standardafvigelse) for det pågældende aktiv.
Dvs., at når en investor investerer i risikofyldte aktiver, så skal investoren naturligvis belønnes for den
risiko, som han/hun påtager sig ved at investere i det pågældende aktiv. Markowitz’s model udgjorde
startskuddet for, hvad der senere skulle blive til Capital Asset Pricing Model (CAPM), som vi kender
den i dag (udviklet af Sharpe-Lintner). CAPM har til formål at fortælle en investor, hvor meget han/hun
skal kræve i afkast for at påtage sig en ikke-diversificerbar (systematisk) markedsrisiko, som følger med
investeringen i det pågældende aktiv. På trods af sin umiddelbare simple form er CAPM, stadig den dag
i dag, en model, som mange investorer tyr til, når de ønsker at beregne et afkastkrav for en given investering.
Igennem årene har CAPM ageret som skydeskive for adskillige empiriske test og diskussioner, hvilket
bl.a. skyldes nogle mere eller mindre urealistiske forudsætninger samt teoretiske antagelser, som enten
ignoreres i modellen, eller som er umulige at replikere i den virkelige verden. Black, Jensen & Scholes
(1972) var de første til at foretage en dybdegående tidsserietest af CAPM. Deres resultater viste en
generelt positiv og lineær relation mellem merafkast og risiko. I undersøgelsen finder de også, at når
β > 1, da har linjen (SML) en tendens til at have en negativ skæring med y-aksen, hvorimod når β < 1,
da har SML en tendens til at have en positiv skæring med y-aksen. Dette betyder, at højrisikoinvesteringer generelt afgiver mindre afkast, end hvad modellen forudsiger, og omvendt, at lavrisikoinvesteringer generelt afgiver mere afkast, end hvad modellen forudsiger.
Flere empiriske undersøgelser har gjort det klart, at på trods af CAPM’s generelle akademiske godkendelse, da har modellen senere hen haft svært ved at bevise sit værd i den virkelige verden. Kritikere,
som Roll (1977), mener dog, at CAPM er en teoretisk model, som er umulig at teste empirisk, da den er
bygget op omkring forudsætninger, som vil være umulige at gengive i den virkelige verden.
1! af !48
1.2. PROBLEMFORMULERING
På baggrund af overstående ønsker jeg at undersøge problematikken omkring CAPM nærmere. Jeg er
dermed kommet frem til følgende problemformulering, som videre igennem rapporten vil besvares på
bedst mulig vis.
Jeg vil i denne rapport redegøre for den klassiske CAPM-teori, hvorefter denne teori vil blive anvendt til at foretage en analyse og en empirisk undersøgelse af sammenhængen mellem risiko og
afkast på det amerikanske aktiemarked. På baggrund af tidligere undersøgelser, samt ved brug af
resultater fra den empiriske test foretaget i denne rapport, vil jeg foretage en kritisk diskussion af
CAPM’s anvendelsesmuligheder og begrænsninger på de finansielle markeder. Til diskussion vil
nyere teoretisk litteratur blive anvendt til at kaste lys på problematikken ved den mere simple og
statiske CAPM-teori.
1.3. STRUKTUR
Rapporten vil i grove træk blive delt op i tre dele:
I. En teoretisk gennemgang af CAPM og dets forudsætninger: Dette er relevant for at kunne foretage
en diskussion samt empirisk test af modellen.
II. En empirisk test af CAPM med udgangspunkt i det amerikanske aktiemarked: Begrundelsen for, at
der vil foretages en test på det amerikanske aktiemarked, og ikke det danske, skyldes, at det
amerikanske aktiemarked består af et langt bredere og større udvalg af børsnoteret virksomheder
end Danmark. Dette forventes at give en mere realistisk afspejling af virkeligheden samt af modellens kunnen.
III. En analyse og diskusion af de empiriske resultater samt af CAPM som finansielt analyseredskab.
1.4. AFGRÆNSNING
• Rapporten har kun til formål at beskæftige sig med den klassiske CAPM-teori. Nyere og videreudviklet modeller som Consumption-CAPM og Intertemporal-CAPM vil rapporten helt ignorere. Derudover vil rapporten heller ikke beskæftige sig med Arbitrage Pricing Theory (APT).
• Black (1972) har udviklet en anden version af CAPM, som ikke inkluderer ind- og udlån til en
risikofrie rente. Han opnår dermed en mean-variance efficient markedsportefølje ved at tillade ubegrænset short selling. Denne rapport vil ikke komme nærmere ind på Black’s version. Derimod vil
Sharpe-Lintner versionen af CAPM være i fokus.
• Den empiriske test, foretaget i denne rapport, er baseret på ordinary least squares (OLS) estimater
fremskaffet vha. en first-pass tidsserie regression. Andre metoder som generalized least square
(GLS) eller mere avanceret metoder som maximum likelihood kunne også benyttes til estimering af
estamater, men vil i denne rapport ignoreres.
2! af !48
• Teststatistikker benyttet i den empiriske test består af en generelle t- og f-test af second-pass regressionen. Alternativt kunne man have valgt at foretage andre statiske tests som Wald test, Gibbons,
Ross & Shanken (GRS) test, likelihood ratio test (LRT) eller en justerede likelihood ratio test
(Campbell, Lo & MacKinlay, 1997). Disse tests vil i denne rapport også ignoreres.
3! af !48
2. CAPITAL ASSET PRICING MODEL - EN TEORETISK GENNEMGANG
Harry Markowitz var den første til at udlede en porteføljeteori, der tog hensyn til risiko. Før Markowitz
(1952) herskede idéen om “the law of large numbers”. Williams (1939) skrev bl.a., at de store tals lov
ville sikre, at det faktiske afkast for en portefølje vil være næsten identisk med det forventede afkast
(Markowitz, 1952). Markowitz derimod, præsenterede en teori, der beskrev, at det ikke var nok kun at se
på det forventede afkast, men at man derimod også skulle tage hensyn til risiko, som han definerede til
at være standardafvigelsen af det forventede afkast.
Markowitz mente dermed, at en efficient porteføljesammensætning skulle bestå af en veldiversificeret
portefølje, hvor det forventede afkast afspejles udfra et ønsket risikoniveau. Markowitz (1959) viser helt
simpelt, at hvis en portefølje et given år består af to værdipapirer1, som tilsammen er $1 værd, hvor
værdipapir 1 udgør 80% af porteføljen, værdipapir 2 udgør de sidste 20%, og hvor de to værdipapirer
hver især har et årligt afkast på hhv. $0.077 og $0.469 pr. dollar, da vil man få et samlet årligt afkast på
$0.1554(2). Dette er i sig selv ikke særligt spændende. Det bliver derimod interessant når man følger netop denne portefølje over en periode uden at ændre på sammensætningen af porteføljen. Beregningen af
det årlige afkast for hvert af de to værdipapirer sker nu udfra det gennemsnitlige afkast for perioden,
som er hhv. $0.055 for værdipapir 1 og $0.198 for værdipapir 2. Det gennemsnitlige årlige afkast for
denne portefølje bliver dermed $0.0836(3). Vi ser her, at hvis porteføljen alene bestod af værdipapir 1, da
ville det gennemsnitlige årlige afkast pr. dollar være $0.055 < $0.0836 og omvendt, hvis porteføljen kun
bestod af værdipapir 2, da ville det gennemsnitlige årlige afkast pr. dollar være $0.198 > $0.0836
(Markowitz, 1959).
Figur 2.1: Årligt afkast på værdipapir: Risikodiversificering
Note: Figuren illustrerer, hvordan man, vha. diversificering af sin portefølje, kan reducere risikoen ved investeringer.
!
1
Tallene for følgende eksempel er fremkommet af Markowitz (1959) jf. bilag 1.
2
(0.8 · 0.077) + (0.2 · 0.469) = 0.1554
3
(0.8 · 0.055) + (0.2 · 0.198) = 0.0836
4 af 48
Figur 2.1 illustrerer afkastet fra år 1 til år 18 for hhv. værdipapir 1 og 2, samt for porteføljen bestående
af 80% af værdipapir 1 og 20% af værdipapir 2. Det er værd at bide mærke i, at porteføljens kurve er
mere jævn end kurven på de 2 værdipapirer hver især; eller sagt på en anden måde, standardafvigelsen
på porteføljen ($0.194 ; gul) er lavere end standardsafvigelsen på værdipapir 1 ($0.209 ; blå) og 2
($0.368 ; grøn). Med dette simple eksempel viser Markowitz, at man vha. diversificering kan opnå et
højere afkast til en lavere risiko med denne porteføljesammensætning, end hvis man alene havde investeret alle sine penge i værdipapir 1.
Idéen er dermed klar: Kan man finde en portefølje, som f.eks. har det samme gennemsnitlige afkast som
værdipapir 1, men som har en mindre standardafvigelse? Kan man finde en portefølje, som har den
samme standardafvigelse som f.eks. værdipapir 1, men som har et højere gennemsnitligt afkast? I de
følgende afsnit vil der blive gået mere i dybden omkring denne teori, men først vil forudsætningerne for
CAPM gøres klart.
2.1. FORUDSÆTNINGER FOR CAPM
Alle økonomiske modeller er bygget på baggrund af forskellige antagelser, som skal opfyldes, for at
teorien holder. Dette glæder naturligvis også for CAPM. I dette afsnit vil forudsætningerne for CAPM
forklares, men ikke diskuteres. Eventuelle problemer ved forudsætningerne vil blive kommenteret
løbende samt diskuteres i kapitel 5.
1. Ingen transaktionsomkostninger på markedet: Med dette menes, at man kan købe eller sælge aktiver
uden omkostninger. Hvis denne forudsætning skulle fjernes, ville det være nødvendigt at skelne
mellem store og små investeringer, da mindre investeringer ville blive forholdsmæssigt dyrere end
store investeringer, hvormed CAPM ville blive endnu mere kompleks.
2. Aktiver er uendeligt delelige: Dette betyder, at man eksempelvis kan købe 2.43 aktier, hvilket har
den konsekvens, at alle investorer har mulighed for at investere uanset deres formue.
3. Ingen indkomstskat: Medregnes indkomstskatten, skal man tage højde for forskellen mellem investorenes personlige indtjening, hvilket vil gøre modellen langt mere kompleks og umuliggøre en
identisk efficient rand for alle investorer.
4. Ingen investor kan alene påvirke prisen på et aktiv ved køb eller slag: Dvs., at vi har et marked
bestående af fuldkommen konkurrence. Dette er tilsvarende antagelsen om et højt antal investorer på
markedet, hvormed det kun er investorernes aggregeret handlinger, der kan påvirke priserne.
5. Alle investorer handler rationelt: Dette bygger på idéen om rationalitet blandt investorer. Investorer
vil altid forsøge at maksimere deres nytte og minimere risiko for ethvert givet afkast.
6. Ubegrænset short selling: Dette betyder, at investorer har mulighed for at sælge værdipapirer, som
de ikke selv ejer, for derved at købe nye. Dette gør det samtidigt muligt for investorerne at risikodiversificere.
5 af 48
7. Ubegrænset mulighed for ind- og udlån til den risikofrie rente: Enhver investor kan låne en ubegrænset mængde af likvider hos f.eks. banken til en risikofri rente eller udlåne likvider til f.eks. staten ved køb af statsobligationer til en risikofri rente.
8. Homogene forventninger blandt investorer: Det antages, at alle investorer har samme forventning til
afkast og varians, da de har adgang til samme information om markedet.
9. Alle investorer forsøger at maksimere deres portefølje udfra samme parametre: Ligesom med forudsætning 8 betyder dette, at investorer træffer beslutninger baseret på det forventede afkast, standardafvigelsen og korrelation mellem aktiverne på markedet.
10. Alle aktiver er omsættelige: Alle aktiver, inklusiv human kapital, skal kunne sælges og købes på
markedet.
De overstående forudsætninger er kraftige antagelser, som formentligt ikke vil holde i den virkelige verden. På trods af dette, vil der ved den empiriske test i kapitel 4 antages, at forudsætningerne gælder,
således at grundlaget for analysen ikke svigter.
2.2. MARKOWITZ’S EFFICIENTE RAND
Dette afsnit har til formål at beskrive sammensætninger af efficiente porteføljer på baggrund af “the
critical line method”, som ser på det forventede afkast, variansen4 og kovariansen af aktiverne, hvilket
er hele essensen af CAPM.
Det forventede afkast af porteføljer beregnes som:
N
! E p = ∑ xi µi = ⎡ x1
⎣
i=1
x2
⎡
⎢
… xn ⎤ ⎢
⎦⎢
⎢
⎢⎣
µ1 ⎤
⎥
µ2 ⎥
! ⎥
⎥
µn ⎥
⎦
(2.1)
og variansen af afkast beregnes som:
N
N
! σ 2p = ∑ ∑ xi x jσ ij = ⎡ x1
⎣
i=1 j=1
x2
⎡ σ 11 σ 12
⎢
σ
σ 22
⎤
… xn ⎢ 21
⎦⎢ !
!
⎢
⎢⎣ σ n1 σ n2
… σ 1n ⎤ ⎡
⎥⎢
… σ 2n ⎥ ⎢
" ! ⎥⎢
⎥⎢
… σ nn ⎥ ⎢
⎦⎣
x1 ⎤
⎥
x2 ⎥
! ⎥
⎥
xn ⎥
⎦
(2.2)
Hvor Ep er det forventede afkast for porteføljen, σ2 er variansen for porteføljen, xi er vægten af det i’te
værdipapir, xj er vægten af det j’te værdipapir, µi er det forventede afkast af det i’te værdipapir, µj er det
4
Standardafvigelsen er lig med kvadratroden af variansen, hvormed begge betegnelser anvendes som mål for risiko.
6 af 48
forventede afkast af det j’te værdipapir, og σij er kovariansen mellem det i’te og det j’te værdipapir
(Markowitz, 1959).
Markowitz (1952) forudsætter “mean-variance” reglen. Dvs., at vi antager, at enhver investor ønsker at
maksimere forventet afkast udfra en given risiko. Derudover antager Markowitz, at man ikke kan investere i værdipapirer til en risikofri rente, hvilket betyder, at en portefølje udelukkende kan bestå af N
risikofyldte værdipapirer.
Figur 2.2: Korrelation mellem 2 værdipapirer & Markowitz’s efficiente rand
!
Note: Venstre halvdel af figuren illustrerer, hvordan porteføljernes forventede afkast er kædet sammen med risiko.
X’erne i den højre halvdel af figuren repræsenterer alle mulige kombinationer af porteføljesammensætninger.
Figur 2.2 viser korrelationen mellem to værdipapirer samt Markowitz’s “efficient frontier” (efficiente
rand fremover). Hvis vi starter med at se på venstre halvdel af figur 2.2, ser vi, hvordan korrelation, ρ,
mellem to værdipapirer påvirker variansen og dermed det forventede afkast. En perfekt positiv korrelation, ρ = 1, betyder, at en udefra-kommende effekt på den ene variabel har præcis den samme effekt på
den anden variabel. Dette betyder dermed også, at kombinationen af de to værdipapirer vil ligge på en
ret linje mellem de to punkter, da både det forventede afkast samt standardafvigelsen er lineært relateret.
Diversifikation er i dette tilfælde ikke muligt. Lav samvariation, ρ < 0, betyder, at der er en større
uafhængighed mellem de to værdipapirer, hvilket medfører, at porteføljevariansen falder, som korrelationen går mod -1 (dvs. spredning af risiko). Dette er i figuren illustreret i form af krumningen på
kurverne. Hvis de to værdipapirer er perfekt negativt korreleret, ρ = -1, betyder dette, at de to investeringer er fuldt ud uafhængige, og en optimal portefølje kan derfor blive konstrueret (Sharpe, 1964).
Den højre halvdel af figur 2.2 viser den rette mængde af diversifikation, der skal til for at danne
Markowitz’s efficiente rand. Den efficiente rand definerer, hvilke porteføljersammensætninger, der er
mean-variance efficiente. Denne fremkommer på baggrund af den optimale kombination mellem forventet afkast og risiko. Porteføljer med et forventet afkast og en varians svarende til, at de ligger på den
efficiente rand, er optimale porteføljer. Med antagelsen om at rationelle investorer altid ønsker at maksimere deres afkast til den lavest mulige risiko, vil det altid være at foretrække, at befinde sig nord for
den stiplede linje i figur 2.2. Her vil man, ved en given risiko svarende til variansen i punkterne B og C,
altid kunne forvente et højere afkast på sin portefølje i punktet B, end man vil i punktet C, som ligger
syd for den stiplede linje. Investorer som kun ønsker at minimere deres risiko, vil altid tilsidesætte mu7 af 48
ligheden for et højere forventet afkast, hvis dette indebærer en højere risiko. Disse investorer vil befinde
sig i minimum-variance punktet A. Ligger porteføljen “indeni” halvovalen, da er denne ikke efficient.
Ydermere er det ikke muligt at ligge “udenfor” den efficiente rand, da Markowitz antager, at man ikke
kan låne penge eller sælge aktiver, som man ikke ejer5. (Hillier et al., 2012).
Markowitz’s “opfindelse” af den efficiente rand var i datiden banebrydende teori. Til den interesseret
læser vil matematikken bag denne teori blive præsenteret i bilag 2.
2.3. DET OPTIMALE PORTEFØLJE VALG VED INKLUDERING AF DEN RISIKOFRIE INVESTERING
I det foregående afsnit blev det antaget, at man kun kunne investere i risikofyldte værdipapirer, hvilket
vil sige, at man kun kunne investere i porteføljer med en varians større end nul. I dette afsnit vil Tobin’s
(1958) bidrag til Markowitz’s porteføljeteori inkluderes. Dette gøres ved at tilføje idéen om, at man kan
investere i risikofrie aktiver, hvilket vil vise sig, at ændre den efficiente rand fra at være en halvoval til
at blive en ret linje. Dette medvirke også til en simplificering af søgen efter den efficiente portefølje.
Tobin (1958) antager, at man som investor kan låne og udlåne. Når man låner penge, for at muliggøre et
køb af risikofyldte værdipapirer, påtager man sig en større risiko (gearing), med muligheden for at opnå
et højere afkast. Gearing tillader, at en investor kan købe flere værdipapirer, end hvad der ellers er
muligt. Modsat tillader Tobin (1958) nu, at man, som en risikoavers investor, også har mulighed for at
udlåne sin formue til f.eks. staten ved køb af statsobligationer til en given risikofri rente6.
Markowitz’s (1959) ekskludering af den risikofrie investering bevirker, at vægten af en investors portefølje altid vil summere til én. Med Tobin’s (1958) inkludering af ind- og udlån gælder betingelsen, om at
summen af vægtene skal være lig én, ikke mere. Hvis vi forestiller os en given portefølje A med vægten
XT for den risikofrie investering, da må vægten for den risikofyldte investering, alt andet lige, være
1 – XT. Det forventede afkast for portefølje A vil derfor være:
(
)
! µ A = X T rf + 1− X T µ
(2.3)
Hvor rf er afkastet på den risikofrie investering, og µ er det gennemsnitlige afkast for de risikofyldte investeringer.
Hvis hele vores formuen placeres i den risikofrie investering, da vil XT = 1. Hvis vi derimod placerer
hele formuen i den risikofyldte investering, da vil XT = 0. Hvis der lånes penge for at kunne købe flere
risikofyldte værdipapirer, da vil 1 – XT > 1, hvilket betyder, at XT kan antage en negativ værdi (Sharpe,
1964). Ydermere kan vi se, at det forventede afkast for portefølje A er repræsenteret af en ret linje af
formen y = b + ax. Dvs. en ret linje, som følge af kombinationen af risikofrie- og risikofyldte værdipa-
5
Short selling.
6
Statsobligationer er pr. definition en risikofri investering, da man er sikret sine penge igen tillagt den risikofrie rente.
8 af 48
pirer, også kaldet Capital Market Line (CML)7. Formlen for CML, som vi kender den i dag, er som følger:
! µ p = rf +
µm − rf
σp
σm
(2.4)
Den optimale kombinationen, af de risikofri- og risikofyldte værdipapirer samt hældningen på CML,
findes i det punkt, hvor CML tangerer Markowitz’s efficiente rand. Det er også i dette punkt, at vi finder
minimum-variance porteføljen med hensynstagen til den risikofrie investering (Hillier et al., 2012).
Figur 2.3: Capital Market Line
Note: I præcis punktet (σm ; µm) har vi et unikt optimum, hvor risikofyldte værdipapirer er blevet kombineret på en
sådan måde, at man ved en given formue maksimere det forventede afkast til den mindst mulige medfølgende risiko.
!
I figur 2.3 ser vi Markowitz’s efficiente rand, som tangeres af CML. CML repræsenterer alle mulige efficiente porteføljer bestående af en given andel af risikofrie- og risikofyldte værdipapirer. Porteføljer der
ikke ligger på denne linje er, ligesom med Markowitz’s efficiente rand, ikke optimale porteføljer. Det
ses udfra formel (2.4) at, hvis standardsafvigelsen på porteføljen, σp, er lig nul, da vil det forventede
afkast for porteføljen, µp, være lig med afkastet ved den risikofrie investering, rf. Når man kombinerer
den risikofrie investering med den risikofyldte investering, dannes der en positiv hældende ret linje, som
vil skære y-aksen i punktet (0 ; rf), og fortsætte skråt op, nordøst8. Det punkt, hvor CML tangerer den
efficiente rand, vil fremover betegnes som markedsporteføljen. Markedsporteføljen skal ses som en teoretisk portefølje, der indeholder alle mulige værdipapirer, hvor hvert N risikofyldte værdipapirer er
vægtet på netop den måde, så man ved en given formue (uden lån), kan opnå det højeste forventede
afkast samtidig med, at man i dette punkt, (σm ; µm) i figur 2.3, er fuldt ud diversificeret, hvilket betyder,
at markedsporteføljen er immun overfor usystematisk risiko og derfor kun offer for systematisk risiko9.
7
Endnu engang henvises der til bilag 3, hvor der, for den interesseret læser, vil findes en matematiks udledning af CML samt af den optimale
kombination mellem risikofrie- og risikofyldte værdipapirer.
8
Ved at se på den mere avanceret ligning (13) for CML, som findes i bilag 3, må vi, udfra minus fortegnet, konkludere, at CML også har en
negativ hældende linje (mod sydøst). Med forudsætningen om at investorer ønsker at maksimere forventet afkast og minimere risiko, da vil
linjen nordøst dog altid være at foretrække, hvorfor minus fortegnet i ligning (2.4) er ekskluderet.
9
Systematisk risiko er den generelle risiko ved at befinde sig på et marked. Dette er risikoen for, at der f.eks. sker et jordskælv eller et terror
angreb, hvilket kan påvirke ens investeringer. Usystematisk risiko er den risiko, som kan blive elimineret/diversificeret væk (Ackert &
Deaves, 2010).
9 af 48
Det skal dog understreges, at alle punkter på CML er i ligevægt, hvorfor man på CML kun er udsat for
systematisk risiko10 (Cuthbertson & Nitzsche, 2007).
Tobin (1958) muliggjorde, som nævnt, gearing samt udlån i denne model. Gearing ses i figur 2.3, når vi
følger linjestykket i CML nord for punktet (σm ; µm). For at opnå en portefølje, der ligger nord for
markedsporteføljen, indebærer det, at investoren har lånt penge til en risikofri rente eller foretaget short
selling. Dette kan, som nævnt, ske ved at lade XT antage en negativ værdi. Derimod vil alle porteføljer,
der ligger syd for punktet (σm ; µm) indebærer, at man har udlånt dele af- eller hele sin formue til en
risikofri rente. Hvordan man vælger at investere sin formue afhænger af, hvor risikoavers eller risikosøgende man er som investor.
2.4. SHARPE-LINTNER’S CAPM
Sharpe (1964) går imod Tobin’s teori om én unik optimal kombination af risikofyldte aktiver. Som
tidligere beskrevet vil en perfekt positiv korrelation på ρ = 1 mellem værdipapirer medfører, at det forventede afkast, samt standardafvigelsen mellem disse, vil blive lineært relateret. Hvis Markowitz’s efficiente rand består af porteføljer, som har en korrelation på 1 i det punkt, hvor CML tangerer den efficiente rand, da vil vi ikke kun have én optimal portefølje, men derimod flere optimale porteføljer i de
punkter, hvor CML tangerer den perfekt korreleret flade på den efficiente rand. Derudover inddrager
Sharpe beta, β, som mål for risiko, frem for standardafvigelsen. β måler et værdipapirs volatilitet ved at
sammenligne det med den generelle markedsrisiko (risikoen ved markedsporteføljen). Dette vil vise sig
at være en fordel ved prisfastsættelse af værdipapirer eller porteføljer, da man ved en given beta, og ud
fra “Security Market Line” (SML), kan se om værdipapiret eller porteføljen er over- eller undervurderet
(Sharpe, 1964). SML er Sharpe’s videreudvikling af CML11.
Sharpe-Lintner’s ligning for CAPM er som følger:
! µi = rf +
σ im
µ − r = rf + βi µm − rf
σ m2 m f
(
)
(
)
(2.5)
Hvor βi er kovariansen mellem det forventede afkast for værdipapir i og markedsporteføljen sat i forhold
til variansen for markedsporteføljen (Sharpe, 1964). Tidligere har vi defineret en porteføljes risiko som
standardafvigelsen/variansen af det forventede afkast. Risiko vil fra nu af blive defineret i form af β, da
risiko (eller kovarians), bliver beregnet med hensyn til markedsporteføljen. Markedsporteføljen har en
β = 1, da det i’te værdipapir vil have en standardafvigelse lig med standardafvigelsen på markedsporteføljen. Matematisk ser det sådan ud:
! βi =
σ im
σ m2
;
βm =
σ mm σ m2
=
=1
σ m2 σ m2
10
Mere om dette i afsnit 2.4.
11
Hvis der ønskes en yderligere uddybning af teorien- og matematikken bag CAPM, vil denne blive udledt i bilag 4,
10 af 48
(2.6)
Hvis CAPM er korrekt, da vil alle værdipapirer befinde sig på SML. CAPM beskriver det forventede
merafkast, som et hvilket som helst risikofyldt værdipapir vil generere. Derudover fortæller den, at det
forventede afkast for ethvert værdipapir er direkte relateret til det forventede afkast for markedsporteføljen ved en given systematisk risiko i form af β.
Figur 2.4: Beta diagram
Security Market Line (SML)
Note: Figuren er en grafisk illustration af CAPM. Vi ser, at forventet afkast stiger, når risikoen stiger og vice versa.
!
I figur 2.4 illustreres forholdet mellem forventet afkast og β udfra SML. Markedsporteføljen er, som
nævnt, fuldt ud diversificeret. Det samme gælder (ligesom med CML) for alle andre porteføljer på SML,
hvorfor det kun er den systematiske risiko, der påvirker det forventede afkast på SML. En β-værdi større
end 1 betyder, at investeringen har en højere systematisk risiko sammenlignet med markedsporteføljen.
Omvendt betyder en β-værdi mindre end 1, at investeringen har en lavere systematisk risiko sammenlignet med markedsporteføljen. β er derfor et nyttigt redskab til at sammeligne risikoen på tværs af diverse værdipapirer eller porteføljer, da den kan rangere den relative sikkerhed for et givet værdipapir
eller portefølje.
Sharpe (1964) forudsætter, at alle investorer har homogene forventninger omkring forventet afkast samt
risiko. Dette indebærer dermed også, at alle investorer ønsker at holde markedsporteføljen, hvilket indikerer, at alle investorer ønsker den samme kombination af værdipapirer. Den høje efterspørgsel på
disse værdipapirer vil resultere i, at priserne på disse værdipapirer vil stige. Da priserne stiger, samt at
værdipapirernes forventede afkast er forbundet med den fremtidige fortjeneste af nutidens pris, vil det
forventede afkast falde, hvilket gør, at vi vil rykke langs SML i figur 2.4 og væk fra det optimale tangent
punkt (markedsporteføljen). Derimod vil priserne på værdipapirer, som ikke ligger i punktet for markedsporteføljen falde, hvilket betyder, at det forventede afkast for disse vil stige, hvormed der sker en konstant udskiftningsproces.
SML i figur 2.4 er sammensat ud fra en række af værdipapirer, hvis forventede afkast hver især indebærer usystematisk risiko. Den vertikale forskel i afkast (ved en given β) mellem værdipapirer der ligger
på, over eller under SML, er givet ud fra alpha, α, i:
(
)
! µi = rf + β i µ m − rf + α i
⇔
11 af 48
(
α i = µi − rf − βi µm − rf
)
(2.7)
Hvis et værdipapir ved en given β har en α > 0, da har vi et afkast, som ligger over SML, hvilket betyder, at værdipapiret er undervurderet. Dette skyldes, at man kan forvente et anormalt højt afkast ved den
iboende risiko. Omvendt gælder det, at et værdipapir er overvurderet, hvis den har en α < 0 og derved
ligger under SML, da man ved denne investering kan forvente et lavere afkast ved den iboende risiko.
Når α = 0 befinder vi os på SML. At værdien på et værdipapir er undervurderet betyder, at man ved en
“billig” investering kan forvente et højt afkast. Da alle investorer antages at foretrække et højt afkast
frem for et lavt ved en given risiko, vil dette øge efterspørgslen efter det undervurderet værdipapir. Pris
og forventet afkast er, som nævnt, relateret, hvilket betyder, at den øgede efterspørgsel efter værdipapiret vil hæve prisen på værdipapiret, som til slut vil medføre, at det forventede afkast vil falde, indtil
det når punktet på SML. Omvendt gælder det, at efterspørgslen efter et overvurderet værdipapir vil
falde, hvilket vil sænke prisen på dette værdipapir, indtil det når et forventet afkast svarende til SML.
Hvis CAPM taler sandt, vil alle værdipapirer derfor ende ud med at ligge på SML, hvilket betyder, at vi
i ligevægt har en α = 0. Dette betyder også, at β er nødvendig, hvis man ønsker at bestemme forskellen i
forventet afkast mellem værdipapirer, hvilket tydeliggøres, hvis vi omskriver (2.5) til:
(
! µi − rf = β i µ m − rf
)
(2.8)
(Cuthbertson & Nitzsche, 2007).
Indtil nu er der blevet redegjort for den teoretiske del af CAPM samt forklaret, hvilken indflydelse de
forskellige parametre har på beslutningen om at danne en efficient porteføljesammensætning. Vi har set,
at den efficiente linje udgøres af SML, som tangerer den efficiente rand bestående af fuldt ud diversificeret porteføljer af risikofyldte værdipapirer. Derudover ser vi, at β er bestemt ud fra kovariansen
mellem det i’te værdipapir og markedsporteføljen samt, at vi på SML har en α lig med nul. I næste kapitel vil metoden for den empiriske test af CAPM blive gennemgået, hvorefter den empiriske test vil blive
foretaget.
12 af 48
3. STATISTISK RAMME FOR DEN EMPIRISKE TEST
Der vil i dette afsnit blive gjort rede for den statiske ramme for testen, hvor udvælgelse af data, forudsætninger for testen, samt estimation af parametre vil være i fokus.
3.1. UDVÆLGELSE AF DATA
Den empiriske test af CAPM tager udgangspunkt i det amerikanske aktiemarked. Testen vil blive delt op
i to dele:
1. En test på tilfældigt udvalgte værdipapirer.
2. En test på porteføljer sammensat efter virksomhedernes kapitalværdi.
Til test på værdipapirer vil data fra, hhv. NASDAQ, New York Stock Exchange (NYSE) og Standard &
Poor's 500 (S&P 500), benyttes. Valget af netop disse indeks skyldes, at historiske data er nemt tilgængeligt, samt at de består af et bredt udvalg af værdipapirer fra små-, mellem- og store virksomheder. Den
historiske data består af virksomhedens afkast (inklusiv dividende), og er indsamlet månedligt fra
Datastream i perioden fra januar 1995 til december 2014. Dette giver i alt en periode på T = 240 måneder eller 20 år. Hvorfor der vælges en periode på 20 år, og ikke f.eks. en periode på 30 år skyldes, at der
ønskes så stor en stikprøve som muligt. Virksomheder, som ikke var børsnoteret før januar 1995, er
blevet ekskluderet fra testen12. Dette giver en stikprøve på i alt N = 883. Testen vil blive underopdelt i
fire perioder, hvilket betyder, at der vil foretages en test for T = 240, T = 180, T = 120 samt T = 60 for at
undersøge, om dette skulle have noget indvirkning på det endelige resultat.
Når man tester på værdipapirer og ikke porteføljer, kan det påvirke resultatet af testen, hvilket vil blive
diskuteret nærmere i kapitel 5. Der vil derfor også, udfra data fra Wharton Research Data Services
(WRDS), foretages tests på 10 porteføljer i perioden fra januar 1995 til december 2014. Porteføljerne er
sammensat af værdipapirer fra NYSE, NASDAQ og American Stock Exchange (AMEX) og er vægtet
efter deres kapitalværdi, hvor portefølje 1 er sammensat af de 10% største virksomheder, portefølje 2 er
sammensat af de 10% næststørste virksomheder, etc. Begrundelsen for denne opdeling skyldes, at
tidligere test har påvist, at størrelsen på virksomheden kan have indflydelse på, hvor højt deres forventede afkast er i forhold til deres β (Cochrane, 2005).
Da markedsporteføljen, som nævnt, består af alle værdipapirer i hele verden, vil estimationen af denne
skabe nogle problemer vedr. validiteten af testen. Dette vil også blive diskuteret i kapitel 5. Da denne
test foretages på det amerikanske aktiemarked, benyttes Center for Research in Security Prices (CRSP)
value-weighted index som proxy for markedsporteføljen. Dette indeks indeholder data fra NYSE,
AMEX, NASDAQ og ARCA, hvor månedlig afkast også indbefatter dividende udbetalinger. Disse data
er indsamlet månedligt fra WRDS i perioden fra januar 1995 til december 2014.
12
Eventuelle problemer dette måtte give, vil blive diskuteret i kapitel 5.
13 af 48
Proxy for den risikofrie rente er valgt udfra det månedlige afkast fra US Treasury bills, som er kortfristet
amerikanske statsobligationer. Data for denne er også opnået via WRDS.
3.2. FORUDSÆTNINGER FOR TESTEN
Der tages udgangspunkt i (2.5), hvor µi – rf vil blive defineret som det merafkast, det i’te værdipapir vil
generere i forhold til den risikofrie investering. Dvs., risikopræmien for at investerer i risikofyldte
værdipapirer frem for den risikofrie investering. Denne merafkast vil blive betegnet som Zt, hvor t er
tidsperioden, t = 1,…,T. µm – rf vil blive defineret som det merafkast, markedsporteføljen genererer i
forhold til den risikofrie investering. Denne vil blive betegnet som Zmt. Dette betyder, at formlen for
CAPM nu ser således ud:
! Z t = β Z mt
(3.1)
Som tidligere beskrevet ser vi, at merafkast for det i’te værdipapir afhænger fuldt ud af β, eller sagt på
en anden måde; hvis CAPM taler sandt, da behøver man kun β til at forklare forskellen i afkast mellem
værdipapirer. CAPM er en én periode model, hvilket betyder, at investorer antages at foretage hele deres
investering på én gang. Dette betyder også, at (2.5) ikke har nogen tidsdimension. For at muliggøre en
test af CAPM er det nødvendigt at indsamle data for afkast over en tidsperiode. Det antages derfor, at
afkast er uafhængigt og identisk fordelt (IID)13 over tid, samt at afkast er multivariat normalfordelt14.
Dette skrivers som:
IID
(
! ε t ∼ N 0;σ 2
)
(3.2)
Til test af CAPM opstilles nu en simpel lineær regressionsmodel udfra (3.1):
! Z t = α + β Z mt + ε t
(3.3)
Hvor β er en [N x 1] vektor af betaer, α er en [N x 1] vektor for skæringen med y-aksen og εt er [N x 1]
vektor for afvigelsen mellem afkast og regressionslinjen. α er forskellen mellem det forventede merafkast, Zt, og hvad CAPM forudsiger at det forventede merafkast, βZmt, skal være. Hvis CAPM taler
sandt, vil alle værdipapirer, som nævnt, ende ud med at ligge på SML, hvorfor (3.3) også antyder, at α
skal være lig nul, da vi derved opnår tangenten til markedsporteføljen (Cochrane, 2005). Derudover skal
generelle statistiske forudsætninger for lineær regression gælde:
1. Der skal være tale om en lineær sammenhæng mellem vores variable på x- og y-aksen. Dette er hele
formålet med testen, da vi håber at kunne forklare modellen alene udfra β.
13
Independently and Identically Distributed
14
Dvs., at alle vores variable skal være uafhængige samt normalfordelte.
14 af 48
2. Som beskrevet ovenfor, skal vores fejlled være normalfordelte med en middelværdi lig nul. Dvs., at
den forventede afvigelse mellem afkast og regressionslinjen skal være lig nul. Dette kan vi skrive
som E(εt) = 0. Denne forudsætning er essentiel for vores test, da vi håber at kunne påvise at α = 0(15).
3. Der må ikke være nogen homoskedasticitet, hvilket betyder, at varianserne for vores fejlled skal
være uafhængige af den forklarende variabel, samt være konstant. Dette kan vi skrive som
V(εt) = σ2. Udfra scatterplot på unstandardized predicted value og unstandardized residual, som er
illustreret i bilag 5, antages denne forudsætning også at gælde. Dette sker på baggrund af et scatterplot, hvor man kan ane en rudeform i datasættene.
4. Som nævnt skal vores fejlled være uafhængige. Dette betyder, at fejlledet mellem værdipapirerne
ikke må være korreleret over tid. Da det antages, at vores afkast er uafhængige over tid, da vil denne
forudsætning være opfyldt (Keller, 2009).
Derudover kræves der, at CAPM holder i alle perioder, samt at β er stationær over tid (Elton et al.,
2011).
3.3. ESTIMATION AF PARAMETRE
Estimaterne for α og β bliver beregnet vha. OLS-metoden. OLS har til formål at undersøge, hvordan en
ændring i x-aksen påvirker y-aksen. Ved test af CAPM ønskes der en undersøgelse af, om β fuldt ud
forklarer modellen. Hvis dette er tilfældet, vil α i (3.3) være lig med nul. Derudover ønsker vi at opnå en
positiv hældning på SML. Denne hældning skal være lig med det gennemsnitlige merafkast for markedsporteføljen, hvis CAPM skal gælde (Hillier et al., 2012).
15
Mere om dette i næste kapitel.
15 af 48
4. TEST AF CAPM
Der vil i dette kapitel foretages en empirisk test af CAPM på baggrund af data beskrevet i kapitel 3.
Testen vil blive del op i tre dele:
1. T-test på værdipapirer
2. T-test på porteføljer
3. F-test på porteføljer
Ved at benytte Excel’s regressionsfunktion foretages der (til fælles for alle tre test) en first-pass regression, som er en tidsserie regression. Denne regression foretages for hvert af de 883 værdipapirer samt 10
porteføljer i perioderne T = 240, T = 180, T = 120 samt T = 60. Ved first-pass regressionen benyttes
merafkast for hvert af de 883 værdipapirer og 10 porteføljer (Zt) som den afhængige variabel og merafkast for markedsporteføljen (Zmt) som den uafhængige variabel. Dette giver os estimaterne for α og β,
som benyttes til videre test af CAPM. Derefter beregnes middelværdien for hvert Zt og Zmt i alle tidsperioder. Det gennemsnitlige merafkast på markedet vil fremover, for simpelhedens skyld, blot betegnes
som µm. Det gennemsnitlige merafkast for værdipapirer vil betegnes som µi. Disse benyttes til secondpass regressionen16. Denne skriver vi som:
! µi = λ0 + λ1β̂ + υi
(4.1)
Hvor 𝜆0 beskriver linjens (SML) skæring med y-aksen, og 𝜆1 beskriver hældningen på regressionslinjen.
Hvis CAPM skal holde, skal 𝜆0 = 0 og 𝜆1 = µm > 0. Med ord betyder dette, at SML’s skæring med y-aksen skal være lig nul, da denne repræsenterer det risikofrie afkast. Hældning for SML, 𝜆1, skal være lig
med det gennemsnitlige merafkast på markedet, µm, samt at 𝜆1 skal være større end nul. Der kan nu opstilles hypoteser for second-pass regressionen for SML:
H0: 𝜆0 = 0 mod H1: 𝜆0 ≠ 0 (to-sidet test)
H0: 𝜆1 = µm mod H1: 𝜆1 ≠ µm (to-sidet test)
H0: 𝜆1 ≤ 0 mod H1: 𝜆1 > 0 (én-sidet test)
Til f-testen inddrages virksomhedens størrelse som en ekstra forklarende variable. Der opstilles derfor
en ekstra hypotese ved denne test, som vil blive forklaret nærmere i afsnit 4.3.
Alle test benytter sig af et signifikansniveau på 5%.
16
Også kaldet en cross-sectional regression.
16 af 48
4.1. T-TEST PÅ VÆRDIPAPIRER
I dette afsnit vil der foretages en t-test af 883 værdipapirer i perioderne T = 240, T = 180, T = 120 samt
T = 60.
Tabel 4.1: Uddrag af resultater for first-pass regression for 883 værdipapirer
T = 240
T = 180
T = 120
T = 60
Værdipapir
α
β
α
β
α
β
α
β
1
0.0040
0.5780
0.0044
0.6012
0.0023
0.6348
0.0021
1.0805
2
0.0030
0.6635
0.0046
0.6980
0.0012
0.8388
0.0001
1.0611
…
…
…
…
…
…
…
…
…
883
0.0029
0.8203
-0.0022
0.7999
-0.0074
1.1062
0.0009
1.5459
Note: Uddrag af resultaterne for first-pass regressionen. For resultater på samtlige værdipapirer/porteføljer, samt test
på disse, se da venligst i de vedhæftede Excel ark “CAPM Data Aktier” eller “CAPM Data Porteføljer”.
Tabel 4.1 viser et uddrag af resultaterne for first-pass regressionen. Dette giver estimaterne for α og β,
som benyttes til videre test.
Som nævnt i afsnit 1.1 påviste Black, Jensen & Scholes (1972) i deres undersøgelse, at når β > 1, da har
linjen en tendens til at have en negativ skæring med y-aksen, hvorimod når β < 1, da har linjen en tendens til at have en positiv skæring med y-aksen. For over halvdelen af værdipapirerne viser resultaterne
fra denne test samme tendens. For 57.64%, 57.76%, 55.04% og 68.40% af værdipapirerne i perioderne
T = 240, T = 180, T = 120 samt T = 60 viser det sig at være tilfældet. Dette betyder, at højrisikoinvesteringer generelt afgiver mindre afkast end hvad modellen forudsiger og omvendt, at lavrisikoinvesteringer generelt afgiver mere afkast, end hvad modellen forudsiger, hvilket i første omgang ikke
lover positivt for videre test af modellen.
Tabel 4.2: Resultater for second-pass regression t-test for 883 værdipapirer
T = 240
T = 180
T = 120
T = 60
Koefficient
Standard
Error
t-obs
p-værdi
𝜆0
0.0042
0.0008
5.0952
0.0000
𝜆1
0.0094
0.0007
12.7232
0.0000
𝜆0
0.0085
0.0008
10.9094
0.0000
𝜆1
0.0035
0.0007
5.2182
0.0000
𝜆0
0.0050
0.0007
7.2699
0.0000
𝜆1
0.0038
0.0006
6.6776
0.0000
𝜆0
0.0127
0.0009
14.3202
0.0000
𝜆1
0.0011
0.0007
1.5595
0.0596
µm
t-obs
𝜆1 = µm
p-værdi
𝜆1 = µm
0.0067
3.5881
0.0004
0.0034
0.2420
0.8088
0.0061
3.9500
0.0001
0.0118
14.5016
0.0000
Note: H0: 𝜆0 = 0 mod H1: 𝜆0 ≠ 0 (rød), H0: 𝜆1 = µm mod H1: 𝜆1 ≠ µm (gul), H0: 𝜆1 ≤ 0 mod H1: 𝜆1 > 0 (lilla)
17 af 48
Figur 4.1: Scatterplot & Trendlinje for second-pass regression for værdipapirer
!
Note: Den blå trendlinje illustrerer resultaterne for second-pass regressionen. Den røde trendlinje illustrerer, hvordan
resultatet for SML burde have set ud, hvis CAPM skulle holde.
I tabel 4.2 og figur 4.1 ser vi resultaterne for second-pass regressionen for de 883 værdipapirer fra det
amerikanske aktiemarked. Trendlinjerne i figur 4.1 repræsenterer SML fratrukket den risikofrie rente.
Det blå scatterplot og den tilhørende blå trendlinje illustrerer resultaterne for testen. Den røde trendlinje
illustrerer, hvordan resultatet for SML burde have set ud, hvis CAPM skulle holde. Som tidligere nævnt
skal SML gå igennem punktet (0 ; 0) samt at have en hældning svarende til det gennemsnitlige merafkast for markedet, µm. Investorerne vil på denne måde modtage, hvad der svarer til den risikofrie rente,
hvis β er nul. Den vertikale forskel mellem SML og punkterne på graferne forklares udfra estimaterne
for α for hvert værdipapir.
Ved første øjekast kan det være svært at se en sammenhæng mellem risiko og afkast i figur 4.1. Secondpass regressionen for T = 240 kunne dog have en antydning af, at der er en form for positiv lineær sammenhæng mellem risiko og afkast. Når vi kigger på resultater fra tabel 4.2 ser vi, at observatorværdien
for 𝜆0 i alle fire perioder ligger udenfor vores kritiske grænse. Dette betyder, at vi med 95% sikkerhed
kan forkaste vores H0 hypotese. Dvs., at 𝜆0 er signifikant forskellig fra nul, hvilket vores p-værdi også
bekræfter med meget stor sikkerhed.
18 af 48
Hvad 𝜆1 angår, så forkastes H0: 𝜆1 = µm også her i tre af perioderne. Dog kan det ikke afkræftes, at hældningen på SML er signifikant forskellig fra µm i perioden T = 180. At hældningen ikke er signifikant
forskellig fra µm i T = 180 ses også figur 4.1, hvor hældningen på den blå SML stort set løber parallelt
med hældningen på den røde SML. Derudover ser vi, at H0: 𝜆1 ≤ 0 forkastes i alle perioder på nær
T = 60. Dette betyder, at vi i tre af perioderne med stor sikkerhed kan sige, at der er en positiv lineær
sammenhæng mellem risiko og afkast. I T = 60 kan H0: 𝜆1 ≤ 0 ikke forkastes, da observatorværdien ligger under den kritiske grænse, samt at p-værdien er større end 5%. Dvs., at der i dette tilfælde ikke kan
konkluderes, at hældningen på SML er signifikant større end nul, hvilket også kan anes udfra figur 4.1.
Derudover kan det i figur. 4.1 ligne, at vi oplever pænere resultater for CAPM over tid. En af forklaringerne på dette kan skyldes, at der opstår momentum effekter for nogle værdipapirer på den korte
bane, som gør, at vi ser en stor spredning i gennemsnitlig merafkast ved en given β. Over tid udlignes
dette, og man ser derfor at spredning i gennemsnitlig merafkast bliver mindre ved en given β, og at gennemsnitlig merafkast derved falder til et mere normalt niveau (Cuthbertson & Nitzsche, 2007).
Standard error of estimate, som repræsenterer den gennemsnitlige afstand mellem den observerede værdi og regressionslinjen, fortæller, hvor forkert vores regressionmodel i gennemsnit er. Denne er på
0.8636, 0.9157, 0.9934 og 0.8956 for hhv. T = 240, T = 180, T = 120 samt T = 60(17). Dette er højt og
derfor meget skidt for vores model, hvilket også bekræftes af den justeret forklaringsgrad, som ser på
samvariationen mellem merafkast og β. Her får vi 0.1542, 0.0288, 0.0470 og 0.0016 for hhv. T = 240,
T = 180, T = 120 samt T = 60, hvilket er en meget lav forklaringsgrad for alle vores perioder. I T = 60
forklarer modellen kun 0.16%, hvilket er tæt på ingenting. Vi må derfor indtil videre konkludere, at der,
udfra denne test, ikke er belæg for at sige, at der er en signifikant sammenhæng mellem teori og empiri.
Dette betyder, at vi ikke kan påvise, at der er en sammenhæng mellem det historiske merafkast på vores
værdipapirer og merafkast forudsagt af CAPM. Vi må derfor også konkludere, at β ikke alene kan forklare vores model.
4.2. T-TEST PÅ PORTEFØLJER
I afsnit 4.1 så vi, at når man plotter værdipapirernes gennemsnitlige merafkast for en tidsperiode mod
dets β, da vil man opleve en stor spredning i sine resultater. Derudover har hældningen på SML en tendens til at blive alt for flad, hvilket vores test på værdipapirer også viste. Dette kan skyldes at β‘erne
bliver målt med fejl, hvilket påvirker regressionskoefficienterne. Fama og Macbeth (1973) fandt ud af,
at når man grupperer værdipapirerne ind i porteføljer, da får man et bedre mål for β, da porteføljer har
en lavere residual varians. Dette gør porteføljer mere stabile og nemmere at måle korrekt. Derudover
varierer værdipapirers β også over tid når størrelsen, gearingen eller virksomhedens forretning ændres
(Cochrane, 2005).
17
Disse tal er fremkommet ved at dividere standard error of estimate med µt. Talene og udregningerne kan findes i de vedhæftede Excel ark.
19 af 48
Der vil derfor i dette afsnit testes på 10 porteføljer sammensat efter virksomhedernes kapitalværdi af
WRDS, da tidligere empiriske undersøgelse har vist, at størrelsen på virksomheder kan have en indflydelse på merafkast (Fama & French, 1993). Samme fremgangsmåde som afsnit 4.1 vil benyttes til denne
test på porteføljer. Der er derfor stadig en forventning om, at 𝜆0 = 0 og 𝜆1 = µm > 0.
Tabel 4.3: Resultater for first-pass regression for 10 porteføljer
T = 240
T = 180
T = 120
T = 60
Portefølje
α
β
α
β
α
β
α
β
1
0.0001
0.9300
-0.0011
0.9095
0.0002
0.8802
0.0014
0.9140
2
0.0014
1.0029
0.0026
1.0164
0.0014
1.0530
0.0023
1.0258
3
0.0007
1.0904
0.0021
1.1057
0.0009
1.1051
0.0013
1.1169
4
0.0011
1.1046
0.0028
1.1271
0.0012
1.1330
0.0002
1.1707
5
0.0003
1.1365
0.0032
1.1597
0.0020
1.1616
-0.0000
1.2260
6
0.0006
1.1983
0.0028
1.2283
-0.0000
1.2624
-0.0006
1.2876
7
0.0010
1.1902
0.0034
1.2267
0.0009
1.2355
0.0002
1.2338
8
0.0017
1.2365
0.0043
1.2766
0.0007
1.2826
-0.0009
1.3112
9
0.0016
1.2266
0.0042
1.2741
-0.0004
1.2999
-0.0015
1.3021
10
0.0028
1.1205
0.0064
1.2019
-0.0001
1.2741
-0.0009
1.2196
Hvad der er værd at notere fra tabel 4.3 er, at β stiger i takt med at virksomhederne bliver mindre. Dette
kan skyldes, at små virksomheder i perioder med højkonjunktur oplever en højere vækstrate end store
virksomheder, samt at de i perioder med lavkonjunktur ikke har de samme reserver at trække på som
store virksomheder, hvorfor de rammes hårde. Dette giver store udsving i afkast og derved højere β.
Tabel 4.4: Resultater for second-pass regression t-test for porteføljer
T = 240
T = 180
T = 120
T = 60
Koefficient
Standard
Error
t-obs
p-værdi
𝜆0
-0.0017
0.0030
-0.5804
0.5776
𝜆1
0.0093
0.0027
3.4813
0.0042
𝜆0
-0.0119
0.0041
-2.9112
0.0196
𝜆1
0.0163
0.0035
4.6384
0.0008
𝜆0
0.0026
0.0023
1.1742
0.2741
𝜆1
0.0044
0.0019
2.2931
0.0255
𝜆0
0.0095
0.0020
4.8189
0.0013
𝜆1
0.0039
0.0017
2.3451
0.0235
µm
t-obs
𝜆1 = µm
p-værdi
𝜆1 = µm
0.0067
0.9570
0.3666
0.0034
3.6819
0.0062
0.0061
0.8758
0.4066
0.0118
4.7748
0.0014
Note: H0: 𝜆0 = 0 mod H1: 𝜆0 ≠ 0 (rød), H0: 𝜆1 = µm mod H1: 𝜆1 ≠ µm (gul), H0: 𝜆1 ≤ 0 mod H1: 𝜆1 > 0 (lilla)
20 af 48
Figur 4.2: Scatterplot & Trendlinje for second-pass regression for porteføljer
Note: Den blå trendlinje illustrerer resultaterne for second-pass regressionen. Den røde trendlinje illustrerer, hvordan
! resultatet for SML burde have set ud, hvis CAPM skulle holde.
Som forventet ser resultaterne for second-pass regressionen for porteføljerne lidt mere lovende ud for
CAPM end den tidligere test. Faktisk kan vi ikke afvise vores model i to af perioderne. Hvis vi starter
med at se på T = 240 og T = 120, kan vi ikke afvise, at 𝜆0 er lig med nul. Vi har heller ikke belæg for at
sige, at hældningen på 𝜆1 er forskellig fra µm samt positiv. Anderledes ser det dog ud for T = 180 og
T = 60, hvor H0 for 𝜆0 = 0 og 𝜆1 = µm forkastes i begge perioder, men hvor vi stadig ser, at der er en positiv sammenhæng mellem risiko og gennemsnitlig merafkast.
Standard error of estimate, set i forhold til det gennemsnitlige merafkast for porteføljerne, ligger for
T = 240, T = 180, T = 120 samt T = 60 på hhv. 0.09061, 0.1785, 0.0974 og 0.0454, hvilket faktisk ikke
er helt skidt. Den justerede forklaringsgrad derimod ligger kun på 0.5526, 0.6950, 0.3211 og 0.3333 for
hhv. T = 240, T = 180, T = 120 samt T = 60. For at have en tilstrækkelig forklaringsgrad skal denne
ligge mellem 0.85 og 1. Dvs., at de opnået forklaringsgrader er for lave til, at vi kan konkludere, at β
alene forklarer vores model. Når dette er sagt, kan vi dog ikke komme udenom, at der er en eller anden
form for lineær relationen mellem gennemsnitlig merafkast og β, og at SML, specielt i T = 240 og
T = 120, tilnærmelsesvis forklarer en sammenhæng mellem gennemsnitlig merafkast og β i forhold til,
hvad CAPM forudsiger.
21 af 48
4.3. F-TEST PÅ PORTEFØLJER
I dette afsnit inkluderes porteføljens vægt, Wi, for at teste om størrelsen på virksomhederne har en indflydelse på afkast. Vi får derfor en ekstra faktor i vores regressionsligning:
! µi = λ0 + λ1β̂ i + λ2Wi + υi
(4.2)
Hvis CAPM skal holde, skal 𝜆2 være lig nul, da forudsætningen for CAPM lyder på, at det kun er β, som
skal forklare afkast (Hillier et al., 2012). Vi kan derfor opstille hypotesen:
H0: 𝜆2 = 0 mod H1: 𝜆2 ≠ 0 (to-sidet test)
Tabel 4.5: Resultater for second-pass regression f-test for porteføljer
T = 240
T = 180
T = 120
T = 60
t-obs 𝜆2
-1.0589
-1.5115
-3.1644
-2.5982
p-værdi t-obs 𝜆2
0.3248
0.1744
0.0158
0.0355
f-obs
6.7122
13.6268
10.5978
8.1014
p-værdi f-obs
0.0236
0.0039
0.0076
0.0151
Justeret R2
0.5593
0.7373
0.6808
0.6121
Resultaterne fra testen (som ses i tabel 4.5) viser i to af perioderne (T = 240 og T = 180), at 𝜆2 ikke er
signifikant forskellig fra nul. I T = 120 og T = 60 forkastes H0 hypotesen, hvilket indikerer at faktoren
størrelse har en eller anden form for betydning for disse to perioder. Med en p-værdi større end 0.01, er
dette ikke et overvældende resultat.
I alle perioderne viser f-testen sig også at være signifikant, hvilket indikerer, at der kan være en antydning af reel sammenhæng mellem porteføljernes merafkast og begge vores forklarende variable.
For at se nærmere på dette foretages der nu en simpel lineær regression med porteføljens vægt/størrelse
som den eneste forklarende variabel for merafkast. Resultatet ses i tabel 4.6.
Tabel 4.6: Resultater for second-pass regression t-test for porteføljernes vægt
T = 240
T = 180
T = 120
T = 60
𝜆0
𝜆1
𝜆0
𝜆1
𝜆0
𝜆1
𝜆0
𝜆1
Kontante
0.0091
-0.0046
0.0079
-0.0099
0.0082
-0.0041
0.0144
-0.0034
t-test
31.3150
-3.3038
17.7890
-4.6413
43.0930
-4.4324
85.6797
-4.1790
Signifikansniveau
0.0108
0.0000
0.0000
0.0017
0.0000
0.0022
0.0000
0.0031
Justeret R2
0.5242
0.6953
22 af 48
0.6745
0.6466
I alle perioderne er 𝜆1 signifikant, hvilket antyder, at størrelsen på virksomheden kan have en indflydelse
på, hvor meget man kan forvente i afkast. Ydermere kan vi se, at der er en negativ lineær relation
mellem størrelsen på virksomheden og afkast, hvilket tydeligt ses, når der foretages et scatterplot.
Figur 4.3: Scatterplot & Trendlinje for second-pass regression for porteføljernes vægt
!
I figur 4.3 ser vi, at små virksomheder generelt giver et højere afkastniveau end store virksomheder. Pværdien bekræfter dette i alle fire perioder. Den justeret forklaringsgrad er dog ikke helt høj nok til, at vi
kan konkludere med sikkerhed, at der er en lineær sammenhæng mellem gennemsnitlig merafkast og
virksomhedens størrelse. Det kunne i midlertid godt ligne, at punkterne i figur 4.3 har en konveks form
(en eksponentiel aftagende funktion). Hvis man derfor tager den naturlige logaritme til virksomhedernes
vægt, da får man en pænere ret linje, specielt i T = 240 og T = 180, samt, at vi stadig ser en negativ
sammenhæng mellem gennemsnitlig merafkast og LN til virksomhedens størrelse. Dette er illustreret i
figur 4.4 nedenfor.
23 af 48
Figur 4.4: Scatterplot & Trendlinje for second-pass regression for LN til porteføljernes vægt
!
Mulige forklaringer på, hvorfor virksomhedens størrelse kan have en indflydelse på afkast, vil blive
diskuteret i kapitel 5.
For at opsummere hvad der indtil videre er opnået, viser de overstående test tvetydige resultater. Hvor
tests på værdipapirer tydeligt afviser CAPM i alle perioder, da puster tests på porteføljer igen lidt liv i
idéen om en model, der kan forudsige afkast. Dog ser vi, at β ikke alene forklare afkast, men at størrelsen på virksomheden også spiller en rolle. På baggrund af dette afviser denne test den traditionelle
Sharpe-Lintner CAPM.
24 af 48
5. CAPM, BLOT TEORI?
I kapitel 4 blev der foretaget en empirisk test af CAPM på baggrund af data beskrevet i kapitel 3. De
følgende afsnit vil konfrontere problemer ved denne test og diskutere, hvordan disse problemer påvirker
validiteten af resultaterne opnået i kapitel 4.
5.1. GENERELLE PROBLEMER VED TEST AF CAPM
Ved test af CAPM forudsætter vi, at der er ex ante18 sammenhæng mellem merafkast og β‘er. Dvs., at vi
ønsker, at kunne forudsige merafkast udfra β. Problemet her er, at vi på baggrund af ex post data
forsøger at fremstille en repræsentativ model for fremtidig performance. Tidligere undersøgelser har
vist, at fremtidig afkast er fuldstændig uforudsigeligt (Ackert & Deaves, 2010). I figur 5.1 ses et uddrag
af merafkast måned for måned for fem tilfældigt udvalgte værdipapirer19 i perioden fra januar 1995 til
december 2014. Figuren har til formål at illustrerer, hvor store udsving/afvigelser der kan være i merafkast, hvorfor det kan synes umuligt at forudsige fremtiden.
Figur 5.1: Afvigelser i merafkast over 20 år for fem værdipapirer
!
Note: Hver farve illustrerer ét værdipapir, hvis merafkast følges over en periode på 20 år. Data er baseret på månedlig
merafkast.
Den empiriske test af CAPM foretages udfra tidsseriedata, hvorfra gennemsnitligt merafkast og estimater for β, for hvert værdipapir, beregnes. Når tidsseriedata bliver brugt til at beregne gennemsnitlig
merafkast og β antages det, at CAPM holder over tid, samt at disse vil være stationære over tid (Huang
& Litzenberger, 1988). Som resultaterne fra second-pass regressionerne viste, opnår vi forskellige resultater for gennemsnit merafkast for værdipapirer, porteføljer og markedet samt forskellige resultater for
18
Betragtning, der knytter sig til noget fremtidigt eller forventet i modsætning til ex post, der refererer til situationen, når en begivenhed er
indtrådt (Den Store Danske ordbog).
19
Udvalgt vha. Excel’s SLUMPMELLEM(1;883) funktion.
25 af 48
β-estimater alt efter, om vi regner udfra T = 240, T = 180, T = 120 eller T = 60. Dette har også den indflydelse, at linjen for SML er forskellig over tid. Som konsekvens af dette vil forudsigelser om forventet
fremtidig afkast afhænge af, om vi benytter os at estimater fra tidsserie T = 240, T = 180, T = 120 eller
T = 60, hvilket i teorien burde at være irrelevant. For at CAPM skal holde, skal SML være konstant over
tid, hvorfor det kun er β, som afgører forventet afkastniveau.
CAPM’s manglende evne til at kunne forklare afkast, kan skyldes flere ting. Den første, og nok mest
oplagte er, at der benyttes forkerte proxy’s for markedsporteføljen. Flere teoretikere, deriblandt Roll
(1977) mener, at det er umuligt at foretage en korrekt empirisk test af CAPM, hvorfor man ikke kan
tillade sig af afvise modellens validitet. Han mener, at hvis den rigtige markedsportefølje var valgt, da
ville CAPM/SML holde empirisk. Hvis SML ikke holder, skyldes det, at forskeren ikke benytter sig af
den rigtige markedsportefølje, der som nævnt består af alle mulige investeringsmuligheder i hele verden
(land, råvare, humankapital, aktier, obligationer, etc.). Som konsekvens af dette, vil det heller ikke være
muligt at teste om andre porteføljer skulle være mean-variance efficiente. I sin artikel citerer Roll blandt
andre Pirsig (1974), hvilket meget præcist fortæller hans holdning til empiriske test af CAPM: “If the
horn honks and the mechanic concludes that the whole electrical system is working, he is in deep trouble…”. I denne rapport benyttes NYSE, AMEX, NASDAQ og ARCA som proxy for markedsporteføljen, da den virkelige markedsportefølje er umulig at konstruere. Disse indeks indeholder de fleste
børsnoteret selskaber i USA, men langt fra alle aktiver i hele verden. Ifølge Fama & French (2004) betyder dette, at den empiriske test i kapitel 4, samt alle tidligere test af CAPM, ikke kan fungere som en
test af CAPM, men nærmere som en test på, om proxy’en for markedsporteføljen er efficient, da
samtlige værdipapirer og porteføljer får tildelt deres β-værdi udfra denne. Man kan være tilbøjelig til at
konkludere, at CAPM aldrig er blevet testet, da ingen test har inkluderet alle værdipapirer i den venstre
side af ligning (2.5) samt, at data for markedsporteføljen er uopnåelige.
Et generelt problem som gælder alle testene er, at vi ikke kender de sande β’er men derimod kun estimater. Selvom estimateterne for β under vores first-pass regression er unbiased, da bliver den stadig
målt med fejl. Dette har den konsekvens, at vores OLS-koefficient for 𝜆1 bliver downward biased, og
OLS-koefficient for 𝜆0 bliver upward biased, hvilket betyder, at 𝜆1 muligvis er underestimeret, og at 𝜆0
muligvis er overestimeret (Elton et el., 2011). Hvis vi ser på resultaterne fra tabel 4.2, da ser vi, at 𝜆0 i
alle fire perioder er større end nul, og at 𝜆1 i to af perioderne har en hældning, som er mindre end µm.
Dette kan skyldes tilfældigheder, men som Miller og Scholes (1972) viser i deres test, da er β kun i 64%
af tilfældene sin sande værdi, hvilket har en stor betydning for resultatet af second-pass regresionen.
Der er også nogle økonometriske problemer ved test af CAPM. Den empiriske test er baseret på OLSestimater af α og β. Denne metode giver en højere varians for α og β end f.eks. GLS-metoden. Dette betyder, at test baseret på OLS-estimater vil have en lavere teststyrke end test baseret på GLS-estimater.
En lavere test styrke betyder, at der er større sandsynlighed for, at der opstår en type II fejl20 (Huang &
Litzenberger, 1988).
20
En type II fejl er, når man accepterer H0, selvom denne er forkert (Keller, 2009).
26 af 48
Afslutningsvis skal det nævnes, at udvælgelsesmetoden for data til test på værdipapirer kan skabe problemer med validiteten af testen. Som nævnt består data af virksomheder, som var børsnoteret i hele perioden fra januar 1995 til december 2014. Dette betyder, at konkursramte virksomheder i denne periode
ikke er medregnet i testen, hvilket kan føre til en overestimering af modellen (Cuthbertson & Nitzsche,
2007). Ydermere er virksomheder, der ikke har eksisteret i hele perioden, også blevet ekskluderet fra
testen, hvilket betyder, at nyere børsnoteret virksomheder ikke er medregnet. Dvs., at det kun er gamle
veletableret virksomheder som benyttes i denne test, hvilket naturligvis også skaber problemer for validiteten af testen.
5.2. PORTEFØLJE TEST RESULTATER & SMALL FIRM EFFECT
Testen på porteføljer viste generelt pænere resultater for CAPM end test på værdipapirer. Hvor vores
model kun kunne forklare hhv. 15.42%, 2.88%, 4.70% og 0.16% af sammenhængen mellem risiko og
gennemsnitlig merafkast for værdipapirer, kunne modellen for de ti porteføljer forklare hhv. 55.94%,
73.73%, 68.08% og 61.21%. Derudover kunne der ved test på porteføljer i T = 240 og T = 120 ikke
afvises nogen af de tre hypoteser, hvorfor vi heller ikke kan afvise CAPM for disse perioder. Som den
justerede forklaringsgrad også bevidner, da ser vi i alle perioderne en eller anden form for sammenhæng
mellem gennemsnitlig merafkast og risiko. Man kan undre sig over den store forskel i resultaterne ved
test på porteføljer og test på værdipapirer. En af forklaringerne på dette kan være, at individuelle værdipapirer er meget volatile, hvilket kan føre til fejlestimering af β. Dette problem kan løses ved at maksimere forskelle i gennemsnitlig afkast for hvert værdipapir. På denne måde kan man gruppere værdipapirer efter afkast og ind i porteføljer. Hvis β er normalfordelt, da vil man opnå porteføljer, som giver et
mere præcist billede af β, og hvor afkast bedre kan forklares udfra β. Undersøgelser viser, at man ved at
gruppere værdipapirer efter virksomhedens kapital- eller kurs/indre værdi kan opnå porteføljer, der,
ligesom den empiriske test foretaget i denne rapport, viser, at der er en eller anden form for lineær relation mellem afkast og risiko (Cuthbertson & Nitzsche, 2007), hvilket kan være med til at forklare de
pænere resultater ved test på porteføljer.
Mulige forklaringer på, hvorfor virksomhedens størrelse kan have en indflydelse på afkast, kan skyldes
den såkaldte small firm effect. Small firm effect betyder, at virksomheder med lav kapitalværdi har en
tendens til at have et højere merafkastniveau end virksomheder med høj kapitalværdi. Dette kan skyldes,
at små virksomheder oplever en større vækst end store etableret virksomheder (Elton et al., 2011). Som
resultaterne for testen i afsnit 4.3 viser, da ser vi, at der er en signifikant negativ sammenhæng mellem
porteføljer, som dannet udfra virksomhedens kapitalværdi, og gennemsnitlig merafkast, hvor små virksomheder genererer et højere afkastniveau end store virksomheder. I forbindelse med at inddrage flere
forklarende variable viser nyere undersøgelser også, at værdipapirer med lav mediedækning oplever et
højere afkast end værdipapirer med høj mediedækning (Subrahmanyam, 2010). Fama & French (1993)
har bl.a. taget udgangspunkt i small firm effect, til at udvikle deres tre faktor model. De viser, at man
ved at inddrage flere forklarende variable kan få en højere forklaringsgrad. F.eks. forklarer Fama &
French's (1993) tre faktor model over 90% af afkast, hvor standard CAPM i gennemsnit kun forklarer
27 af 48
70% af afkast. Selvom nyere undersøgelser viser, at tre faktor modellen er domineret af
makroøkonomiske faktorer, benyttes denne model stadig som industristandard i dag (Subrahmanyam,
2010). 5.3. DISKUSSION AF FORUDSÆTNINGER
I afsnit 2.1 blev forudsætningerne for CAPM beskrevet. Disse forudsætninger antages at gælde ved test,
hvilket taler kraftigt imod validiteten af modellen i praksis. Følgende diskuterer de mest relevante
forudsætninger, som kan have en indflydelse på CAPM’s manglende empiriske styrke:
I. Ingen transaktionsomkostninger: Der er som regel altid transaktionsomkostninger forbundet med en
handel. Disse omkostninger kan være høje eller lave alt efter, hvilken investering der fortages. Ved
overtagelse af en virksomhed kan transaktionsomkostningerne f.eks. være rigtig høje. Omkostningerne ved handel med værdipapirer kommer i form af kurtage. Det kan skabe en del kompleksitet
at inkludere transaktionsomkostninger i CAPM ligningen, hvorfor det vil afhænge af transaktionsomkostningens størrelse, om det vil være umagen værd at inkludere den i ligningen (Elton et el.,
2011). Hvor stor indflydelse kurtage har på resultaterne af den empiriske test, kan derfor være svært
at måle. Ikke desto mindre har denne forudsætning en effekt på afkast, hvorfor det vil være forkert
helt at ignorere den.
II. Ubegrænset short selling og ubegrænset ind- og udlån til den risikofrie rente: Ubegrænset short
selling og ubegrænset ind- og udlån til den risikofrie rente vil ikke gælde i den virkelige verden. For
det første vil ubegrænset gearing i form af short selling aldrig blive tilladt. For det andet vil banker
eller real kredit institutter højst sandsynligt ikke gå med til at låne en investor et ubegrænset beløb til
investeringer. For det tredje vil der altid være en eller anden form for risiko forbundet med en investering. Dette gælder også kort- eller langfristede køb af statsobligationer, hvor græske statsobligationer kan stå som eksempel for volatilitet. Hvis det ikke var muligt at foretage short selling og indog udlån til den risikofrie rente, ville investorer i teorien stadig have mulighed for at opnå en meanvariance portefølje på den efficiente rand (Fama & French 2004). Dog vil en udelukkelse af den
risikofrie rente også udelukke den lineære sammenhæng mellem risiko og afkast og derfor også tale
imod Sharpe-Lintner’s version af CAPM.
III. Alle investorer handler rationelt: En anden forklaring på, hvorfor CAPM svigter, kan skyldes, at
modellen simpelthen ikke holder i praksis. Flere faktorer kan spille ind her som f.eks. behavioral
finance. Studier har vist, at investorer ikke altid handler rationelt, men at de derimod er biased og
agerer udfra følelser, illusionen af kontrol eller overdreven optimisme. Disse psykologiske faktorer
har intet med afkast eller risiko at gøre. Undersøgelser har vist, at investorer undervægter negative
markedssignaler og modsat overvægter positive markedssignaler. Dette betyder, at investorerne
f.eks. sælger deres værdipapirer for tidligt, når det går godt, hvilket er et tegn på risikoaversitet, men
derimod vælger at beholde værdipapirer, når det går dårligt (risikosøgende) i troen om, at markedet
nok skal vende eller pga. stolthed eller skam over at familie eller kollegaer kan se, at deres investe-
28 af 48
ring er gået galt. Den samme kontrast mellem risikoaversitet og risikovillighed ses udfra lyset af
tidligere begivenheder. Hvis man tidligere har tjent penge på værdipapirer, har man en tendens til at
øge sin risikotolerance, da man nu har mulighed for at “spille med penge”, som man ikke havde før.
Denne tendens kaldes house money-effekten (Ackert & Deaves, 2010).
En anden behavioral finance effekt, der er relevant at fremhæve, er chasing winners-effekten, hvor
medierne spiller en stor rolle. Et Wall Street ordsprog i slut 70’erne sagde, at “man ikke kunne blive
fyret for at købe IBM aktier”. Frygten for f.eks. at blive fyret spiller derved en stor rolle for investeringsbeslutningen. Undersøgelser viser, at investorer på baggrund af denne frygt er tilbøjelige til at
investerer i virksomheder, der får positiv mediedækning frem for virksomheder, som medierne
dømmer til at være ude af kampen. Investerer man i sidstnævnte og taber penge, ser det skidt ud for
karrieren, hvorimod, hvis man taber penge på førstnævnte, da fulgte man bare strømmen. Dette ses
også på det krævede afkastniveau. Investorer ønsker en højere risikopræmie for at investerer i virksomheder med dårlig medieomtale på trods af, at de har den samme β som virksomheder, der modtager positiv omtale. For at sikre fremtidig karriere betyder dette også, at investorer generelt er villige til at acceptere et lavere afkastniveau på trods af den samme risiko, hvilken bryder forudsætningerne for CAPM (Hillier et al., 2012).
5.4. AFSLUTTENDE DISKUSSION
Som skrevet tidligere, er der igennem tiden fortaget utallige undersøgelser på CAPM, hvor der ifølge
Subrahmanyam (2010) er fundet mere end halvtreds variable, som kan forklare afkast ved en secondpass regression foretaget af samme dataindeks, som benyttes i denne rapport. Det kan diskuteres, om
alle disse faktorer rent faktisk forklarer afkast. I denne sammenhæng er begrebet data snooping meget
sigende. Data snooping betyder, at man finder en signifikant sammenhæng mellem datasættet, og hvad
der ønskes undersøgt; ikke fordi, der nødvendigvis er en kausal sammenhæng mellem disse, men derimod blot pga. tilfældigheder. Subrahmanyam (2010) mener, at forskning indtil videre viser et utilfredstillende billede af forklarende variable, og at forskerer har en manglende evne til at forstå, hvilke variable der er robuste, og hvilke der ikke holder. Det er vigtigt at huske på, at det altid er muligt at finde en
korrelation i data blot pga. tilfældigheder. For at undersøgelser skal gælde, bliver de nødt til at holde
over tid (Ackert & Deaves, 2010).
Videnskaben er blevet så fokuseret på at afvise CAPM, at fokus nu primært ligger i at finde alternativer,
som kan forklare afkast. Dempsey (2013a) mener, at de empiriske beviser mod CAPM efterhånden er så
mangfoldige og overbevisende, at det er på tide, at teorien om CAPM droppes og udskiftes med alternativer. Derudover citerer Dempsey (2013a) Robert Shiller, som mener, at databaser, som CRSP, har bevirket, at økonomer er blevet forledt til at tro, at finansiering er et videnskabeligt felt, og at traditionelle
idéer om investering og finansielle markeder derved er forældet. I en videre diskussion er Dempsey
(2013b) enig med Akerlof & Shiller (2009) om, at økonomer er blevet ført på vildspor af imponerende
matematik, som de tog for sand. Finanskrisen blev konsekvensen af troen om, at markeder ikke kan fejle, og at finansiering er som fysik. Dvs. en videnskab, der kan lave pålidelige prædiktive modeller. I for29 af 48
længelse af dette mener Dempsey (2013a), at hvis man havde lyttet til historien, da ville man bedre
kunne have forudset finanskrisen.
Den empiriske test, foretaget i denne rapport, viser, at β ikke kunne forklare afkast samt, at resultatet på
testen kunne påvirkes ved at inddrage størrelse som en forklarende variabel. Den overordnede konklusion blev derfor, at den traditionelle CAPM afvises. Dette betyder dog ikke, at CAPM skal forkastes
som et værktøj og et hjælpemiddel til at forstå afkast og markeder. Konsekvensen ved at have nogle urealistiske forudsætninger er måske ikke helt så store, hvis man benytter CAPM som (hvad det virker til at
være) en teoretisk model istedet for at benytte CAPM som “facts”. CAPM kan derved bruges sammen
med f.eks. behavioral finance teorier, som et hjælpemiddel, til at beskrive, hvad der måske kan ske i den
virkelige verden. Derved ikke sagt, at CAPM ikke har nogen chance for at holde under de rigtige
betingelser og test.
Hvis det antages, at CAPM forkastes, og at verdenen står uden en aktieprisfastsættelsesmodel, da ville
vi opleve et marked, hvor aktiekurser generelt reagerer positivt på gode nyheder og negativt på dårlige
nyheder. Dvs., at markedsstemningen, som før CAPM, vil spille en rolle, som kan føre til booms og
busts. Konsekvenserne ved ikke at have en videnskabelig model af aktiepriser er dog, at det ikke længere vil være muligt at foretage udledninger af f.eks. den relevante diskonteringsfaktor til værdiansættelse af pengestrømme. Dette vil, ifølge Dempsey (2013a), medføre, at en upræcis videnskab bliver endnu mere upræcis, hvilket kan være til skade for fagfolk og deres ekspertise. Ikke desto mindre skal man
prøve at forstå markeder på markedets egne præmisser og ikke på fagfolks. Dette betyder dog ikke, at
man helt skal droppe investeringsmodeller og matematik, men blot huske på, at markeder agerer ud fra
faktorer, som f.eks. behavioral finance, og som ikke kan tilskrives en100% korrekt matematisk formel.
5.5. VIDERE UNDERSØGELSER
Som Roll (1977) mener, da vil man aldrig kunne teste CAPM, da den virkelige markedsportefølje ikke
er kendt. Hvis der derfor skal foretages videre undersøgelser, handler det om at finde metoder til teststatistikker, dataudvælgelse og porteføljesammensætning, som giver det mest korrekte billede af virkeligheden. Da den traditionelle Sharpe-Lintner version af CAPM viser svage empiriske resultater, vil flerfaktor modeller eller alternative aktieprisfastsættelsesmodeller, som APT, være at foretrække til at foretage test på. Derudover vil mere kompliceret videreudviklinger af CAPM, som Merton’s (1973)
ICAPM, være interessant at se nærmere på. Til videre undersøgelser kunne det være spændende at foretage en GRS test, som er en videreudvikling af Wald’s test, da denne test kun behøver et begrænset/endeligt mængde af data, samt giver et mere eksakt resultat (Campbell et al., 1997).
Som afsluttende kommentar er det værd at tage i betragtning, at når man f.eks. flipper en mønt, er der
50/50 chance for, at mønten lander på krone. I teorien vil mønten derfor lande på krone hver anden
gang, man flipper den. Dette er som bekendt ikke altid tilfælde. Der kan måske gå tyve forsøg, før mønten endelig lander på krone. Dette betyder dog ikke, at teorien ikke er sand. Det kræver blot en ihærdig
sjæl, der er villig til at flippe mønten nok gange til at bevise teorien rigtig.
30 af 48
6. KONKLUSION
CAPM havde sin guldalder i starten af 70’erne, hvorefter den, til trods for sin generelle teoretiske accept, har mødt megen kritik for sin ringe empiriske resultater. Der er efterfølgende blevet lavet adskillelige videreudviklinger af CAPM, som vha. flere forklarende variable forsøger at forklare afkast.
CAPM bygger på nogle kraftige antagelser, som kan være med til at forklare dens empiriske underlegenhed. Derudover benyttes proxy’s for den risikofrie rente samt markedsporteføljen, hvilket ifølge
Fama & French (2004) har den konsekvens, at det ikke er CAPM der testes på, men derimod om
markedsporteføljen er efficient. Roll (1977) går så langt som at sige, at det aldrig vil være muligt at teste
CAPM korrekt, da det er umuligt at opnå markedsporteføljen.
De empiriske resultater, fundet ved t-test på værdipapirer i denne rapport, taler i alle fire perioder imod
CAPM. Dog skal det nævnes, at der over tid opstår en eller anden form for positiv lineær sammenhæng
mellem risiko og afkast. T-test på porteføljer viser nogle pænere resultater for CAPM. Ved test på porteføljer kunne der i perioderne T = 240 og T = 120 ikke afvises nogen af de tre hypoteser, hvorfor vi heller
ikke kan afvise CAPM for disse perioder. Dog afvises CAPM i T = 180 og T = 60. I alle perioderne ses
en lineær sammenhæng mellem risiko og afkast og med en langt højere forklaringsgrad end ved test på
værdipapirer. Derudover ser vi, at faktoren “størrelse” har en indvirkning på testen, hvilket kan være
med til at forklare de pænere resultater ved test på porteføljer. Små virksomheder har en tendens til at
skabe højere afkast end større virksomheder, hvilket kan skyldes, at de oplever en højere vækstrate end
store virksomheder. Selvom resultaterne for test på porteføljer kan være med til at give en smule håb for
CAPM, da burde test på værdipapirer have vist de sammen resultater som test på porteføljer for at
CAPM skulle gælde. Sharpe-Lintner’s CAPM siger, at β alene skal forklare afkast. Undersøgelser viser,
at mange andre faktorer spiller ind og nyere undersøgelser viser også, at psykologiske faktorer som
følelser spiller en stor rolle ved køb og salg af værdipapirer. På baggrund af den empiriske test bliver
den overordnede konklusion at den traditionelle CAPM afvises, da β alene ikke kan forklare afkast, men
derimod er afhængig af andre forklarende variable som f.eks. størrelsen på virksomheden.
Kritikere af CAPM mener, at databaser, som CRSP, har bevirket, at økonomer er blevet forledt til at tro
at finansiering er et videnskabeligt felt, og at økonomer er blevet ført på vildspor af imponerende
matematik, som de tog for sand.
CAPM er en teoretisk model, hvorfor det strengt taget kan synes muligt at teste på modellen. Dette har
ledt til mangt og megen diskussion om CAPM’s troværdighed og fremtid som finansielt værktøj. Når
dette er sagt, er det umuligt at komme udenom CAPM’s imponerende teori, og at så kompleks matematik kan ende ud i en så relativt enkel og elegant ligning.
Afslutningsvis citeres Albert Einstein:
“If you are out to describe the truth, leave elegance to the tailor” Albert Einstein
31 af 48
7. LITTERATURLISTE
Ackert, L.F., and R. Deaves. 2010. Behavioral finance : psychology, decision-making, and markets
(Mason, OH: South-Western Cengage Learning)
Black, F. 1972. 'Capital market equilibrium with restricted borrowing', The journal of business, 45:
444-455
Black, F., Jensen, M.C., and Scholes, M. 1972. The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests,
Praeger, New York, 79-121
Campbell, J.Y., A.W. Lo, and A.C. MacKinlay. 1997. The econometrics of financial markets (Princeton,
New Jersey: Princeton University)
Cochrane, J.H. 2005. Asset pricing (Princeton, NJ: Princeton University Press)
Cuthbertson, K., and D. Nitzsche. 2007. Quantitative financial economics : stocks, bonds and foreign
exchange (Chichester: Wiley)
Dempsey, M. 2013a. 'The capital asset pricing model (CAPM): the history of a failed revolutionary idea
in finance?', Abacus, 49: 7-23
Dempsey, M. 2013b. 'The CAPM: A Case of Elegance is for Tailors?', Abacus, 49: 82-87
Den Store Danske ordbog, http://www.denstoredanske.dk
Elton, E.J., M.J. Gruber, S.J. Brown, and W.N. Goetzmann. 2011. Modern portfolio theory and
investment analysis (Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons)
Fama, E.F., and K.R. French. 1993. 'Common risk factors in the returns on stocks and bonds',
J.Financ.Econ., 33: 3-56
Fama, E.F., and K.R. French. 2004. 'The capital asset pricing model : theory and evidence', The Journal
of Economic Perspectives, 18: 25-46
Fama, E.F., and J.D. MacBeth. 1973. 'Risk, return, and equilibrium : Empirical tests', The journal of
political economy, 81: 607-636
Hillier, D., M. Grinblatt, and S. Titman. 2012. Financial markets and corporate strategy (New York:
McGraw-Hill Higher Education)
Huang, C., and R.H. Litzenberger. 1988. Foundations for financial economics (New York: NorthHolland)
Keller, G. 2009. Managerial statistics (Mason, Ohio: South-Western)
Markowitz, H. 1952. 'Portfolio selection', The Journal of Finance, 7: 77
32 af 48
Markowitz, H.M. 1959. Portfolio selection : Efficient diversification of investments (New York,
London)
Roll, R. 1977. 'A critique of the asset pricing theory's tests', J.Financ.Econ., 4: 129-176
Sharpe, W.F. 1964. 'Capital asset prices : a theory of market equilibrium under condition of risk', The
journal of finance, 19: 425-442
Subrahmanyam, A. 2010. 'The cross-section of expected stock returns : what have we learnt from the
past twenty-five years of research?', European financial management, 16: 27-42
Sydsæter, K., and P. Hammond. 2008. Essential mathematics for economic analysis (Harlow: FT
Prentice Hall)
Tobin, J. 1958. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk (Oxford University Press)
WRDS, https://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/
33 af 48
8. BILAG
BILAG 1: BEREGNINGER AF AFKAST, GENNEMSNITLIG AFKAST & STANDARDAFVIGELSE
Tabel 1: Årligt afkast på værdipapir 1 & 2
År
Årligt afkast på
værdipapir 1
Årligt afkast på
værdipapir 2
Årligt afkast på
værdipapir 1
(80%) &
værdipapir 2
(20%)
1
-0.0650
-0.4570
-0.1434
2
0.2380
0.1070
0.2118
3
-0.0780
-0.4240
-0.1472
4
-0.0770
-0.1890
-0.0994
5
-0.1870
0.6370
-0.0222
6
0.1560
0.8650
0.2978
7
0.3510
0.3130
0.3434
8
0.2330
0.6370
0.3138
9
0.3490
0.3730
0.3538
10
-0.2090
-0.0370
-0.1746
11
0.3550
0.0260
0.2892
12
-0.2310
0.1530
-0.1542
13
0.2460
0.0670
0.2102
14
-0.2480
0.5790
-0.0826
15
-0.0640
0.0400
-0.0432
16
0.0790
0.4340
0.1500
17
0.0670
-0.0270
0.0482
18
0.0770
0.4690
0.1554
Tabel 2: Gennemsnitlig afkast & standardafvigelse på afkast
Gennemsnitlig
afkast
værdipapir 1
Standardafvigel
se af afkast på
værdipapir 1
Gennemsnitlig
afkast
værdipapir 2
Standardafvigel
se af afkast på
værdipapir 2
Gennemsnitlig
afkast
værdipapir 1
(80%) & 2
(20%)
standardafvigels
e af afkast på
værdipapir 1
(80%) & 2
(20%)
0.0551
0.2090
0.1981
0.3680
0.0837
0.1942
34 af 48
BILAG 2: UDLEDNING AF MARKOWITZ’S EFFICIENTE RAND
Den efficiente rand bliver udledt udfra porteføljernes forventede afkast, varians og kovarians, samt udfra antagelsen om, at investorer ønsker at maksimere afkast og minimere risiko.
Det forventede afkast af porteføljen bliver beregnet som:
N
! E p = ∑ xi µi = ⎡ x1
⎣
i=1
x2
⎡
⎢
… xn ⎤ ⎢
⎦⎢
⎢
⎢⎣
µ1 ⎤
⎥
µ2 ⎥
! ⎥
⎥
µn ⎥
⎦
(1)
og variansen af afkastet bliver beregnet som:
N
N
! σ 2p = ∑ ∑ xi x jσ ij = ⎡ x1
⎣
i=1 j=1
x2
⎡ σ 11 σ 12
⎢
σ
σ 22
… xn ⎤ ⎢ 21
⎦⎢ !
!
⎢
⎢⎣ σ n1 σ n2
… σ 1n ⎤ ⎡
⎥⎢
… σ 2n ⎥ ⎢
" ! ⎥⎢
⎥⎢
… σ nn ⎥ ⎢
⎦⎣
x1 ⎤
⎥
x2 ⎥
! ⎥
⎥
xn ⎥
⎦
(2)
Hvor Ep er det forventede afkast for porteføljen, σ2 er variansen for porteføljen, xi er vægten af det i’te
aktiv, xj er vægten af det j’te aktiv, µi er det forventede afkast af det i’te aktiv, µj er det forventede afkast
af det j’te aktiv, og σij er kovariansen mellem det i’te og det j’te aktiv (Markowitz, 1959).
Vi starter med at omskrive ligning (2). Række vektoren [1 x N] betegnes som XT, kolonne vektoren
[N x 1] betegnes som X og kovariansen matricen [N x N] betegnes som Ω, da får vi:
! σ 2p = ⎡ x1
⎣
x2
⎡ σ 11 σ 12
⎢
σ
σ 22
… xn ⎤ ⎢ 21
⎦⎢ !
!
⎢
⎢⎣ σ n1 σ n2
… σ 1n ⎤ ⎡
⎥⎢
… σ 2n ⎥ ⎢
" ! ⎥⎢
⎥⎢
… σ nn ⎥ ⎢
⎦⎣
x1 ⎤
⎥
x2 ⎥
= X T ΩX
⎥
!
⎥
xn ⎥
⎦
(3)
Dvs. at en given portefølje A eksempelvis har en varians på !σ A2 = X AT ΩX A , og en given portefølje B har
en varians på ! σ B2 = X BT ΩX B . Kovariansen mellem portefølje A og B vil dermed være ! X AT ΩX B .
Da Markowitz antager, at man ikke kan låne penge eller sælge værdipapirer, som man ikke selv ejer, vil
T
summen af vores vægte, XT, være lig med 1, hvor 1 = ⎡ 1 1 … 1 ⎤ enhedsvektor.
⎣
⎦
35 af 48
T
Derudover har vi en gennemsnitsvektor ! µ = ⎡ µ1 µ2 … µn ⎤ , som er gennemsnittet af kolonne
⎣
⎦
vektoren [N x 1] i (1). Dermed kan ligning (1) omskrives til:
! E p = ⎡ x1
⎣
x2
⎡
⎢
⎤
… xn ⎢
⎦⎢
⎢
⎢⎣
µ1 ⎤
⎥
µ2 ⎥
= XT µ = µp
⎥
!
⎥
µn ⎥
⎦
(4)
Vi har nu alle nødvendige redskaber til at bestemme minimum-variance porteføljen (Markowitz, 1959).
Da vi ønsker at opstille et optimeringsproblem benyttes “Lagrange Multiplier” metoden (Sydsæter &
Hammond, 2008):
1
! min X T ΩX
X 2
under bibetingelse af:
! XT = 1 T
!X µ=µ
Der minimeres med hensyn til halvdelen af porteføljevariansen i stedet for hele variansen, da dette giver
pænere værdier. Løsningen for optimeringsproblemet forbliver dog den samme, da det kun er skalaen,
som ændres.
Ved minimering af variansen kan vi finde det punkt, hvor ethvert forventet afkast har den mindst mulige
varians, som også udgøre den efficiente rand i figur 2.2. Som nævnt fortæller den første bibetingelse, at
porteføljens vægte summeret skal være lig med 1, da man ikke kan låne penge eller sælge værdipapirer,
som man ikke selv ejer. Den anden bibetingelse fortæller, at det forventede afkast for porteføljen skal
være lig med det ønskede afkast for porteføljen.
Vi opstiller nu vores Lagrange funktion:
!L=
1 T
X ΩX − λ1 ( X T − 1) − λ2 ( X T µ − µ )
2
36 af 48
(5)
Ved at løse Lagrange funktionen kan vi opstille den portefølje, der giver den mindst mulige varians ved
et givet forventet afkast µp, samt finde den optimale vægt for porteføljen. Der differentieres derfor i
(6)
forhold til X og sættes lig 0:
!
∂L
= XΩ − 1λ1 − λ2 µ = 0
∂X
Vi isolerer nu (6) med hensyn til porteføljens vægt X, og får derved den optimale porteføljevægt:
! X* =
1λ1 + λ2 µ
Ω
⇔
X * = (1λ1 + λ2 µ ) Ω −1
⇔
X * = 1λ1Ω −1 + λ2 µΩ −1
(7)
Der tages nu højde for vores to bibetingelser. Først ganges (7) igennem med 1T og dernæst µT:
! X1T = 1λ1Ω −11T + λ2 µΩ −11T
⇔
1 = λ11Ω −11T + λ2 µΩ −11T
(8)
! µ T X = 1λ1Ω −1µ T + λ2 µΩ −1µ T
⇔
µ = λ11Ω −1µ T + λ2 µΩ −1µ T
(9)
Vi kan nu omskrive (8) og (9), da følgende A, B, og C er scalar matricer:
! A = 1Ω −11T ! B = µΩ −11T ! C = µΩ −1µ T
!⇒
1 = λ1 A + λ2 B (10)
!⇒
µ = λ1 B + λ2C
(11)
Vi løser nu (10) og (11) som to ligninger med to ubekendte:
!
! 1 = λ1 A + λ2 B
⇔
λ1 =
1− λ2 B
A
(12)
! µ = λ1 B + λ2C
⇔
λ1 =
µ − λ2C
B
(13)
1− λ2 B µ − λ2C
=
A
B
⇔
⎛
⎛ Aµ − B ⎞ ⎞ −1
C B
! λ1 = ⎜ µ − ⎜
⎝ AC − B 2 ⎟⎠ ⎟⎠
⎝
37 af 48
λ2* =
⇔
Aµ − B
AC − B 2
λ1* =
C − Bµ
AC − B 2
(14)
(15)
Vi kan nu opstille den portefølje, der giver den mindst mulige varians ved et givet forventet afkast ved at
indsætte (7), (14) og (15) i (3):
Aµ 2 − 2Bµ + C
⎛ ⎛ C − Bµ ⎞ −1 ⎛ Aµ − B ⎞
−1 ⎞
Ω
+
µ
Ω
=
! σ 2p = X *T ΩX * = X *T Ω ⎜ 1 ⎜
⎜⎝
⎟
⎟⎠
⎝ ⎝ AC − B 2 ⎟⎠
AC − B 2 ⎠
AC − B 2
(16)
Ligning (16) viser os Markowitz’s efficiente rand. Dvs. alle mulige portefølje valg, der ved et givet forventet afkast også opfylder kravet om den mindste risiko samt, at vi har fundet den optimale vægt (7)
for vores portefølje. Ydermere kan vi, ved at differentiere (16) med hensyn til µ, finde den sammensætning af værdipapirer for porteføljen, der giver den globale minimum-variance portefølje:
!
∂σ 2p 2Aµ p − 2B
=
=0
∂µ p
AC − B 2
(17)
Udfra (17) isoleres µp, og vi får:
! µp =
B
A
(18)
! σ 2p =
1
A
(19)
Når vi indsætter (18) i (16), får vi:
Udfra (18) og (19) kan vi definere, at porteføljer med et forventet afkast, som er større eller lig med det
forventede afkast for den globale minimum-variance portefølje, er en efficient portefølje.
Porteføljer, der ligger nord for det globale minimum punkt, samt opfylder kravet om at ligge på den efficiente rand, vil have det højeste forventede afkast af alle porteføljer (µ*p > µp), som har en mindre vari2
ans (! σ *2
p < σ p ) end denne (Cuthbertson & Nitzsche, 2007 ; Campbell et al., 1997).
Markowitz’s efficiente rand er nu udledt. Derudover er den efficiente rand og risiko defineret samt,
hvordan risiko minimeres udfra et ønsket afkastniveau. Den optimale portefølje vælges derfor med behørigt hensyn til diversifikation samt ved udvælgelse af den optimale kombination af værdipapirer.
38 af 48
BILAG 3: UDLEDNING AF CAPITAL MARKET LINE
Hvis vi forestiller os en given portefølje A med vægten XT for den risikofrie investering, da må vægten
for den risikofyldte investering, alt andet lige, være 1 – XT. Det forventede afkast for portefølje A vil
derfor være:
(
)
T
T
! µ A = X rf + 1− X µ
(1)
Hvor rf er afkastet på den risikofrie investering og µ er det gennemsnitlige afkast for de risikofyldte investeringer.
Hvis vi placerer hele vores formue i den risikofrie investering, da vil XT = 1. Hvis vi derimod placerer
hele vores formue i den risikofyldte investering, da vil XT = 0. Hvis vi låner penge for at kunne købe
flere risikofyldte værdipapirer, da vil 1 – XT > 1, hvilket betyder, at XT kan antage en negativ værdi
(Sharpe, 1964).
Før vi går i gang med udledningen af CML, antager vi, i modsætning til (1), at 1 – XT er lig med andelen
af investors formue investeret i de risikofrie aktiver rf.
Vi opstiller (som i bilag 2) en Lagrange funktion med henblik på at minimere variansen for et givet forventet afkast blot med den bibetingelse, at porteføljens forventede afkast nu også afhænger af muligheden for at investere i risikofrie aktiver:
1
! min X T ΩX
X 2
under bibetingelse af:
(
)
! µ p = X T µ + 1− X T 1 rf
Vores Lagrange funktion bliver dermed:
!L =
1 T
X ΩX − λ ⎡⎣ X T µ + (1− X T 1) rf − µ p ⎤⎦
2
(2)
Ved at differentierer (2) med hensyn til X og λ og derefter sætter lig nul, får vi:
∂L
= XΩ − λµ + λ rf 1 = 0
∂X
(3)
∂L
= − X µ − rf + rf X1 + µ p = 0
∂λ
(4)
!
!
Når vi isolerer (3) i forhold til X, fåes:
(
)
*
−1
! X = µ − rf 1 λΩ
39 af 48
(5)
(4) omskriver vi til:
! X µ − rf X1 = µ p − rf
(
X µ − rf 1
⇔
)
T
= µ p − rf
(6)
For at kunne eliminere λ i senere udregninger indsættes (5) i (6) og omskrives:
(
)
(
)
!⇔
λ µΩ −1µ T − 2rf µΩ −11T + rf2 1Ω −11T = µ p − rf
! µ − rf 1 λΩ −1 µ − rf 1
T
= µ p − rf
(
)
λΩ −1 µµ T − 2 µrf 1T + rf2 11T = µ p − rf ⇔
(
)
(7)
Vi kan nu omskrive (7) ved at benytte samme metode, som i udledningen af Markowitz’s efficiente
rand, da følgende A, B, og C er scalar matricer:
! A = 1Ω −11T ! B = µΩ −11T ! C = µΩ −1µ T
(
)
! λ C − 2rf B + rf2 A = µ p − rf
(8)
Ved at indsætte X* (5) i vores oprindelige ligning for variansen (2.2), da får vi:
(
)
(
)
! σ 2p = X *T ΩX * = X *T Ω µ − rf 1 λΩ −1 = λ X *T µ − X *T rf 1 (
)
T
! = λ ⎡ X * µ − rf 1 ⎤
⎣
⎦
(9)
Som et videre mål for at eliminere λ, udskiftes den venstre side af ligningen i (6) med den højre side.
Denne indsættes i (9):
(
)
(
T
*
! λ ⎡ X µ − rf 1 ⎤ = λ µ p − rf
⎣
⎦
)
(10)
Ved at indsætte venstre side af (8) i (10) og isolerer for λ, får vi:
(
)
(
)
! λ µ p − rf = λ ⎡⎣ λ C − 2rf B + rf2 A ⎤⎦
40 af 48
⇔
λ=
µ p − rf
C − 2rf B + rf2 A
(11)
λ indsættes nu i (10), da (10) som vist er lig med ! σ 2p . Dette giver os forholdet mellem risiko og forventet afkast:
⎛
⎞
µ p − rf
! σ 2p = λ µ p − rf = ⎜
µ p − rf 2 ⎟
⎝ C − 2rf B + rf A ⎠
(
)
!=
(
(µ
p
− rf
)
)
2
(12)
C − 2rf B + rf2 A
Ligning (12) isoleres i forhold til µp, hvorefter vi tager kvadratroden af denne på begge sider af lighedstegnet. Derved fås linjen, hvorved vi opnår vores minimum-variance porteføljer:
(
! µ p − rf
)
2
=σ
2
p
(C − 2r B + r A )
f
!⇔
(
)
1
2
µ p − rf = ± C − 2rf B + r A σ p ⇔
2
f
(
)
2
f
1
µ p = rf ± C − 2rf B + rf2 A 2 σ p
(13)
(13) angiver den efficiente linje, som også er en anden måde at skrive CML. Denne linje repræsenterer
alle mulige efficiente porteføljer bestående af en given andel af risikofrie- og risikofyldte værdipapirer.
Porteføljer der ikke ligger på denne linje er, ligesom med Markowitz’s efficiente rand, ikke en optimal
portefølje. Udfra minus fortegnet i (13) må vi konkludere, at vi også har en negativ hældende linje, som
er skråt hældende mod sydøst, men med forudsætningen om, at investorer ønsker at maksimere forventet afkast og minimere risiko, da vil linjen nordøst altid være at foretrække.
For at finde det forventede afkast for markedsporteføljen sættes Markowitz’s efficiente rand (ligning 16
i bilag 2) lig med variansen for den efficiente linje, CML (12). Derefter isoleres ligningen med hensyn
til det forventede afkast:
(
)
2
µm − rf
Aµ m2 − 2Bµ m + C
=
!
AC − B 2
C − 2rf B + rf2 A
µm =
⇔
Brf − C
Arf − B
(14)
For at finde den medfølgende risiko for markedsporteføljens forventede afkast indsættes (14) i (12):
(
)(
)
2
⎡ Br − C Ar − B −1 − r ⎤
f
f
⎣ f
⎦ = Arf − 2Brf + C
2
!σ m =
2
2
C − 2rf B + rf A
B − Arf
41 af 48
(
)
(15)
Vi har nu fundet det punkt (σm ; µm), hvor CML tangerer Markowitz’s efficiente rand. Udfra konklusionen om at CML skærer y-aksen i punktet (0 ; rf) og vha. ligningen for hældningskoefficienten, a, er det
muligt at omskrive (14) og (15) til hældningen for CML:
y −y
!a= 2 1
x2 − x1
⇔
a=
( Br
f
(
)(
− C Arf − B
)(
)
−1
Arf − 2Brf + C ⎡ B − Arf
⎣
− rf
)
−1
⎤ −0
⎦
2
⇔
a=
µm − rf
σm
(16)
Vi kan nu skrive formlen for CML, som vi kender den i dag:
! µ p = rf +
µm − rf
σp
σm
(17)
Indtil nu har vi fundet den efficiente linje, CML, hældningen på denne, samt punktet, hvor CML tangerer Markowitz’s efficiente rand i form af markedsporteføljen. Vi kan nu beregne den optimale markedsporteføljevægt ved at indsætte (14) i (11), som så indsættes (15):
)(
)(
)
!⇔
X =
⎡ Br − C Ar − B −1 − r
f
f
f
! X = µ − rf 1 ⎢
2
C − 2rf B + rf A
⎢
⎣
*
m
(
*
m
⎤
⎥ Ω −1
⎥
⎦
(
Ω −1 µ − rf 1
1 Ω
T
−1
(Campbell et al., 1997 ; Cuthbertson & Nitzsche, 2007).
42 af 48
(
⇔
)
µ − rf 1
)
X m* =
(
Ω −1 µ − rf 1
B − Arf
)
(18)
BILAG 4: UDLEDNING AF SHARPE-LINTNER’S CAPM
Sharpe (1964) skriver, at eftersom alle investorer ønsker at holde markedsporteføljen, vil det dermed
også betyde, at alle investorer ønsker den samme kombination af værdipapirer. Den høje efterspørgsel
på disse værdipapirer vil resultere i, at priserne på disse vil stige. Da priserne stiger, samt at værdipapirernes forventede afkast er forbundet med den fremtidige fortjeneste af nutidens pris, vil det forventede
afkast falde, hvilket gør, at vi vil rykke langs SML og væk fra det optimale tangent punkt (markedsporteføljen). Derimod vil priserne på værdipapirer, som ikke ligger i punktet for markedsporteføljen
falde, hvilket betyder, at det forventede afkast for disse vil stige. Der sker dermed en konstant udskiftningsproces, hvilket kan formuleres som:
! µ p = X µi + (1− X ) µ m
(1)
Ligning (1) viser, at det forventede afkast for porteføljen er lig med andelen af en investors formue investeret i det forventede afkast for værdipapir i plus den tilbageværende formue investeret i det forventede afkast for markedsporteføljen. Omskrives (1) får man:
! µ p = X ( µi − µ m ) + µ m
(2)
Standardafvigelsen for denne portefølje vil være:
1
2
! σ p = ⎡⎣ X 2σ i2 + (1− X ) σ m2 + 2X (1− X )σ im ⎤⎦ 2
(3)
Med antagelsen om, at vi ønsker en portefølje, der er lig med markedsporteføljen, betyder dette, at hele
formuen skal placeres i markedsporteføljen og intet i værdipapir i. X vil derfor være lig nul, hvilket giver et forventet afkast og tilhørende standardafvigelse på:
! µ p = 0 ( µi − µ m ) + µ m
! σ p = ⎡⎣ 0 ⋅ σ + (1− 0 ) σ + 2 ⋅ 0 (1− 0 )σ im ⎤⎦
2
2
i
µ p = µm
⇔
2
m
1
2
⇔
σ p =σm
Dette er, som tidligere forklaret, ikke overraskende. Hvad vi er interesseret i at vide nu er, hvilken betydning det har, at vi har inkluderet værdipapir i. Vi differentierer derfor (2), µp, i forhold til X:
!
∂µ p
= µi − µ m
∂X
(4)
Ligeså differentierer vi (3),σp , i forhold til X:
!
∂σ p Xσ i2 + σ im (1− 2X ) + σ m2 ( X − 1)
=
∂X
σm
43 af 48
(5)
Hvis vi antager, at hele vores formue skal placeres i markedsporteføljen, får vi ud fra (4) og (5):
∂µ p
= µi − µ m (ingen ændring)
∂X
(6a)
∂σ p 0 ⋅ σ i2 + σ im (1− 2 ⋅ 0 ) + σ m2 ( 0 − 1) σ im − σ m2
=
=
∂X
σm
σm
(6b)
!
!
Vi ønsker at se, hvordan denne nye portefølje bliver påvirket af risiko. Dette gøres ved at differentiere
(6a) med hensyn til (6b):
∂µ p
! ∂X
∂µ p
µi − µ m
=
=
∂σ p ∂σ
(σ im − σ m2 )σ m−1
p
∂X
(7)
(7) viser hældningen på vores nye markedsportefølje. Vi ønsker nu at differentiere CML (ligning 2.4)
med hensyn til σp, da vi på den måde opnår hældningen på CML:
!
∂ µ p µ m − rf
=
∂σ p
σm
(8)
Ud fra disse beregninger kan vi se, at hældningen på CML (7) og (8) må være lig hinanden:
!
µm − rf
µi − µ m
=
σm
(σ im − σ m2 )σ m−1
(9)
Hvis vi isolerer (9) i forhold til µi, fåes ligningen for CAPM:
! µi = rf +
σ im
µ − r = rf + βi µm − rf
σ m2 m f
(
)
(
)
(10)
Hvor βi er kovariansen mellem det forventede afkast for værdipapir i og markedsporteføljen sat i forhold
til variansen for markedsporteføljen (Sharpe, 1964).
44 af 48
BILAG 5: HISTOGRAM AF GENNEMSNITLIG MERAFKAST & SCATTERPLOT AF RESIDUALER
Figur 1: Histogram af gennemsnitlig merafkast & scatterplot af residualer for for T = 240 for værdipapirer
!
!
!
Figur 2: Histogram af gennemsnitlig merafkast & scatterplot af residualer for for T = 180 for værdipapirer
!
45 af 48
Figur 3: Histogram af gennemsnitlig merafkast & scatterplot af residualer for for T = 120 for værdipapirer
!
!
!
Figur 4: Histogram af gennemsnitlig merafkast & scatterplot af residualer for for T = 60 for værdipapirer
!
46 af 48
Figur 5: Histogram af gennemsnitlig merafkast & scatterplot af residualer for for T = 240 for porteføljer
!
!
!
Figur 6: Histogram af gennemsnitlig merafkast & scatterplot af residualer for for T = 180 for porteføljer
!
47 af 48
Figur 7: Histogram af gennemsnitlig merafkast & scatterplot af residualer for for T = 120 for porteføljer
!
!
!
Figur 8: Histogram af gennemsnitlig merafkast & scatterplot af residualer for for T = 60 for porteføljer
!
48 af 48