Analiza-na-rozmaitos..

Analiza na rozmaitościach
Jan Kubarski
Politechnika ×ódzka, Instytut Matematyki
June 26, 2012
Spis treści
1 Analiza funkcji wielu zmiennych - co najwaz·niejsze na razie
4
2 Rozmaitości topologiczne i róz·niczkowe, mapy i atlasy - de…nicje
5
3 Elementarne przyk÷
ady
9
4 Sklejanie rozmaitości
12
5 Hiperpowierzchnie
15
6 Odwzorowania g÷
adkie miedzy
¾
rozmaitościami
20
7 Zbiory mierzalne na rozmaitości, miara i ca÷
ka Lebesque’a na hiperpowierzchni
21
8 Przeciwobraz wartości regularnej
24
9 Grupy Liego
28
9.1 De…nicja i wstepne
¾
w÷
asności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2 Grupy topologiczne, podstawowe w÷
asności topologiczne. . . . . . . . . . . 29
9.3 Grupy Liego - w÷
asności topologiczne cd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10 Wektory i przestrzenie styczne do hiperpowierzchni
31
11 Podgrupy Liego grupy Liego GL (n; R)
11.1 Podstawowe twierdzenie o tworzeniu podgrup Liego grupy Liego GL (n; R)
11.2 Grupa obrotów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Podgrupy macierzy niezmienniczych wzgledem
¾
odwzorowania dwuliniowego
34
34
35
41
12 Grupy transformacji
47
1
13 Pojecie
¾
wiazki,
¾
wiazki
¾ z grupa¾ strukturalna¾
49
14 Quaterniony
14.1 Algebra quaternionów . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Grupa jednostkowych quaternionów . . . . . . . . . . .
14.3 Grupa quaternionowa Q (n) : . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Zwiazek
¾ grupy Liego S 3 z grupa¾ obrotów przestrzeni R3
.
.
.
.
54
54
55
56
58
.
.
.
.
60
60
65
68
72
.
.
.
.
74
74
76
80
83
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15 Grassmanniany, w szczególności przestrzenie rzutowe
15.1 Grassmanniany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Rzeczywiste, zespolone i quaternionowe przestrzenie rzutowe . . . . . .
15.3 Rozw÷
óknienia Hopfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Róz·niczka funkcji rzeczywistej f : M ! R określonej na rozmaitości M
.
.
.
.
.
.
.
.
16 Formy róz·niczkowe na rozmaitościach
16.1 1-formy róz·niczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Mnoz·enie skośne 1-form róz·niczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 k-formy róz·niczkowe na rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Cofanie form róz·niczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 Hiperpowierzchnie zorientowane i ca÷
kowanie form róz·niczkowych maksymalnego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 Róz·niczkowanie form róz·niczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7 Kompleks de Rhama, grupy kohomologii, charakterystyka EuleraPoincarégo i genus powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 85
. 91
. 94
17 Hiperpowierzchnie w mechanice klasycznej - przestrzenie kon…guracyjne
99
18 TWIERDZENIE CA×KOWE STOKESA
18.1 Hiperpowierzchnie z brzegiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Twierdzenie Stokesa dla podzbiorów z osobliwościami . . . . . . . . . .
18.3 Szczególne przypadki ogólnego wzoru Stokesa dla hiperpowierzchni
brzegiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.1 Twierdzenie Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2 Twierdzenie Stokesa dla powierzchni 2-wymiarowej w R3 . . . .
18.3.3 Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego . . . . . . . . . . . . . . .
101
. . 101
. . 105
z
. . 106
. . 106
. . 107
. . 108
19 DOWÓD TWIERDZENIA STOKESA
109
20 Element objetości
¾
i Tensor Riemanna
113
21 Zastosowania Tw. Stokesa w topologii
116
22 Zastosowania ca÷
ki powierzchniowej zorientowanej
22.1 Strumień cieczy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Pole cienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Strumień ciep÷
a. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
w Fizyce
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
117
. 117
. 117
. 117
22.4 Prawo Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
22.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
22.6 Zadania teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
23 Wykorzystanie wzoru Greena
119
23.1 Zadania praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
24 Wykorzystanie wzoru Stokesa dla powierzchni
24.1 Zadania praktyczne . . . . . . . . . . . . . .
24.2 Zadania teoretyczne . . . . . . . . . . . . . .
24.3 Wykorzystanie wzoru Gaussa-Ostrogradskiego .
24.4 Zadania praktyczne . . . . . . . . . . . . . .
24.5 Zadania teoretyczne . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
121
122
124
124
124
25 ZASTOSOWANIA TWIERDZEŃ CA×KOWYCH
125
25.1 Cyrkulacja a rotacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
25.2 Dywergencja a strumień . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
26 Zastosowania Tw. Stokesa w elektromagnetyźmie
26.1 Równanie Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.2 Prawo Faradaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.3 Prawo Gaussa c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.4 Dowód Prawa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . .
26.5 Ciag÷
¾ e pole ÷
adunków elektrycznych i równanie
26.6 Objetość
¾
obszaru przestrzennego . . . . . . . . .
26.7 Zadania praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.8 Zadania teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Maxwella
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
127
. 127
. 127
. 127
. 129
. 129
. 129
. 130
. 131
WYK×AD 1, 8.XI.2011
Zak÷
adamy znajomość analizy funkcji wielu zmiennych (pochodne, ca÷
ki, miara
Lebesque’a), topologii i algebry liniowej.
1
Analiza funkcji wielu zmiennych - co najwaz·niejsze
na razie
Zadanie. Funkcja
1
f (x) =
Pokazać, z·e f 2 C 1 (R) i
ex ;
0;
x<0
x 0
f (n) (0) = 0:
Hint: a) pokazać indukcyjnie, z·e dla dowolnego n; istnieje wielomian stopnia n taki, z·e
dla x < 0
wn (x) 1
f (n) (x) =
ex :
x2n
b) pokazać indukcyjnie, z·e f (n) (0) = 0 (do liczenia granic stosować pomocniczo podstawienia t = x 1 ).
Funkcja f (x) nie jest R-analityczna w x P
= 0; tzn. nie rozwija sie¾ w szereg potegowy
¾
1
n
o środku w 0; bowiem kaz·da funkcja f (x) = n=0 an x o dodatnim promieniu zbiez·ności
(n)
¾ gdy f (n) (0) = 0 dla n 2 N; to funkcja f w
ma wspó÷
czynniki an = f n!(0) ; gdyby wiec
otoczeniu x = 0 by÷
aby 0; ale f (x) > 0 dla x < 0: Funkcje rozwijalne lokalnie w szereg
potegowy
¾
nazywamy funkcjami klasy C ! ; widzimy, z·e C 1 ( C ! :
De…nicja 1.0.1 Niech f : Rn
U ! Rm bedzie
¾
danym odwzorowaniem (oznaczenie
znaczy: f : U ! Rm gdzie U jest otwartym podzbiorem Rn ). Ró·zniczka¾(pochodna¾mocna)
¾
n
m
odwzorowania f punkcie x0 nazywamy odwzorowanie liniowe L : R
U ! R takie, ·ze
lim
h!0
f (x0 + h)
f (x0 )
jjhjj
L (h)
= 0:
W÷
asności
a) róz·niczka L jest conajwyz·ej jedna, oznaczamy ja¾ Df (x0 ) :
b) jez·eli Df (x0 ) jest róz·niczka¾ w x0 to funkcja f ma w x0 pochodna¾ kierunkowa¾ w
0
kaz·dym kierunku fjh
(x0 ) i
0
fjh
(x0 ) = Df (x0 ) (h) :
W szczególności pochodna kierunkowa jest liniowa wzgledem
¾
kierunku oraz istnieja¾
@f
pochodne czastkowe
¾
(x0 ) ; tzn. pochodne kierunkowe w kierunku wersorów osi wspól@xi
rzednych
¾
ei
@f
(x0 ) = fje0 i (x0 ) = Df (x0 ) (ei ) :
@xi
4
h 1
i
@f
@f
@f m
(x0 ) zapisujemy wierszowo lub kolumnowo @x
(x
)
=
(x
)
;
:::;
(x
)
;
0
0
0
i
@xi
@xi
h 1
i
T
m
@f
@f
lub @x
(x0 ) ; :::; @f
(x0 ) :
i (x0 ) =
@xi
@xi
Mcierz róz·niczki jest macierza¾ pochodnych czastkowych
¾
(czyli tzw. macierza¾ Jacobiego)
@f j
Df (x0 ) =
(x0 )
:
i n
@xi
Wektor
@f
@xi
j m
2
6
Df (x0 ) = 4
@f 1
@x1
@f 1
@xn
(x0 )
..
.
(x0 )
3
(x0 )
7
..
5
.
@f m
(x0 )
@xn
@f m
@x1
lub transponowana (jak wygodniej).
Macierz powyz·sza¾ nazywa sie¾ macierza¾ Jacobiego odwzorowania f w x0 :
c) Z istnienia róz·niczki w x0 nie wynika ciag÷
¾ ość pochodnych czastkowych,
¾
np. tak
jest juz· dla n = m = 1 dla funkcji f : R ! R danej wzorem
f (x)
x2 sin x1 ; x 6= 0;
0;
x=0
(Df (0) = 0 jest róz·niczka,
¾ ale pochodna nie jest ciag÷
¾ a),
d) z ciag÷
czastkowych
¾
wynika, z·e odwzorowanie liniowe Df (x0 ) o
h jości pochodnych
i
@f
macierzy @xi (x0 ) jest róz·niczka¾ odwzorowania f w x0 :
e) róz·niczka superpozycji D (g f ) (x0 ) jest z÷
oz·eniem róz·niczek
D (g f ) (x0 ) = Dg (f (x0 )) Df (x0 ) :
f) jez·eli f jest odwzorowaniem liniowym to Df (x0 ) = f:
De…nicja 1.0.2 Dyfeomor…zmem klasy C k nazywamy odworowanie f : U ! V; U; V
Rn sa otwarte, które jest bijekcja, oraz f i f 1 sa¾klasy C k :
Twierdzenie 1.0.1 (O dyfeomor…źmie, inaczej tw o funkcji odwrotnej) Je·zeli
f : Rn U ! Rn jest klasy C k oraz w punkcie x0 ró·zniczka Df (x0 ) jest izomor…zmem,
to istnieje otoczenie U1 punktu x0 zawarte w U takie, ·ze f jU1 jest ró·znowarto´sciowe,
f [U1 ] jest zbiorem otwartym oraz f : U1 ! f [U1 ] jest dyfeomeor…zmem klasy C k :
Dowód na ćwiczeniach - pan Bienias
2
Rozmaitości topologiczne i róz·niczkowe, mapy i atlasy - de…nicje
De…nicja 2.0.3 Rozmaito´scia¾topologiczna¾wymiaru n nazywamy przestrze´n topologiczna¾
M dla której ka·zdy punkt ma otwarte otoczenie homeomor…czne z otwartym podzbiorem
w przestrzeni Rn :
5
De…nicja 2.0.4 Niech M bedzie
¾
n-wymiarowa¾ rozmaito´scia topologiczna.¾ Je·zeli jest
homeomor…zmem otwartego zbioru U
M na otwarty podzbiór V
Rn
nazywamy mapa¾ rozmaito´sci M (na zbiorze U ) a uk÷ad (U; ) nazywamy systemem [uk÷adem] lokalnych wspó÷rzednych.
¾
Mówimy te·z, ·ze jest mapa¾ na U o zbiorze parametrów
V: Gdy
= ( 1 ; :::; n ) ( i = pri
) to funkcje i : U ! R nazywamy funkcjami
wspó÷rzednymi
¾
a system wspó÷rzednych
¾
oznaczamy (U; 1 ; :::; n ) : Je´sli dla p 2 U mamy
(p) = 0 = (0; :::; 0) 2 Rn to mówimy, ·ze uk÷ad wspó÷rzednych
¾
(U; ) jest o ´srodku w p
1
(lub: jest wycentrowany w p). Homeomor…zmy postaci
; gdzie, jest mapa,¾ nazywamy
parametryzacjami M: Czesto
¾ wspó÷rzedne
¾
danej mapy oznaczane sa¾ przez (x1 ; :::; xn ) ;
xi = pri
:
Jeśli : U ! V jest mapa¾ na M oraz : V ! V1 jest homeomor…zmem, to
jest
0
tez· mapa.
¾ Jeśli : U ! V jest mapa¾ oraz U
U jest otwartym podzbiorem, to obciecie
¾
jU 0 jest mapa¾ na U 0 o zbiorze parametrów [U 0 ] (otwartym w Rn ).
rysunki: sfera, torus, wstega
¾ Möbiusa.
n
Uwaga 2.0.1 Poniewa
¾
metryki kartezq ·z topologia w R jest topologia¾metryczna¾wzgledem
(yi xi )2 to ka·zdy otwarty podzbiór V
Rn wraz z punktem q
ja´nskiej d (x; y) =
zawiera kule¾ otwarta¾ K (q; r) o pewnym promieniu dodatnim r > 0: Gdy jest mapa¾ na
rozmaito´sci topologicznej M wokó÷punktu p to zmniejszajac
¾ jej dziedzine¾ mo·zna otrzyma´c
mape¾ której obrazem dziedziny bedzie
¾
kula otwarta o´srodku w (p) albo kostka D o´srodku
w (p) i bokach o d÷ugo´sci 2a;
D ( (a) ; a) = f(r1 ; :::; rn ) ; jri
i
(a)j < ag :
Kule otwarte o ró·znych promieniach sa¾ dyfeomor…czne (tym bardziej homeomor…czne)
[ : K (q1 ; r1 ) ! K (q2 ; r2 ) ; (x) = q2 + (x q1 ) rr12 ; jest dyfeomor…zmem klasy C ! ], tak·ze
kostki o ró·znych bokach sa¾ dyfeomor…czne, to sk÷adajac
¾ mape¾ z odpowiednim mo·zna
otrzyma´c mape¾ wycentrowana¾ w zdanym punkcie i aby obrazem dziedziny by÷a kula o
´srodku w 0 i zadanym z góry promieniu (np. 1 lub 2) lub kostka o ´srodku w 0 i bokach 2a:
a przestrzenia¾Rn (pos÷ugujemy sie¾tangensem
Kula o promieniu 2 jest dyfeomor…czna z ca÷¾
i arcusem tangensem - ´cwiczenie), kostka o danym boku tak·ze, zatem zawsze mo·zna otrzyma´c w otoczeniu danego punktu mape¾ dla której obrazem dziedziny bedzie
¾
ca÷a przestrze´n
Rn :
Prz. top. jest T1 jeśli dla dowolnych dwu punktów x 6= y istnieje otwarte otoczenie
punktu x nie zawierajace
¾ y:
Lemat. Rozmaitość topologiczna jest zawsze T1 :
Dowód. Niech M bedzie
¾
rozmaitościa¾ topologiczna¾ i niech x; y 2 M; x 6= y: Jeśli x i
y lez·a¾ w dziedzinie jednej mapy : U ! V; x; y 2 U to skoro Rn jest T2 to punkty
(x) i (y) moz·na oddzielić roz÷
acznymi
¾
zbiorami otwartymi (x) 2 V1 i (y) 2 V2 w V:
1
Wtedy x 2 U1 :=
[V1 ] jest otwarty w M i y 2
= U1 : Jeśli x i y nie lez·a¾ w jednej mapie i
: U ! V jest mapa¾ taka,¾ z·e x 2 U oraz y 2
= U to U oddziela x i y:
O topologii rozmaitości topologicznej zazwyczaj zak÷
ada sie¾ wiecej
¾ niz· T1 , mianowicie
z·e
a) jest T 2;
b) spe÷
nia drugi aksjomat przeliczalności (tzn. ma baze¾ przeliczalna).
¾
6
Przyk÷
ad 2.0.1 ×atwo poda´c przyk÷ad rozmaito´sci topologicznej nie Hausdor¤a:
Rozwa·zamy prosta¾R i jeden punkt "zdwajamy"
M = (R
fag) [ fa0 ; a00 g :
Topologie¾ na M de…niujemy nastepuj
¾ aco:
¾
za baze¾ otocze´n punktu x 2 R fag =
M fa0 ; a00 g uznajemy otwarte przedzia÷y zawierajace
¾ x; (x "; x + ") i zawarte w
0
R fag ; natomiast za baze¾ otocze´n punktu a uznajemy zbiory postaci (a
"; a) [
(a; a + ")[fa0 g a za baze¾otocze´n punktu a00 zbiory (a "; a)[(a; a + ")[fa00 g : Sprawdzamy
aksjomaty BP 1 3 bazy otocze´n punktów (R.Engelking BM 47, rozdzia÷1) i upewniamy
sie,
¾ ·ze istnieje dok÷adnie jedna topologia na M dla której wskazane rodziny sa¾ bazami
otocze´n punktów. Jasne, ·ze dla x 2 M fa0 ; a00 g otoczenie "ma÷e" U = (x "; x + ")
jest homeomor…czne z otwartym podzbiorem R za pomoca¾ id : U ! U . Dla x = a0 2 M
otoczenie (a "; a) [ (a; a + ") [ fa0 g jest homeomor…czne z (a "; a + ") za pomoca¾
:
(y) =
(a
"; a) [ (a; a + ") [ fa0 g ! (a
y; y 6= a0
a; y = a0
"; a + ")
(analogicznie okre´slamy mape¾ wokó÷a00 ). Punktów a0 i a00 nie daje sie¾ rozdzieli´c zbiorami
otwartymi.
7
WYK×AD 2, 15.XI.2011
Twierdzenie 2.0.2 Je·zeli M jest rozmaito´scia¾ topologiczna¾ T2 wówczas warunki sa¾
równowa·zne:
(a) spe÷nia drugi aksjomat przeliczalno´sci (tzn. ma baze¾ przeliczalna),
¾
b) jest parazwarta, tzn. ma nastepuj
¾ ac
¾ a¾ w÷asno´s´c: w ka·zde otwarte pokrycie
U = fU g 2I zbiorami otwartymi mo·zna wpisa´c podpokrycie B = fV g 2J lokalnie sko´nczone, tzn. takie, ·ze i) dla ka·zdego istnieje ; takie, ·ze V
U ; oraz ka·zdy punkt p 2 M
ma otwarte otoczenie U takie, ·ze card f ; V \ U 6= ?g < @0 :
Na razie bez dowodu.
Gdy jest mapa¾ rozmaitości M to dziedzine¾ tej mapy oznaczać bedziemy
¾
takz·e D .
De…nicja 2.0.5 Niech i bed
¾ a¾mapami na rozmaito´sci M: Funkcja¾przej´scia od mapy
do nazywamy homeomor…zm otwartych podzbiorów przestrzeni parametrów Rn
1
:
[D \ D ] !
[D \ D ] :
De…nicja
S 2.0.6 Atlasem rozmaito´sci ró·zniczkowej M nazywamy rodzine¾ map f g 2I
D = M: Je´sli dziedzina¾mapy
jest zbiór U to atlas ten zapisujemy tak·ze
taka,¾ ·ze
w postaci uk÷adu systemów wspó÷rzednych
¾
f(U ; )g 2I :
De…nicja 2.0.7 Mówimy, ·ze atlas A = f(U ; )g rozmaito´sci topologicznej M jest klasy
1
C k ; k 2 N[ f1g[f!g ; je·zeli dla ka·zdego ; funkcje przej´scia
sa¾klasy C k : Niech
A bedzie
¾
dowolnym atlasem klasy C k na rozmaito´sci topologicznej M i niech (U; ) bedzie
¾
dowolnym systemem wspó÷rzednych
¾
na M: Mówimy, ·ze mapa (system wspó÷rzednych
¾
(U; ) ) jest zgodny klasy C k z atlasem A je·zeli A[ f(U; )g jest te·z atlasem klasy C k ; tzn.
1
1
gdy
oraz a
sa¾klasy C k : Atlas A nazywamy zupe÷nym (inaczej maksymalnym),
je·zeli zawiera wszystkie mo·zliwe systemy wspó÷rzednych
¾
na M zgodne klasy C k z A.
Jeśli : U ! V jest mapa¾ z atlasu A klasy C k i : V ! V1 jest dowolnym dyfeomor…zmem klasy C k to z÷
oz·enie
jest mapa¾ zgodna¾ z atlasem A: Obciecie
¾ do otwartego
0
podzbioru jU jest tez· mapa zgodna¾ z atlasem A: Wynika stad,
¾ z·e w otoczeniu kaz·dego
punktu istnieje mapa zgodna z danym atlasem A dla której obrazem dziedziny jest kula
K (0; r) o z góry ustalonym promieniu r (np. r = 1 lub r = 2) a takz·e mapa zgodna z
atlasem A dla której obrazem dziedziny jest kostka D (0; a) lub ca÷
a przestrzeń Rn :
Kaz·dy atlas A klasy C k moz·na jednoznacznie rozszerzyć do atlasu zupe÷
nego: gdy A
jest danym atlasem to
A0 = (U; ) ;
1
2 C k oraz
1
a
2 C k ; dla kaz·dego
jest atlasem zupe÷
nym.
Dwa atlasy A1 i A2 klasy C k nazywamy zgodne klasy C k jeśli ich suma A1 [ A2 jest
atlasem zgodnym klasy C k : Jeśli uzupelnić atlas A1 do atlasu zupe÷
nego A0 to A0 zawierać
musi takz·e ten drugi atlas.
De…nicja 2.0.8 Rozmaito´scia¾ró·zniczkowa¾klasy C k nazywamy pare¾ (M; A) gdzie M jest
rozmaito´scia¾topologiczna¾a A jest atlasem maksymalnym klasy C k na M:
8
×÷
atwo z wcześniejszych obserwacji zauwaz·yć prawdziwośc lematu:
Lemat 2.0.1 Na ka·zdej rozmaito´sci ró·zniczkowej klasy C k istnieje atlas z÷o·zony z takich
map których obrazem dziedzin sa¾ kule K (0; r) o ustalonym z góry promieniu (np. 1 lub
2) lub kostki o ´srodku w 0 i boku 2a; a tak·ze atlas z÷o·zony z takich map których obrazem
dziedzin jest ca÷a przestrze´n Rn :
Jest twierdzenie którego tu nie bedziemy
¾
dowodzić, z·e z kaz·dego atlasu A klasy C 1
moz·na wybrać podatlas klasy C 1 (na ogó÷nie moz·na wybrać podatlasu klasy C ! ). Sa¾tez·
przyk÷
ady rozmaitości topologicznych (a wiec
¾ z atlasem A klasy C 0 - homeomor…zmów)
na której nie istnieje z·aden atlas klasy C 1 (Kervaire 1960 - pierwszy przyk÷
ad w wymiarze
1
10). Rozmaitości klasy C sa¾ nazywane g÷
adkimi.
Nie jest prawda¾z·e atlas maksymalny klasy C 1 jest jedyny. Moga¾sie¾ zdarzyć na danej
rozmaitości róz·ne maksymalne atlasy klasy C 1 ; tzn. moga¾ istnieć atlasy maksymalne A
i B takie, z·e funkcje przejścia miedzy
¾
mapami z róz·nych atlasów nie sa¾ róz·niczkowalne.
Przyk÷
ad 2.0.2 Rozwa·zmy R z normalna¾ topologia.¾ Okre´slamy dwie mapy globalnie
okre´slone
: R!R
1 (x) = x
3
2 (x) = x :
1;
2
Oba odwzorowania sa¾ homeomor…zmami. Rozwa·zmy atlas A1 = f 1 g oraz A2 = f 2 g :
Ka·zdy z nich rozszerzamy do atlasu maksymalnego otrzymujac
¾ dwie struktury rozmaito´sci
ró·zniczkowych na R: Pokaza´c, ·ze atlasy te nie sa¾C 1 zgodne.
UWAGA: za jakiś czas zapoznamy sie¾ z pojeciem odwzorowania g÷
adkiego (czy innej
k
klasy C ) miedzy
¾
rozmaitosciami i latwo zauwaz·ymy, z·e obie rozmaitości 1-wymiarowe
(R; A1 ) i (R; A2 ) sa¾ dyfeomor…czne.
Nie jest prawda,¾ z·e zawsze atlasy maksymalne na danej rozmaitości tworza¾ rozmaitości róz·niczkowe dyfeomor…czne. Jest to znacznie trudniejsze zagadnienie z topologii
róz·niczkowej. Np. na sferze S 7 istnieje az· 28 róz·nych niedyfeomor…cznych maksymalnych atlasów ! Jest twierdzenie mówiace,
¾ z·e dla wymiaru < 4 atlas maksymalny klasy
C 1 istnieje i z dok÷
adnościa¾ do dyfeomor…zmu jest dok÷
adnie jeden. Na rozmaitościach
zwartych wymiaru > 4 istnieje conajwyz·ej skończona ich ilość takich atlasów. Wymiar 4
jest wyjatkiem.
¾
Moz·e być nieprzeliczalna ilość róz·nych atlasów maksymalnych niedyfeomor…cznych. Na Rn dla n 6= 4 jest tylko jeden atlas maksymalny, a dla R4 jest ich
nieprzeliczalnie wiele (Donaldson). Nazywane sa¾ egzotycznymi.
3
Elementarne przyk÷
ady
Przyk÷
ad 3.0.3 Przestrze´n Rn ; jej otwarte podzbiory U
Rn ; oraz ich sumy roz÷¾
aczne
sa¾przyk÷adami n-wymiarowych rozmaito´sci topologicznych.
9
Przyk÷
ad 3.0.4 Gdy n = 0; rozmaito´s´c nazywa sie¾ dyskretna i jest to suma roz÷¾
acznych
1-punktowych przestrzeni topologicznych, czyli inaczej jest to dowolna przestrze´n topologiczna dyskretna (ka·zdy podzbiór jest otwarty).
Przyk÷
ad 3.0.5 Ka·zda n-rozmaito´s´c topologiczna z atlasem o jednej mapie A = f g ;
: M ! U
Rn (mapa globalna) czyli rozmaito´s´c homeomor…czna z U
Rn ) jest
rozmaito´scia klasy C ! bo jedna mapa jest oczywi´scie C ! zgodna i wystarcza ten atlas
uzupe÷ni´c do maksymalnego. Konkretny przyk÷ad: je´sli f : U ! Rm jest dowolna¾ funkcja¾
ciag÷¾
¾ a to jej wykres
M = f(x; f (x)) ; x 2 U g U Rm
z topologia¾indukowana¾z U
Rm jest homeomor…czny z U ; parametryzacja¾globalna jest
: M ! U; (x; f (x)) 7 ! x:
1
Istotnie,
: U ! M; x 7 ! (x; f (x)) ; jest ciag÷
¾ a z za÷o·zenia ciag÷
¾ o´sci ; za´s to po
m
prostu obciecie
¾ do M rzutu pr : U R ! U (rzut jest ciag÷
¾ y - nawet klasy C 1 - wiec
¾ jego
obciecie
¾ jest ciag÷
¾ e). M ma wiec
¾ strukture¾ rozmaito´sci ró·zniczkowej ka·zdej klasy, cho´c
je·zeli f nie jest ró·zniczkowalne to M nie bedzie
¾
tzw. hiperpowierzchnia¾ ró·zniczkowalna¾
w/g de…nicji ni·zej.
Przyk÷
ad 3.0.6 (na ´cw.) Pokaza´c, ·ze zwarta rozmaito´s´c topologiczna M nie ma atlasu
z÷o·zonego z jednej mapy.
Przyk÷
ad 3.0.7 Ka·zda sko´ncznie wymiarowa przestrze´n wektorowa V ma strukture¾ rozmaito´sci klasy C 1 : Wybierajac
¾ baze¾ fei gni=1 mo·zemy okre´sli´c bijekcje¾ : V ! Rn ;
( ri ei ) = (r1 ; :::; rn ) : Wprowadzamy w V topologie¾ dla której jest to homeomor…zm.
Topologia nie zale·zy od wyboru bazy (proste ´cwiczenie). Atlas z÷o·zony z jednej mapy
rozszerzamy do atlasu maksymalnego danej z góry klasy k 2 N[ f1:!g :
Przyk÷
ad 3.0.8 Zamieniajac
¾ formalnie w de…nicji rozmaito´sci n-wymiarowej
ró·zniczkowalnej przestrze´n parametrów z Rn na Cn i ró·zniczkowalno´s´c w sensie
rzeczywistym na rózniczkowalno´s´c w sensie zespolonym dochodzimy do pojecia
¾
rozmaito´sci holomor…cznej wymiaru zespolonego n: Poniewa·z Cn = R2n (jako przestrze´n
wektorowa) to wymiar rzeczywisty Cn jest 2n: Zatem holomor…czna rozmaito´s´c wymiaru
zespolonego n jest rozmaito´scia¾ró·zniczkowa¾klasy C ! wymiaru 2n:
Przyk÷
ad 3.0.9 Pokaza´c, ·ze podzbiór K = f(x; y) 2 R2 ; xy = 0g z topologia¾indukowana¾
z R2 nie jest rozmaito´scia¾topologiczna¾1-wymiarowa.¾ (UWAGA: nie jest te·z rozmaito´scia¾
topologiczna 2-wymiarowa,¾ z jakiego tw. trzeba skorzysta´c? hint J.Mioduszewski, Wyk÷ady
z topologii , topologia przestrzeni euklidesowych, Katowice 1994, wyd. Uniw. ´Slaskiego)
¾
Przyk÷
ad 3.0.10 (na ´cwiczenia) Sfera S n
Rn+1 ;
S n = (x1 ; :::; xn+1 ) ;
10
x2i = 1 :
Zbudowa´c dwa atlasy (a) za pomoca¾ wykresów funkcji: gdy (a1 ; ::; an+1 ) 2 S n to istnieje
¾
xi0 dostajemy w
indeks i0 taki, ·ze ai0
0: Rozwiazuj
¾ ac
¾ równanie x2i = 1 wzgledem
n
otoczeniu (a1 ; ::^{:::; an+1 ) 2 R dwa rozwiazania
¾
x2i0 = 1
xi0 =
q
2
i6=i0 xi
1
2
i6=i0 xi ;
znak
zale·zy od znaku xi0 : W otoczeniu (a1 ; ::^{:::; an ) (w jakim najwiekszym
¾
mo·zliwym
otoczeniu?) sfera jest wykresem tej funkcji i w/g przyk÷adu pierwszego wy·zej de…niujemy
parametryzacje (i mape)
¾ a zatem atlas A1 . Sprawdzi´c, ·ze jest to atlas klasy C 1 : Z ilu
conajmniej map on sie¾ musi sk÷ada´c?
(b) za pomoca¾ rzutów stereogra…cznych z dwu biegunów pó÷nocnego i po÷udniowego.
Otrzymamy atlas z÷o·zony z dwu map A2 :
(c) sprawdzi´c, ·ze otrzymane dwa atlasy A1 i A2 sa¾C 1 zgodne (de…niuja¾wiec
¾ te¾ sama¾
1
romaito´s´c ró·zniczkowa¾klasy C ).
Przyk÷
ad 3.0.11 Okrag.
¾ Jeszcze jeden atlas. Rozwa·zmy S 1
R2 = C i funkcje
f : R ! S 1 ; f ( ) = ei = (cos ; sin ) :
Ograniczajac
¾ sie¾ do przedzia÷ów otwartych o d÷ugo´sci 2 otrzymujmy bijekcje takiego
przedzia÷u na okrag
¾ pozbawiony jednego punktu. Pokaza´c, ·ze atlas A3 z÷o·zony z odwzorowa´n odwrotnych do tak okre´slonych obcie¾´c (f j (a; a + 2 )) 1 jest klasy C 1 : Sprawdzi´c,
·ze jes to atlas C 1 -zgodny z atlasem A1 z poprzedniego zadania (dla n = 1).
11
WYK×AD 3, 22.XI.2011
Przyk÷
ad 3.0.12 Produkt rozmaito´sci ró·zniczkowych. Niech M1 i M2 beda
¾ dwoma rozk
maito´sciami ró·zniczkowymi wymiaru n1 i n2 odpowiednio klasy C o atlasach maksymalnych A1 i A2 : Tworzymy produkt przestrzeni topologicznych M = M1 M2 (z jakich
zbiorów sk÷ada sie¾ ta topologia?) Dla dowolnych map 1 i 2 na M1 i M2 odpowiednio
de…niujemy odwzorowanie
1
2
:D
1
D
2
! Rn1 +n2 ;
(x; y) = (
1
(x) ;
2
(y)) :
Jest to homeomor…zm otwartego w produkcie M1 M2 podzbioru D 1 D 2 M1 M2
Rn2 = Rn1 +n2 : Pokaza´c, ·ze atlas
na zbiór otwarty 1 D 1
Rn1
2 D 2
k
f 1
niamy go do maksymalnego otrzymujac
¾
2;
1 2 A1 ;
2 2 A2 g jest klasy C : Uzupe÷
produkt rozmaito´sci.
Przyk÷
ad 3.0.13 W szczególno´sci mamy tzw. n-wymiarowy torus Tn = S 1
:::
S 1:
Przyk÷
ad 3.0.14 Pe÷na grupa liniowa GL (n) macierzy n n nieosobliwych tworzy n2 wymiarowa¾ rozmaito´s´c ró·zniczkowa¾ klasy C ! o jednej mapie. Poda´c mape¾ (zauwa·zy´c, ·ze
2
obrazem jest otwarty podzbiór w Rn :
4
Sklejanie rozmaitości
Przypomnijmy pojecie
¾ topologii ilorazowej. Niech (X; ) bedzie
¾
przestrzenia¾topologiczna¾
i R
X
X dowolna¾ relacja¾ równowaz·ności na X: Niech X=R bedzie
¾
zbiorem klas
abstrakcji relacji R i oznaczmy przez odwzorowanie rzutowania
: X ! X=R ;
(x) = [x] :
Rozwaz·my na przestrzeni ilorazowej X=R rodzine¾ zbiorów
R
:= A
X=R ;
1
[A] 2
:
Wówczas rodzina R jest topologia¾ na przestrzeni ilorazowej X=R , nazywamy ja¾ ilorazowa¾
i rzutowanie jest wówczas ciag÷
¾ e. Poza tym mamy taka¾ charakteryzacje¾ topologii ilorazowej: jest to najsilniejsza topologia w zbiorze X=R dla której rzutowanie jest ciag÷
¾ e.
W÷
asności topologii ilorazowej:
(a) ćwiczenia. Niech Y bedzie
¾
dowolna¾ przestrzenia¾ topologiczna¾ i f : X=R ! Y
dowolna¾ funkcja. Wtedy f jest ciag÷
¾ a gddy f
jest ciag÷
¾ a.
(b) ćwiczenia. Cieciem
¾
rzutowania nazywamy funkcje¾ s : X=R ! X taka,
¾ z·e
s = id; tzn. gdy [s (a)] = a (inaczej s (a) 2 a; s (a) jest jakimś reprezentantem klasy a)
dla kaz·dego a 2 X=R : Jeśli istnieje ciag÷
¾ e ciecie
¾ s wówczas dowolna funkcja g : Y ! X=R
jest ciag÷
¾ a¾ gddy s g jest ciag÷
a.
(c) ćwiczenia. Niech U
X bedzie
¾
podzbiorem nasyconym (czyli zawierajacym
¾
ca÷
e klasy abstrakcji które przecinaja¾ sie¾ z U ) z topologia¾ indukowana¾ z X; jU =
fU \ V ; V 2 g : Po÷
óz·my
U 0 = f[x] ; x 2 U g X=R :
12
Skoro U 0 jest podzbiorem X=R to posiada topologie¾ indukowana¾ R jU 0 =
fU 0 \ W ; W 2 R g : Z drugiej strony moz·emy na U rozwaz·ać relacje¾ równowaz·ności
RU = R \ (U U ) a dalej przestrzeń ilorazowa¾ U=RU ze swoja¾ topologia¾ ilorazowa.
¾ Oczy0
0
wiście U = U=RU - jako zbiory. Sprawdzić, czy obie topologie na U , indukowana i
ilorazowa, pokrywaja¾ sie.
¾ [nie zawsze, ale tak jest gdy [U ] jest otwarty lub domkniety
¾
w X=R - Engelking, BM 47, rozdzia÷2, Tw 7]
Rozwaz·my dwie roz÷
aczne
¾
rozmaitości Hausdor¤a M1 i M2 tego samego wymiaru n i
wybierzmy na nich dwie mapy odwzorowujace
¾ swoje dziedziny na Rn (wystarczy z·adać
¾
aby obrazami by÷
y kule K (0; 2 + ") dla pewnych dodatnich ").
(U1 ;
(U2 ;
1
1)
2)
[U1 ] =
na
na
2
M1
M2
[U2 ] :
i
Wycinamy z M1 podzbiór zwarty K1 = 1 1 K 0; 21 i analogicznie wycinamy z M2
h
i
1
1
podzbiór zwarty K2 = 2 K 0; 2 : Zwarte podzbiory przestrzeni Hausdor¤a sa¾
domkniete,
¾ wiec
¾ M1 K1 jest otwartym podzbiorem M1 oraz M2 K2 - otwartym w M2 :
Tworzymy sum¾
e tych rozmaitości
h
M = (M1 K1 ) [ (M2 K2 ) :
Rozwaz·amy pierścień P 0; 21 ; 2 =
V2 U2 określone nastepuj
¾ aco
¾
x 2 Rn ;
V1 =
1
V2 =
2
1
P
1
P
1
2
< jjxjj < 2
oraz podzbiory V1
U1 i
1
0; ; 2
2
1
0; ; 2
2
"Wsuwamy" jedna¾ szyjk¾
e w druga¾ i sklejamy za pomoca¾ odwzorowania które "przestawi"
kolejność brzegów pierścieni, dok÷
adniej weźmy dyfeomomor…zm
: P 0; 21 ; 2 !
1
P 0; 2 ; 2 określony wzorem
x
:
(x) =
jjxjj2
(brzeg o promieniu 12 przechodzi na drugi brzeg o promieniu 2 i odwrotnie). Sklejanie
polega na utoz·samieniu V1 i V2 za pomoca¾ bijekcji
F : V1 ! V2
F = 21
1:
Dok÷
adniej opisujemy to za pomoca¾topologii ilorazowej: w zbiór M wprowadzamy relacje¾
równowaz·ności R nastepuj
¾ aco:
¾
x y
gddy (a) x = y; lub x 2 V1 ; y 2 V2 i y = F (x) ; lub odwrotnie, y 2 V1 i x 2 V2 oraz
x = F (y) : De…niujemy przestrzen ilorazowa¾ M=R z topologia¾ ilorazowa¾ która¾ oznaczamy
13
M1 #M2 (oznaczenie jest sensowne, bo okaz·e sie,
¾ z·e otrzymane rozmaitości ilorazowe "nie
zalez·a"
¾ od wyboru owych map sklejajacych,
¾
tzn. dok÷
adniej mówiac
¾ dla dwu wyborów
takich map otrzymane rozmaitości bed
¾ a¾dyfeomor…czne w sensie jaki opiszemy niebawem.
Twierdzenie 4.0.3 M=R jest rozmaito´scia¾ topologiczna.¾ Je·zeli wychodzimy od atlasów
klasy C k to dostaniemy rozmaito´s´c klasy C k :
Dowód. Pokaz·emy, z·e kaz·dy punkt [p] 2 M=R ma otwarte otoczenie homeomor…czne z otwartym podzbiorem w Rn : Otrzymana mapa bedzie
¾
"z dok÷
adnościa¾ do sklejeń punktów"
obcieciem
¾
map z zadanych atlasów (tak, z·e klasa
g÷
adkości
pozostanie hjaka by÷
a).
h
i
i
1
1
(a) Rozwaz·my [p] 2 M dla p 2 M1
K (0; 2) [ M2
K (0; 2) := 1
2
jest to zbiór otwarty w M i oczywiście wysycony klasami abstrakcji (bo dla punktów z tego
zbioru klasy sa¾ jedno-elementowe, nic sie¾ tam nie skleja÷
o). Zbiór moz·na traktować jak
podzbiór otwarty przestrzeni ilorazowej M=R : Topologia indukowana na z M=R - zgodnie
z w÷
asnościa¾ (c) topologii ilorazowej - jest topologia¾ ilorazowa¾ - a z·e sie¾ nic nie
io
h skleja÷
1
K (0; 2) :
to jest to po prostu topologia indukowna z M: Za÷
óz·my, z·e p 2 M1
1
Wybieramy
h teraz idowolnie mape¾ w otoczeniu p (z zadanego atlasu) o dziedzinie zawartej
1
M1
K (0; 2) ; mapa ta jest homeomor…zmem z topologii ilorazowej (bo w otoczeniu
1
p jak wyz·ej pokazaliśmy
topologia
z M=R i z M pokrywaja¾ sie.
h
i
h¾
i
1
1
1
1
(b) p 2 U1
K
0;
K
0;
(analogicznie
dla
p
2
U
). Po wysyceniu
2
1
2
2
2
otrzymamy zbiór
"
#!
1
1
U := U1
K 0;
[ V2 M:
1
2
który jest otwarty w M (oba jego sk÷
adniki sa¾ otwarte w U i w M ). Niech U 0
M=R
bedzie
¾
zbiorem klas abstrakcji elementów z U; poniewaz·
#)
##
"
"
(
"
1
1
1
1
K 0;
= 1 U1
K 0;
:
U 0 = f[x] ; x 2 U g = [x] ; x 2 U1
1
1
2
2
to U 0 jest otwarty w M=R : Z c) topologia na U 0 indukowana z M=R pokrywa sie¾ a topologia¾
ilorazowa¾ w przestrzeni U=RU = U 0 dla relacji RU w U która jest przeci
eciem
¾ i relacji R ze
h
1
zbiorem U U; a wiec
¾ która utoz·samia punkty z V1
U1
K 0; 12 z punktami
1
z V2 przez F . Niech U : U ! U 0 bedzie
¾
rzutowaniem. Za pomoca¾ mapy 1 ; U1 !
n
K (0; 2 + ") R de…niujemy odwzorowanie
~ : U 0 ! K (0; 2 + ")
1
K 0;
1
2
=: W
h
i
1
1
K
0;
: Zauwaz·ymy, z·e jest to homeomorwzorem ~ 1 ([x]) = 1 (x) dla x 2 U1
1
2
…zm.
ciag÷
ość ~ 1 : U 0 ! W . Weźmy z÷
oz·enie
~
U
U!
U 0 !1 W
14
~
1
U
(x) =
1
=
(
1
1
h
i
1
K
0;
1
2
x 2 V2
2 (x) ;
1
x 2 U1
1 (x) ;
1
(x)) = 1
1 (F
1
1
2 ),
0
~
ciag÷
¾ ość odwrotnego 1 : W ! U . Znajdziemy ciag÷
¾ e ciecie
¾ s1 : U 0 = U=RU ! U:
Określamy je wzorem
"
#
1
1
s1 ([x]) = x dla x 2 U1
K 0;
:
1
2
jest ono ciag÷
¾ e(
1
F
1
1
2
=
1
1
1
Wzór jest dobry bo klasy [x] wyczerpuj
a¾ wszystkie
z U 0 : Zbadamy jego ciag÷
¾ ość:
h
i
1
1
K 0; 2
a ten zbiór jest otwarty w U: Zatem
otóz· jego obraz jest równy U1
1
1
wystarcza
h zobaczyć,
i z·e s1 [B] jest otwarty dla otwartych podzbiorów B zawartych w
1
U1
K 0; 12 : Z de…nicji topologii ilorazowej zbiór s1 1 [B] U=RU jest otwarty gdy
1
1
U
s1 1 [B]
U jest otwarty, ale
1
U
s1 1 [B] to suma klas abstrakcji punktów z s1 1 [B]
t.j.
1
U
s1 1 [B] = B [ F [B] = B [ F [B \ V1 ]
~
a to jest zbiór otwarty. Skoro z÷
oz·enie s1
s1
~
1
1
1
1
: W ! U jest dane wzorem
1
(w) = s1
1
(w)
=
1
1
(w)
to jest ciag÷
¾ e.
WYK×AD 4, 29.XI.2011
5
Hiperpowierzchnie
De…nicja 5.0.9 Macierza¾Jacobiego odwzorowania f : Rn U ! Rm ; w punkcie x 2 U
nazywamy macierz pochodnych czastkowych
¾
wspó÷rzednych
¾
odwzorowania f w punkcie x
(Jf )x =
@f i
(x)
@xj
:
i m;j n
i
@f
(dla skrótu bedziemy
¾
dalej pochodne czastkowe
¾
oznacza´c tak·ze inaczej @x
= fjji ).
j
n
m
Rzedem
¾
odwzorowania f : R
U ! R ; w punkcie x 2 U nazywamy rzad
¾ macierzy
Jacobiego odwzorowania w punkcie x
(rank f )x ; = rank fjji (x)
i m;j k
:
Z liniowej algebry wiemy, z·e jest to wymiar obrazu odwzorowania liniowego o macierzy
(Jf )x (czyli wymiar obrazu róz·niczki [mocnej] (Df )x : Rn ! Rm . Z algebry liniowej dalej
widzimy, z·e warunki sa¾ równowaz·ne
1) (rank f )x = n (zatem w szczególności musi być n m),
15
2) dim Im (Df )x = n;
3) (Df )x jest monomor…zmem, czyli ker (Df )x = 0:
Gdy n
m to odwzorowanie f : Rn
U ! Rm które jest w kaz·dym punkcie x
maksymalnego rzedu
¾ (rank f )x = n nazywamy regularnym.
Z twierdzenia o dyfeomor…źmie jest
Wniosek 5.0.1 Odwzorowanie f : Rn
U ! Rn ; (n = m) regularne i globalnie
ró·znowarto´sciowe jest homeomor…zmem na obraz (jest dyfeomor…zmem tej klasy co ).
Przyk÷
ad 5.0.15 Odwzorowanie f : Rn
U ! Rm ; U
Rn ; n < m; regularne i
globalnie ró·znowarto´sciowe nie musi by´c homeomor…zmem na obraz! (odwrotne mo·ze nie
by´c ciag÷e!). We´zmy przyk÷ad "petelka".
¾
Twierdzenie 5.0.4 (Tw o odwzorowaniu regularnym) Je·zeli f : Rn
U ! Rm ;
n < m; jest odwzorowaniem regularnym, to ka·zdy punkt x 2 U ma otoczenie G takie, ·ze
f jG : G ! f [G] jest homeomor…zmem na obraz f [G]
Rm z topologia¾ indukowana¾ z
m
R :
i
h
Dowód. (Analiza IV) Niech w punkcie x 2 U rank fjji (x)
= n: Wtedy istnieje
i m;j n
rosnacy
¾ ciag
¾ indeksów I = (i1 ; :::; in ) ; 1 i1 < ::: < in
jest nieosobliwa. Wybierzmy wspó÷
rzedne
¾
m taki, z·e macierz fjis (x)
j;s
f I = f i1 ; ::; f in :
Z tw o dyfeomor…źmie f I jest dyfeomor…zmem pewnego otoczenia G punktu x na otoczenie G0 = f I [G] punktu f I (x) : Niech I : Rm ! Rn bedzie
¾
rzutem na osie I = (i1 ; :::; in ) :
m
Skoro f jest ciag÷
¾ e to fjG : G ! R tez· jest ciag÷
¾ e, wiec
¾ fjG : G ! f [G] jest tez· ciag÷
¾ e
m
gdzie na f [G] rozwaz·amy topologie¾ indukowana¾ z R : Z diagramu
fjG
G
(zobaczyć przemienność !) fjG
topologie¾ indukowana¾ z Rm :
1
f [G]
% # Ijf [G]
I
fjG
!
G
=
I
= fjG
1
I
Uwaga 5.0.2 Z dowodu widzimy tak·ze, ·ze fjG
(5.0.1)
0
I
jf [G]
fjG
jest ciag÷
¾ e gdzie na f [G] rozwaz·amy
1
jest rzutem na osie I = (i1 ; :::; in ) :
De…nicja 5.0.10 (1) Niepusty podzbiór M
Rm nazywamy n-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ topologiczna¾ je·zeli wraz z topologia¾ indukowana¾ jest rozmaito´scia¾ topologiczna¾ (tzn. je·zeli ka·zdy punkt p 2 M ma otoczenie U otwarte w M które jest homeomor…czne z otwartym podzbiorem Rn : Ka·zdy taki homeomor…zm : U ! V; U
M;
V
Rn nazywamy mapa¾hiperpowierzchnin M . Odwrotny do niego 1 : V ! U nazywa
sie¾ parametryzacja¾M:
(2) Niepusty podzbiór M
Rm nazywamy n-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ kl. C k
je·zeli ka·zdy punkt p 2 M ma mape¾ : M
U !V
Rn wokó÷p dla której parame1
tryzacja
: V ! U M Rm jest ró·zniczkowalna kl. C k i jest regularna.
16
Z uwagi przed de…nicja¾ mamy natychmiastowy wniosek:
Twierdzenie 5.0.5 Niech M bedzie
¾
n wym. podrozmaito´scia¾kl. C k w Rm : Wtedy ka·zdy
punkt p 2 M ma otoczenie U w M na którym istnieje mapa która jest rzutowaniem na
pewne osie, = IjU . Otoczenie to jest wykresem pewnej funkcji n zmiennych.
Dowód. Dla mapy bierzemy parametryzacje f = 1 i przy oznaczeniach j/w mapa¾
w otoczeniu danego punktu jest I jf [G] : f [G] ! G0 : Po odwróceniu odwzorowanie
1
g = I jf [G]
= (g 1 ; :::; g m ) ma wspó÷
rzedne
¾
g i o numerach innych niz· w ciagu
¾ I =
(i1 ; :::; in ) które sa¾ funkcjami zmiennych (xi1 ; ::; xin ) ; jasne tez· z·e g is (xi1 ; ::; xin ) = xis :
Przyk÷
ad n = 2; m = 3: M jest lokalnie wykresem funkcji f (x; y) lub f (x; z) lub
f (y; z) :
Przyk÷
ad, n = 1; m = 3; M jest lokalnie wykresem funkcji (x (z) ; y (z)) lub
(y (x) ; z (x)) lub (x (y) ; z (y)) :
Jez·eli juz· wiemy, z·e M jest hiperpowierzchnia¾to ÷
atwiej sprawdzić aksjomaty na parametryzacje:
Stwierdzenie 5.0.1 Niech M bedzie
¾
hiperpowierzchnia¾ n-wymiarowa¾ kl.
Ck w
przestrzeni Rm : Ka·zde odwzorowanie f : Rn
! Rm regularne i ró·znowarto´sciowe
takie, ·ze f [ ] M jest jej parametryzacja.¾
Dowód. Brakuje tylko otwartości f [ ] w M i ciag÷
¾ ości odwrotnego f 1 : Ustalmy x 2
i p = f (x) : Wokó÷p istnieje mapa : U ! V która jest rzutowaniem na pewne osie
I; = IjU : Poniewaz· na M rozwaz·amy topologie¾ indukowana¾ z Rm to f : ! M jest
ciag÷
¾ e. Zatem G := f 1 [U ] jest otwarty i zawiera x: Weźmy f I = I f: Poniewaz· mapa
I
= IjU jest homeomor…zmem to sk÷
adajac
¾ fjG
= IjU fjG z lewej strony z 1 dostajemy
równość
I
fjG = 1 fjG
;
skad
¾
1
(Df )x = D
f I (x)
I
D fjG
x
:
Poniewaz· róz·niczka (Df )x jest monomor…zmem, to z tej równości wynika natychmiast
I
to, z·e róz·niczka D fjG
x
jest takz·e monomor…zmem co pociaga
¾ za soba¾ (wobec równości
wymiarów) jej izomor…czność. Do f I i punktu x moz·emy zatem zastosować twierdzenie
o dyfeomor…źmie i znaleźć otoczenie x 2 G0
G i f I (x) 2 V 0
V takie, z·e f I :
1
0
0
n
G ! V jest dyfeomor…zmem. Poniewaz· parametryzacja
:R
V !U
M jest
1
0
0
homeomor…zmem to U :=
[V ] jest otwarty w U a wiec
¾ i w M: Ale
U0 =
1
[V 0 ] =
1
f I [G0 ] = f [G0 ]
f [ ]:
Dowodzi to otwartości zbioru f [ ] (kaz·dy jego punkt ma otoczenie otwarte w nim
1
zawarte). Wreszcie, skoro
f =
f I na f 1 [U ] to tym bardziej na G0 wiec
¾
I
fjU10 = fjG
0
1
jU 0 .
: Dowodzi to ciag÷
¾ ości f
17
1
na U 0 a z dowolności p ciag÷
¾ ości f
1
:
Ćwiczenie 5.0.1 Pokaza´c, ·ze odwzorowanie
f : R 2 ! R3
dane wzorami
4u
4v
4 u2 v 2
;
;
4 + u2 + v 2 4 + u2 + v 2 4 + u 2 + v 2
f (u; v) =
jest parametryzacja¾sfery S 2 :
De…nicja 5.0.11 Niech M bedzie
¾
hiperpowierzchnia¾ k-wymiarowa¾ kl. C r w przestrzeni
Rm i niech 1 : U ! M i 2 : V ! M bed
¾ a¾dwoma parametryzacjami w otoczenieu punktu
p 2 M (tzn. p 2 W := 1 [U ] \ 2 [V ]
M ). Funkcja¾ przej´scia od 1 do 2 (inaczej
zmiana¾zmiennych) nazywamy odwzorowanie
=
1
2
1
:
1
1
[W ] !
1
2
(Dla map x i y otoczenia punktu p funkcja przej´scia
y 1 [Dx \ Dy ] )
18
[W ] :
= y
x
1
: x
1
[Dx \ Dy ] !
WYK×AD 5, 7.XII. 2011
Twierdzenie 5.0.6 Niech M bedzie
¾
hiperpowierzchnia¾n-wymiarowa¾kl. C k w przestrzeni
m
R : Funkcja przej´scia dla dwu dowolnych map klasy C k jest dyfeomeor…zmem C k (tej
samej co klasa g÷adko´sci M ).
Dowód. Niech 1 : M U1 ! V1 Rn i 2 : M U2 ! V2
klasy C k takimi, z·e U1 \ U2 6= ?: Oczywiście odwzorowanie
=
1
2
1
:
1
[U1 \ U2 ] !
2
Rn beda
¾ dwoma mapami
[U1 \ U2 ]
jako z÷
oz·enie dwu homeomor…zmów jest homeomor…zmem. Wystarczy pokazać g÷
adkość
1
(z symetrii za÷
oz·eń oznaczać to bedzie
¾
takz·e g÷
adkość odwrotnego, bo
= 1 2 1 ).
adkość
Weźmy dowolnie punkt x2 1 [U1 \ U2 ] i niech y = (x) = 2 1 1 (x) : Pokaz·emy g÷
w otoczeniu punktu x: Z regularności parametryzacji 2 1 wynika, z·e istnieja¾ indeksy
I
1
I = (i1 ; :::; ik ), 1 i1 < ::: < ik
m takie, z·e 2 1 := I
2 jest dyfeomor…zmem
1 I
otoczenia punktu G punktu y na pewien zbiór otwarty
w Rn ;
: G ! :
2
jG
Oznaczmy odwrotny do niego dyfeomor…zm przez : ! G; wtedy w otoczeniu punktu
p = 2 1 (y) mamy równość
I
2 =
skad
¾ w otoczeniu punktu x mamy
=
1
2
1
I
=
a to jest g÷
adkie, co dowodzi g÷
adkości
1
=
I
1
na otoczeniu punktu x:
Wniosek 5.0.1 Hiperpowierzchnia n-wymiarowa klasy C k w Rm jest w naturalny sposób
rozmaito´scia¾ró·zniczkowa¾klasy C k (wszystkie mapy klasy C k tworza¾atlas klasy C k ).
Zadanie dla m÷
odych …zyków (aby wzmocnili si÷
y a analizy wielu zmiennych).
Twierdzenie 5.0.7 (O funkcji uwik÷
anej) Korzystajac
¾ z twierdzenia o dyfeomorp
…´zmie udowodni´c twierdzenie o funkcji
Rq ! Rp jest funkcja¾
h uwik÷
ianej: je·zeli f : R
klasy C k taka,¾ ·ze f (a; b) = 0 i det fjji (a; b)
6= 0 {dziedzina f mo·ze by´c mniejsza i;j p
otoczenie punktu (a; b))} to istnieje otoczenie a 2 V
Rp i otoczenie b 2 W
Rq takie,
·ze je·zeli w 2 W to istnieje jedyny punkt v (w) 2 V dla którego f (v (w) ; w) = 0: Funkcja
W ! V okre´slona wzorem w 7 ! v (w) jest klasy C k :
Jako zastosowanie rozwiazać
¾ zadanie:
Ćwiczenie 5.0.2 a) Korzystajac
¾ wy÷¾
acznie z tw. o funkcji uwik÷anej pokaza´c, ·ze zbiór
n
o
2
T = (x; y; z) ; x2 + y 2 + z 2 + 3 = 16 x2 + z 2
R3
jest 2-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾klasy C 1 :
b) Pokaza´c, ·ze jest to powierzchnia obrotowa powsta÷a przez obrót okregu
¾ (y
1 wokó÷osi OZ (jest to wiec
¾ torus).
c) Znale´z´c atlas z÷o·zony z trzech map.
2)2 +z 2 =
Ćwiczenie 5.0.3 Niech p (t) = (y (t) ; z (t)) bedzie
¾
funkcja¾ [przebiegiem] klasy C 1 w R2
(o zmiennych (y; z)) ró·znowarto´sciowym i takim, ·ze y (t) > 0: Pokaza´c, ·ze po obrocie
wokó÷osi OZ otrzymamy powierzchnie¾ klasy C 1 : Znale´z´c atlas z÷o·zony z dwu map.
19
6
Odwzorowania g÷
adkie miedzy
¾
rozmaitościami
De…nicja 6.0.12 Odwzorowaniem klasy C k z rozmaito´sci ró·zniczkowej M klasy C k o
atlasie A w rozmaito´s´c N klasy C k o atlasie B mazywamy funkcje F : M ! N taka,¾ ·ze
dla ka·zdego punktu p 2 M istnieje mapa 2 A i mapa 2 B takie, ·ze
a) p 2 D ; F (p) 2 D ;
b) F (D ) D ;
1
c) odwzorowanie
F
2 C k (jako odwzorowanie miedzy
¾ podzbiorami otwartymi
dim M
dim N
w przestrzeniach kartezja´nskich R
wR
).
Odwzorowanie F : M ! N jest ciag÷
¾ e. Jez·eli F : M ! N jest ciag÷
¾ e to jest klasy C k
1
gddy dla kaz·dego 2 A i 2 B odwzorowanie
F
2 C k (z ciag÷
¾ ości F mamy
1
1
F (D ) jest otwarty, wiec
¾ dla dowolnego p 2 F (D ) znajdziemy mape¾ 2 A taka,
¾
z·e D
F 1 (D ) ; skad
¾ F (D ) D :
De…nicja 6.0.13 Odwzorowanie F : M ! N nazywamy dyfeomor…zmem klasy C k je´sli
jest bijekcja¾oraz F i F 1 sa¾klasy C k :
Ćwiczenie 6.0.4 We´zmy P : R2 ! R2 okre´slone wzorem
P (x; y) = ax3
3axy 2 + bx2
by 2 + xx + d; 3ax2 y
ay 2 + 2bxy + cy ;
gdzie a2 + b2 + c2 > 0: Za pomoca¾rzutu stereogra…cznego h+ okre´slamy odwzorowanie
f : S2 ! S2
wzorem
f (p) =
h+1 P h+ (p) ;
p 6= (0; 0; 1)
(0; 0; 1) ;
p = (0; 0; 1) :
Pokaza´c, ·ze f : S 2 ! S 2 jest klasy C 1 :
Ćwiczenie 6.0.5 Uogólnienie powy·zszego: Niech ! : C ! C bedzie
¾
ustalonym wielomianem zespolonym ró·znym od sta÷ej.
! (z) = a0 z n + a1 z n
1
+ ::: + an ;
gdzie ai 2 C dla i = 0; 1; :::; z 2 C: Uto·zsamiamy C = R2 : Rozwa·zmy rzut stereogra…czny
h+ z bieguna pó÷nocnego i po÷ó·zmy f : S 2 ! S 2 okre´slone wzorem
g (p) =
h+1 ! h+ (p) ; p 6= (0; 0; 1)
:
(0; 0; 1) ; p = (0; 0; 1) :
Pokaza´c g÷adko´s´c (klase¾ C 1 ) odwzorowania g miedzy
¾ hiperpowierzchniami - sferami S 2 .
Poda´c przyk÷ad odwzorowania ! : R2 ! R2 którego wspó÷rzedne
¾
sa¾ wielomianami rzeczywistymi, dla którego teza nie zachodzi.
Ćwiczenie 6.0.6 Kontynuacja zadania (5.0.2). Pokaza´c, ·ze powierzchnia T jest dyfeomor…czna z produktem kartezja´nskim S 1 S 1 :
20
Kolejne waz·ne pytanie: Czy ka·zda spójna rozmaito´s´c ró·zniczkowa jest dyfeomor…czna z hiperpowierzchnia?
¾ Otó·z tak jest gddy topologia rozmaito´sci jest parazwarta.
(parazwarto´s´c wprowadzi÷Dieudonne, za´s twierdzenia o zanurzaniu pochodza¾ od Whitneya, koniec lat 40-tych).
Twierdzenie 6.0.8 (Twierdzenie o zanurzaniu) Ka·zda spójna n wymiarowa rozmaito´s´c ró·zniczkowa Hausdor¤a i parazwarta jest dyfeomor…czna z pewna¾hiperpowierzchnia¾n wymiarowa¾w przestrzeni R2n+1 :
7
Zbiory mierzalne na rozmaitości, miara i ca÷
ka
Lebesque’a na hiperpowierzchni
De…nicja 7.0.14 Niech M bedzie
¾
n-wymiarowa¾rozmaito´scia¾topologiczna.¾ Podzbiór A
M nazywamy mierzalny w sensie Lebesque’a je·zeli w Rn dla ka·zdej parametryzacji : V !
U M zbiór 1 [A \ [V ]] jest mierzalny w sensie Lebesque’a w Rn : Oznaczmy rodzine¾
tych zbiorów przez MM : Podzbiór A
M nazywamy zbiorem miary 0 je·zeli dla ka·zdej
parametryzacji : V ! U
M zbiór 1 [A \ [V ]] Rn ma zerowa¾ miare¾ Lebesque’a
w Rn :
Pytanie. Czy jest prawda,¾ z·e jez·eli dla ustalonej parametryzacji na rozmaitości
1
topologicznej M i podzbioru A
[D ] mamy
[A \ [D ]] jest mierzalny to czy
n
zbiór A 2 MM ? Czy dla M = R rodzina MRn powyz·ej zde…niowana = rodzina zbiorów
mierzalnych w sensie Lebesque’a na Rn ?
Twierdzenie 7.0.9 (i) Rodzina MM jest -cia÷em (czyli przeliczalnie addytywnym
cia÷em) zbiorów zawierajacym
¾
wszystkie zbiory borelowskie (tzn. zbiory z najmniejszego
-cia÷a podzbiorów M zawierajacego
¾
zbiory otwarte.
(ii) Rodzina MM jest jest zupe÷na, tzn. ka·zdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny
i ma miare¾ 0:
Dowód. (i)
1) MM jest przeliczalnie addytywnym cia÷
em podzbiorów przestrzeni M:
a) ? 2 MM ;
b) gdy A 2 MM to M A 2 MMS
;
c) gdy An 2 MM ; n = 1; 2; ::: to 1
n=1 An 2 MM :
1
Niech bedzie
¾
dowolna¾ parametryzacja¾ na M: a) S1 [?] = ?; b)
[M A] =
S
1
1
1
1
1
[M ]
[A] = V
[A] jest mierzalny, c)
A
=
[An ] jest
n2N n
n2N
mierzalny.
2) kaz·dy zbiór A otwarty w M nalez·y do MM bo 1 [A] jest otawarty w Rn ;
3) kaz·dy podzbiór borelowski nalez·y do MM : Istotnie, skoro M
MM a MM jest
-cia÷
em to najmniejsze -cia÷
o zawierajace
¾ M musi być zawarte w MM :
(ii) Niech A bedzie
¾
miary 0 i niech B
A: Wówczas dla dowolnej parametryzacji
1
1
mamy
[B \ [D ]]
[A \ [D ]] : Ten drugi jest mierzalny, wiec
¾ z zupe÷
ności
miary Lebesque’a na Rn mamy mierzalność i miare¾ zero dla 1 [B \ [D ]] :
21
Twierdzenie 7.0.10 (O istnieniu miary i ca÷
ki Lebesque’a na hiperpowierzchni)
MIARA) Niech M
Rm bedzie
¾
n-wymiarowa¾ hiperpowierzchniowa¾ klasy C 1 : Wówczas
istnieje dok÷adnie jedna miara M okre´slona na -ciele MM taka, ·ze
(*) dla dowolnej parametryzacji : V ! U M [klasy C 1 ] je·zeli A
[V ] i A 2 MM
to jego miara jest równa
Z
j 0j
M (A) =
1
[A]
0
gdzie j j oznacza tzw. modu÷pochodnej okre´slony nastepujaco:
¾
gdy
U ! Rm to
v
u
i1
in 2
u
j1
j1
u
X
.
.. :
0
u
..
j j=t
.
i1
jn
1 i1 <:::<in m
=
1
; :::;
m
:
in
jn
CA×KA) Funkcja rzeczywista f : A ! R okre´slona na zbiorze mierzalnym A
M
hiperpowierzchni M wymiaru n jest mierzalna w/g miary gddy dla ka·zdej parametryzacji
: V ! U
M superpozycja f
jest mierzalna wzgledem
¾
n-wymiarowej min
ary Lebesque’a na R : W szczególno´sci ka·zda funkcja ciag÷
¾ a na M jest mierzalna. Je´sli
A 2 MM i A
[V ], gdzie : V ! U M jest parametryzacja,¾ to dla dowolnej funkcji
rzeczywistej f : A ! R mierzalnej w sensie miary M zachodzi wzór
Z
Z
f d M=
f
j 0j :
1
A
W szczególno´sci
jAj =
Z
1 d
M
A
[A]
=
Z
1
[A]
j 0j :
WYK×AD 6, 13.XII. 2011
Dowód. Przestrzeń Rm z naturalna¾ topologia¾ jest ośrodkowa. Istotnie, prostopad÷
ościany o wymiernych bokach f(x1 ; :::; xn ) ; ai < xi < bi ; i = 1; 2; :::; mg ai ; bi 2 Q sa¾ rodzina¾ przeliczalna¾ i rodzina ta stanowi baze.
¾ Podzbiór M przestrzeni ośrodkowej jest
przestrzenia¾ ośrodkowa¾ (przeciecia
¾ Bn \ M stanowia baze¾ dla M ).
Twierdzenie Lindelöfa.
Dla ka·zdej rodziny (At )t2T podzbiorów
otwartych
S
S
przestrzeni o´srodkowej istnieje podzbiór przeliczalny T0 T taki, ·ze t2T0 At = t2T At :
Dowód nietrudny, patrz np. Sikorski BM 28, Tw. III, 5.1.
Hiperpowierzchnia M jest ośrodkowa (jako podzbiór Rm ). M jest suma¾ otwartych
w M podzbiorów U które sa¾ dziedzinami map. Z Tw. Lindelöfa wynika, z·e z rodziny
tych otwartych podzbiorów U pokrywajacych
¾
M moz·na wybrać ciSag
¾ przeliczalny Un : Tzn.
istnieje ciag
¾ parametryzacji n : Vn ! Un
M taki, z·e M = 1
n=1 n [Vn ] : Określamy
rodzine¾ podzbiorów:
— B1 = 1 [V1 ] ;
— Bn = n [Vn ] n 1 [V1 ] [ ::: [ n 1 [Vn 1 ] dla n > 1:
22
S
Zbiory te nalez·a¾ do MM (bo sa¾ borelowskie), sa¾ roz÷
aczne
¾
oraz M = 1
n=1 Bn : Dla
dowolnego zbioru A 2 MM oznaczmy Cn = Bn \ A: Oczywiście Cn 2 MM : K÷
adziemy
M
(A) =
1 Z
X
n=1
n
1
[Cn ]
j
0
nj :
S
×atwo sprawdzamy, z·e M P
jest miara¾(dla A = 1
acznych
¾
mierzalm=1 Am podzbiorów roz÷
1
nych zachodzi M (A) = m=1 M (Am ) - sprawdzić! ). Teraz sprawdzamy spe÷
nienie
warunku (*). Niech A
[V ] gdzie A 2 MM i parametryzacji : V ! U
M: Oz: Wtedy dla Cn = Bn \ A
naczmy przez n funkcje przejścia dla n i ; n = n 1
mamy Cn U \ Un oraz
1
[Cn ] = n 1 [Cn ] :
n
Z Tw o ca÷
kowaniu przez podstawienie
Z
Z
0
j nj =
(j
n
1
1
[Cn ]
[Cn ]
0
nj
n)
j
0
nj
=
Z
1
[Cn ]
j 0j
0
0
(bo (j 0n j
y Sikorski V 3.5
prostych w÷
asności
n ) j n j = j j - patrz szczegó÷
R - na mocy
0
wyznaczników). Sumujac
¾ po n otrzymujemy M (A) =
j j : Warunek (*) określa
1
[A]
miare¾ jednoznacznie.
CA×KA) Najpierw pomocniczy lemat:
Lemat. Dowolna hiperpowierzchnia M 0 wymiaru < n zawarta w hiperpowierzchni
n-wymiarowej M ma miare¾ M równa¾ zeru.
Dowód lematu. Wystarczy pokazać, z·e dla dowolnej parametryzacji
: V !
1
1
0
0
U
M zbiór
[M ] ma miare¾ zero. Oczywiście
[M ] jest hiperpowierzchnia¾ w
V (ćwiczenie! ). Zagadnienie sprowadza sie¾ zatem do pokazania, z·e hiperpowierzchnia
M w Rm wymiaru < m ma miare¾ Lebesque’a m-wymiarowa¾ równa¾ zeru. Tak jest w
istocie, bo z tw. Lindelöfa M jest suma¾ przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych w M
które sa wykresami funkcji kl. C k : Wiemy z klasycznej teorii z·e wykres taki (nawet dla
funkcji mierzalnej) ma miare¾ zero.
Cd dowodu. Dowód klasyczny: najpierw dla funkcji charakterystycznych zbioru
mierzalnego, potem dla funkcji prostej, potem przez przejście graniczne dla funkcji
mierzalnych nieujemnych i wreszcie dla dowolnych mierzalnych przez roz÷
oz·enie na sum¾
e
cześci
¾ niedodatniej i nieujemnej.
Ćwiczenie 7.0.7 (1) Gdy n = 1; tzn. M = L jest krzywa¾ w Rm o parametryzacji
dla mierzalnego zbioru A
(D ) i funkcji mierzalnej f : A ! R otrzymujemy
Z
Z
q
1 0
f d M=
f
(t)
(t)2 + ::: + ( m )0 (t)2 dt:
A
1
to
[A]
(2) dla n = 2 i m = 3 (powierzchnia 2-wymiarowa w R3 ) dostajemy wzór ( ; A i f
jak wy·zej)
Z
Z
@
@
f d M=
f
(x; y)
dxdy:
1
@x @y
A
[A]
23
Ćwiczenie 7.0.8 Obliczy´c pole powierzchni równoleg÷oboku w R4 rozpietego
¾
na wektorach [1; 2; 3; 4] ; [2; 0; 2; 3] (równoleg÷obok jest mierzalnym podzbiorem na odpowiedniej
p÷aszczyznie - 2-wymiarowej hiperpowierzchni w R4 ). Uogólni´c rezultat na obliczenie objeto
¾ ´sci k-wymiarowego równoleg÷o´scianu rozpietego
¾
na wektorach a1 ; ::; ak w przestrzeni n
wymiarowej Rn :
8
Przeciwobraz wartości regularnej
Poznamy tu tylko najprostsza¾wersje¾ twierdzenia o przeciwobrazach. Dla duz·o ogólniejszej
patrz znakomita ksia¾z·ka
— R.Narasimhan Analysis on complex and real manifolds.
De…nicja 8.0.15 Niech F : Rn
! Rm bedzie
¾
odwzorowaniem kl. C k : Punkt x 2
nazywamy punktem krytycznym je·zeli ró·zniczka (DF )x : Rn ! Rm nie jest epimor…zmem.
Równowa·znie, je·zeli macierz Jacobiego (JF )x ma rzad
¾ mniejszy od m: Obraz F (x) punktu
x nazywamy warto´scia¾krytyczna¾odwzorowania F . Punkt y 2Rm który nie jest warto´scia¾
krytyczna¾nazywa sie¾ warto´scia¾regularna.¾
W szczególności, kaz·dy punkt y 2Rm nF [ ] jest wartościa¾ regularna.
¾ Zauwaz·my tez·,
z·e punkt y 2 F [ ] jest wartościa¾ regularna¾ jez·eli z·aden punkt x 2 F 1 [fyg] nie jest
krytyczny.
Przyk÷
ad 8.0.16 We´zmy F (x; y) = x2 + y 2 : Czy 1 jest warto´scia¾ regularna?
¾ Zbadamy
1
1
2
2
punkty z przeciwobrazu F [f1g] = S = f(x; y) ; x + y = 1g : Niech (x0 ; y0 ) 2 S 1 :
Obliczamy macierz Jacobiego (JF )(x0 ;y0 ) = [2x0 ; 2y0 ] : Jej rzad
¾ jest mniejszy od 1 gdy jest
1
równy 0 t.j. gdy x0 = 0 = y0 : Ale (0; 0) nie nale·zy do S : Zatem 1 jest warto´scia¾regularna.¾
Twierdzenie 8.0.11 Je·zeli F : Rn
! Rm jest odwzorowaniem kl. C k i a 2 Rm jest
warto´scia¾regularna¾taka,¾ ·ze F 1 [fag] 6= ? to przeciwobraz F 1 [fag] jest hiperpowierzchnia¾n m wymiarowa¾klasy C k :
Dowód. Niech x0 2 F 1 [fag] : Z za÷
oz·enia, z·e a jest wartościa¾ regularna¾ mamy (DF )x0 :
n
m
R ! R jest epimor…zmem, tzn. jego rzad
¾ (czyli rzad
¾ macierzy Jacobiego) jest równy
m: Oczywiście n m: Z de…nicji rzedu
¾ macierzy wynika, z·e istnieja¾ indeksy j1 < ::: < jm
ze zbioru f1; 2; :::; ng takie, z·e
det Fjji s (x0 )
i;s m
6= 0:
Dla uproszczenia rozwaz·ań, zmieńmy numeracje zmiennych, tak aby j1 ; :::; jm by÷
y ostatnimi m indeksami spośród f1; 2; :::; ng ; t.j. aby to by÷
y to n m + 1; n m + 2; :::; n:
Weźmy pomocniczo odwzorowanie
! Rn
G:
G (x1 ; :::; xn ) = x1 ; :::; xn
m; F
1
(x1 ; :::; xn ) ; :::; F m (x1 ; :::; xn ) :
24
Obliczmy jego macierz Jacobiego w punkcie x0
2
1
0
6 ..
..
6 .
.
6
6 0
1
(JG)x0 = 6
6 0
0 Fjn1 m+1
6
6 ..
..
..
4 .
.
.
0
0
Fjn1
3
Fjnm
m+1
..
.
Fjnm
(w lewym górnym rogu jest macierz jednostkowa wymiaru n
det (JG)x0 = 1 det Fjni
7
7
7
7
7
7
7
7
5
m+s 1 i;s m
m: ).
6= 0:
Z Tw. o dyfeomor…źmie G jest dyfeomor…zmem pewnego otoczenia
otoczenie 00 punktu G (x0 ) = (x01 ; :::; x0n m ; a1 ; :::; am )
0
Gj
:
0
00
!
0
punktu x0 na
:
Wykaz·emy, z·e
G
gdzie H jest n
"
" Niech b 2
". Niech y 2
0
\F
1
00
1
(a) =
00
\H
00
(a) : Wtedy G (b) 2 G [ 0 ] =
m; F
1
00
: Poza tym F (b) = a wiec
¾
(b) ; :::; F m (b) = (b1 ; :::; bn
m ; a1 ; :::; am )
2 H:
\ H: Wówczas
yn
oraz skoro
\F
m wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ (hiperp÷
aszczyzna)
¾ o równaniu
8
xn m+1 = a1
>
>
<
xn m+2 = a2
:::
>
>
:
x n = am :
G (b) = b1 ; :::; bn
"
0
m+1
= a1 ; :::; yn
m+m
= an
= G [ 0 ] to y = G (b) dla pewnego b 2 V: Zatem
(y1 ; :::; yn ) = (y1 ; :::; yn
m ; a1 ; :::; am )
= G (b) = b1 ; :::; bn
m; F
1
(b) ; :::; F m (b) :
Stad
¾
ai = F i (b)
t.j.
a = F (b)
co oznacza, z·e b 2 F
równości.
1
(a) : Zatem y = G (b) dla b 2 F
25
1
(a) \
0
: Dowodzi to szukanej
Wez·my
V = f(x1 ; :::; xn
m) ;
(x1 ; :::; xn
i homeomor…zm (obciecie
¾ rzutu na pierwsze n
prjH : H ! Rn
m
;
(x1 ; :::; xn
m ; a1 ; :::; am )
2
00
\ Hg
m osi)
m ; a1 ; :::; am )
7 ! (x1 ; :::; xn
m) ;
oraz
U=
0
\F
1
(a)
F
1
(a) - otwarty podzbiór w F
Pokaz·emy, z·e
f =G
1
(prjH)
1
1
(a) :
jV
dane wzorem
f (x1 ; :::; xn
m)
=G
1
(x1 ; :::; xn
m ; a1 ; :::; am )
jest parametryzacja¾ zbioru F 1 (a) w otoczeniu x0 :
1) jest kl. C k bo G 1 jest kl. C k :
2) jest homeomor…zmem Rn
U ! F 1 (a) \ V
F 1 (a) jako z÷
oz·enie homeomor…zmów.
3) jest regularne poniewaz· jego macierz Jacobiego zbudowana jest w ten sposób, z·e
wierszami sa pochodne czastkowe
¾
G 1 po x1 ; :::; xn m a one sa¾ liniowo-niezalez·ne.
WYK×AD 7, 20.XII. 2011
Uogólnienie bez dowodu (ćwiczenie)
Twierdzenie 8.0.12 (a) Je·zeli F : ! Rm jest klasy C k i Q Rm jest hiperpowierzchnia¾ wymiaru r: Je·zeli F 1 [Q] 6= ? i ka·zdy punkt y 2 Q jest warto´scia¾ regularna¾ odwzorowania F to F 1 [Q] jest te·z hiperpowierzchnia¾kl. C k i obie Q oraz F 1 [Q] maja¾ten
sam kowymiar, tzn n dim F 1 [Q] = m dim Q:
UWAGA. Po wprowadzeniu wektorów stycznych do rozmaitości i przestrzeni stycznych oraz róz·niczki odwzorowania miedzy
¾
rozmaitościami oraz pojecia
¾ podrozmaitości
moz·na bedzie
¾
÷
atwo uogólnić powyz·sze dwa twierdzenia na odwzorowanie F miedzy
¾
rozmaitościami. Poza tym moz·na iść jeszcze dalej w kierunku twierdzenia
Twierdzenie. Niech F : M ! N bedzie
¾
odwzorowaniem klasy C k ; Q
N podrozmaitościa¾ N . Jez·eli F jest transwersalne do Q; tzn. dla kaz·dego x 2 F 1 [Q]
zachdzi równość przestrzeni wektorowych
Im (DF ) (x) + TF (x) Q = TF (x) N;
wówczas F 1 (Q) jest podrozmaitościa¾ rozmaitości M:
Dowód w Narasimhanie.
26
Ćwiczenie 8.0.9 Zadanie 58. Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowania
g : R2 ! R;
(x; y) 7 ! x2 + y 2
2
4a x3 + y 2 (a + x) ;
a 6= 0:
Ćwiczenie 8.0.10 Zadanie 59. Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowania
g : R2 n f(0; 0)g ! R;
(x; y) 7 ! x2 + y 2
2
4a x3 + y 2 (a + x) ;
a 6= 0:
Ćwiczenie 8.0.11 Zadanie 60. Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowania
g : R2 ! R;
(x; y) 7 ! x x2 + y 2
2ay 2 ;
a 6= 0:
Ćwiczenie 8.0.12 Zadanie 61. Czy 0 jest warto´scia¾regularna¾odwzorowania
g : R2 ! R;
(x; y) 7 ! x2 + y 2
3
a2 x 2 y 2 ;
a 6= 0:
Przyk÷
ad 8.0.17 62 Czy zbiór H = f(x; y; z) 2 R3 ; xy = z 3
hiperpowierzchnia?
¾
Ćwiczenie 8.0.13 Zadanie 63. Pokaza´c, ·ze podzbiory f
hiperpowierzchniami kl. C 1 (a 6= 0; b 6= 0 )
f : R3 ! R;
g : R3 ! R;
h : R3 ! R 2 ;
Pokaza´c, ·ze h
1
(x; y; z) 7 ! x2 + y 2
1
3; yz = x + x2 g jest
(0) ; g
1
(0) ; h
1
(0) sa¾
a2 ;
z
sinh ;
b
2
2
(x; y; z) 7 ! x + y
a2 ; y
(x; y; z) 7 ! y
sinh
z
:
b
(0) jest linia¾´srubowa.¾
Ćwiczenie 8.0.14 Zadanie 64. Pokaza´c, ·ze podzbiory M = f
M \ N sa hiperpowierzchniami kl. C 1 (a > 0 )
f : R3 ! R;
g : R3 ! R;
1
(0) ; N = g
1
(0) ; oraz
(x; y; z) 7 ! x2 + y 2 + z 2 a2 ;
(x; y; z) 7 ! x2 + y 2 ax:
Ćwiczenie 8.0.15 Zadanie 65. Sprawdzi´c, ·ze zbiór
x2
y2 + z3 =
1
opisuje powierzchnie. Znale´z´c jej dowolna¾parametryzacje¾ w otoczeniu punktu (0; 1; 0) :
Ćwiczenie 8.0.16 Zadanie 66. Pokaza´c, ·ze M = h
h : R3 ! R 2 ;
(x; y; z) 7 ! x2 + y 2 + z 2
27
1
(0) jest krzywa¾kl. C 1 dla
1; x2 + y 2
2x :
9
Grupy Liego
9.1
De…nicja i wstepne
¾
w÷
asności
Rozmaitości róz·niczkowe i odwzorowania klasy C 1 bedziemy
¾
nazywać krótko g÷adkimi.
De…nicja 9.1.1 Grupa¾Liego nazywamy grupe¾ G która ma strukture¾ g÷adkiej rozmaito´sci
ró·zniczkowej [nie zak÷adamy apriori ·
zadnych aksjomatów oddzielania ani II aksjomatu
przeliczalno´sci - bedzie
¾
to wynika÷o z aksjomatów] i dla której grupowe dzia÷anie
:G
G!G
jest g÷adkie.
Przyk÷
ad 9.1.1 Grupa Rn z dodawaniem i standardowa¾struktura¾g÷adkiej rozmaito´sci w
Rn jest grupa¾Liego bo dodawanie + : Rn Rn ! Rn jest odwzorowaniem g÷adkim.
Przyk÷
ad 9.1.2 Grupa macierzy rzeczywistych nieosobliwych GL (n; R) jako otwarty
2
podzbiór w Rn jest g÷adka¾ rozmaito´scia,¾ mno·zenie macierzy (AB)ji = k Aki Bkj jest
okre´slone po wspó÷rzednych
¾
jako funkcja wielomianowa, jest wiec
¾ g÷adka. Zatem GL (n; R)
jest grupa¾Liego.
Ćwiczenie 9.1.1 Je·zeli F : Rn
! Rm jest odwzorowaniem klasy C k oraz M
Rn i N
Rm sa¾ hiperpowierzchniami klasy C k takimi, ·ze F [M ]
N; to indukowane
k
odwzorowanie F : M ! N jest klasy C :
Przyk÷
ad 9.1.3 Hiperpowierzchnia g÷adka S 1
C z mno·zeniem liczb zespolonych
(z; w) 7 ! z w (w zapisie wyk÷adniczym dla liczb o module 1 eti e i = e(t+ )i ) tworzy grupe¾
Liego. Dlatego, ·ze mno·zenie liczb zespolonych C C ! C (R2 R2 ! R2 ) jest g÷adkie
wiec
¾ jego obciecie
¾ do S 1 S 1 ! S 1 na mocy poprzedniego ´cwiczenia jest te·z g÷adkie.
Przyk÷
ad 9.1.4 Je´sli G1 i G2 sa¾grupami Liego, to produkt kartezja´nski G1
duktem rozmaito´sci i produktem mno·zenia grupowego jest grupa¾Liego.
G
La
G2 z pro-
Niech G bedzie
¾
grupa¾ Liego. Lewa translacja La : G ! G; La (g) = ag; jest g÷
adka (
g7 !(a;g)
adka oraz La 1 jest odwrotne do La ; La
! G G ! G ); skoro La 1 tez· jest g÷
1 = Id oraz La 1
La = Id to La jest g÷
adkim dyfeomor…zmem.
Analogicznie prawa translacja Ra : G ! G; Ra (g) = ga; jest tez· dyfeomor…zmem.
Twierdzenie 9.1.1 Je·zeli G jest grupa¾ Liego to operacja odwracania elementów
G ! G; g 7 ! g 1 ; jest dyfeomor…zmem.
1
:
Dowód. Poniewaz· 1 : G ! G jest bijekcja¾ oraz odwrotna¾ jest ona sama to wystarczy
pokazać g÷
adkość odwracania. Pokaz·emy, z·e wystarcza udowodnić g÷
adkość w otoczeniu
jedności e 2 G: Weźmy dowolnie g 2 G: Zauwaz·my, z·e
1
Rg
1
1
Lg
1
= Rg
1
(h) = Rg
1
= h 1 gg
1
Lg 1 ;
1
g 1 h = Rg
1
=h
1
28
=
1
1
(h) ;
g 1h
1
= Rg
1
h 1g
poza tym Lg 1 przeprowadza otoczenie punktu g na otoczenie jedności e; wiec
¾ jeśli 1 jest
1
1
g÷
adka w otoczeniu jedności e to
= Rg 1
Lg 1 jest g÷
adka w otoczeniu g:
1
Do pokazania g÷
adkości
w otoczeniu jedności e weźmy dowolna¾ mape¾ : U ! V
w otoczeniu e 2 U: Poniewaz· mnoz·enie : G G ! G jest g÷
adkie, to jest ciag÷
¾ e,
wiec
¾ ( ) 1 U G G jest otwartym otoczeniem (e; e) a, z·e na produkcie mamy topologie¾
produktowa,
¾ to istnieje otoczenie e 2 V takie, z·e V V
( ) 1 U czyli V 2 U: Przenieśmy
mnoz·enie : V V ! U za pomoca¾ mapy jV i do otwartych podzbiorów przestrzeni
Euklidesowej Rn (n = dim M )
V
[V ]
!
V
#
[V ]
U
#
f
!
[U ] :
Poniewaz· g e = g to hf (w; 0) =
¾ w szczególności
i w dla wszystkich w 2 [V ] : Stad
j
6 0: Dla lepszego ogladu
=
¾ oznaczmy identyczne
fjji (0; 0) = i czyli det fjji (0; 0)
i;j n
czynniki w V V przez V1 i V2 kolejno. Z twierdzenia o funkcji uwik÷
anej istnieja¾otoczenia
0
0
0 2 V1
V oraz 0 2 V2 i jednoznacznie określone g÷
adkie odwzorowanie : V20 ! V10
które jest uwik÷
ane w równanie f (x; y) = 0 czyli spe÷
niajace
¾ równość
f ( (y) ; y) = 0:
Pozostaje zauwaz·yć, z·e odwzorowanie odpowiada w mapie odwracaniu elementów w
1
grupie G;
= 1 : Istotnie, z przemienności diagramu mamy
1
1
(f (x; y)) =
zatem, skoro (e) = 0; to f (x; y) = 0 gddy
f ( (y) ; y) = 0 otrzymujemy
1
Dla y =
1
(y) =
(y) ;
1
(x)
1
(0) = e:
1
(y) = e; skad
¾ z równości
(g) jest
1
9.2
( (y))
1
(x)
1
( ( (g)))
( (g)) = e
1
( ( (g))) g = e
1
( ( (g))) = g 1 :
Grupy topologiczne, podstawowe w÷
asności topologiczne.
Uwaga 9.2.1 W de…niowaniu grupy topologicznej trzeba do÷o·zy´c aksjomat o ciag÷
¾ o´sci
odwracania - nie ma z czego tego wywnioskowa´c /powinien by´c przyk÷ad grupy na prz.
top. dla której mno·zenie jest ciag÷
¾ e a odwracanie nie - nie znam.
Lemat 9.2.1 Elementarne w÷
asno´sci topologiczne grupy topologicznej [w szczególno´sci
grupy Liego]. Niech G bedzie
¾
grupa¾topologiczna¾i niech U; V bed
¾ a¾jej otwartymi podzbiorami.
29
Dla a 2 U zbiór
aU := La [U ]
jest otwarty /La jest homeo.
U V = fgh; g 2 U; h 2 V g =
jest otwarty.
[
g
gV
Je´sli e 2 U to istnieje otwarte otoczenie jedno´sci e 2 W takie, ·ze W 2
ciag÷
¾ o´sci mno·zenia.
1
U
jest te·z otwarty / bo
1
jest homeo.
U /z
= g 1; g 2 U
Je´sli e 2 U to istnieje otwarte otoczenie jedno´sci e 2 V takie, ·ze V = V 1 i V 2 U
/ bierzemy najpierw otoczenie e 2 W takie, ·ze W 2 U a nastepnie
¾
V = W \ W 1:
Uwaga 9.2.2 Oczywiste: je´sli G jest grupa¾ topologiczna¾ i H
G jest podgrupa,¾
to H z topologia¾ indukowana¾ jest podgrupa¾ topologiczna.¾ Podgrupe¾ która jest otwartym podzbiorem nazywamy otwarta¾podgrupa,¾ za´s która jest domknietym
¾
podzbiorem domkniet
¾ a¾podgrupa.¾
Lemat 9.2.2 Podgrupa otwarta H grupy topologicznej G jest te·z domknieta.
¾
Dowód. Pokaz·emy z·e G H jest podzbiorem otwartym. Niech g 2
= H: Wtedy gH
(G H) : Istotnie, niech x 2 gH i przypuśćmy, z·e x 2
= G H; czyli x 2 H wówczas x = gh
dla pewnego h 2 H i g = xh 1 2 H wbrew za÷
oz·eniu. Stad
¾
[
(gH)
G H=
g 2H
=
jest otwarty.
Stwierdzenie 9.2.1 Spójna grupa topologiczna G jest generowana przez dowolne otoczenie otwarte jedno´sci.
Dowód. Niech U bedzie
¾
otwartym otoczeniem jedności e 2 U
G: Oznaczmy przez H
najmniejsza¾ podgrupe¾ G zawierajac
¾ a¾ U (jest to podgrupa generowana przez U ). H jest
otwarta bo dla dowolnego h 2 H zachodzi hU H: Z lematu H jest tez· domknieta,
¾ wiec
¾
ze spójności H = G:
Lemat 9.2.3 Je´sli G jest grupa¾topologiczna¾T1 to jest T2 :
Dowód. Najpierw za÷
óz·my, z·e g 6= e: Pokaz·emy, z·e istnieja¾ otwarte otocznia e i g
roz÷
aczne.
¾
Z za÷
oz·enia T1 istnieje otoczenie e 2 U nie zawierajace
¾ g; g 2
= G: Z ciag÷
¾ ości
mnoz·enia i odwracania (elementarne w÷
asności) znajdujemy otoczenie e 2 V takie, z·e
V
1
V
U:
Wówczas V g \ V = ?: Istotnie, gdyby istnia÷x 2 V g \ V to x = hg dla pewnego h 2 V
stad
¾ g = h 1x 2 V 1V
U wbrew za÷
oz·aniu. Zbiory V i V g oddzielaja¾ wiec
¾ e i g:
0
0
Ogólnie, niech g; g 2 G. Z poprzedniego istnieja¾ otoczenia W i W oddzielajace
¾ ei
1 0
0
0
g g : Wtedy gW i gW oddzielaja¾ g i g :
30
9.3
Grupy Liego - w÷
asności topologiczne cd.
Uwaga 9.3.1 Dowolna rozmaito´s´c topologiczna M (bez zak÷adania aksjomatów oddzielania) jest T1 : Istotnie, niech x; y 2 M; x 6= y: Je´sli x i y le·za¾ w dziedzinie jednej mapy
: U ! V; x; y 2 U to skoro Rn jest T2 to punkty (x) i (y) mo·zna oddzieli´c roz÷¾
acznymi
1
zbiorami otwartymi (x) 2 V1 i (y) 2 V2 w V: Wtedy x 2 U1 :=
[V1 ] jest otwarty w
M iy2
= U1 : Je´sli x i y nie le·za¾ w jednej mapie i : U ! V jest mapa¾ taka,¾ ·ze x 2 U
oraz y 2
= U to U oddziela x i y:
Jako wniosek dostajemy
Stwierdzenie 9.3.1 Ka·zda grupa Liego jest T2 :
Troche¾ trudniej jest udowodnić
Twierdzenie 9.3.1 Ka·zda spójna grupa Liego G ma baze¾ przeliczalna.¾
Dowód. Szkic:
1. e 2 U = U 1 - otoczenie wspó÷
rzednościowe,
¾
homeomor…czne z V
Rn ; ma
ośrodek S 0 U (przel i gesty),
¾
2. S := S 0 [ (S 0 ) 1 = S 1 U jest przeliczalny i gesty
¾ w U;
3. H podgrupa generowana przez S; jest przeliczalna.
4. H = G: Istotnie: niech g 2 G i niech g 2 V
G dowolne otwarte otoczenie g w
G: Pokaz·emy, z·e istnieje h 2 H taki, z·e h 2 V: U generuje G wiec
¾ g = g1 :::gp ; gi 2 U: Z
ciag÷
¾ ości mnoz·enia znajdziemy otoczenia gi 2 Vi
U takie, ze V1 ::: Vp
V: Skoro S
jest gesty
¾ w U to istnieja¾ h1 ; :::; hp 2 S takie, z·e hi 2 Vi : Stad
¾ h := h1 ::: hp 2 H \ V:
WYK×AD 8, 4.I. 2012
10
Wektory i
powierzchni
przestrzenie
styczne
do
hiper-
De…nicja 10.0.1 Niech M
Rm bedzie
¾
n - wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C k ;
=
k
1; i niech p 2 M: We´zmy dowolna¾ parametryzacje¾ g : Rn
V ! U
M hiperpowierzchni M obejmujac
¾ a¾p; p 2 U; i niech p 2 g (x) dla x 2 V: Przez (Dg)x : Rn ! Rm
oznaczmy ró·zniczke¾ odwzorowania w punkcie x: Przestrzenia¾styczna¾do hiperpowierzchni
M w punkcie y nazywamy obraz ró·zniczki odwzorowania g w punkcie x
Tp M = Im (Dg)x
Rm :
Zauwaz·my, z·e de…nicja przestrzeni stycznej do hiperpowierzchni M jest poprawna,
tzn. nie zalez·y od wyboru parametryzacji.
=
=
W tym celu weźmy dwie parametryzacje g1 : V1 ! U1
M , g2 : V2 ! U2
M
n
m
otoczeń punktu p 2 U1 \ U2 i niech p = g1 (x1 ) = g2 (x2 ) : Weźmy (Dg)x1 : R ! R i
(Dg)x2 : Rn ! Rm ; róz·niczki odwzorowań g1 i g2 w punktach odpowiednio x1 i x2 :
31
Weźmy funkcje¾ przejścia = g2 1 g1 ; jest to dyfeomor…zm otoczenia punktu x1 na
otoczenie punktu x2 ; jego róz·niczka w kaz·dym punkcie jest izomor…zmem. Stad
¾ skoro
g1 = g2
(w otoczeniu x1 ), to
Im (Dg1 )x1 = Im D (g2
)x1 = (Dg2 )x2 Im (D )x1 = (Dg2 )x2 (Rn ) = Im (Dg2 )x2 :
Dla parametryzacji g : V ! U
M hiperpowierzchni M i punktu x 2 V oznaczmy
n =
przez (dg)x : R ! Tf (x) M izomor…zm liniowy taki, z·e
(dg)
(Dg)x : Rn !x Tg(x) M ,! Rm :
Jasne, z·e gdy M jest podprzestrzenia¾ wektorowa¾ lub jest hiperpowierzchnia¾ - warstwa¾
wzgledem
¾
M (czyli równoleg÷
ym przesunieciem
¾
M; v + M - a wiec
¾ hiperp÷
aszczyzn
¾
a¾ o
przestrzeni wektorów równoleg÷
ych M ) to przestrzeń styczna do M w kaz·dym punkcie
jest równa M:
Wniosek 10.0.2 Standardowa notacja bazy przestrzeni stycznej Tp M za pomoca¾ mapy
x: Niech x = (x1 ; :::; xn ) : M
U !V
Rn bedzie
¾
mapa¾ na rozmaito´sci M w otocze1
niu punktu p 2 U; we´zmy parametryzacje¾ x : Niech ei bedzie
¾
baza¾ Rn wersorów osi
wspó÷rzednych.
¾
Wektory (stanowia¾baze)
¾
dx
1
x(p)
(ei ) 2 Tp M
oznaczamy
@
;
@xi jp
@
= dx
@xi jp
1
x(p)
(ei ) :
Dla funkcji g÷adkiej f : M ! R przez pochodna¾w kierunku wektora
@
@xi jp
(f ) =
@f
@xi
(p) okre´slona¾wzorem
@f
(p) = f
@xi
x
1
ji
@
@xi jp
rozumiemy liczbe¾
(x (p))
czyli D (f x 1 )x(p) (ei ) : Oznaczajac
¾ zwyk÷e pochodne czastkowe
¾
w Rn (czyli j/w dla
@f
mapy identyczno´s´c x = (x1 ; :::; xn ) = IdRn mo·zna te·z tradycyjnie napisa´c @x
(p) =
i
@ (f x 1 )
(x (p)) :
@xi
De…nicja 10.0.2 Niech M Rm i N Rl bed
¾ a¾hiperpowierzchniami klasy C k wymiarów
n i k odpowiednio, oraz f : M ! N niech bedzie
¾
odwzorowaniem g÷adkim. We·zmy p 2 M
i q = f (p) 2 N: Przez dfp : Tp M ! Tq N oznaczmy pochodna¾ (ró·zniczke)
¾ odwzorowania
w punkcie p zde…niowana¾ jak nastepuje.
¾
We´zmy dwie dowolne parametryzacje: g : V !
U
M; h : V 0 ! U 0
N otoczenia punktu p i q; odpowiednio, takie, ·ze f [U ]
U 0:
32
Stad
¾ f~ = h
otoczeniu p
1
f
g : V ! V 0 jest dobrze okre´slonym przekszta÷ceniem g÷adkim, oraz w
f = h f~ g 1 :
Niech x = g
1
(p) i y = h
1
(q) : K÷adziemy
Df~
dfp = dhy
(dg)x 1 : Tp M ! Tq N:
x
Bardzo ÷atwo sprawdzamy (Ćwiczenie) poprawno´s´c de…nicji, czyli niezale·zno´s´c od wyboru
parametryzacji.
Równie ÷
atwo obserwujemy, z·e dla odwzorowania F : Rm
x2
(DF )x (Rm ) TF (x) N;
Rl i punktu
!N
czyli
(DF )x : Rm
(dF )x
! TF (x) N ,! Rl :
×atwo sprawdzamy regu÷
e¾ ÷
ańcuchowa¾ d (f g)p = (df )g(p) (dg)p dla superpozycji
odwzorowań miedzy
¾
hiperpowierzchniami.
Opiszemy róz·niczk¾
e dfp : Tp M ! Tf (p) N w terminach wektorów bazowych dla map
wokó÷p i f (p) :
Lemat 10.0.1 Niech f : M ! N bedzie
¾
odwzorowaniem klasy C k miedzy
¾
hiperpowierzechniami M i N i niech x = (x1 ; :::; xn ) i y = (y1 ; :::; yk ) bed
¾ a¾ mapami na M
i N w otoczeniach punktów p i f (p) : Wtedy
dfp
@
@xi jp
k
X
@ (yj
=
f)
@xi
j=1
(p)
@
:
@yj jf (p)
(10.0.1)
Dowód. Dla odwzorowania F miedzy
¾
przestrzeniami Euklidesowymi F : Rn ! Rk
róz·niczka dFx jest odwzorowaniem liniowym o macierzy Jacobiego. Oznaczmy bazy wersorów w Rn przez ei zaś w Rk przez e0i : Wtedy jez·eli dFx (ei ) = j aj e0j to aj = dFxj (ei ) =
Fjij (x) ; zatem dFx (ei ) = j Fjij (x) e0j : Wracajac
¾ do rozmaitości i f : M ! N oraz map x
@
@
1
i y mamy @xi jp = d (x )x(p) (ei ) oraz @yj
= d (y 1 )y(f (p)) e0j oraz z de…nicji róz·niczki
jf (p)
1
1
x 1 )x(p) (dx 1 )x(p) : Stad
¾
dfp : Tp M ! Tf (p) N mamy dfp = d (y )y(f (p)) (Dy f
dfp
@
@xi jp
= d y
1
= d y
1
= d y
1
Dy f
x
1
y(f (p))
Dy f
x
1
y(f (p))
y(f (p))
j
=
j
yj
f
x
1
=
j
yj
f
x
1
yj
f
x
i
(x (p)) d y
i
(x (p))
33
dx
x(p)
x(p)
1
i
1
1
x(p)
@
@xi jp
(ei )
(x (p)) e0j
1
y(f (p))
@
=
@yj jf (p)
j
e0j
@ (yj f )
@
(p)
:
@xi
@yj jf (p)
Wnioskiem jest: rzad
¾ odwzorowania f w punkcie p to rzad
¾ macierzy
h
@(yj f )
@xi
i
(p) i
n
j k
:
Uz·ywajac
¾ róz·niczki (df )x odwzorowania miedzy
¾
hiperpowierzchniami analogicznie
de…niujemy punkt krytyczny, wartość krytyczna¾ i wartość regularna.
¾ Bez problemu
moz·emy nieco uogólnić twierdzenie o przeciwobrazie wartości regularnej.
Twierdzenie 10.0.3 Niech F : Rm
! N
Rn bedzie
¾
odwzorowaniem kl. C k
o warto´sciach w hiperpowierzchni N i a 2 N niech bedzie
¾
warto´scia¾ regularna¾ taka,¾ ·ze
F 1 [fag] 6= ? (tzn. dla ka·zdego x 2 F 1 [fag] ró·zniczka (dF )x : Rm ! Ta N jest epimor…zmem). Wówczas przeciwobraz F 1 [fag] jest hiperpowierzchnia¾m dim N wymiarowa¾
klasy C k :
Dowód. Dla dowolnej parametryzacji mapy : U ! V hiperpowierzchni N w otoczeniu
a mamy
1
[fa0 g] ; gdzie a0 = (a) ;
F 1 [fag] =
FjF 1 [U ]
dla x 2 F
1
[fag] róz·niczka
d(
F )x = (d )a (dF )x
jest epimior…zmem. Zatem a0 jest wartościa¾ regularna¾ odwzorowania
FjF 1 [U ] : Z
1
0
pierwszego tw. o przeciwobrazie
FjF 1 [U ]
[fa g] jest hiperpowierzchnia¾ wymiaru
k
1
m dim N kl. C , a z·e jest to równe F [fag] to otrzymujemy teze.
¾
11
11.1
Podgrupy Liego grupy Liego GL (n; R)
Podstawowe twierdzenie o tworzeniu podgrup Liego grupy
Liego GL (n; R)
Twierdzenie 11.1.1 Niech M Rm bedzie
¾
hiperpowierzchnia¾g÷adka¾wymiaru k i niech
m
: GL (n; R) ! M
R bedzie
¾
odwzorowaniem g÷adkim o warto´sciach w hiperpowierzchni M o którym zak÷adamy, ·ze jest rzedu
¾ k = dim M w jedno´sci
e = 1n
2
grupy Liego GL (n; R) (tzn. dla p = (e) mamy (d )e : Rn ! Tp M jest epimor…zmem Im (d )e Tp M i dim Im (d )e = k).
Niech
H := 1 (p)
oraz za÷ó·zmy, ·ze
(hg) = (g) ;
dla
h 2 H; g 2 GL (n; R) :
Wówczas
(a) H jest podgrupa¾grupy GL (n; R) ;
(b) H jest hiperpowierzchnia¾ i ze struktura¾ grupy jest grupa¾ Liego wymiaru
dim GL (n; R) dim M = n2 k:
34
Dowód. Sprawdzamy, z·e H jest podgrupa.
¾
Niech h1 ; h2 2 H; wówczas (h1 h2 ) = (h2 ) = p; skad
¾ h1 h2 2 H;
1
1
Niech h 2 H; wówczas (e) = (hh ) = (h ) skad
¾ h 1 2 H:
Zgodnie z twierdzeniem 10.0.3 aby pokazać, z·e H jest hiperpowierzchnia¾ wystarczy
zauwaz·yć, z·e p jest wartościa¾ regularna¾ odwzorowania : GL (n; R) ! M: Niech h 2 H:
Wtedy równość (h 1 g) = (g) oznacza
Lh 1 = : zatem
(d )h = d (
Lh 1 )h = (d )e (dLh 1 )h
2
2
ma rzad
¾ k jako z÷
oz·enie liniowego izomor…zmu (dLh 1 )h : Rn ! Rn z odwzorowaniem
2
liniowym (d )e : Rn ! Tp M Rm rzedu
¾ k = dim M:
Poniewaz· mnoz·enie : GL (n; R) GL (n; R) ! GL (n; R) jest g÷
adkie, to jego obciecie
¾
do hiperpowierzchni : H H ! H jest tez· g÷
adkie (ćw. 9.1.1). Zatem H jest grupa¾
Liego.
Stwierdzenie 11.1.1 Niech n > 1: Grupa SL (n; R) macierzy o wyznaczniku 1 jest grupa¾
Liego wymiaru n2 1:
Dowód. Rozwaz·my m = 1 i odwzorowanie det : GL (n; R) ! R i M = R: Pokaz·emy,
z·e sa¾ spe÷
nione za÷
oz·enia ostatniego twierdzenia. Najpierw pokaz·emy, z·e rank (det)e = 1;
@
czyli któraś pochodna czastkowa
¾
(det)e 6= 0: Poniewaz·z rozwiniecia
¾ Laplace’a wzgledem
¾
xj
i
i-tego wiersza dla A = xji mamy
det A =
j
j xi
(MA )ji
nieniem algebraicznym
gdzie (MA )ji jest dope÷
det (macierz po usunieciu
¾ i-tego w i j-kol) ) to
elementu
aji
(czyli
( 1)i+j
@
j
j (det)A = (MA )i
xi
(wyznacznik (MA )ji nie zawiera zmiennej xji ). W szczególności (macierz po usunieciu
¾
pierwszego wiersza i pierwszej kolumny w e jest nadal jednostkowa wymiaru n 1 na
n 1 i jej wyznacznik jest +1)
@
(det)e = 1:
x11
Warunek det (hg) = det (g) to twierdzenie Cauchy’ego. cnu.
WYK×AD 9, 11.I. 2012
11.2
Grupa obrotów
Powróćmy na moment do Tw. 11.1.1.
Lemat 11.2.1 Przestrze´n styczna do H w jedno´sci e jest równa ker (d )e :
35
Dowód. Niech j : H ! GL (n; R) bedzie
¾
inkluzja.
¾ Poniewaz·
sta÷
ym to d ( j)e = 0 skad
¾
(dj)j [Te H]
j jest odwzorowaniem
ker (d )e ;
ale obie przestrzenie wektorowe maja¾ ten sam wymiar równy dim H = n2 dim M wiec
¾
sie¾ pokrywaja.¾
2
- wymiarowej w Rn a
Poniz·szy przyk÷
ad hiperpowierzchni (hiperp÷
aszczyzny n(n+1)
2
jeszcze dok÷
adniej podprzestrzeni wektorowej) bedzie
¾
potrzebny niz·ej w badaniu grupy
ortogonalnej O (n; R) : Jasne, z·e gdy M
Rl jest podprzestrzenia¾ wektorowa¾ lub jest
hiperpowierzchnia¾ - warstwa¾ wzgledem
¾
M (czyli równoleg÷
ym przesunieciem
¾
M; v + M ) a
wiec
¾ hiperp÷
aszczyzna¾ o przestrzeni wektorów równoleg÷
ych M ) to przestrzeń styczna do
M w kaz·dym punkcie jest równa M:
Przyk÷
ad 11.2.1 Macierze symetryczne S (n; R) = A = aji 2 M (n; R) ; aji = aij
2
M (n; R) = Rn nie sa¾ grupa¾ (co ÷atwo sprawdzi´c na przyk÷adach) ale stanowia¾ hiper(podprzestrze´n wektorowa)
¾ z jedna¾globalna mapa¾
powierzchnie¾ wymiaru n(n+1)
2
y
n(n+1)
: S (n; R) ! R 2
= aji 7 ! a11 ; a21 ; :::; an1 ; a22 ; a32 ; :::; an2 ; :::; ann :
n(n+1)
2
y jest ciag÷
¾ a - obciecie
¾ rzutowania Rn ! R 2 na wszystkie osie o bi-numerach
i j do podzbioru S (n; R). Odwzorowanie odwrotne
g=y
1
:R
n(n+1)
2
! S (n; R)
j
i
dla
GL (n; R)
jest liniowe dane wzorem
gij (a) =
aji ; gdy i j
;
aij ; gdy i > j
jest ono monomor…zmem wiec
¾ jego rzad
¾ jest
S (n; R) :
n(n+1)
:
2
Zatem g jest globalna¾parametryzacja¾
n macierz AT A jest symetryczna
Zauwaz·my, z·e dla dowolnej macierzy A wymiaru n
AT A
j
i
=
k
AT
k
i
Ajk =
i j
k Ak Ak
=
j i
k Ak Ak
=
k
AT
k
j
i
Aik = AT A j :
De…nicja 11.2.1 Macierz A 2 GL (n; R) nazywa sie¾ ortogonalna je·zeli AT A = e; tzn.
gdy A 1 = AT (wiersze i kolumny sa¾ortonormalne). Macierze ortogonalne tworza¾grupe¾
O (n; R) :
Stwierdzenie 11.2.1 Niech n > 1: Grupa O (n; R) macierzy ortogonalnych jest grupa¾
Liego wymiaru n(n2 1) : Przestrze´n styczna do O (n; R) w jedno´sci e to przestrze´n macierzy
i
; T + = 0 - macierzy sko´snie symetrycznych ji =
j:
36
2
Rn - hiperpowierzchnie¾ wymiaru
Dowód. Rozwaz·my m = n2 , M = S (n; R)
2
Rn i odwzorowanie g÷
adkie
n(n+1)
2
w
: GL (n; R) ! S (n; R) ; A 7 ! AT A:
Mamy
1
O (n; R) =
×atwo sprawdzamy
(e) :
(hg) = (g) ; dla h 2 O (n; R) ; g 2 GL (n; R) :
(hg) = (hg)T hg = g T hT hg = g T hT h g = g T eg = g T g = (g) :
Zatem O (n; R) jest podgrupa.¾
[Dodatkowo spostrzegamy, z·e indukuje bijekcje [ ] : GL (n; R) =O (n; R) ! S (n; R) ;
[ ] (X O (n; R)) = (X) :].
2
Pozostaje pokazać, z·e róz·niczka (d )e : Rn ! Te M jest epimor…zmem (czyli
rzedu
¾ dim M ). W tym celu weźmy "kanoniczne" mapy x i y na GL (n; R) i S (n; R) ;
x = xji i;j n y = yij i j n : Do policzenia postaci tej róz·niczki obliczymy najpierw
P
@(y f )
(d )e @x@ s ; r; s n: Z wzoru 10.0.1 dfp @x@ i jp = kj=1 @xj i (p) @y@ j
r
je
(d )e
/ yij
@
@xsr je
!
jf (p)
=
(X) =
=
X @ yij
@xsr
i j
j
i
XT X
X
=
!
i j
k xk xk
@xsr
i j
k
@
@yij j
(e)
i j
k xk xk
=
@
X
(e)
kr
is j
xk
(e)
+ xik
@
@yij j
kr
(e)
sj
(e)
i j
=
X
is j
xr
+ xir
sj
(e)
i j
=
X
is j
r
@
@yij j
i sj
r
+
i j
Pozwala to znaleźć wzór na róz·niczk¾
e
!
s @
(d )e
=
r;s r
@xsr je
=
s
r;s r
s
r;s r
@
@yij j
(d )e
X
(e)
:
+
!
i sj
r
i j
=
XX
i j
=
X
i j
37
s
r
is j
r
+
i sj
r
r;s
i
j
+
j
i
(e)
(e)
@
@xsr je
is j
r
@
@yij j
@
@yij j
(e)
@
@yij j
@
@yij j
(e)
(e)
Zatem (d )e za pomoca¾ wspó÷
rzednych
¾
w bazach wyraz·a sie¾ wzorem
(d )e [ sr ]r;s =
i
j
+
j
i i j
;
Jest widoczne, z·e jest to epimor…zm; wystarcza dla górnotrójkatnej
¾
macierzy aji
1 s
a; r s
s
2 r
=
: Wtedy
1 r
r
a ; r>s
2 s
(d )e [ sr ]r;s =
1 j 1 j
a + a
2 i 2 i
= aji
i j
i j
wziać
¾
:
W konkluzji O (n; R) jest hiperpowierzchnia¾ i grupa¾ Liego wymiaru n2
2n2 n2 n
= n(n2 1) :
2
Rozwaz·ajac
¾ odwzorowanie g÷
adkie w przestrzeń wszystkich macierzy
: GL (n; R) ! Mn
i j
n(n+1)
2
=
2
n
= Rn ; A 7 ! AT A;
i powtarzajac
¾ rozumowanie z dowodu Tw 11.1.1 dla map kanonicznych x i y na GL (n; R) i
2
2
Mn n (czyli identyczności) otrzymamy wzór na róz·niczk¾
e (d )e : Rn ! Rn
(d )e ( ) =
T
+ :
Zatem przestrzeń styczna w jedności do O (n; R) oznaczana so (n; R) lub Sk (n; R) to
i
macierzy skośnieprzestrzeń wektorowa ker (d )e =
; T + =0 =
; ji =
j
symetrycznych.
Widzimy dodatkowo, z·e Im (d )e to sa¾ macierze symetryczne stanowiace
¾ oczywiście
przestrzeń styczna¾ do przestrzeni liniowej macierzy symetrycznych S (n; R)
Im (d )e = Te (S (n; R)) = S (n; R) :
Ćwiczenie 11.2.1 Sprawdzi´c, ·ze przestrze´n wektorowa macierzy sko´snie-symetrycznych
so (n; R) wzgledem
¾
tzw. nawiasu Liego [A; B] = AB BA jest algebra¾Liego, tzn. nawias
[; ] spe÷nia aksjomaty:
- jest sko´snie symetryczny,
- spe÷nia to·zsamo´s´c Jacobiego [[A; B] ; C] + [[C; A] ; B] + [[B; C] ; A] = 0 ([[A; B] ; C] +
cycl = 0).
Ćwiczenie 11.2.2 Ró·zniczka odwzorowania v w dowolnym punkcie X wynosi
(d )X ( ) =
T
X + XT = XT
T
+ XT
i jasne, ·ze jej obraz to te·z macierze symetryczne. Pokaza´c, ·ze obraz (skad
¾ tak·ze rzad)
¾ tego
odwzorowania nie zale·zy od X 2 GL (n; R) :Czyli ·ze
Im (d )X = Im (d )e :
38
Rozwiazanie
¾
(d )X
(d )X
r;s
@
@xsr je
s @
r
@xsr jX
!
!
=
X
is
@
@yij j
sj
Xrj + Xri
i j
=
s
r;s r
=
s
r;s r
@
@xsr je
(d )X
X
is
(X)
!
Xrj + Xri
sj
i j
=
X
is
s
r;s r
Xrj + Xri
sj
i j
=
X
i
j
r Xr
r
@
@yij j
j i
r Xr
+
i j
=
X
T
X
j
i
+ XT
j
i
i j
@
@yij j
@
@yij j
@
@yij j
(X)
(X)
(X)
(X)
Zatem (d )X za pomoca¾ wspó÷
rzednych
¾
w bazach wyraz·a sie¾ wzorem
h
i
j
j
T
(d )X [ sr ]r;s =
;
X i + XT i
(d )X ( ) =
T
X +X
T
= X
Co do niezalez·ności rzedu
¾ od (d )X od X ((d )e ( ) =
T
(d )X ( ) = X T
+ X T = (d )e X T
(d )X = (d )e LX T :
Skoro LX : Mn n ! Mn
Im (d )X = Im (d )e :
n
T
T
i j
T
+ XT :
+ )
= (d )e LX T ( ) ;
jest liniowym izomor…zmem dla macierzy nieosobliwej X to
Uwaga 11.2.1 Grupa Liego O (n; R) ma dwie sk÷adowe: jedna¾ jest SO (n; R) grupa
macierzy ortogonalnych o wyznaczniku +1 (dowód nie jest trywialny i tu jest za wcze´snie
na ÷atwy dowód) a druga¾sk÷adowa¾jest podzbiór macierzy o wyznaczniku 1: SO (n; R) jest
oczywi´scie otwarto-domknieta,
¾ ma wymiar taki jak O (n; R) : Grupa macierzy zespolonych
GL (n; C) jest spójna i jest to zasadnicza ró·znica miedzy
¾ geometria¾rzeczywista¾a zespolona.¾
Dlaczego grupa obrotów przestrzeni Rn ma akurat tyle wymiarów?
×YK GEOMETRII ANALITYCZNEJ Przestrzeni Euklidesowych:
Z wyk÷
adu geometrii analitycznej (sem II) wiemy:
Odwzorowanie liniowe o macierzy ortogonalnej jest izometria¾ i odwrotnie: izometria
jest z÷
oz·eniem izomor…zmu o macierzy otogonalnej z przesunieciem.
¾
Formalniej: oznaczmy
n
n
przez h ; i : R
R ! R standardowy iloczyn skalarny hv; wi = i v i wi :
n
Niech f : R ! Rn bedzie
¾
dowolnym odwzorowaniem liniowym. Trzy warunki sa¾
róz·nowaz·ne (patrz Geometria Analityczna przestrzeni Euklidesowych) - jest to banalny
fakt typu "ćwiczenia":
39
f jest izometria¾ (czyli zachowuje odleg÷
ość de (v; w) = de (f (v) ; f (w)))
f zachowuje iloczyn skalarny hv; wi = hf (v) ; f (w)i
jego macierz w bazie ei jest ortogonalna.
Inzaczej mówiac:
¾ utoz·asamiajac
¾ macierz z odwzorowaniem liniowym o tej macierzy
mamy
O (n; R) = ff : Rn ! Rn ; f jest izomor…zmem liniowym i 8v 8w (hv; wi = hf (v) ; f (w)i) g
(11.2.1)
Nawet wiecej
¾ (mniej trywialny fakt) - jez·eli odwzorowanie dowolne f : Rn ! Rn takie,
z·e f (0) = 0 jest izometria¾ to jest liniowe i dalej j/w; dowolna izometria g : Rn ! Rn jest
postaci g (x) = g (0) + f (x) dla pewnej izometrii liniowej f (czyli f (x) := g (x) g (0)
jest liniowa i jest izometria,
¾ czyli ma macierz ON.
Zobaczmy ortogonalność macierzy izometrii wzgledem
¾
standardowego iloczynu
skalarnego hv; wi = i vi wi : Dla wersorów ei mamy hei ; ej i = ij : Zatem macierz odwzorowania dwuliniowego -iloczyn skalarny- to macierz jednostkowa 1n : Jez·eli zapisać wektory z Rn w postaci macierzy 1-kolumnowych to hv; wi = v T 1n w; istotnie
3 2
3
2
w1
1
0
7 6 .. 7
6
T
..
hv; wi = i vi wi = [v1 ; :::; vn ] 4
5 4 . 5 = v 1n w:
.
0
1
wn
Zde…niujemy macierz A izomor…zmu f : Rn ! Rn w taki sposób aby zachodzi÷
a równość
i
i j
f (v) = A v: Wybieramy sposób taki: niech f (e ) = j aj e ; wtedy określamy macierz
A w postaci A = aij : [Druga metoda da macierz transponowana¾ f (ei ) = j aji ej ].
Sprawdzamy
02
31
v1
5A = f i vi ei = i vi f ei = i vi j aij ej = j i aij vi ej
f (v) = f @4
vn
2
3 2
3 2
3
i
a11
an1
v1
i a1 v i
6
7 6
7 6 .. 7
..
..
= 4
5=4
5 4 . 5 = A v:
.
.
i
1
n
an
an
vn
i an v i
Z dwuliniowości h; i widzimy, z·e warunek hv; wi = hf (v) ; f (w)i jest równowaz·ny
warunkom tylko dla bazy ei , hei ; ej i = hf (ei ) ; f (ej )i : Istotnie, gdy dla bazy zachodzi to
i
i vi e ;
hv; wi =
=
i vi f
j
=
j wj e
i
e ; j wj f
Dla macierzy A = aij ; f (ei ) =
j
i
=
=
=
i j
j aj e
ei ; ej = i:j vi wj f ei ; f ej
= hf (v) ; f (w)i :
i:j vi wj
j
e
jest to równowaz·ne
ei ; ej = f ei ; f ej
i j
k;r ak ar
T k
k a
i
ek ; er =
ajk =
k
=
i j kr
k;r ak ar
j
AT A i :
40
i k
k ak e ;
=
j r
r ar e
i j
k ak ak
Czyli
1 =AT A
Rozpatrzmy tylko izometrie posiadajace
¾ 0 jako punkt sta÷
y. Sa to wszystkie izomor…zmy liniowe o macierzy ortogonalnej.
1. Obrotem elementarnym w Rn rozumiemy izometrie¾ f : Rn ! Rn która jest obrotem
wzgledem
¾
pewnych dwu wspó÷
rzednych
¾
i identycznościa¾wzgledem
¾
pozosta÷
ych wspó÷
rzed¾
nych.
2. Izometria¾elementarna¾ w Rn nazywamy z÷
oz·enie skończonej ilości obrotów elementarnych i przesuniecia.
¾
3. Izometrie¾ f : Rn ! Rn nazywamy zwyk÷¾
a (albo zachowujac
¾ a¾ orientacje)
¾ jez·eli jej
wyznacznik jest równy +1 i nazywamy zwierciadlana¾ (albo zmieniajaca¾orientacje)
¾ jez·eli
jej wyznacznik jest równy 1:
4. Izometrie zwyk÷
e tworza¾ grupe.
¾ Wszystkie macierze izometrii zwyk÷
ych f : Rn !
n
R tworza¾ grupe¾ SO (n).
5. Kaz·da izometria zwyk÷
a (czyli zachowujaca
¾ orientacje)
¾ jest izometria¾ elementarna,¾
czyli jest z÷
oz·eniem obrotów elementarnych z przesunieciem.
¾
Zatem wymiar SO (n; R) to
ilość wyborów dwu zmiennych spośród n:
Ile jest wyborów dwu zmiennych spośród n ? Odpowiedź n2 = 2!(nn! 2)! = n(n2 1) =
dim SO (n; R) = dim O (n; R) : Dla n = 2 mamy wymiar 1; dla n = 3 mamy wymiar 3;
dla n = 4 mamy wymiar 6:
11.3
Podgrupy macierzy niezmienniczych
zorowania dwuliniowego
wzgledem
¾
odw-
Wiecej
¾ grup Liego dostaniemy uogólniajac
¾ w powyz·szej de…nicji iloczyn skalarny h; i na
dowolne odwzorowanie dwuliniowe ! : Rn Rn ! R: Po pierwsze ogó÷izomor…zmów
f : Rn ! Rn zachowujacych
¾
! niezmienniczo
ff ; ! (v; w) = ! (f (v) ; f (w)) dla dowolnych v; wg
jest grupa¾ -trywia÷
. Niech ei bedzie
¾
baza¾ Rn i niech aji = ! (ei ; ej ) bedzie
¾
macierza¾
odwzorowania !: Wówczas
! (v; w) = v T a w:
Istotnie,
! (v; w) = !
vi ei ;
j
j wj e
2
6
= [v1 ; :::; vn ] 4
a11
a1n
ei ; ej = ij vi wj aji =
32
3
an1
w1
7 6 .. 7
T
..
5 4 . 5 = v a w:
.
ann
wn
=
ij vi wj !
j
ij vi ai wj
Lemat 11.3.1 Niech ei bedzie
¾
baza¾Rn i niech ! ji = ! (ei ; ej ) bedzie
¾
macierza¾odwzorowania !: Wówczas f o macierzy A zachowuje niezmienniczo ! gddy
AT !A = !:
41
Dowód. (= Za÷
óz·my, z·e AT !A = !: Wtedy
! (f (v) ; f (w)) = f (v)T !f (w) = (A v)T !A w
= v T AT !Aw = v T !w = ! (v; w) :
=) Za÷
óz·my, z·e f zachowuje ! niezmienniczo, tzn. ! (v; w) = ! (f (v) ; f (w)) : Biorac
¾
i
wektory bazowe e mamy
aji = ! ei ; ej = ! f ei ; f ej
=
kr
aT
k
i
! ek ; er ajr =
i k
k ak e ;
=!
k
i
aT
kr
j r
r ar e
! rk ajr = AT !A
=
i j
kr ak ar !
ek ; er
j
i
czyli
A = AT !A:
Rozwaz·my g÷
adkie odwzorowanie
: GL (n; R) ! M
Mn
2
n
= Rn
(A) = AT !A:
Mamy
(e) = !: De…niujemy
H=
1
(!) :
×atwo sprawdzamy warunek (hg) = (g) ; dla h 2 H; g 2 GL (n; R) : Stad
¾ H
jest podgrupa¾ GL (n; R) : Jasne, z·e H jest domknieta,
¾
wiec
¾ z ogólnego twierdzenia o
domknietej
¾ podgrupie grupy Liego, H jest grupa¾ Liego. Czy moz·na to zobaczyć i obliczyć
jej wymiar na podstawie Tw. 11.1.1. Nie jest to ogólnie ÷
atwe i nie ma w z·adnym
podreczniku.
¾
Obliczamy róz·niczk¾
e (d )e
Ćwiczenie 11.3.1 (d )e : Mn
n
! Mn
(d )e ( ) =
T
n
jest zadana wzorem
! + ! = !T
T
+! :
W dowolnym punkcie X wynosi
(d )X ( ) =
T
!X + X T ! = X T ! T
42
T
+ XT ! :
(d )X
(d )X
s
r;s r
@
@xsr
@
@xsr jX
=
!
X
j
t
t si ! r Xt
i r
k Xk ! k sj
+
ij
=
s
r;s r
=
s
r;s r
@
:
@xji
@
@xsr
(d )X
X
j
t
t si ! r Xt
+
i r
k Xk ! k sj
@
@xji
j
t
t si ! r Xt
+
i r
k Xk ! k sj
@
@xji
t
j
s
t
r;s r si ! r Xt
+
k
t
j
i t
r r ! r Xt
k
ij
=
X
s
r;s r
ij
=
X
s i r
r;s r Xk ! k sj
ij
=
X
+
j i r
r r Xk ! k
ij
=
X
T
!X
j
i
+ XT !
ij
j
i
@
@xji
@
@xji
@
@xji
T
!X + X T ! :
n
o
2
Problem 11.3.1 Czy ogó÷ macierzy M
:=
AT !A; A 2 Mn n = Rn
(=
GL (n; R) =H) stanowi hiperpowierzchnie?
¾
I jakiego wymiaru? Pytanie wystarcza
rozpatrze´c lokalnie, tzn. czy pewne otoczenie macierzy ! 2 M jest dyfeomor…czne z
otw podzbiorem w RN dla pewnego N ? Jaki jest obraz odwzorowania liniowego (d )e ?
Powinien by´c przestrzenia¾styczna¾do M (tzn. rzad
¾ (d )e powinien by´c dim M
(d )X ( ) =
T! M = Im (d )e
i ogólniej
T
(X) M
= Im (d )X :
Wniosek 11.3.1 Jak to bedzie
¾
wiadome, to z ogólnego tw. mieliby´smy ·ze H jest podgrupa¾
2
Liego wymiaru n dim M a tak·ze, ·ze przestrze´n styczna w jedno´sci e do H [algebra Liego
grupy Liego H] jest równa g : = ker (d )e =
; T! + ! = 0 =
; T! = ! :
Sprawdzi´c jako ´cwiczenie ·ze g jest algebra¾Liego.
Ćwiczenie 11.3.2 Rozwa·zy´c banalny przyk÷ad n = 2 i formy symetrycznej zdegen1 0
erowanej ! =
: Pokaza´c, ·ze M jest dwuwymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ (przy0 0
najmniej w otoczeniu !) i nie jest to p÷aszczyzna.
1 0
- nie
1 0
umiem rozwiaza´c
¾ (tzn. pokaza´c, ·ze M jest hiperpowierzchnia¾wymiaru dim Im (d )e ).
Ćwiczenie 11.3.3
Jak wy·zej dla niesymetrycznej zdegenerowanej ! =
43
Dlaczego dla O (n; R) hiperp÷
aszczyzna M by÷
a przestrzenia¾ wektorowa?
¾
Otóz·
SO (n; R) jest maksymalna¾ zwarta¾ podgrupa¾ spójna¾ a jest ogólniejsze twierdzenie dotyczace
¾ dowolnej grupy Liego spójnej G: Jeśli H jest jej maksymalna¾ zwarta¾ podgrupa¾
to topologicznie G jest produktem H i przestrzeni euklidesowej. U nas by÷
o G =
GL+ (n; R)
SO (n; R) : Stad
¾ bez zdziwienia mamy M = GL (n; R) =O (n; R) =
GL+ (n; R) =SO (n; R) to przestrzeń euklidesowa S (n; R). Dla innej podgrupy H
przestrzeń ilorazowa M = GL (n; R) =H juz· nie musi być "trywialna".
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
Uogólniona grupa ortogonalna to grupa O! (n; R) utworzona w powyz·szy sposób
dla symetrycznej macierzy ! = ! T (! ji = ! ij ). Sk÷
ada sie¾ z macierzy A dla których
AT !A = !:
Przyk÷
ad 11.3.1 Grupa O! (n; R) jest grupa¾ Liego a jej przestrze´n styczna w jedno´sci
[algebra Liego grupy Liego O! (n; R)] jest równa /zapisujac
¾ kolumny macierzy a przez ai /
i
;
j
!j =
! i dla wszystkich i; j :
Istotnie, przestrzeń styczna do O! (n; R) w e to ker (d )e =
; T! = !
: Obliczajac
¾ T ! = ! mamy
T
!
j
i
T k j
!
i k
i j
k k !k
=
(! )ji
=
! ki
;
T
!+! =0
=
j
/z umowa¾ Einsteina
k
j i
i j
k !k k =
k k !k
=
Inaczej mówiac,
¾ mamy równości wzgledem
¾
kanonicznego iloczynu skalarnego zwiazek
¾
i
w szczególności dla i = j mamy
skośnej symetrii macierzy :
i
!j =
j
!i;
! i = 0: Gdy ! = 1n otrzymujemy poprzedni warunek
Uwaga 11.3.1 Czym zastapi´c warunek dodatnio´sci (niezdegenerowania) iloczynu
skalarnego? Otó·z, gdy ! jest dwuliniowe symetryczne i nieujemne ! (v; v) 0 to ! jest
dodatnie [czyli ! (v; v) > 0 dla v 6= 0, tzn. jest iloczynem skalarnym] gddy ! jest macierza¾
nieosobliwa,¾ det ! 6= 0: (Nietrywialne twierdzenie - patrz ksia¾·zki z algebry]. Dlatego uogólniamy warunek niezdegenerowania iloczynu skalarnego do warunku det ! 6= 0:
***
Dotyczyć bed
¾ a¾ niezdegenerowanych odwzorowań dwuliniowych. Czyli takich ! : Rn
Rn ! R dla których indukowane odwzorowanie liniowe
Rn ! (Rn ) ; v 7 ! ! (v; ) ;
izomor…zmem, czyli równowaz·nie gdy jego macierz aji = [! (ei ; ej )] jest nieosobliwa. Najpierw przypomnijmy co oznacza niezdegenerowanie w przypadku odwzorowania dwuliniowego symetrycznego h; i nieujemnego hv; vi
0: Otóz· (nie jest to oczywisty fakt,
44
dowodzi sie¾ indukcja¾ wzgledem
¾
n): h; i jest niezdegenerowane gddy gdy jest dodatnie,
tzn. hv; vi > 0 dla v 6= 0: [jako ćwiczenie odszukać dowód w jakiejś ksia¾z·ce z algebry].
***
Jesli ! jest symetryczna i niezdegenerowana w tym sensie, ze det ! 6= 0 to dla macierzy
A 2 O! mamy det AT !A = det AT det ! det A = det !; det AT det A = 1; (det A)2 = 1;
zatem det A = 1 (tak jak i dla macierzy ortogonalnych).
Grupa Lorentza O (p; q) :
Przyk÷
ad 11.3.2 Dla formy symetrycznej ! indeksu (p; q) t,j. o macierzy nieosobliwej
0
1q
1p
0
!=
grupa izometrii wzgledem
¾
pseudo iloczynu skalarnego o macierzy ! równego (ta sama litera
na oznaczenie)
02
3 2
31
x1
y1
B6
7 6
7C
! @4 ... 5 ; 4 ... 5A
xn
yn
= ! (v; w) = v
=
[x1 ; :::; xn ]
T
! w
=
0
1q
1p
0
2
6
6
6
6
[x1 ; :::; xn ] 6
6
6
4
2
y1
..
.
yp
yp+1
..
.
3
7
7
7
7
7
7
7
5
3
y1
6 .. 7
4 . 5
yn
yp+q
= x1 y1 + ::: + xp yp xp+1 yp+1
:::
xn yn :
[inaczej mówiac,
¾ wzgledem
¾
formy kwadratowej x21 + ::: + x2p
x2p+1
:::
x2n ] jest
grupa¾ zwana grupa¾ Lorentza O (p; q) : Za pomoca¾ pseudo iloczynu skalarnego: A 2
O (p; q) = fA 2 GL (n; R) ; ! (Av; Aw) = ! (v; w) dla wszystkich v i wg otrzymujemy
warunki (równowa·zne z niezmienniczo´scia¾wzgledem
¾
!)
8
0; gdy i 6= j
<
i
j
+1; gdy i = j p
! A ;A =
:
1; gdy i = j p + 1:
Przestrze´n styczna [algebra Liego grupy O (p; q)] w jedno´sci sk÷ada sie¾ z macierzy
j
niajacych
¾
warunki i ! j =
! i dla i; j: Dok÷adniej rozpisujac
¾ mamy
j
i
=
i
j;
i
j;
i
i; j p; lub i; j > p + 1
:
p; j > p; lub i > p; j p
45
spe÷-
Inaczej mówiac
¾ algebra Liego grupy Lorentza sk÷ada sie¾ z macierzy
=
takich, ·ze
T
2;
1
i
4
1
2
3
4
sa¾sko´snie symetryczne [w szczególno´sci zerowe na diagonali] oraz
T
1;
=
=
1
3
4
3
=
T
4;
=
T
2:
Zatem wymiar grupy Lorentza jest równy (ilo´sci niezale·znych parametrów w macierzach
klatkowych i
pq +
p2
p
2
+
q2
q
2
= p (n
p) +
p)2
p2 + (n
2
n
:
Najwazniejszym przyk÷
adem w …zyce grupy Lorentza jest grupa O (3; 1) izometrii
wzgledem
¾
formy kwadratowej indeksu (3; 1) postaci
x2 + y 2 + z 2
t2 :
Jej wymiar jest równy
9+1 4
=6
2
czyli tyle samo co wymiar grupy obrotów euklidesowych w R4 : Jest ciekawe z·e dla p = n 1;
q = 1; wymiar O (n 1; 1) wynosi tyle samo co wymiar obrotów euklidesowych.
Forma x2 +y 2 +z 2 t2 jest podstawa¾w teorii wzgledności:
¾
gdy mamy R3 i wypuszczamy
świat÷
o z poczatku
¾ uk÷
adu wspó÷
rzednych
¾
przy czym jednostki tak dobieramy aby świat÷
o
przebieg÷
o droge¾ o d÷
ugości 1 w czasie 1 wówczas gdy świat÷
o po promyku osiagnie
¾
punkt
(x; y; z) to potrzebuje czasu
p
x2 + y 2 + z 2 = t
3+
czyli jest spe÷
niony warunek
x2 + y 2 + z 2
t2 = 0
Pojawia sie¾ forma kwadratowa 4 zmiennych x2 + y 2 + z 2 t2 o sygnaturze (3; 1) i dlatego w R4 rozwaz·amy nie metryk¾
e euklidesowa¾ a pseudometryk¾
e Minkowskiego o formie
kwadratowej j/w.
Bourbaki, tom I str 420
grupa Lorentza Hall str 7 Heizenberg grupa str 8
Ćwiczenie 11.3.4 Przebada´c grupe¾ izometrii wzgledem
¾
formy ! o macierzy
2
3
0
1
5
!=4
1
0
(jedynki na drugiej przekatnej).
¾
46
Grupa symplektyczna
Ćwiczenie 11.3.5 Dla formy sko´snie symetrycznej J niezdegenerowanej (na przestrzeni
wymiaru 2n) o macierzy
0
1n
J=
1n
0
okre´slamy grupe¾ Liego izometrii wzgledem
¾
tej formy, nazywamy ja¾ grupa¾ symplektyczna¾
i oznaczamy Sp (n; R)
GL (2n; R) : Obliczy´c jej wymiar i przestrze´n styczna¾ w e: W
tym przypadku M bedzie
¾
÷atwe, M = A (2n; R) jest hiperp÷aszczyzna¾ macierzy sko´snie
symetrycznych.
Algebra symplektyczna (algebra Liego Sp (n; R) sk÷ada sie¾ z macierzy postaci
A
C
B
AT
w których B i C sa¾symetryczne.
12
Grupy transformacji
De…nicja 12.0.1 Transformacja¾rozmaito´sci M nazywamy dyfeomor…zm M ! M: Ogó÷
transformacji rozmaitosci M tworzy grupe¾ Aut (M ) : [Jest to za du·za grupa any mia÷a
strukture¾ grupy Liego, ale jest wielka teoria wprowadzajaca
¾ w te¾ grupe¾ strukture¾ rozmaito´sci (i grupy Liego) niesko´nczenie wymiarowej]. Mówimy, ·ze grupa G (abstrakcyjna),
dzia÷a (lewostronnie) na rozmaito´s´c M jako grupa transformacji {krótko: mamy lewe dzia÷anie G na M } je·zeli dane jest globalne odwzorowanie
M !M
:G
takie, ·ze
(i) dla dowolnego g 2 G odwzorowanie g : M ! M; x 7 !
cja¾rozmaito´sci M;
(ii) dla dowolnych g; h 2 G jest równo´s´c
g
W zapisie krótszym
g
h
=
(g; x) ; jest transforma-
gh :
(g; x) = g x = gx mamy ex = x; g (hx) = (gh) x:
UWAGA: dla dzia÷
ania prawego M
h = hg :
Proste w÷
asności: (1)
G ! M bedzie
¾
xe = x; (xg) h = x (gh) ; czyli
e
= IdM :
Istotnie
e
(x) =
e
e
(
e)
1
(x)
=
ee
(
1
e)
(x) =
e
(
e)
1
(x) = x;
w konsekwencji
(2)
(
g)
1
=
g
1
:
(3) Indukowane odwzorowanie G ! Aut (G) ; g 7 !
47
g;
jest homomor…zmem grup.
De…nicja 12.0.2 Mówimy, ·ze grupa G dzia÷a
(a) efektywnie na M; je·zeli e jest jedynym takim elementem z G; ·ze g = id; (t.j.
·ze 8x ( g (x) = x) ) inaczej. ·ze indukowane odwzorowanie G ! Aut (G) ; g 7 ! g ; jest
monomor…zmem,
(b) wolno na M; je·zeli dla dowolnego (ustalonego) x 2 M z tego, ·ze g (x) = x wynika,
·ze g = e [czyli, dla g 6= e transformacja g nie ma punktów sta÷ych].
Ćwiczenie 12.0.6 Pokaza´c, ·ze grupa SO (2; R) dzia÷a efektywnie jako grupa transformacji na R2 wzgledem
¾
odwzorowania (A; x) 7 ! A x:
Ćwiczenie 12.0.7 Niech
i niech
:G
M ! M bedzie
¾
dowolnym lewym dzia÷aniem G na M
H = fh 2 G;
g
= idg :
Wtedy H jest normalna¾ podgrupa¾ G i dzia÷anie
ilorazowej G=H na M:
indukuje efektywne dzia÷anie grupy
De…nicja 12.0.3 Niech
: G M ! M bedzie
¾
dowolnym dzia÷aniem grupy G na
0
M: Podzbiór M
M nazywamy niezmienniczym wzgledem
¾
dzia÷ania
(tak·ze Gniezmienniczym [wzgledem
¾
dzia÷ania ]) je·zeli dla dowolonego g 2 G zachodzi
g
Ćwiczonko:
[M 0 ]
M 0:
indukuje dzia÷
anie na dowolny G-niezmienniczy podzbiór M 0 :
Ćwiczenie 12.0.8 Skonfrontowa´c z Problemem 11.3.1.
Pokaza´c, ·ze grupa Liego
GL (n; R) dzia÷a na rozmaito´s´c macierzy Mn n wzgledem
¾
odwzorowania (A; !) 7 ! A!AT :
Dzia÷anie nie jest efektywne. Odwzorowanie (!; A) 7 ! AT !A jest dzia÷aniem prawym.
Podrozmaito´s´c S (n; R) macierzy symetrycznych jest niezmiennicza, istnieje wiec
¾ indukowane dzia÷anie GL (n; R) na S (n; R) :
De…nicja 12.0.4 Mówimy, ·ze grupa Liego G, dzia÷a (lewostronnie) na rozmaito´s´c M
jako grupa Liego transformacji {krótko: mamy lewe dzia÷anie grupy Liego G na M } je·zeli
dane jest g÷adkie dzia÷anie G na M
M ! M:
:G
Przyk÷
ad 12.0.3 Pokaza´c, ·ze grupa Liego GL (n; R) dzia÷a na Rn jako grupa transformacji wzgledem
¾
odwzorowania (A; v) 7 ! A v: To samo dotyczy dowolnej podgrupy Liego
H grupy GL (n; R) ; np. grupy obrotów O (n; R) :
Przyk÷
ad 12.0.4 Pokaza´c, ·ze dla dzia÷ania O (n; R) na Rn sfera S n 1
podzbiorem niezmienniczym i indukowane dzia÷anie O (n; R) S n 1 ! S n
kie.
1
Rn jest
jest g÷ad-
Przyk÷
ad 12.0.5 Grupa Liego G dzia÷a na siebie jako grupa Liego transformacji wzgle¾
dem dzia÷ania - mno·zenia w grupie = :G
48
G ! G:
De…nicja 12.0.5 Niech G dzia÷a z lewa na rozmaito´s´c M: Wówczas na M mamy relacje
równowa·zno´sci
x y () 9g2G (gx = y) :
Klasy abstrakcji tej relacji nazywamy orbitami dzia÷ania. Orbita punktu x jest równa
[x] = G x = fgx; g 2 Gg : Identycznie okre´slamy orbity prawego dzia÷ania.
Ćwiczenie 12.0.9 Znale´z´c orbity standardowego dzia÷ania GL (n; R) na Rn oraz dzia÷ania O (n; R) na Rn :
Uwaga 12.0.2 Obserwujemy, ·ze odwzorowanie dla ustalonej macierzy ! rozpatrywane
w problemie 11.3.1 prowadzi do prawego dzia÷nia Mn n GL (n; R) ! Mn n ; (!; A) 7 !
AT !A; i ·ze zbiór M [dla ustalonej macierzy !] rozpatrywany w tym problemie to orbita
tego dzia÷ania przechodzaca
¾ przez !; za´s podgrupa H to grupa izotropii tego dzia÷ania w
punkcie !:
Uwaga 12.0.3 Zawsze orbita dzia÷ania grupy Liego G na rozmaito´s´c M ma strukture¾
podrozmaito´sci (ale nie zawsze z topologia¾ imdukowana,¾ moze by´c tzw. podrozmaito´s´c
imersyjna, czyli gdy inkluzja jest odwzorowaniem regularnym - ró·zniczka mono, a topologia
jest wtedy lokalnie indukowana z M ). Wymiary tych orbit nie musza¾ by´c takie same.
Mo·zna zapyta´c o "wzajemne po÷o·zenie" wszystkich orbit danego dzia÷ania. Tworza¾ tzw.
foliacje z osobliwo´sciami w sensie Stefano, za´s gdy wszystkie wymiary sa¾ jednakowe to
foliacje regularna.¾
13
Pojecie
¾
wiazki,
¾
wiazki
¾ z grupa¾ strukturalna¾
GHV I §9
De…nicja 13.0.6 G÷adka¾wiazk
¾ a¾nazywamy uk÷ad
(E; ; M; F )
w którym E; M; F sa¾ rozmaito´sciami g÷adkimi, : E ! M jest odwzorowaniem g÷adkim
takim, ·ze
– dla ka·zdego punktu x 2 M istnieje zbiór otwarty x 2 U M oraz dyfeomor…zm
':U
F !
1
[U ]
taki, ·ze (' (x; v)) = x czyli
' = pr1 : U F ! U:
Ka·zdy dyfeomor…zm ' j/w nazywamy lokalna¾ trywializacja¾ wiazki,
¾
rozmaito´s´c E
nazywa sie¾ przestrzenia¾ totalna,¾ B - przestrzenia¾ bazowa,¾ F - w÷óknem typowym, dla
dowolnego x 2 M podzbiór Ex := 1 [fxg] nazywamy w÷óknem wiazki
¾ nad x:
Odwzorowanie ' (x; ) : F ! 1 [fxg] jest bijekcja,
¾ i na 1 [fxg] wprowadza strukture¾ rozmaitości z topologia¾ indukowana¾ z E; oraz inkluzja Ex ! E jest odwzorowaniem
1
g÷
adkim (i homeomor…zmem na obraz). Jeśli '1 : U1 F !
[U1 ] i '2 : U2 F !
49
[U2 ] sa¾ dwoma lokalnymi trywializacjami wiazki
¾ E to ('1 ) 1 [
(U1 \ U2 ) F jest otwartym podzbiorem U1 F i odwzorowanie
1
('2 )
1
'1 : (U1 \ U2 )
F ! (U1 \ U2 )
F;
(x; v) 7 ! ('2 )
1
[U1 ] \
1
1
[U2 ]] =
'1 (x; v)
jest dyfeomor…zmem.
Stwierdzenie 13.0.1 Niech M; F bed
¾ a¾ rozmaito´sciami, E - zbiorem i : E ! M surjrektywna¾ funkcja.¾ Za÷ó·zmy, ·ze dane jest pokrycie fU g rozmaito´sci M i rodzina f g
bijekcji,
:U
F ! 1 [U ] taka, ·ze
(a)
(x; v) = x; (x; v) 2 U
F; i ka·zdego ;
(b) dla i
F !U
:U
1
F; (x; v) 7 !
(x; v) ;
sa¾dyfeomor…zmami, gdzie U = U \ U :
Wówczas istnieje dok÷adnie jedna struktura rozmaito´sci na E dla której (E; ; M; F )
jest g÷adka¾wiazk
¾ a,¾ za´s
sa¾lokalnymi trywializacjami.
UWAGA: Rodzina
ma w÷
asność "ko÷
ańcuchowa"
¾ tzn.
= Id;
na U
=
;
=U \U \U
1
(x; v) =
=
1
(x; v) =
(x; v) =
1
1
(x; v)
(x; v) :
Dowód. GHV I, 1.13 Prop. 10 + 1.6 Prop. VII. Poniewaz· funkcje przejścia
sa¾dyfeomor…zmami, wystarcza pokazać istnienie i jednoznaczność topologii na E dla której
1
[U ] sa¾ otwarte i
sa¾ homeomor…zmami U
F z 1 [U ] : Zatem topologia indukowana na 1 [U ] ; oznaczana przez j 1 [U ] , ma pokrywać sie¾ z topologia¾na 1 [U ]
dla której
jest homeomor…zmem, która¾ oznaczymy przez ; t.j. szukana topologia
musi spe÷
niać równość j 1 [U ] = :
1
Jednoznaczność : Gdy
jest dowolna¾ topologia¾ na E dla której
[U ] 2
i
1
to
j
[U ] =
= A E; 8 A \ 1 [U ] 2
skad
¾ jednoznaczność. " " Gdy A 2 to dla dow A \ 1 [U ] 2 j 1 [U ] ale j 1 [U ] =
1
1
wiec
¾ A \ 1 [U ] 2 : " " Gdy A E
[U ] 2
S i 8 (A \ 1 [U ] 2 ) to skoro
1
i j 1 [U ] =
to A \
[U ] 2 i A =
(A \
[U ]) 2 :
Istnienie : Określamy powyz·szym wzorem. Banalnie sprawdzamy, z·e rodzina jest
topologia.
¾ Pokaz·emy, z·e
(a) 1 [U ] 2 ;
(b) j 1 [U ] = : /Ćw/
a: Nalez·y pokazać, z·e dla dow zachodzi 1 [U ] \ 1 [U ] 2 : Ale
:U
F !
1
1
1
[U ] jest homeo gdzie na
[U ] jest topologia
wiec
¾ skoro
[U ] \ 1 [U ] =
50
1
[U \ U ] =
[(U \ U ) F ] i (U \ U ) F jest otwarty w U
F to 1 [U ] \
[U ] 2 :
b: Z określenia jest inkluzja j 1 [U ]
: Pokaz·emy w druga¾ strone.
¾ Weźmy
1
A 2 ; w szczególności A
[U ] : Pokaz·emy, z·e A 2 ; bedzie
¾
stad
¾ wynikać, z·e
A 2 j 1 [U ] . W tym celu nalez·y wziać
¾ dowolnie i pokazać, z·e A \ 1 [U ] 2
czyli,
1
1
1
z·e
[A \
[U ]] jest otwarty w U
F: Ale z de…nicji
=
mamy wprost
1
1
ale zbiór
(U \ U )
A\
1
1
[U ] =
[A] \ ((U \ U )
F)
1
[A] \ ((U \ U ) F ) jest otwarty w
[A] jest otwarty w U
F wiec
¾
F a dalej jego obraz przez dyfeomor…zm
jest tez· otwarty.
1
De…nicja 13.0.7 G÷adka¾ wiazk
¾ a¾ z grupa¾ Liego strukturalna¾ G (krótko G-wiazk
¾ a)
¾ nazywamy wiazk
¾ e¾ (E; ; M; F ) z w÷óknem typowym F dla której okre´slone jest lewe dzia÷anie
efektywne : G F ! F grupy Liego G na w÷ókno typowe F oraz zadany jest uk÷ad
lokalnych trywializacji f' : U
F ! 1 [U ]g ;
2 I; dla których funkcje przej´scia
1
:U
F !U
F; (x; v) 7 !
(x; v) ; maja¾nastepuj
¾ ac
¾ a¾w÷asno´s´c: istnieje
g÷adkie odwzorowanie
g :U !G
takie, ·ze
(x; v) = (x; g
(x) v)
czyli
1
jx
[z efektywno´sci dzia÷ania funkcja g
jx
(v) = g
(x) v
jest wyznaczona jednoznacznie].
Zaobserwujmy warunek G-ko÷
ańcucha dla rodziny fg g
g
g
(x) = e;
g
= g
/na U
(x; v) =
(x; g (x) v) = (x; (g
= (x; g (x) v) ;
(x) g
(x)) v) =
(x; v)
czyli (g (x) g (x)) v = g (x) v dla dowolnego v; z efektywności dzia÷
ania g (x)
g (x) = g (x) czyli g
g =g :
UWAGA: jest Tw Ehresmanna o istnieniu wiazki
¾ które mówi, z·e znajac
¾ ko÷
ańcuch
fg g ; w÷
ókno typowe F i dzia÷
anie : G F ! F moz·na jednoznacznie odzyskać
[zde…niować] wiazk¾
¾ e dla ktorej fg g bedzie
¾
G-kocyklem dla pewnej rodziny lokalnych
trywializacji. Zatem wszystko co dotyczy G-wiazki
¾ musi siedzieć w dowolnym G-kocyklu
tej wiazki.
¾
Np. kohomologie, klasy charakterystyczne patrz. np.
R.Bott, L.Tu, Di¤erential forms in Algebraic Topology, GTM, 82, 1982 /ostatnie dwie
strony 304-305. Wzory uzyskane sa¾klasyczna¾geometria¾i topologia¾róz·niczkowa.
¾ Ostatnio
badania moje i N.Telemana wykorzystuja¾ metody geometrii nieprzemiennej, homologii
cyklicznych.
51
Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Springer, 1992.
Traktujemy kocykl jako obiekt geometrii nieprzemiennej (G jest na ogó÷grupa¾nieabelowa)
¾ i chcemy zbudować kompleks tylko i wy÷
acznie
¾
przy po pomocy kocyklu g (bez
udzia÷
u funkcji 0-1) a w nim klasy kohomologii które w odpowiednim w÷
oz·eniu kohomologii de-Rhama w kohomologie tego nowego kompleksu bed
¾ a¾ odpowiadać klasycznym
klasom charakterystycznym (kilka ostatnich referatów w tym kierunku na konf miedzy¾
narodowych w Krakowie, Islamabadzie i Harbinie jeszcze na swoja¾ strone¾ nie w÷
oz·y÷
em).
Dwie waz·ne klasy wiazek:
¾
a) wektorowe,
b) g÷
ówne.
De…nicja 13.0.8 Wiazka
¾ wektorowa to taka wiazka
¾ (E; ; M; F ) w której ka·zde w÷ókno
Ejx jest przestrzenia¾ wektorowa,¾ w÷okno typowowe F jest przestrzenia¾ wektorowa¾ (nad
danym cia÷em R lub C) oraz lokalne trywializacje ' : U F ! 1 [U ] sa¾ we w÷óknach
izomor…zmami przestrzeni wektorowych 'jx : F ! Ejx : W takiej sytuacji funkcje przej´scia
1
:U
F !U
F; (x; v) 7 !
(x; v) ; sa¾ we w÷óknach izomor…zmami
liniowymi
jx : F ! F czyli elementami grupy Liego GL (F ) liniowych izomor…zmów F
na siebie, a zatem okre´slone jest odwzorowanie g : U ! GL (V ) takie, ·ze
jx (v) =
g (x) v wzgledem
¾
kanonicznego dzia÷ania GL (V ) na V:
De…nicja 13.0.9 G-wiazk
¾ a¾ g÷ówna¾ nazywamy G-wiazk
¾ e¾ w której w÷ókno typowe jest
grupa¾Liego G; dzia÷anie lewe G na G jest mno·zeniem w grupie, czyli uk÷ad (P; ; M; G),
oraz zadane sa¾lokalne trywializacje ' : U G ! 1 [U ] takie, ·ze ' (x; g) h = ' (x; g h)
dla g; h 2 G:
Przyk÷
ad 13.0.6 Wiazka
¾ wektorowa styczna T M do rozmaito´sci M wymiaru n z atlasem
maksymalnym A: Przestrze´n styczna Tp M do M w punkcie p 2 M jest przestrzenia¾
wektorowa¾rozpiet
¾ a¾przez wektory bazowe dla danej mapy x wokó÷p równe @x@ i jp : Przy czym
wektory te przy zmianie mapy x na y transformuja¾sie¾w/g regu÷y [otrzymanej dla ró·zniczki
P
@(y f )
odwzorowania id : M ! M w mapach x i y - patrz lemat] dfp @x@ i jp = kj=1 @xj i (p)
@
@yj jf (p)
X @yj
@
@
=
(p)
:
@xi jp j=1 @xi
@yj jp
n
Otrzymali´smy to dla hiperpowierzchni ale to samo bedzie
¾
dla abstrakcyjnej rozmaito´sci
jak tylko zde…niujemy wektory @x@ i jp w terminach wewnetrznych
¾
rozmaito´sci - ni·zej.
Rozwa·zamy
G
TM =
Tp M;
p2M
:
Ka·zda mapa x na Ux
T M ! M -rzutujemy prz styczna¾nad p w punkt p
M okre´sla lokalna¾trywializacje
x~ : Ux
Rn !
52
1
[Ux ]
wzorem
x~jp r1 ; :::; rn =
Zatem
X
i
ri
@
:
@xi jp
@
= ei = (0; :::; 1; 0; ::; 0) 1 jest na miejscu i
@xi jp
Biorac
¾ dwie mapy x i y o niepustej wspólnej cze¾´sci dziedzin Uxy = Ux \ Uy widzimy, ·ze
funkcje przej´scia
~ 1 x~ : Uxy Rn ! Uxy Rn
yx = y
x~jp
1
sa¾równe
yx
p; r1 ; :::; rn
= y~
=
=
=
x~ p; r1 ; :::; rn
1
X
i
Xn
ri y~
i=1
p;
@
p;
@xi jp
1
n
X
r
i @yj
j=1
Xn
i=1
@xi
ri
(p) y~
= y~
=
X
1
@y1
(p) ; :::;
@xi
1
i
p;
ri y~
1
@
p;
@yj jp
Xn
i=1
X
p;
!
ri
i
@
@xi jp
n
X
@yj
ri
j=1
=
@
(p)
@xi
@yj jp
n
Xn X
i=1
j=1
ri
!
@yj
(p) ej
@xi
@yn
(p)
@xi
im odwzorowanie to jest dyfeomor…zmem (odwrotnym jest yx ). Zatem w T M istnieje
struktura rozmaito´sci dla której x~ sa¾ dyfeomor…zmami. Co wiecej
¾ x~jp : Rn ! Tp M jest
n
n
liniowym izomor…zmem oraz xy jx : R ! R dane wzorem
yx jx
r1 ; :::; rn =
Xn
i=1
jest izomor…zmem liniowym (bo macierz
h
ri
@yj
@xi
Xn
@yn
@y1
ri
(p) ; :::;
(p)
i=1
@xi
@xi
i
(p) jest nieosobliwa. De…niujemy
gyx : Uxy ! GL (Rn )
wzorem
@yj
(p)
@xi
(uto·zasamiajac izomor…zm liniowy z jego macierza)
¾ i dla standardowego dzia÷ania
n
n
n
GL (R ) R ! R mamy
3 2 1 3
2 @y1
@y1
(p)
(p)
r
@x1
@xn
4
5
4
5:
yx jx (r) = gyx (p) r =
@yn
@yn
rn
(p)
(p)
@x1
@xn
gyx (p) =
:
Zatem T M jest GL (n; R) - wiazk
¾ a¾wektorowa.¾
Przyk÷
ad 13.0.7 Rozawa·zajac
¾ dowolna¾ wiazk
¾ e¾ wktorowa¾ E o w÷óknie typowym Rm
tworzymy nowa¾wiazk
¾ e¾P dla której w÷óknem bedzie
¾
zbiór uporzadkowanych
¾
baz w÷ókna Ejp :
Utworzymy tak wiazk
¾ e¾ g÷ówna¾o grupie Liego strukturalnej GL (n) - zobaczy´c np.ksiazk
¾ e¾
Lee, albo cokolwiek innego z geometrii ró·zniczkowej wspó÷czesnej.
53
14
Quaterniony
14.1
Algebra quaternionów
Niech H bedzie
¾
zorientowana¾ 4-wymiarowa¾ (nad R) prz. wektorowa¾ z iloczynem
skalarnym h; i : H H ! R i wyróz·nionym elementem e jednostkowym (o d÷
ugości 1
wzgledem
¾
h; i). Określamy
K = e?
ortogonalne uzupe÷
nienie Lin (e) do H; H = Lin (e) K: Orientujemy K przez baze¾
e1 ; e2 ; e3 tak, aby (e; e1 ; e2 ; e3 ) nalez·a÷
o do zadanej orientacji H: Niech : K K ! K
bedzie
¾
iloczynem wektorowym w K: De…niujemy odwzorowanie dwuliniowe nad R
H!H
:H
wzorem
hp; qi e + p q; gdy p; q 2 K
q p = p ; gdy q = e:
(p; q) = p q =
De…nicja 14.1.1 Uk÷ad H = (H; ) tworzy 4-wymiarowa¾R-algebre¾ quaternionów. Ka·zdy
quaternion q jest postaci
q =a e+p
dla a 2 R oraz p 2 K: Oznaczamy
a = Re q
p = Im q:
Elementy z K nazywamy czystymi quaternionami. Elementy z Lin (e) uto·zasamiamy z
liczbami rzeczywistymi.
Ćwiczenie 14.1.1 H jest algebra¾÷¾
aczna,¾ z rozdzielno´scia¾mno·zenia wzgledem
¾
dodawania,
oraz nie jest algebra¾przemienna.¾ Np.
p1 p2 =
p2 p1 =
hp1 ; p2 i e + p1
hp2 ; p1 i e + p2
p2 =
p1 =
hp2 ; p1 i e + p1
hp2 ; p1 i e p1
p2
p2 6= p1 p2 :
De…nicja 14.1.2 Sprze¾·zenie quaternionowe
a e+p=a e
p:
Ćwiczenie 14.1.2 Sprze¾·zenie ma w÷asno´sci a) q q = q q = a2 +kpk2 0 (q q 2 Lin (e) =
R) b) q1 + q2 = q1 + q2 ; c) q1 q2 = q2 q1 ; d) hq1 ; q2 i = 21 (q1 q2 + q2 q1 ) = Re (q1 q2 ) :
De…nicja 14.1.3 Norma quaternionowa
jqj =
p
54
q q:
Ćwiczenie 14.1.3 W÷asno´sci normy 1) jqj 0; 2) jqj = 0 gddy q = 0; 3) jq + q 0 j jqj +
jq 0 j ; 4) jqj = jqj ; 5) h p r; q ri = hp; qi jrj2 p; q; r 2 H; [zachodzi tak·ze dla zespolonych (i
p
rzeczywistych) co sprawdzamy bezpo´srednio] 6) jprj = jpj jrj ; p; r 2 H, 7) jqj = q q =
p
hq; qi:
Ćwiczenie 14.1.4 (Twierdzenie) Algebra quaternionów H ma w÷asno´sci
a) jest algebra¾z dzieleniem (tzn. równania q2 x = q1 oraz x q2 = q1 maja¾dok÷adnie
po jednym rozwiazaniu).
¾
b) nie ma dzielników zera, tzn. je´sli q1 q2 = 0 i q1 6= 0 to q2 = 0:
c) H f0g z mno·zeniem quaternionowym jest grupa¾ i to grupa¾ Liego bo mno·zenie
jest g÷adkie.
q
q 1 = 2:
jqj
d) [przypomnijmy: Elementy z Lin (e) uto·zasamiamy z liczbami rzeczywistymi]
K÷adziemy q 2 = q q:
Je´sli q 6= 0 jest quaternionem czystym (q 2 K) to q 2 = hq; qi < 0 (q 2 2 Lin (e) = R),
Je´sli jqj = 1 i q jest czysty to q 2 = 1:
Ćwiczenie 14.1.5 Pokaza´c, ·ze zbiór macierzy 2
nie tworzy grupy.
14.2
2 quaternionowych o wyznaczniku 1
Grupa jednostkowych quaternionów
Rozwaz·my R4 ze zwyk÷
ym iloczynem skalarnym i wyróz·nionym elementem e = (1; 0; 0; 0) :
Wtedy K = e? = f0g R3 = R3 rozwaz·ana jest z dodatnia¾ orientacja¾ przez wersory osi
wspó÷
rzednych
¾
e1 ; e2 ; e3 . Niech H bedzie
¾
algebra¾ quaternionów dla powyz·szego iloczynu
skalarnego. Mnoz·enie kwaternionowe w K pokrywa sie¾ z iloczynem wektorowymp. ×atwo
p
3
q q = hq; qi =
sprawdzamy,
ze
(R
;
)
jest
algebr
a
¾
Liego.
Z
w÷
asności
normy
jqj
=
q
P
a2 + kpk2 dla q = a e + p; a 2 R; p 2 K; gdy q = a0 e + 3i=1 ai ei mamy
v
u 3
uX
jqj = t
(ai )2 = k(a0 ; :::; a3 )k -zwyk÷
a norma w R4
i=0
Zatem fq 2 H; jqj = 1g = S 3 : Poniewaz· mnoz·enie quaternionowe w ramach quaternionów
jednostkowych dzieki
¾ w÷
asności 6) normy nie wyprowadza poza quaterniony jednostkowe
3
oraz S jest hiperpowierzchnia,¾ to mnoz·enie quaternionowe w S 3 wprowadza strukture¾
grupy Liego w sfere¾ S 3 : Przestrzeń styczna do sfery w jedynce Te S 3 = e? = K czyli jest
równa K: Dlatego algebra¾ Liego tej grupy Liego bedzie
¾
algebra Liego (R3 ; ) : p
2
p Zauwaz·my, z·e takz·e w prostszej sytuacji R = C dla z = x + iy; jzj = z z =
2
2
x + y = k(x; y)k ; skad
¾ fz 2 C; jzj = 1g = S 1 i mnoz·enie zespolone nie wyprowadza
poza jednostkowe, wiec
¾ S 1 jest grupa¾ Liego wzgledem
¾
mnoz·enia liczb zespolonych.
Uwaga 14.2.1 W zasadzie nie poda÷em wcze´sniej formalnej de…nicji algebry Liego grupy
Liego wiec
¾ jest luka. Robi sie¾ to tak: ka·zde pole wektorowe X na rozmaito´sci M okre´sla
55
rózniczkowanie algebry funkcji g÷adkich X : C 1 (M ) ! C 1 (M ) ; (Xf )p = (df )p (Xp ) ;
i odwrotnie; dlatego najpierw na dowolnej hiperpowierzchni (rozmaito´sci) wprowadzmy
nawias Liego pól wektorowych stycznych [X; Y ] jako pole które na funkcji g÷adkiej f jest
równe [X; Y ] f = X (Y f ) Y (Xf ) : Pokazujemy ·ze jest to ró·zniczkowanie algebry C 1 (M )
a wiec
¾ jest polem. Nastepnie
¾
sprawdzamy, ·ze pola z nawiasem tworza¾ algebre¾ Liego. Na
grupie Liego rozwa·zamy tzw. pola prawo (albo lewo) niezmiennicze, nastepnie
¾
zauwa·zamy
z·e nawias Liego pól prawych (lewych) jest polem prawym (lewym). Algebra Liego pól
prawych (lewych) na grupie Liego nazywa sie¾ algebra prawa¾(lewa)
¾ grupy Liego. W ko´ncu
÷atwo obserwujemy, ·ze wektor styczny w jedynce grupy Liego rozszerza sie¾ jednoznacznie
do pola prawego (lewego) na ca÷ej grupie Liego. Zatem wymiar algebry Liego grupy Liego
jest równy wymiarowi grupy Liego, co wiecej
¾ w przestrze´n styczna¾do jedynki wprowadzamy
algebre¾Liego tak, aby by÷a izomor…czna z algebra¾pól prawych (albo lewych). Na GL (n; R)
2
przestrze´n styczna w jedynce to po prostu Rn = End (Rn ; Rn ) i pokazuje sie¾ rachunkiem,
·ze algebra Liego grupy GL (n; R) jest zadana jako algebra endomor…zmów z nawiasem
[A; B] = A B B A. Takim samym rachunkiem pokazujemy, ·ze algebra Liego grupy Liego
niezerowych quaternionów H f0g ma algebre¾ Liego R4 z mno·zeniem [ ; ] =
.
Stad
¾ rzeczywi´scie algebra Liego grupy Liego S 3 bedzie
¾
podalgebra¾ Liego K z mno·zeniem
wektorowym.
14.3
Grupa quaternionowa Q (n) :
Niech
= R; C; H i rozwaz·my n-wymiarowa¾ -przestrzeń wektorowa¾ n z mnoz·eniem
przez skalary po wspó÷
rzednych
¾
z lewej strony p (x1 ; :::; xn ) = (p x1 ; :::; p xn ). Przestrzeń
n
ma takz·e oczywiście strukture¾ rzeczywistej przestrzeni wektorowej która oznaczymy
przez nR (dla = C ma ona wymiar 2n; zaś dla = H ma wymiar 4n). W przestrzeń n
wprowadzmy kanoniczne iloczyny skalarne h ; i
P
a) gdy = R to zwyk÷
y iloczyn skalarny rzeczywisty hx; yiR = ni=1 xi y i ; xi ; y i 2 R,
P
b) gdy = C to iloczyn skalarny hermitowski hz; wiC = ni=1 z i wi ; z i ; wi 2 C,
P
c) gdy = H to iloczyn skalarny quaternionowy hp; qiH = ni=1 pi q i ; pi ; q i 2 H.
n
Uwaga 14.3.1 Zauwa·zamy /ĆW/ , ·ze Re h ; i : nR
R ! R jest rzeczywistym
iloczynem skalarnym. Dla n = 1 z w÷asno´sci (d) sprze¾·zenia otrzymujemy zwiazek
¾ z wyj´sciowym rzeczywistym iloczynem skalarnym h ; i w H :
Re hq1 ; q2 iH = Re (q1 q2 ) = hq1 ; q2 i ;
qi 2 H
a dalej z indukowanym w potedze
¾ H n / q i = q0i e + qji ej 2 ; qji 2 R
Re
= Re
=
i
q11 ; :::; q1n ; q21 ; :::; q2n
i
i
i q1 q2
Re q1i q2i =
H
/liniowo´s´c operatora Re
i
q1i ; q2i =
ij
q1i
j
q2i
j
Dlatego norma quaternionowa j(q 1 ; :::; q n )j elementu (q 1 ; :::; q n ) 2 n to po prostu zwyk÷a
euklidesowa norma po wszystkich wspó÷rzednych
¾
poniewa·z q q jest rzeczywisty, q q =
56
Re (q q) ;
q 1 ; :::; q n
r
q
q
i qi =
=
h(q 1 ; :::; q n ) ; (q 1 ; :::; q n )iH =
iq
r
q
=
ij
(q i )j (q i )j =
ij
2
(q i )j
i
Re q i q i
q01 ; q11 ; q21 ; q31 ; ::::; q0n ; q1n ; q2n ; q3n
=
:
Dlatego sfera w n wzgledem
¾
normy quaternionowej fq 2 n ; jqj = 1g jest sfera¾ S 4n 1 w
R4n :
Tak samo dla zespolonych sfera w Cn wzgledem
¾
normy hermitowskiej jest sfera¾S 2n 1
w R2n : (W = R sfera to sfera S n 1 )
Dla n + 1 (bedzie
¾
u·zyteczne dalej) sfera w n+1 jest równa odpowiednio
Sn
Rn+1 dla
Cn+1 dla
Hn+1 dla
2n+1
S
S 4n+3
= R;
= C;
= H:
De…nicja 14.3.1 Odwzorowanie R-liniowe : n ! n nazywamy
(a) -liniowe (odpowiednio R-liniowe, C-liniowe, quaternionowe) je·zeli
(x) ; q 2 ; x 2
(q x) = q
n
:
(b) -izometria¾(izometria,¾ izometria¾unitarna,¾ izometria¾quaternionowa)
¾ je·zeli
h (x) ; (y)i = hx; yi ;
Ćwiczenie 14.3.1 (Tw) Na to aby
aby by÷o -liniowe oraz aby
:
n
!
n
x; y 2
by÷o
n
:
-izometria¾ potrzeba i wystarcza
Re h (x) ; (y)i = Re hx; yi ;
tzn. aby
2 O(
n
R)
- grupa obrotów rzeczywistej przestrzeni
n
R:
Ćwiczenie 14.3.2 Wszystkie -izometrie przestrzeni n tworza¾grupe¾i jest to domknieta
¾
n
podgrupa w zwartej grupie obrotów O ( R ) ; zatem sama jest zwarta (i Liego). Gdy = R
oznaczamy grupe¾ O (n) [obroty w÷a´sciwe zachowujace
¾ orientacje¾ maja¾ wyznacznik +1 i
tworza¾grupe¾ Liego SO (n) ], gdy = C oznaczamy grupe¾ U (n) i nazywamy unitarna,¾ gdy
= H oznaczamy Q (n) i nazywamy quaternionowa.¾ Stad
¾ U (n) i Q (n) jako dpmkniete
¾
podgrupy w O ( nR ) sa¾zwarte.
Ćwiczenie 14.3.3 Wybierzmy w n baze¾ wersorów. Uto·zsamijmy ka·zdy obrót z O (n) ;
U (n) ; Q (n) z macierza¾wzgledem
¾
tej bazy. Wówczas
A
A
A
A
2
2
2
2
O (n) () AT A = 1; O (n) GL (n; R) ;
SO (n) () AT A = 1; det A = +1;
O (n)
T
U (n) () A A = 1; U (n) GL (n; C) ;
Q (n) () AT A = 1; Q (n) GL (n; H) :
57
GL (n; R)
Niech n = 1:
Lemat 14.3.1 Odwzorowanie
:
!
jest -liniowe gddy
(q) = q
(1) :
Kiedy : ! dane wzorem (q) = q p dla pewnego p 2 jest -izometria?
¾
Z w÷
asności (5) normy quaternionowej (zespolonej, rzeczywistej) otrzymujemy
Lemat 14.3.2
gddy jpj = 1:
:
!
dane wzorem
(q) = q p dla pewnego p 2
jest -izometria¾
Istotnie, bycie -izometria¾ oznacza bycie -liniowe i izometria¾ wzgledem
¾
wyjściowego
rzeczywistego iloczynu skalarnego Re hq1 ; q2 i = Re (q1 q2 ) = hq1 ; q2 i ; co pozwala
stosować (5) dla normy: h (q) ; (q 0 )i = hq; q 0 i () hq p; q 0 pi = hq; q 0 i () hq; q 0 i jpj2 =
hq; q 0 i () jpj = 1:
Wniosek 14.3.1 Dla = R mamy O (1) = f 1; +1g ;
Dla = C mamy U (1) = fz 2 C; jzj = 1g = S 1 ; U (1) = SO (2) - obroty w÷a´sciwe R2 :
Dla = H mamay Q (1) = fp 2 H; jpj = 1g = S 3 :
Izomor…zmami grup Liego sa¾
(a) : O (1) ! f 1; +1g ; ( ) = (1) ;
(b) : U (1) ! S 1 ; ( ) = (1) oraz na jedno wychodzi 1 ( ) = (1) (bo mno·zenie
liczb zespolonych jest przemienne),
( ) = ( ) (1) = ( (1)) = (1) (1) = (1) (1) = ( ) ( ) ; tak samo ze
(1) = (1) (1) = 1 ( ) 1 ( ) :
sprze¾·zeniem 1 ( ) = ( ) (1) = ( (1)) = (1)
(c)
: Q (1) ! S 3 ; musi by´c ze sprze¾·zeniem bo sprze¾·zenie
¾
iloczynu quaternionów
przemienia liczby
1
14.4
(
)=(
) (1) =
( (1)) =
(1)
(1) =
(1)
(1) =
( )
( ):
Zwiazek
¾
grupy Liego S 3 z grupa¾ obrotów przestrzeni R3
Traktujmy R3 jako K = e?
H. Rozwaz·my dla punktu p 2 S 3 odwzorowanie
p
: K ! K; x 7 ! pxp 1 :
Twierdzenie 14.4.1 a) pxp 1 dla p 2 S 3 jest czystym quaternionem, pxp 1 2 K;
b) p jest obrotem przestrzeni K; h p (x) ; p (y)i = hx; yi ; tzn. p 2 O (3) ;
c) : S 3 ! O (3) jest homomor…zmem grup, (p q) = (p) (q) ;
d) : S 3 K ! K; (p; x) 7 ! pxp 1 ; jest g÷adkie, skad
¾ : S 3 ! O (3) jest g÷adkim
homomor…zmem grup Liego, a ·ze S 3 jest spójna, to jego warto´sci musza¾ le·ze´c w spójnej
sk÷adowej jedynki grupy Liego O (3) czyli w SO (3) ; tzn. p jest obrotem w÷a´sciwym,
e) (p) = ( p) ;
f)
: S 3 ! O (3) jest surjekcja¾ i ker = fe; eg ; skad
¾ warstwami S 3 wzgledem
¾
ker sa¾zbiory punktów antypodycznych p fe; eg = fp; pg :
58
W takim razie S 3 = ker = SO (3) : Jak zrobić rozmaitość S 3 = ker ? Otóz· w S 3
wprowadzamy relacje¾ równowaz·ności = utoz·samiajac
¾ a¾ punkty antypodyczne p = p:
3
Tworzymy przestrzeń ilorazowa¾S = = z której trzeba zrobić rozmaitość. Utoz·samienie na
sferze punktów antypodycznych tworzy tzw. przestrzeń (rozmaitość) rzutowa¾ RP 3 : Niech
: S 3 ! RP 3 bedzie
¾
kanonicznym rzutowaniem, wówczas istnieje bijekcja (dyfeomor…zm)
S3
! SO (3)
#
%
RP 3
Tak oto przyda÷
y sie¾ quaterniony do zobaczenia grupy obrotów w÷
aściwych w R3 : jest to
jako rozmaitość tzw. przestrzeń rzutowa rzeczywista 3-wymiarowa RP 3 : Darujemy sobie
dojście do grupy obrotów R4 : SO (4) jako rozmaitość jest dyfeomor…czna z RP 3 S 3 :
Przestrzeń RP 3 = S 3 = = moz·na odtworzyć bardziej "liniowo", mianowicie przez dwa
punkty antypodyczne fp; pg przechodzi dok÷
adnie jedna prosta przechodzaca
¾ przez 0 (a
wiec
¾ 1-wym podprzestrzeń wektorowa). Moz·na by zatem pomysleć, aby w przestrzeni R4
zawierajac
¾ a¾ sfere¾ S 3 utoz·amiać/ściagn
¾ ać
¾ proste przechodzace
¾ przez 0 (czyli 1-wymiarowe
podprzestrzenie wektorowe) do punktu. Ale wszystkie takie proste zawieraja¾ wektor zerowy, wiec
¾ trzeba go usunać
¾ przed utoz·samieniami. Bierzemy zatem R4 f0g i
wprowadzamy relacje¾ utoz·samiajac
¾ a¾ punkty na prostej przechodzacej
¾ przez 0 (dwa niezerowe wektory x; y lez·a¾w tej samej 1-wym podprz wektorowej gddy gdy sa¾proporcjonalne)
x=y
() 9R3t6=0 (y = tx) :
Zauwaz·ymy, z·e przestrzenie ilorazowe S 3 = = i R4
f0g = = sa¾ homeomor…czne.
Lemat 14.4.1 Odwzorowanie
: S 3= =
([x]) = [x]
i
R4
f0g = =
jest homeomor…zmem. Odwrotne dane jest wzorem
1
([x]) =
x
:
kxk
4
Dowód. Rozwaz·my kanoniczne rzutowania 1 : S 3 ! S 3 = =;
f0g !
2 : R
4
R f0g = =; topologia ilorazowa jest najsilniejsza przy których rzutowania sa¾ ciag÷
¾ e.
Aby sprawdzić, czy jest ciag÷
¾ e wystarczy z÷
oz·yć z rzutowaniem 1 i rozwazyć diagram
w którym 1 : S 3 ! R4 f0g jest inkluzja¾
R4
1
S
Otóz·,
jest ciag÷
¾ e gddy
3
%
!
1
1
f0g
3
S ==
& 2
! R4
jest ciag÷
¾ e, ale
59
1
=
f0g = =
2
1
jest ciag÷
¾ e.
Teraz odwrotnie, rozwaz·my ciag÷
¾ e odwzorowanie 2 : R4
diagram
S3
& 1
2 %
R4
f0g
R4
2
!
1
f0g = =
!
f0g ! S 3 ;
2
(x) =
x
kxk
i
S 3= =
Niz·ej zbiór (który okaz·e sie¾ rozmaitościa)
¾ 1-wymiarowych rzeczywistych prostych
R4 f0g = = w R4 uogólnimy na k-wymiarowe -p÷
aszczyzny przechodzace
¾ przez 0 w
n
n-wymiarowej -przestrzeni wektorowej
(
gdzie dla
n
3 x; y 6= 0
x=y
n
f0g) = =
() 9
3q6=0
(y = qx) :
Gdy
= R i n = 4; k = 1; otrzymamy to co wyz·ej.
15
Grassmanniany, w szczególności przestrzenie rzutowe
15.1
Grassmanniany
De…nicja 15.1.1 k-p÷aszczyzna¾ [przechodzac
¾ a¾ przez 0 - co dla skrótu bedziemy
¾
pomija´c]
n
n
w
nazywamy -podprzestrze´n w
-wymiaru k: Oznaczamy przez G (n; k) zbiór
k-wymiarowych -p÷aszczyzn w n : Dodatkowo gdy
= R wprowadzamy zorientowane
n
n
k-p÷aszczyzny w R czyli k-p÷aszczyzny rzeczywiste w R zaopatrzone w pewna¾orientacje.
¾
~
Ich zbiór oznaczamy G (n:k) :
Gdybyśmy dysponowali twierdzeniem, z·e dla domknietej
¾ podgrupy Liego H
G
przestrzeń ilorazowa G=H ma strukture¾ rozmaitości (i to jedyna¾ dla ktorej rzutowanie
G ! G=H jest koregularne) wówczas moz·na standardowo wprowadzić w G (n; k) strukture¾ rozmaitości i wówczas bedzie
¾
ona nazywana grassmannianem k-wymiarowych p÷
aszczyzn w n : Mianowicie tak:
Oznaczmy przez I (n) jedna¾ z grup Liego izometrii O (n) ; U (n) ; Q (n) czyli grupe¾
izometrii n odpowiednio dla = R; C; H: Aby policzyć wymiary tych grup Liego nalez·y
najpierw znaleźć ich algebry Liego. Podamy rezultaty bez pokazywania. Oznaczamy
algebre¾ Liego grupy I (n) przez Sk (n; ) i mamy kolejno - utoz·samiajac
¾ -liniowe odwzorowanie z Sk (n; ) z macierza¾
gddy A + AT = 0;
n (n 1)
n
dim Sk (n; R) = dim O (n) =
=
; macierze skośnie symetryczne
2
2
A 2 Sk (n; R)
A
dim Sk (n; C)
A
dim Sk (n; H)
2
=
2
=
Sk (n; C) gddy A + AT = 0;
dim U (n) = n2 ; macierze skośnie hermitowskie ( dim = dimR )
k (n; H) gddy A + AT = 0;
dim Q (n) = n (2n + 1) ; macierze skośnie quaternionowe
60
Lemat 15.1.1 Odwzorowanie
G (n; k) ! G (n; k) ;
T : I (n)
('; F ) 7 ! ' [F ] ;
jest lewym dzia÷aniem tranzytywnym.
To, z·e T jest lewym dzia÷
aniem jest oczywiste. Tranzytywność jest otrzymana w
sposób standardowy w geometrii analitycznej: kaz·da k-wymiarowa podprzestrzeń wektorowa jest obrazem przez pewna¾ izometrie¾ standardowej k-wymiarowej podprzestrzeni
k
¾ dwie podprzestrzenie F1 i F2 i sk÷
adajac
¾ jedna¾
0 = f(q1 ; :::; qk ; 0; :::; 0) ; qi 2 g : Biorac
z takich izometrii z odwrotna¾ do drugiej dostaniemy izometrie¾ przekszta÷
cajac
¾ a¾ F1 na F2 :
Konstrukcja takich -izometrii jest u÷
atwiona dzieki
¾ temu, z·e ma być po prostu -liniowa
i R-izometria wzgledem
¾
wyjściowego rzeczywistego iloczynu skalarnego (czyli tak jak w
rzeczywistej geometrii analitycznej).
Wnioskeim z tego lematu jest
Wniosek 15.1.1 Odwzorowanie
k
: I (n) ! G (n; k) ;
'7 !'
k
0
;
jest surjektywne.
Znajdziemy niz·ej k 1 k0 :
Podprzestrzenia¾ ortogonalna¾ do
k ?
0
n k
1
=
k
0
= f(q1 ; :::; qk ; 0; :::; 0) ; qi 2 g jest
= f(0; :::; 0; qk+1 ; :::; qn ) ; qi 2 g ;
k ?
0
n
n k
;
1
k
n k
:
0
1
=
=
Zanurzamy I (k) w I (n) w zapisie macierzowym A 7 !
I (n) w zapisie macierzowym B 7 !
I (k)
1 0
0 B
A 0
0 1
oraz I (n
k) w
oraz bierzemy zanurzenie
k) ! I (n)
I (n
(A; B) 7 !
A 0
0 B
Jest to homomor…zm grup (mono) co pozwala widzieć I (k) I (n k) jako podgrupe¾
w I (n) (Liego) i zrobić przestrzeń ilorazowa¾ (rozmaitość bo I (k) I (n k) jest
domknieta)
¾ I (n)=I (k) I (n k) :
Stwierdzenie 15.1.1
1
k
k
0
= I (k)
I (n
61
k) :
Dowód. Po pierwsze zauwaz·my, z·e jez·eli dla -izometrii ' 2 I (n) przestrzeni
k
' k0
0 to musi być
i
h
mamy
k ?
0
k ?
0
'
n
czyli
n k
1
'
1
" " Niech ' 2
k
0
n k
:
1
k
0,
k
0
; czyli '
z powyz·szego rozumowania '
n k
1
A 0
dla macierzy A i B izometrii z I (k) i
0 B
I (n k) ; co oznacza, z·e ' 2 I (k) I (n k) :
" " - oczywiste, bo gdy ' 2 I (k) I (n k) to w szczególności przeprowadza k0
w k0 :
Kluczem (dość ogólnym) do znalezienia struktury rozmaitości w G (n; k) jest poniz·sze
twierdzenie
n k
1
a zatem macierz ' jest postaci
Twierdzenie 15.1.1 Istnieje dok÷adnie jedna bijekcja (homeomor…zm)
k
: I (n)=I
! G (n; k)
(k) I (n k)
taka, ·ze
I (n)
I (n)=I
.
k
k
!
(k) I (n k)
&
G (n; k)
Dowód. Jednoznaczność: k ([']) = k (') :
Poprawność de…nicji, tzn. niezalez·ność powyz·szego wzoru od reprezentanta ' klasy
k
k
['] : Weźmy 2 I (k) I (n k) : Wtedy
¾
0 = 0 skad
k
('
k
0
)='
k
0
='
Surjektywność k wynika z surjektywności k :
Injektywność k : Niech k ([']) = k ([ ]) ; zatem
1
k
=
' 2 I (n) : Wówczas
0 Weźmy
k
0
a dalej z faktu, z·e
=
1
'
k
0
=
1
jest -izometria¾ wynika, z·e takz·e
n k
1
k
0
='
=
k
k
(') =
k
0
=
n k
1
(') :
k
( ) ; czyli '
k
0
=
k ?
0
=
k
0
=
h
k ?
0
i
=
co implikuje, z·e 2 I (k) I (n k) : Zatem skoro ' =
i 2 I (k) I (n k)
to ['] = [ ] :
Jest oczywiste, z·e k jest homeomor…zmem.
Poniewaz· I (n)=I (k) I (n k) jest rozmaitościa¾ (dzielenie grupy Liego przez domkniet
¾ a¾
podgrupe¾ Liego) oraz jest koregularne, to struktura rozmaitości w G (n; k) dla której
· grupy
k jest koregularne. Poniewaz
k jest dyfeomor…zmem jest ta¾ jedyna¾ dla której
I (n) sa¾ zwarte to grassmanniany sa¾ tez· zwarte.
62
Lemat 15.1.2 Dla dowolnej -izometrii '0 2 I (n) odwzorowanie ('0 ) : G (n; k) !
G (n; k) ; F 7 ! '0 [F ] ; jest dyfeomor…zmem.
Dowód. Wystarczy pokazać g÷
adkość. W tym celu wystarcza pokazać g÷
adkość z÷
oz·enia
('0 )
:
k
('0 )
k (') = ('0 ) '
('0 )
l'0
k =
k
= ('0 ') k0 = k ('0 ') = k l'0 (')
jest g÷
adkie /lewa translacja jest g÷
adka
k
0
De…nicja 15.1.2 Grassmannianem k-p÷aszczyzn w
G (n; k) dla której k jest dyfeomor…zmem.
n
nazywamy rozmaito´s´c ró·zniczkowa¾
Zatem mamy
GR (n; k)
dim GR (n; k)
GC (n; k)
GH (n; k)
=
=
=
=
O (n)=O(k)
dim O (n)
U (n)=U (k)
Q (n)=Q(k)
;
dim O (k) dim O (n k) = k (n k) ;
dim GC (n; k) = 2k (n k) ;
U (n k) ;
dim GH (n; k) = 4k (n k) :
Q(n k) ;
O(n k)
W szczególności dla k = 1 oraz n := n+1 mamy tzw. przestrzenie rzutowe i ich rzeczywiste
wymiary sa¾ równe
dimR GR (n + 1; 1) = 1 (n + 1
dimR GC (n + 1; 1) = 2n;
dimR GH (n + 1; 1) = 4n:
1) = n;
Stwierdzenie 15.1.2 Odwzorowanie
: G (n; k) ! G (n; n
k) ;
F 7 ! F ?;
jest dyfeomor…zmem.
Dowód. Weźmy -izometrie¾ 2 I (n) o macierzy
0
1n
=
0 1n
1k
0
X j
(ei ) =
i ej
T
T
=
k
k
1k
0
;
j
T j
i
T
T
8
>
>
<
0;
i
i
=
j
>
; i
>
: i n+k
0; i n
j k
;
i
(e1 ) = ek+1 ;
n k
= n1 k :
0
T
n k; j
n k; j
n k + 1;
k + 1; j
(en k ) = en
63
k
k+1
j k
k + 1:
Wystarcza pokazać, z·e
De…niujemy
jest g÷
adka.
' : I (n) ! I (n)
wzorem
' (A) =
T
A
:
Macierza¾ z÷
oz·enia
A T jest T A : ×atwo sprawdzamy, z·e jest to homomor…zm
(izomor…zm) grup ' (A B) = ' (A) ' (B) i oczywiście jest g÷
adki (mnoz·enia T A
Ak
0
sa¾ g÷
adkie) poza tym dla
2 I (k) I (n k) mamy
0 Bn k
' [I (k)
=
T
k)] = I (n
Ak
0
0 Bn
k
Ak
0
0 Bn
k
'
=
I (n
0 1n
1k
0
Bn
0
= ::: =
Ak
0
0 Bn
k
0
Ak
k
k)
I (k)
1n
0
k
2 I (n
k)
0
1k
k
I (k)
skad
¾ wynika, z·e ' indukuje dyfeomor…zm
' : I (n)=I
(k) I (n k)
! I (n)=I
(n k) I (k)
(bo tak: rzut I (n) ! I (n)=I (k) I (n k) jest koregularny a z÷
oz·enie ' z tym rzutem jest
g÷
adkie bo jest to wtedy z÷
oz·enie rzutu z prawej I (n) ! I (n)=I (n k) I (k) z ' ).
Pokazujemy przemienność diagramu
I (n)=I
k
!
(k) I (n k)
'# '
I (n)=I
[
n k
' ['] =
n k
'
=
'
n k
1
k
! G (n; n
'
(')] =
Stad
¾
jest dyfeomor…zmem, ale
mor…zmem.
#
n k
(n k) I (k)
([']) =
k
G (n; k)
'
'
T
=
=
'
k
0
n k
n k
1
=
'
k)
h
'
T
k ?
0
=
i
=
'
T
n k
1
n k
0
:
tez· jest dyfeomor…zmem, wiec
¾
64
'
tez· jest dyfeo-
15.2
Rzeczywiste, zespolone i quaternionowe przestrzenie rzutowe
De…nicja 15.2.1 Rozmaito´s´c Grassmanna G (n + 1; 1) 1-wymiarowych -przestrzeni w
n+1
;n 1
P n = Pn := G (n + 1; 1) = n+1 f0g ==
gdzie dla
n+1
3 x; y 6= 0
() 9
x=y
3q6=0
(y = qx) ;
nazywamy -przestrzenia¾rzutowa.¾
Dla = R mamy rzeczywista¾przestrze´n rzutowa¾Pn R oznaczana¾te·z RP n :
Dla = C mamy zespolona¾przestrze´n rzutowa¾Pn C oznaczana¾te·z CP n :
Dla = H mamy quaternionowa¾przestrze´n rzutowa¾Pn H oznaczana¾te·z HP n :
Niech
n+1
:
f0g ! Pn
bedzie
¾
kanonicznym rzutowaniem. Wprowadzimy teraz atlas g÷
adki na Pn a tym samym
strukture¾ rozmaitości w przestrzeni topologicznej ilorazowej Pn :
De…nicja 15.2.2 Niech v = (v0 ; :::; vn ) bedzie
¾
baza¾
zona¾z baza¾v nazywamy odwzorowanie
n+1
: Parametryzacja¾Pn stowarzys-
n
! Pn ;
v0 + ni=1 q i vi ;
'v
:
1
n
q ; :::; q
7 !
qi 2 :
Twierdzenie 15.2.1 'v jest homeomor…zmem na otwarty podzbiór w Pn : Rodzina parametryzacji f'v g stanowi atlas g÷adki na przestrzeni Pn :
Dowód. a) Ciag÷
¾ ość 'v : Z÷
oz·ymy 'v w postaci odwzorowań ciag÷
¾ ych
'v :
n
!
q 1 ; :::; q n 7 ! v0 +
n+1
n
i
i=1 q
Zatem 'v jest ciag÷
¾ e.
b) obraz 'v jest otwarty w Pn :
W
f0g ! Pn
vi 7 ! v0 +
n
i
i=1 q
vi :
: = 1 ['v [ n ]] = 1 [
[ n ]]
= q v0 + ni=1 q i vi ; 3 q 6= 0; q i 2
n
i
n+1
=
vi ; r0 6= 0; ri 2
f0g
i=0 r
W jest otwarty w n+1 f0g zatem 'v [ n ] jest otwarty w Pn : Do pokazanie, z·e 'v 1
wystarcza z÷
oz·yć z jW i pokazać ciag÷
¾ ość. Poniewaz· z÷
oz·enie to wyraz·a sie¾ wzorem
'v 1
jW
n
i
i=0 r
vi
= 'v 1
0
r 6=0
n
i
i=0 r
vi
= 'v 1
=
65
v0 +
r1
rn
;
:::;
r0
r0
i
n r
i=1 0
r
vi
jW jest ciag÷
¾ e, zatem 'v jest homeomor…zmem na
o ciag÷
¾ ych wspó÷
czynnikach to 'v 1
obraz.
c) Biorac
¾ baze¾ v0 = (v0 ; :::; vn ) i przesuwajac
¾ vi na pierwsze miejsce vi = (vi ; v0 ; :::^{:::vn )
÷
atwo widzimy, z·e
[n
'vi [ n ] = Pn :
i=0
Istotnie, niech [x] 2 Pn ; x 6= 0; x 2
ri0 6= 0: Wtedy
n
i
i=0 r vi
[x] =
n+1
i
i6=i0 r vi = vi0 +
= ri0 vi0 +
n
i
i=0 r vi
: Wtedy x =
i któraś wspó÷
rzedna
¾
ri
i6=i0 i vi 2 Im 'vi :
0
r0
Zatem obrazy 'v [ n ] pokrywaja¾ ca÷
a¾ przestrzeń Pn :
d) Weźmy dowolne bazy v = (v0 ; :::; vn ) i w = (w0 ; :::; wn ) i parametryzacje 'v i 'w
'v :
'w :
n
n
! Pn ;
! Pn ;
q 1 ; :::; q n 7 ! v0 +
q 1 ; :::; q n 7 ! w0 +
n
i
i=1 q
n
i
i=1 q
vi ;
wi :
Obliczymy wspó÷
rzedne
¾
przekszta÷
cenia
'w1 'v :
Niech vi =
1
1
!
2;
j
n
j=0 ci wj ;
1
= 'v 1 ['w [
n
]] ;
2
]]
- otwarte podzbiory.
i = 0; :::; n.
= 'v 1 ['w [ n ]] = q 1 ; :::; q n ; 'v q 1 ; :::; q n 2 'w [
=
q 1 ; :::; q n ; v0 + ni=1 q i vi 2 'w [ n ]
=
q 1 ; :::; q n ;
=
q 1 ; :::; q n ;
=
q 1 ; :::; q n ;
(
=
n
= 'w1 ['v [
n
]
j
j
n
n
i
n
n
]
j=0 c0 wj + i=1 q
j=0 ci wj 2 'w [
c00 + ni=1 q i c0i w0 + nj=1 cj0 + ni=1 q i cji
c00 + ni=1 q i c0i 6= 0
- jest to zbiór otwarty
q 1 ; :::; q n ;
"
cj +
w0 + nj=1 00
c0 +
n
i
i=1 q
n
i
i=1 q
#
cji
wj 2 'w [
c0i
wj 2 'w [
n
]
skad
¾
'v q 1 ; :::; q n
=
"
cj +
w0 + nj=1 00
c0 +
n
i
i=1 q
n
i
i=1 q
cji
wj
c0i
#
= 'w
c10 +
c00 +
n
i
i=1 q
n
i
i=1 q
c1i
cn0 +
;
:::;
c0i
c00 +
n
i
i=1 q
n
i
i=1 q
cni
c0i
'w1 'v q 1 ; :::; q n =
c10 +
c00 +
n
i
i=1 q
n
i
i=1 q
c1i
cn0 +
;
:::;
c0i
c00 +
n
i
i=1 q
n
i
i=1 q
cni
c0i
oraz
co dowodzi g÷
adkości funkcji przejścia.
66
)
n
]
Ćwiczenie 15.2.1 Obliczy´c bezpo´srednio funkcje przej´scia dla baz vi i vj , i 6= j;
'vi1 'vj q 1 ; :::; q n =
::::: dla i j 1
:
::::: dla i j + 1
Wniosek 15.2.1 Pn posiada naturalna¾ strukture¾ rozmaito´sci ró·zniczkowej -wymiaru
n; w szczególno´sci wymiar rzeczywisty dla = C wynosi 2n za´s dla = H wynosi 4n co
zgadza sie¾ z wcze´sniejszymi wyliczeniami wymiarów Pn = G (n + 1; 1) jako rozmaito´sci
jednorodnych (grupa Liego dzielona przez podgrupe¾ Liego I (n + 1)=I
(1) I (n)
G (n + 1; 1) = Pn )
Ćwiczenie 15.2.2 Rzutowanie
larne.
:
n+1
Twierdzenie 15.2.2 Rozmaito´s´c P1
= R; S 2 dla = C i S 4 dla = H
f0g ! Pn
1
!
'
jest g÷adkie, co wiecej
¾ jest koregu-
= G (2; 1) jest dyfeomor…czna ze sfera¾ S 1 dla
RP 1 = S 1 ;
CP 1 = S 2 ;
HP 1 = S 4 :
Dowód. Weźmy dowolna¾ baze¾ v0 = (v0 ; v1 ) przestrzeni
'v0
:
! P1 ;
q 7 ! [v0 + q v1 ] ;
2
i parametryzacje¾
q2 :
Jest to dyfeomor…zm na otwarty podzbiór, przy czym parametryzacja nie obejmuje tylko
jednego punktu z P1 ;
P1
'v0 [ ] = f[v1 ]g :
Istotnie, [v1 ] = [0 v0 + 1 v1 ] nie moz·e być w obrazie 'v0 ; i gdy [q0 v0 + q1 v1 ] nie nalez·y
do 'v0 [ ] to q0 = 0 bo w przeciwnym wypadku
[q0 v0 + q1 v1 ] = v0 +
q1
v1 2 'v0 [ ] :
q0
Stad
¾ [q0 v0 + q1 v1 ] = [q1 v1 ] = [v1 ] bo musi być q1 6= 0: Stad
¾ z ogólnej topologii
[Engelking] odwzorowanie 'v0 rozszerza sie¾ do jedno-punktowego uzwarcenia 'v0 : [
fv1 g ! P1 przy czym jest to homeomor…zm. Ale ÷
atwiej i znajomo moz·na 1-punktowe
uzwarcenie przestrzeni zrobić jako sfere¾ wykorzystujac
¾ rzut stereogra…czny z bieguna
pó÷
nocnego utoz·samionego z wektorem v1 : Przy czym
8 1
< S ; gdy = R;
S 2 ; gdy = C;
[ fv1 g = S (1) :=
: 4
S ; gdy
= H:
Co wiecej
¾ wykorzystujac
¾ rzut stereogra…czny z bieguna po÷
udniowego utoz·samionego z
wektorem v0 oraz parametryzacji 'v1 dla bazy (v1 ; v0 ) pokazujemy [ĆWICZENIE !!!] z·e
67
'v0 : [ fv1 g ! P1 jest dyfeomor…zmem do czego brakuje g÷
adkości tylko w jednym
punkcie biegunie po÷
udniowym. Tzn. powinno być
f0g
" h+
& 'v0
'v
0
S (1) fv0 ; v1 g
!
P1
#h
% 'v1
f0g
15.3
Rozw÷
óknienia Hopfa
Weźmy kanoniczny g÷
adki (koregularny) rzut
n+1
:
f0g ! Pn
oraz wybierzmy sfere¾ S (n) w n+1 f0g o promieniu 1 wzgledem
¾
-normy, S (n) =
fq 2 n+1 ; jqj = 1g : Jak wiemy z uwagi (14.3.1) o sferze wzgledem
¾
-normy sfera S (n)
jest po prostu sfera¾ w indukowanej euklidesowej normie. Tak wiec
¾ mamy kolejno
Sn
Rn+1 dla
Cn+1 dla
Hn+1 dla
S 2n+1
S 4n+3
Obetniemy rzut
do tej sfery
: S (n)
a) dla
b) dla
c) dla
= R;
= C;
= H:
=R
=C
=H
n+1
f0g ! Pn :
: S n ! RP n ;
: S 2n+1 ! CP n ;
: S 4n+3 ! HP n :
Pokaz·emy, z·e sa¾ to wiazki
¾
o w÷
óknach typowych S (0) równych kolejno Z2 =
1
3
f 1; +1g ; S i S : Wiazki
¾ te nazywaja¾ sie¾ wiazkami
¾
Hopfa. W szczególności dla n = 1
skoro
RP 1 = S 1 ;
CP 1 = S 2 ;
HP 1 = S 4 :
to otrzymujemy wiazki
¾
: S 1 ! S 1 - podwójne nakrycie /w÷
ókno Z2 ; dla S 1 = fz; jzj = 1g ;
: S 3 ! S 2 - w÷
ókno S 1 ;
: S 7 ! S 4 - w÷
ókno S 3 :
68
(z) = z 2 :
Wiazki
¾ te nie sa¾ trywialne, rzutowania nie sa¾ ściagalne
¾
do punktów skad
¾ wynika
np, z·e 3 (S 2 ) 6= 0 i 7 (S 4 ) 6= 0 tzn. w 2-wymiarowej rozmaitości S 2 sa¾ "dziury" 3wymiarowe a 4-wymiarowej rozmaitości S 4 sa¾ dziury 7-wymiarowe!. Rozwaz·ajac
¾ oktawy
15
Cayleya (czego nie robiliśmy) dochodzi sie¾ w analogiczny sposób do wiazki
¾ S ! S8 z
w÷
óknem S 7 (sfery S 1 ; S 3 i S 7 sa¾ jedynymi w których istnieje struktura grupy Liego).
Przypadek rzeczywisty jest banalny. Zajmiemy sie¾ przypadkiem 2 i 3.
Niech (z0 ; z1 ) 2 S 3
C2 = R4 ; tzn. jz0 j2 + jz1 j2 = 1 (C-norma punktu (z0 ; z1 ) jest
1; j(z0 ; z1 )j = 1: Kaz·dy inny reprezentant klasy [(z0 ; z1 )] 2 CP 1 jest postaci (tz0 ; tz1 ) dla
C 3t 6= 0: Jeśli wiec
¾ dalej (tz0 ; tz1 ) 2 S 3 czyli ma C-norm¾
e równa¾ 1 to zachodzi
1 = j(z0 ; z1 )j = j(tz0 ; tz1 )j = jt (z0 ; z1 )j = jtj j(z0 ; z1 )j = jtj :
Zatem w÷
ókno nad punktem [(z0 ; z1 )] jest równe ft (z0 ; z1 ) ; jtj = 1g = S 1 :
Analogiczny rachunek dla quaternionów daje to samo: wspó÷
czynnik proporcjonalności
q mam mieć norm¾
e quaternionowa¾ (czyli zwyk÷
a¾ euklidesowa)
¾ równa¾ 1; a to oznacza, z·e
3
3
q 2 S i w÷
ókno jest dyfeomor…czne z S : Przy okazji obserwujemy bardzo ciekawa¾ rzecz:
S3
C2 i S 7
H2 ; na C2 dzia÷
a z lewa grupa Liego S 1 (mnoz·enie zwyk÷
e przez liczby
3
3
zespolone), po obcieciu
¾ do S nie wychodzi sie¾ z S bo norma po pomnoz·eniu przez element
z S 1 nie zmienia sie.
¾ Aby mieć prawe dzia÷
anie trzeba mnoz·yć z lewa przez odwrotny
: S3
S 1 ! S 3 ; (q; a) 7 ! q
:=
1
1
q=(
q;
i
(q
)
=
1
q
1
=
1
1
q =
)
1
q=q (
);
dostajemy g÷
adkie i tzw. wolne, tzn. gdy (z0 ; z1 ) t = (z0 ; z1 ) to t = 1: Znaczy to, z·e
ania pokrywaja¾ sie¾
orbita¾ dzia÷
ania jest S 1 ; (z0 ; z1 ) S 1 = S 1 ; poza tym orbity tego dzia÷
3
1
co wyz·ej zaobserwowaliśmy z w÷
óknami rzutowania : S ! CP = S 2 : Z Tw Glisona
: S 3 ! CP 1 jest wiazk
¾ a¾ i to wiazk
¾ a¾ g÷
ówna¾ o grupie strukturalnej S 1 :
Analogicznie w przypadku quaternionowym mamy prawe dzia÷
anie wolne z mnoz·enia
2
2
przez odwracanie quaternionów H
H !H
: S7
S 3 ! S 7 ; (q; a) 7 ! q
:=
1
q:
Orbita¾ jest (q0 ; q1 ) S 3 = S 3 i orbity pokrywaja¾ sie¾ z w÷
óknami rzutowania koregularnego
7
1
4
: S ! HP = S : Tak samo z Tw. Glisona jest to wiazka
¾ g÷
ówna z grypa¾ strukturalna¾
S 3:
Niz·ej bardziej rachunkowo bez Tw. Glisona pokaz·emy z·e mamy do czynienia z
wiazkami
¾
lokalnie trywialnymi : S n ! RP n ; : S 2n+1 ! CP n i : S 4n+3 ! HP n ;
jednym ujeciem
¾
z wiazk
¾ a¾
: S (n) ! Pn
o grupie strukturalnej S (0) = Z2 ; S 1 i S 3 odpowiednio /S (n)
f0g :
Twierdzenie 15.3.1 (a) Dla dowolnej bazy v = (v0 ; :::; vn ) 2
v
: Uv
S (0) !
69
1
[Uv ]
S (n)
n+1
n+1
f0g ; S (0)
odwzorowanie
gdzie Uv = f[v0 +
i
n
i=1 q vi ] ;
qi 2 g
Pn
jest otwartym podzbiorem, zadane wzorem
;
=
(v0 + ni=1 q i vi )
jv0 + ni=1 q i vi j
1
n
i
i=1 q vi
v0 +
v
jest dyfeomor…zmem (z wiec
¾ lokalna¾trywializacja¾rzutowania ).
(b) dla dowolnych dwu baz v = (v0 ; :::; vn ) i w = (w0 ; :::; wn ) istnieje g÷adkie odwzorowanie 'v;w : Uv \ Uw ! S (0) takie, ·ze
1
w
: (Uv \ Uw ) S (0) ! (Uv \ Uw )
x; 'v;w (x)
:
v (x; ) =
1
w
S (0)
v
Dowód. (a1) G÷
adkość v : Uv S (0) ! S (n) : Najpierw obserwujemy, z·e Uv jest
dyfeomor…czny z n ; dyfeomor…zmem jest parametryzacja 'v
n
'v :
Sk÷
adamy
v
q 1 ; :::; q n 7 ! v0 +
! Uv ;
z dyfeomor…zmem 'v
IdS
Uv S (0)
= " 'v IdS
n
S (0)
(0)
n
:
(0)
&
((q 1 ; :::; q n ) ; )
S (0) ! Uv
v
7 !
0
1
:
0
S (0) i obliczamy
S (0) : Przypomnijmy rzut
[Uv ] ! Uv
0
C
B
qv @ ni=0 q i vi A = @
| {z }
n
i
i=0 q vi
(q )
;
v0 +
q 0 6=0
:
n+1
S (n)
1 v + n qi v
( 0 i=1 i )
jv0 + ni=1 qi vi j
!
Dolna strza÷
ka jest g÷
adka, wiec
¾ v jest tez· g÷
adka.
1
(a2) Im v =
[Uv ] -Ćwiczenie
1
(a3) G÷
adkość odwrotnego v 1 :
[Uv ] ! Uv
n+1
n
f0g ! P : Weźmy
qv
1
n
i
i=1 q vi
1
n qi
i=1 q 0
vi
:
1
A:
Odwzorowanie qv jest g÷
adkie. Pokaz·emy, z·e
qv j
Istotnie,
i) gdy
jq 0 v0 +
q0
n
i
i=0 q vi
n
i
i=1 q
v0 +
vi j
n qi
i=1 q 0
2
=
S (n) czyli j
j
1
vi
1
n
i
i=0 q vi j
=
(q0 )
v0 +
[Uv ] =
n
i
i=0 q vi j
1 skad
¾ q0
=
1
qi
n
i=1 q 0
1
v
vi
2 S (0) :
70
:
=
1 to
v0 +
q0
qi
n
i=1 q 0
n qi
i=1 q 0
v0 +
vi
2
vi
=
S (0) wiec
¾
ii) qv j
1
[Uv ]
v
= qv
v
= id; istotnie,
v0 + ni=1 q i vi ;
(v0 + ni=1 q i vi )
= qv
jv0 + ni=1 q i vi j
qv
v
v0 + ni=1 1 q i vi
jv0 + ni=1 q i vi j
1
1 i
q
n
v
+
vi
0
i=1
n
n
i
jv0 + i=1 q vi j
jv0 + i=1 q i vi j
= qv
= qv
1
1 i
1
=
=
jv0 +
v0 +
i
n
i=1 q
vi ;
v
([v0 +
v
i
n
i=1 q vi ] ;
1
(
1
2
j
v
qv
n
i
i=1 q vi j
jv0 +
[Uv ] ; q 0 6= 0 oraz j
)
j
0
n
i
i=0 q vi
0
@ v0 +
v
=
vi ;
i
v0 + n
i=1 q vi
i
v0 + n
i=1 q vi
)=
qv (q) =
n
i
i=1 q vi j
jv0 +
(q0 )
v0 +
=
=
i
n q
i=1 0
q 0 v0 +
=
v0 +
n
i
i=0 q
(q 0 )
v0 +
v0 +
vi
n qi
i=1 q 0
n qi
i=1 q 0
vi
1
jv0 +
n
i
i=1 q vi j
n qi
i=1 q 0
i
n q
i=1 0
v0 +
vi
q
n qi
i=1 q 0
(q )
vi ;
1
n qi
i=1 q 0
v0 +
1
vi
A
vi
vi
vi
=
n
i
i=0 q vi
= q:
a4)
v = pr1 - jasne.
a5) Pokaz·emy, z·e v spe÷
nia warunek
(u; )
=
v
(u;
);
71
;
= 1: Otrzymujemy
0
vi
n qi
i=1 q 0
v0 +
= q0
@
n
i
i=0 q vi j
1
1
qi
n
i=1 q 0
v
vi ;
q
v0 +
v
1
1
:
n
i
i=0 q vi
iii) Niech q =
n
i=1
v0 +
n
i
i=1 q vi j
q
2 S (0) :
1
n qi
i=1 q 0
vi
1
A
!
Niech u = [v0 +
i
n
i=1 q vi ] ;
v0 +
v
wtedy
i
n
i=1 q vi
;
=
1
=
1
=
1
v
= (
=
=
)
(
v
1
v0 + ni=1 q i vi ;
1
(v0 + ni=1 q i vi )
jv0 + ni=1 q i vi j
n
i
1 (v0 + i=1 q vi )
jv0 + ni=1 q i vi j
(v0 + ni=1 q i vi )
jv0 + ni=1 q i vi j
) 1 (v0 + ni=1 q i vi )
jv0 + ni=1 q i vi j
v0 + ni=1 q i vi ;
co pokazuje, z·e wiazki
¾ Hopfa sa wiazkami
¾
g÷
ównymi.
15.4
Róz·niczka funkcji rzeczywistej f : M ! R określonej na
rozmaitości M
Zanim przedstawimy róz·niczk¾
e funkcji rzeczywistej przypomnijmy waz·ne z algebry liniowej pojecie
¾ przestrzeni wektorowej dualnej do danej. Niech V bedzie
¾
dowolna¾ rzeczywista¾ przestrzenia wektorowa.
¾ Odwzorowanie
: V ! R jak wiadomo z algebry
nazywa sie¾ liniowe (nazywamy je czesto
¾
funkcjona÷
ami liniowymi albo kowektorami)
jeśli (v + w) = (v) + (w) oraz (rv) = r (v) dla v; w 2 V oraz r 2 R: Suma
dwu odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym i iloczyn przez skalar tez· Ogó÷
odwzorowań liniowych f : V ! Rg tworzy wiec
¾ takz·e przestrzeń wektorowa,
¾ nazywana¾
dualna¾ do V i oznaczana¾ najcześciej
¾
przez
V :
Za÷
óz·my, z·e V ma skończony wymiar n i (v1 ; :::; vn ) jest jej baza.
¾ Wiadomo, z·e kaz·dy
funkcjona÷liniowy : V ! R jest jednoznacznie określony wartościami na bazie. Dlatego
÷
atwo określić baze¾ przestrzeni dualnej V : De…niujemy w tym celu funkcjona÷
y v1 ; :::; vn
określajac
¾ ich wartości na wektorach z bazy (v1 ; :::; vn ) :
v1 (v1 ) = 1; v1 (v2 ) = ::: = v1 (vn ) = 0
v2 (v1 ) = 0; v2 (v2 ) = 1; v2 (v3 ) = ::: = v1 (vn ) = 0
::::::::::
vn (v1 ) = ::: = vn (vn 1 ) = 0; vn (vn ) = 1:
Krótko
vi (vj ) =
ij
- delta Kroneckera,
czyli równowaz·nie
vi r1 v1 + ::: + rn vn = ri :
72
Uk÷
ad funkcjona÷
ów (v1 ; :::; vn ) tworzy baze¾ przestrzeni dualnej V zwana¾ baza¾ dualna¾
do bazy (v1 ; :::; vn ) :
Dla przyk÷
adu, baza¾ przestrzeni Rn sa¾ wersory osi wspó÷
rzednych
¾
(e1 ; :::; en ) a baza¾
dualna¾ kowektory (e1 ; :::; en ) ; takie, z·e ei (ej ) = ij ; czyli
ei
x1 ; :::; xn
= xi :
Wygodnie jest przyjać
¾ jeszcze nastepuj
¾ ace
¾ oznaczenie: gdy (x1 ; :::; xn ) sa¾ wspó÷
rzednymi
¾
n
punktu w R (wzgledem
¾
bazy wersorów ei ) to elementy bazy dualnej (e1 ; :::; en ) oznaczamy przez (dx1 ; :::; dxn ) : Przy takim oznaczeniu dowolny funkcjona÷liniowy
2
n
n
i
(R ) ; : R ! R; jest kombinacja¾ liniowa¾ dx ;
= a1 dx1 + ::: + an dxn :
Przyk÷
adami kowektorów z (Rn ) sa¾ róz·niczki (mocne) funkcji f : U ! R określonych
na otwartych zbiorach U Rn :
(Df )x0 (h) =
0
fjh
(x0 ) =
n
X
i
h
fji (x0 ) =
i=1
n
X
i=1
fji (x0 )
dxi (h)
skad
¾ we wspó÷
rzednych
¾
w przestrzeni dualnej (Rn ) mamy znany wzór na róz·niczk¾
e funkcji
1
f klasy conajmniej C ; w danym punkcie x0 2 U
(Df )x0 =
n
X
i=1
fji (x0 ) dxi :
Niech M bedzie
¾
dowolna¾ rozmaitościa,
¾ f : M ! R dowolna¾ funkcja¾ rzeczywista¾ klasy
C 1 ; p 2 M dowolnym punktem i w 2 Tp M dowolnym wektorem stycznym do M w
punkcie p: Określamy róz·niczk¾
e funkcji f w punkcie p nastepuj
¾ aco:
¾ jest to odwzorowanie
liniowe
(df )p : Tp M ! R
zde…niowane tak samo jak odwzorowanie styczne Tp f : Tp M ! Tf (p) R = R, tzn. dla
wektora w 2 Tp M wybieramy dowolnie ÷
uk c : ( "; ") ! M taki, z·e c (0) = p i c0 (p) = w
0
i k÷
adziemy (df )p (w) = (f c) (0) : Róz·niczka (df )p jest zatem kowektorem - elementem
przestrzeni dualnej do przestrzeni stycznej Tp M
(df )p 2 (Tp M ) = /inne oznaczenie/ = Tp M:
Przestrzeń dualna Tp M do przestrzeni stycznej Tp M nazywana tez· jest przestrzenia¾
kostyczna.
¾
Uwaga 15.4.1 Dlaczego wprowadzamy symbol ró·zniczki funkcji (df )p inny od odwzorowania stycznego Tp f ? Otó·z dlatego, ·ze pojawia sie¾ w ten sposób litera d która jest tu
zala¾·zkiem nowego operatora d(dalej zde…niowanego) który bedzie
¾
ró·zniczkowa÷nie tylko
funkcje rzeczywiste ale i tzw. formy ró·zniczkowe dowolnego stopnia, a w÷a´snie w stopniu
0 to bed
¾ a¾po prostu funkcje rzeczywiste na M:
73
Niech x = (x1 ; :::; xn ) bedzie
¾
dowolna mapa¾ na rozmaitości M wokó÷punktu p: Baza¾
przestrzeni stycznej Tp M sa¾ jak wiemy wektory @x@ i jp : Analogicznie jak to pisaliśmy dla
P
Rn ; baze¾ dualna¾do bazy @x@ i jp oznaczamy przez dxi : Oznacza to, z·e gdy h = nj=1 hj @x@ j
jp
to (dxi ) (h) = hi : Obliczymy wartość róz·niczki (df )p na wektorze @x@ i jp : Tak samo jak we
wzorze (10.0.1) przyjmujac
¾ na prostej R mape¾ identyczność otrzymamy
(df )p
@
@xi jp
= (df )p Dx
1
x(p)
tzn.
(ei ) = D f
@
@xi jp
Pn
(df )p
Dla dowolnego wektora h =
i=1
(df )p (h) =
=
n
X
i
h
=
@
@xi jp
(df )p
dxi (h)
i=1
tzn.
x(p)
x
(ei ) = f
1
ji
x
1
ji
(x (p)) =
@f
(p) ;
@xi
(x (p)) :
otrzymujemy z liniowości róz·niczki
i=1
n
X
1
@f
(p) = f
@xi
@
@xi jp
hi
x
=
@f
(p)
@xi
n
X
i=1
hi
@f
(p)
@xi
n
X
@f
(df )p =
(p) dxi
i
@x
i=1
i moz·na sie¾ pozbyć punktu p otrzymujac
¾ wzór
n
X
@f
df =
dxi
i
@x
i=1
który sprawia, z·e df staje sie¾ tzw. 1-forma¾ róz·niczkowa¾ na M w dziedzinie mapy
x co niebawiem dok÷
adniej przedstawimy. Zauwaz·my jeszcze, z·e symbol dxi moz·na
traktować jako róz·niczk¾
e wspó÷
rzednej
¾
xi rozumianej jako funkcja na otwartym zbiorze
i
i
@x
i
na M; istotnie, poniewaz· @x
j =
j to obie strony ostatniej równości sa¾ równe dx :
P
P
i
@x
dxi = nj=1 @x
dxj = nj=1 ij dxj = dxi :
j
16
16.1
Formy róz·niczkowe na rozmaitościach
1-formy róz·niczkowe
Niech M bedzie
¾
dowolna¾rozmaitościa¾klasy C 1 : W kaz·dym punkcie p 2 M jest określona
przstrzeń styczna Tp M oraz dualna do niej - tzw. przestrzeń kostyczna
Tp M = (Tp M )
sk÷
adajaca
¾ sie¾ z kowektorów
: Tp M ! R.
74
De…nicja 16.1.1 Forma¾ ró·zniczkowa¾ stopnia 1 (1-forma¾ ró·zniczkowa)
¾ na otwartym
podzbiorze U M nazywamy przyporzadkowanie
¾
! które ka·zdemu punktowi p 2 U przypisuje jaki´s kowektor ! p 2 Tp M:
Przyk÷
adami 1-form sa¾ oczywiście róz·niczki funkcji df; dla f 2 C 1 (M ) :
Jak zde…nować 1-formy róz·niczkowe klasy C 1 ? W tym celu pos÷
uz·ymy sie¾ lokalnym
1
n
systemem wspó÷
rzednych
¾
x = (x ; :::; x ) wokó÷ punktu p i zwiazn
¾ a¾ z nim baza¾
1
n
(dx ; :::; dx ) przestrzeni kostycznej Tp M: Form¾
e ! zapisujemy w tej bazie
n
X
!=
! i dxi :
i=1
Mówimy, z·e ! jest klasy C 1 jez·eli wspó÷
rzedne
¾
! i sa funkcjami klasy C 1 : ×atwo zobaczyć,
z·e jeśli w pewnej mapie x = (x1 ; :::; xn ) wokó÷punktu p wspó÷
rzedne
¾
formy ! sa¾ klasy
C 1 ta w kaz·dej innej mapie y = (y 1 ; :::; y n ) wokó÷punktu p sa¾ tez· klasy C 1 i dlatego
P
P
de…nicja jest poprawna. Istotnie, niech dxi = nj=1 aij dy j ; wtedy nk=1 aik dy k @y@ j =
Pn
@f
k
i
i
¾ / (df )p @x@ i jp = @x
i (p)
j = aj skad
k=1 ak
@
@y j
aij = dxi
@xi
@y j
=
- jest to funkcja klasy C 1
Zapisujac
¾ ! w dwu mapach x i y mamy
!=
n
X
!
i
i
dx =
i=1
n
X
!
~ i dy i
i=1
moz·emy obliczyć !
~ i za pomoca¾ ! i
! =
n
X
!
i
i
dx =
i=1
=
n
X
j=1
n
X
i=1
n
X
i=1
i
!i
@x
@y j
!
i
!
skad
¾
i
!
~ =
n
X
aij
j
dy =
j=1
n
X
i=1
!
i
n
X
@xi
j=1
@y j
dy j
dy j
n
X
!i
i=1
@xi
:
@y j
Ze wzoru tego widzimy, z·e jeśli ! i sa¾ klasy C 1 to takz·e !
~ i sa¾ klasy C 1 :
Geometrycznie, wartość 1-formy ! p na wektorze v 2 Tp M wyobrazimy sobie w pewien
sposób nadajacy
¾ sie¾ na uogólnienie dla form wyz·szego stopnia opisane niz·ej. Rozwaz·my
oś oznaczana¾ litera¾ ! i na tej osi zaznaczmy punkt ! p (v) i rozwaz·my odcinek o poczatku
¾
w 0 i końcu w ! p (v) ; 0 ! p (v): D÷
ugość tego odcinka jest wartościa bezwzgledn
¾ a¾ liczby
! p (v) ; 0 ! p (v) = j! p (v)j : Moz·na zatem powiedzieć, z·e ! p (v) jest znakowana¾ d÷
ugościa¾
75
odcinka 0 ! p (v); tzn. d÷
ugościa¾ opatrzona¾ znakiem + lub
liczba ! p (v) jest dodatnia czy ujemna.
; znak zalez·y od tego czy
Za uogólnienie odcinka na p÷
aszczyźnie moz·na uwaz·ać równoleg÷
obok, a w wyz·szym
wymiarze równoleg÷
ościan - co bedzie
¾
istotne w geometrycznym wyobraz·eniu wartości
form wyz·szego stopnia.
16.2
Mnoz·enie skośne 1-form róz·niczkowych
W tym paragra…e podamy metode¾ mnoz·enia 1-form róz·niczkowych tak aby by÷
y zachowane w jakimś sensie w÷
asności liniowe. Jeśli ! i sa¾ dwoma 1-formami określonymi
na tym samym podzbiorze otwartym U
M rozmaitości M to nie moz·na zde…niować
mnoz·enia naiwnie wzorem (! )p (v) = ! p (v) p (v) dla p 2 U i v 2 Tp M bo nie bedzie
¾
to liniowe wzgledem
¾
v: W÷
aściwym pomys÷
em jest zde…niować mnoz·enie oznaczane innym symbolem (nie mylacym
¾
sie¾ ze zwyk÷
ym mnoz·eniem) ! ^ [zwanym mnoz·eniem
skośnym lub zewnetrznym]
¾
w taki sposób aby by÷
a to 2-forma w tym sensie, z·e w punkcie
p określona by by÷
a na parach wektorów (v1 ; v2 ) 2 Tp M Tp M ,
(! ^ )p : Tp M
Tp M ! R:
To znaczy, z·e wartość (! ^ )p (v1 ; v2 ) musi zalez·eć od czterech liczb:
! p (v1 ) ;
p
(v1 ) ; ! p (v2 ) ;
p
(v2 ) :
Pierwsze dwie sa¾ zwiazane
¾
z wektorem v1 a ostatnie dwie z wektorem v2 : Wektory o wspó÷
rzednych
¾
[! p (v1 ) ; p (v1 )] i [ ! p (v2 ) ; p (v2 )] traktujemy jak wektory na
p÷
aszczyźnie kartezjańskiej R2 o osiach ! i : Sa¾ to obrazy wektorów v1 i v2 za pomoca¾
odwzorowania liniowego
!p;
p
: Tp M ! R2 ; v 7 ! [! p (v) ;
p
(v)] :
Rozwaz·my równoleglobok P R2 rozpiety
¾ przez te dwa wektory. Geometrycznie mówiac,
¾
P jest obrazem równoleg÷
oboku w przestrzeni Tp M rozpietego
¾
przez wektory v1 i v2 za
76
pomoca¾ odwzorowania ! p ;
p
: Tp M ! R2 w p÷
aszczyzne¾ R2 = O! :
Wiemy z analizy, z·e pole równoleg÷
oboku P jest wartościa¾ bezwzgledn
¾ a¾ wyznacznika
! p (v1 )
! p (v2 )
(v1 )
:
(v2 )
P
P
Bardzo ÷
atwo to pokazać za pomoca¾ ca÷
ki podwójnej i wzoru na zamiane¾ zmiennych:
rozwaz·amy odwzorowanie które nam wyprostuje równoleglobok P na kwadrat K =
[0; 1]2 ;
(r; s) = r (! p (v1 ) ; p (v1 )) + s (! p (v2 ) ; p (v2 ))
= (r ! p (v1 ) + s ! p (v2 ) ; r p (v1 ) + s p (v2 )) ;
1
r; s 2 [0; 1] :
[P ] = [0; 1]
wyznacznikowi powyz·szemu
J
=
[0; 1] = K i jakobian odwzorowania
@ 1
@r
@ 1
@s
Ze wzoru na zamiane¾ zmiennych
RR
@ 2
@r
@ 2
@s
P
! p (v1 )
! p (v2 )
=
d! d =
RR
K
P
P
jest równy w÷
aśnie
(v1 )
:
(v2 )
jJ j dr ds = det
! p (v1 )
! p (v2 )
P
P
(v1 )
(v2 )
! p (v1 ) P (v1 )
jKj = det
:
! p (v2 ) P (v2 )
Przyjmujemy jako de…nicje,
¾ z·e mnoz·enie 1-form (! ^ )p da 2-form¾
e która na parze
wektorów (v1 ; v2 ) 2 Tp M
Tp M bedzie
¾
równa znakowanemu polu równoleg÷
oboku
rozpietego
¾
na wektorach [! p (v1 ) ; p (v1 )] i [ ! p (v2 ) ; p (v2 )] ; a dok÷
adniej
(! ^ )p (v1 ; v2 ) = det
! p (v1 )
! p (v2 )
P
P
(v1 )
(v2 )
;
czyli znakowanemu polu obrazu równoleg÷
oboku w Tp M rozpietego
¾
przez (v1 ; v2 ) za po2
moca¾ odwzorowania liniowego ! p ; p : Tp M ! R ; v 7 ! [! p (v) ; p (v)] :
77
Prawa strona powyz·szego wzoru zalez·y tylko od wartości form w punkcie p; moz·na
zatem za pomoca¾ powyz·szego wyznacznika określić iloczyn skośny ! p ^ p ; czyli
(! ^ )p = ! p ^
p:
Pierwsza waz·na obserwacja to skośna symetria mnoz·enia
!^
=
^!
co wynika z w÷
asności wyznacznika: gdy przestawimy dwie sasiednie
¾
kolumny to wyznacznik zmieni sie¾ na przeciwny. W szczególności
!^! =0
gdyz· ! ^ ! = ! ^ ! skad
¾ 2 ! ^ ! = 0 co implikuje ! ^ ! = 0:
Stosujac
¾ do bazowych 1-form dxi wzgledem
¾
mapy x = (x1 ; :::; xn ) mamy toz·samości
dxi ^ dxj =
dxj ^ dxi
dxi ^ dxi = 0:
dla i 6= j;
(16.2.1)
Druga waz·na obserwacja to liniowość wzgledem
¾
pierwszej zmiennej v1 oraz liniowość wzgledem
¾
drugiej zmiennej v2 ; np. dla pierwszej zmoennej
(! ^ )p (v1 + w1 ; v2 ) = (! ^ )p (v1 ; v2 ) + (! ^ )p (w1 ; v2 ) ;
(! ^ )p (rv1 ; v2 ) = r (! ^ )p (v1 ; v2 )
co takz·e wynika z elementarnych w÷
asności wyznacznika. ×¾
acznie mówimy, z·e odwzorowanie (! ^ )p : Tp M Tp M ! R jest dwu-liniowe (tzn. liniowe wzgledem
¾
kaz·dej
zmiennej).
Powyz·sze w÷
asności pozwalaja¾ ÷
atwo obliczać iloczyn skośny 1-form zapisanych w
1
n
lokalnej bazie dx ; :::; dx wzgledem
¾
mapy x = (x1 ; :::; xn ) ; np. na powierzchni 2wymiarowej M i mapy o wspó÷
rzednych
¾
zwyczajowo oznaczanych (x; y) mamy dla 1-form
! = 2x dx xy dy
= sin x dx + cos y dy
ich skośny iloczyn
!^
= (2x dx xy dy) ^ (sin x dx + cos y dy)
= 2x dx ^ sin x dx + 2x dx ^ cos y dy xy dy ^ sin x dx
= 2x sin x dx
^ dx} + 2x cos y dx ^ dy xy sin x dy ^ dx
| {z
| {z }
=0
= dx^dy
= 2x cos y dx ^ dy + xy sin x dx ^ dy
= (2x cos y + xy sin x) dx ^ dy:
78
xy dy ^ cos y dy
xy cos y dy ^ dy
| {z }
=0
Analogicznie de…niujemy iloczyn skośny kilku 1-form ! 1 ^ ::: ^ ! k jako odwzorowanie
które w danym punkcie p i uk÷
adowi k-wektorów (v1 ; :::; vk ) 2 Tp M ::: Tp M przypisuje
znakowane pole odpowiedniego k-równoleg÷
ościanu w przestrzeni Rk (o osiach oznaczanych
! 1 ; :::; ! k ) rozpietego
¾
przez wektory wodzace
¾ punktów [(! 1p ) (vi ) ; ::: (! kp ) (vi )] ; czyli wyznacznik
3
2
! 1p (v1 )
! kp (v1 )
6
7
..
..
(! 1 ^ ::: ^ ! k )p (v1 ; :::; vk ) = det 4
5:
.
.
! 1p (vk )
! kp (vk )
Geometrycznie ten k-równoleg÷
ościan w Rk jest obrazem równoleg÷
ościanu w Tp M
rozpietego
¾
przez (v1 ; :::; vk ) za pomoca¾ odwzorowania liniowego
(! 1p ; :::; ! kp ) : Tp M ! Rk ; v 7 ! [! 1p (v) ; :::; ! kp (v)] :
Z w÷
asności wyznacznika obserwujemy w÷
asność: dla dowolnej permutacji
(1; 2; :::; k)
! (1) ^ ::: ^ ! (k) = sgn ! 1 ^ ::: ^ ! k :
2
k
liczb
Wprost z de…nicji zarówno dla mnoz·enia skośnego dwu form jak i wiekszej
¾
ich ilości
wartość (! 1 ^ ::: ^ ! k )p w punkcie p zalez·y tylko od wartości tych form w punkcie p; czyli
moz·na przy pomocy tego wyznacznika zde…niować iloczyn ! 1p ^ ::: ^ ! kp i wówczas mamy
(! 1 ^ ::: ^ ! k )p = ! 1p ^ ::: ^ ! kp :
Z w÷
asności wyznacznika wnosimy takz·e, z·e iloczyn skośny k 1-form jest w kaz·dym
punkcie p odwzorowaniem
(! 1 ^ ::: ^ ! k )p : Tp M
|
k
:::
{z
razy
Tp M ! R
}
k-liniowym (t.j. liniowym wzgledem
¾
kaz·dej z k zmiennych) oraz skośnie symetrycznym
w sensie takim, z·e dla dowolnych wektorów (v1 ; :::; vk ) z przestrzeni stycznej Tp M i permutacji 2 k mamy równość
(! 1 ^ ::: ^ ! k )p v
(1) ; :::; v (k)
= sgn
(! 1 ^ ::: ^ ! k )p (v1 ; :::; vk ) :
Na rozmaitości M wymiaru n iloczyn 1-form ! 1 ^ ::: ^ ! k w ilości k > n jest zawsze
zerowy
! 1 ^ ::: ^ ! k = 0; k > dim M
a to dlatego, z·e po rozk÷
adzie kaz·dej 1-formy ! i w bazie dx1 ; :::; dxn i wykonaniu mnoz·enia
kaz·dy sk÷
adnik bedzie zawiera÷conajmniej dwa jednakowe czynniki dxi i w konsekwencji
bedzie
¾
równy 0:
Lemat 16.2.1 Dla funkcji f1 ; :::; fk
x = (x1 ; :::; xn ) na zbiorze otwartym U
df1 ^ ::: ^ dfk =
X
j1 <::<jk
2 C 1 (M ) i lokalnego uk÷au wspó÷rzednych
¾
M mamy na zbiorze U
@f1
@xj1
..
.
@fk
@xj1
79
@f1
@xjk
..
.
@fk
@xjk
dxj1 ^ ::: ^ dxjk :
Dowód.
X @f1
X @f1
j1
^
:::
^
dx
dxjk
j1
jk
@x
@x
jk
j1
X @f1
@f1 j1
=
::::
dx ^ :::: ^ dxjk
j1
jk
@x
@x
j1 ;:::;jk
X X @f1
@f1
j 1
=
^ ::: ^ dxj k
:::
j k dx
j 1
@x
@x
j1 <::<jk 2Sk
X X
@f1
@f1
j 1
=
sgn
:::
^ ::: ^ dxj
j k dx
j 1
@x
@x
j <::<j 2S
df1 ^ ::: ^ dfk =
1
=
k
X
j1 <::<jk
16.3
k
k
@f1
@xj1
@f1
@xjk
..
.
..
.
@fk
@xj1
@fk
@xjk
dxj1 ^ ::: ^ dxjk :
k-formy róz·niczkowe na rozmaitości
De…nicja 16.3.1 k-forma¾ na rozmaito´sci M okre´slona na otwartym podzbiorze U
nazywamy przyporzdkowanie ! ka·zdemu punktowi p 2 U pewnego odwzorowania
! p : Tp M
|
k
:::
{z
razy
Tp M ! R
}
króre jest k-liniowe i sko´snie symetryczne, tzn. ! p v
(1) ; :::; v (k)
= sgn
M
! p (v1 ; :::; vk ) :
Zbiór wszystkich k-form róz·niczkowych na określonym podzbiorze otwartym U
M
rozmaitości M oznaczamy przez k (U ) : W szczególności gdy U = M mamy zbiór k (M ) :
Formy róz·niczkowe moz·na dodawać i mnoz·yc przez skalary (liczby) "punkt po punkcie",
(! + )p = ! p + p ; (r !)p = r ! p ; p 2 U: Jest oczywiste, z·e otrzymamy w ten sposób
przestrzeń wektorowa¾ k (U ) nad cia÷
em liczb rzeczywistych. Form¾
e róz·niczkowa¾ na U
moz·na takz·e mnoz·yć przez funkcje rzeczywista¾ określona¾ na U; tzn. dla f 2 C 1 (U )
określamy form¾
e f ! 2 k (U ) punkt po punkcie (f !)p = f (p) ! (p) ; p 2 U:
Przyk÷
adami k form sa¾iloczyny k sztuk 1-form róz·niczkowych ! 1 ^:::^! k ; ! i 2 i (M ) :
Drugim waz·nym przyk÷
adem sa¾ formy otrzymane nastepuj
¾ aco:
¾ rozwaz·amy rozmaitość
m
m
n-wymiarowa¾ M R w przestrzeni Euklidesowej R i k-form¾
e w Rm : Formy takie sa¾
i1
ik
generowane przez formy bazowe dx ^ ::: ^ dx ; i1 < ::: < ik (gdzie x = (x1 ; :::; xm ) jest
standardowy uk÷
ad wspólrzednych
¾
w Rm ). Poniewaz· Tp M
Tp Rm = Rm to form¾
e 2
k
m
(R ) moz·na uwaz·ać takz·e za form¾
e na M określona w kierunku wektorów stycznych
do M tym samym przepisem co ; tzn. p : Rm ::: Rm ! R obcinamy do p :
Tp M ::: Tp M ! R i otrzymamy form¾
e na M: Np dla powierzchni S R3 mamy formy
1
2
3
! = ! dx ^ dy + ! dx ^ dz + ! dy ^ dz które sa¾ 2-formami na R3 i po obcieciu
¾ ich w
kaz·dym punkcie p 2 S do wektorów stycznych do S sa¾ takz·e formami na S:
80
Poniewaz· permutacja która przestawia dwie liczby miejscami jest zawsze nieparzysta,
to gdy w ciagu
¾ wektorów (v1 ; :::; vk ) sa dwa jednakowe wektory wówczas ! p (v1 ; :::; vk ) =
0 gdyz· stosujac
¾ taka¾ permutacje¾ otrzymujemy ! p (v1 ; :::; vk ) = ! p (v1 ; :::; vk ) dkad
¾ 2
! p (v1 ; :::; vk ) = 0 co daje równość ! p (v1 ; :::; vk ) = 0:
Wynika stad
¾ takz·e, z·e gdy k > dim M to zawsze musi być ! p = 0: Istotnie, biorac
¾
@
dowolny ciag
¾ wektorów (v1 ; :::; vk ) i rozk÷
adajac
¾ kaz·dy wektor vj wzgledem
¾
bazy @xi jp obserwujemy z k-liniowości ! p ; z·e ! p (v1 ; :::; vk ) jest kombinacja¾ liniowa¾ sk÷
adników postaci
¾ (i1 ; :::; ik ) liczb ze zbioru
! p @x@i1 jp ; :::; @x@ik jp i skoro k > dim M = n to w ciagu
f1; 2; :::; ng musza¾ zawsze być conajmniej dwie jednakowe, skad
¾ sk÷
adnik taki znika.
Niech k
n = dim M: Biorac
¾ w otoczeniu punktu p mape¾ x = (x1 ; :::; xn ) obserwujemy dzieki
¾ relacjom (16.2.1), z·e wartość k-formy ! w punkcie p jest kombinacja¾ liniowa¾
bazowych 1-form
dxi1 ^ ::: ^ dxik ; i1 < ::: < ik ;
! =
X
i1 <:::<ik
! i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik ;
! i1 :::ik sa¾ to funkcje rzeczywiste.
-zwane wspó÷
czynnikami formy !
(rzeczywiście: pojawienie sie¾ dwu jednakowych form bazowych w takim iloczynie skutkuje
zerowaniem sie¾ sk÷
adnika i stad
¾ nie moz·e być go w bazie, zatem nalez·y rozwaz·yć tylko
sk÷
adniki w których i1 ; :::; ik sa¾ róz·ne miedzy
¾
soba¾ a nastepnie
¾
uporzadkować
¾
je tak aby
i1 < ::: < ik ).
Mówimy, z·e k-forma ! jest klasy C 1 jez·eli jej wspó÷
czynniki ! i1 :::ik wzgledem
¾
bazy
i
1
dx sa¾ funkcjami klasy C :
×atwo sobie wyobrazić mnoz·enie skośne dwu form ! i ; stopnia k i l odpowiednio,
przez siebie zapisujac
¾ w otoczeniu danego punktu kaz·da¾ z nich we wspó÷
rzednych
¾
dxi j/w
X
! =
! i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik
i1 <:::<ik
=
X
j1 :::ik
j1 <:::<jl
!^
=
X
i1 <:::<ik
=
X
! i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik
X
i1 <:::<ik j1 <:::<jl
! i1 :::ik
j1 :::ik
dxj1 ^ ::: ^ dxjl
!
^
X
j1 <:::<jl
j1 :::ik
dxj1 ^ ::: ^ dxjl
!
dxi1 ^ ::: ^ dxik ^ dxj1 ^ ::: ^ dxjl
po czym porzadkujemy
¾
wyrazy stosujac
¾ zasady dxi ^ dxj = dxj ^ dxi dla i 6= j
i dxi ^ dxi = 0: Np. dla form stopnia 1 i 2 na rozmaitości M wymiaru 3 w lokalnych
81
wspó÷
rzednych
¾
x = (x; y; z)
xdx 2yzdy + zy 2 dz ^ (xydx ^ dy 3zdy ^ dz)
= x2 ydx ^ dx ^ dy 3xzdx ^ dy ^ dz 2xy 2 zdy ^ dx ^ dy
|
{z
}
{z
}
|
=0
6yz 2 dz ^ dy ^ dz +
{z
}
|
=0
=0
3
+xy zdz ^ dx ^ dy
=
=
=
3
3xzdx ^ dy ^ dz + xy zdz ^ dx ^ dy =
3xzdx ^ dy ^ dz + xy 3 zdx ^ dy ^ dz
3xz + xy 3 dx ^ dy ^ dz:
3xzdx ^ dy ^ dz
3
3y 2 z 2 dz ^ dy ^ dz
{z
}
|
=0
xy zdx ^ dz ^ dy
Ale czy taka de…nicja jest poprawna? Tzn. czy nie zalez·y od wyboru lokalnego uk÷
adu
wspó÷
rzednych?
¾
Rzeczywiście tak jest, bowiem moz·na zde…niować mnoz·enie skośne bez
uz·ywania lokalnego uk÷
adu wspó÷
rzednych
¾
i pokazać, z·e otrzymujemy to samo.
De…nicja 16.3.2 Iloczynem zewnetrznym
¾
[sko´snie symetrycznym] form ró·zniczkowych !
i stopnia k i l odpowiednio na otwartym podzbiorze U
M rozmaito´sci M nazywamy
forme¾ ró·zniczkowa¾stopnia k + l okre´slona¾na U nastepuj
¾ aco:
¾ dla dowolnego punktu p 2 U
i wektorów vi 2 Tp M
(! ^ )p (v1 ; :::; vk+l )
1 X
sgn
! p v (1) ; :::; v (k)
=
k!l!
k+l
2
X
=
sgn
! p v (1) ; :::; v
p
v
(k)
(k+1) ; :::; v (k+l)
p
v
(k+1) ; :::; v (k+l)
k+l
2
(1)<:::< (k)
(k+1)<:::< (k+l)
(czyli z dok÷adno´scia¾do sta÷ej jest to usko´snienie mno·zenia ! p (v1 ; :::; vk )
).
p
(vk+1 ; :::; vk+l )
Twierdzenie 16.3.1 Mno·zenie sko´sne w/g powy·zszej de…nicji ma nastepuj
¾ ace
¾ w÷asno´sci:
(1) antyprzemienno´s´c
! ^ = ( 1)kl ^ !;
w szczególno´sci gdy obie formy sa¾stopnia nieparzystego to ! ^ =
jedna jest stopnia parzystego to ! ^ = ^ !.
(2) dwuliniowo´s´c
(r ! 1 + s ! 2 ) ^
= r !1 ^ + s !2 ^ ;
! ^ (r 1 + s 2 ) = r ! ^ 1 + s ! ^ 2
(3) ÷¾
aczno´s´c
(! ^ ) ^ = ! ^ ( ^ ) ;
82
^ !; gdy conajmniej
przy czym zachodzi wzór
! ^ ^ (v1 ; :::; vk+l+s )
X
1
=
sgn
! v
k!l!s!
k+l+s
(1) ; :::; v (k)
v
(k+1) ; :::; v (k+l)
v
(k+l+1) ; :::; v (k+l+s)
2
Analogicznie dla wiekszej
¾
ilo´sci czynników, np dla 1-form ! 1 ; :::; ! k
X
! 1 ^ ::: ^ ! k (v1 ; :::; vk ) =
sgn ! 1 v (1) ::: ! k v
2
(k)
k
= det ! i (vj )
(co oznacza, ·ze mno·zenie w/g powy·zszej de…nicji oraz de…nicji pierwotnej dotyczacej
¾ 1form pokrywa sie).
¾
Z w÷
asności tych wynika, z·e obie de…nicje mnoz·enia wyz·ej przedstawione daja¾w efekcie
te¾ sama¾ form¾
e róz·niczkowa.¾
Najwaz·niejsze rzeczy które moz·na robić z formami róz·niczkowymi to ich cofanie oraz
róz·niczkowanie oraz dla form maksymalnego stopnia n = dim M - ca÷
kowanie. Omówimy
je poniz·ej.
16.4
Cofanie form róz·niczkowych
Niech F : M ! N bedzie
¾
odwzorowaniem klasy C 1 miedzy
¾
rozmaitościami M i N: Dla
1
formy róz·niczkowej ! 2
(N ) określimy jej cofniecie
¾ F ! 2 k (M ) :
Cofanie 0 form.
Cofanie 0 form czyli funkcji f : N ! R określamy nastepujaco:
¾
1
F
:
(N ) !
F (f ) = f F:
1
(M ) ;
Odwzorowanie to jest oczywiście liniowe F (rf + sg) = r (f F ) + s (g F ) = r
F (f ) + s F (g) :
Cofanie 1-form róz·niczkowych.
Przypomnijmy róz·niczk¾
e odwzorowania Tp F : Tp M ! TF (p) N; zwanego tez· pchaniem
wektorów.
De…nicja 16.4.1 Niech ! 2
nia F; F !; wzorem
1
(N ) : Okre´slamy cofniecie
¾ fprmy ! za pomoca¾odwzorowa-
(F !)p (v) = ! F (p) ((Tp F ) (v)) ; v 2 Tp M:
Lemat 16.4.1 W÷asno´sci operacji cofania F : 1 (N ) ! 1 (M ) 1-form.
(1) F jest liniowa, t.j. F (! + ! 0 ) = F (!) + F (! 0 ) ; F (r !) = r F (!) ; r 2 R;
(2) F (df ) = d (f F ) dla f 2 C 1 (N ) ;
(3) F (f !) = F (f ) F !:
83
:
Dowód. (1) jasne, formalny dowód zostawiam jako ćwiczenie.
(2) dla przyk÷
adu
(F (df ))p (v) = (df )F (p) ((Tp F ) (v)) = TF (p) f ((Tp F ) (v)) = Tp (f
F ) (v) :
(3)
(F (f !))p (v) = (f !)F (p) ((Tp F ) (h)) = f (F (p)) ! F (p) ((Tp F ) (v))
= f (F (p)) ! F (p) ((Tp F ) (v)) = f (F (p)) (F !)p (v)
= (f F ) (p) (F !)p (v) = (F (f ) F !)p :
Wniosek 16.4.1 Niech x = (x1 ; :::; xm ) oznaczaja¾lokalne wspó÷rzedne
¾ na rozmaito´sci M
1
n
w otoczeniu punktu p oraz y = (y ; ::; y ) lokalne wspó÷rzedne
¾ na rozmaito´sci N w otoczeniu
punktu F (p) : Dla wspó÷rzednych
¾
Fj odwzorowania F mapie y; F j = y j F oraz mamy
F
dy j = d y j
F = d Fj =
X @F j
i
@xi
dxi :
Przypomnijmy, odwzorowanie liniowe f : V ! W miedzy
¾
przestrzeniami wektorowymi
V i W wyznacza odwzorowanie tzw. odwzorowanie dualne f : W ! V wzorem
f (!) (v) = ! (f (v)) ; ! 2 W ; v 2 V:
Widzimy, z·e dla 1-formy ! 2 1 (N ) i odwzorowania liniowego F p : Tp M ! TF (p) N oraz
odwzorowania dualnego (F p ) : TF (p) N ! Tp M cofanie 1-form dla punktu p określone
jest przy uz·yciu odwzorowania dualnego (F p )
(F (!))p = ! F (p) ((Tp F ) (v)) = (Tp F )
! F (p) (v) :
Cofanie k form róz·niczkowych.
De…nicja 16.4.2 Niech ! 2
k
(N ) : Okre´slamy F ! 2
k
(M ) wzorem
(F !)p (v1 ; :::; vk ) = ! F (p) ((Tp F ) (v1 ) ; :::; (Tp F ) (vk )) :
Lemat 16.4.2 W÷asno´sci operacji cofania F :
(1) F jest liniowa,
(2) F (f !) = F (f ) F !;
(3) F (! ^ ) = F ! ^ F :
k
(N ) !
Dowód. (1) i (2) dowodzi sie¾ analogicznie jak dla 1-form.
84
k
(M ) k-form ró·zniczkowych.
(3) Dla !; ! 0 2
(N ) ; p 2 M i wektorów vi 2 Tp M ,
(F (! ^ ))p (v1 ; :::; vk+l )
= (! ^ )p ((Tp F ) (v1 ) ; :::; (Tp F ) (vk+l ))
1 X
=
sgn
! F (p) (Tp F ) v (1) ; :::; (Tp F ) v (k)
F (p) (Tp F ) v
k!l!
k+l
2
1 X
sgn
(F !)p v (1) ; :::; v (k) (F )p v (k+1) ; :::; v (k+l)
=
k!l!
k+l
(k+1)
; :::; (Tp F ) v
2
= (F !)p ^ (F )p (v1 ; :::; vk+l )
= (F ! ^ F )p (v1 ; :::; vk+l )
Wniosek 16.4.2 Niech y = (y 1 ; ::; y m ) oznaczaja¾lokalne wspó÷rzedne
¾ na rozmaito´sc M w
otoczeniu punktu p oraz x = (x1 ; :::; xm ) lokalne wspó÷rzedne
¾ na rozmaito´sci N w otoczeniu
punktu F (p) : Wtedy z Lematu (16.2.1)
F
dxi1 ^ ::: ^ dxik
= d F i1 ^ ::: ^ d F ik
=
X
j1 <::<jk
@F i1
@y j1
..
.
@F i1
@y jk
@F ik
@y j1
..
.
dy j1 ^ ::: ^ dy jk :
@F ik
@y jk
j1
jk
Wspó÷czynnik
interpretujemy
geometrycznie nastepuj
¾ aco:
¾ rozwa·zamy
i ^ :::h^ dy
i
h 1 przy dy
n
1
@F
@F
@F n
@F
n
¾
rzutujemy je na podprzestrze´n
wektory @yj1 ; :::; @yj1 ; :::; @yjk ; :::; @yjk 2 R ; nastepnie
o osiach (i1 ; :::; ik ) i obliczamy znakowana¾ k-wymiarowa¾ objeto´s´c równoleg÷o´scianu
rozpietego
¾
przez tak otrzymane wektory.
W szczególno´sci, gdy n = m oraz k = n to
F
dx1 ^ ::: ^ dxn = det (JF ) dy 1 ^ ::: ^ dy n ;
gdzie JF jest (w danym punkcie) macierza¾ Jacobiego odwzorowania F w mapach y i x;
geometrycznie wspó÷czynnik det (JF )p to znakowana n-wymiarowa objeto
¾ ´s´c równoleg÷o´sh 1
i
@F
@F n
@F
cianu w Rn rozpietego
¾
przez wektory pochodne czastkowe
¾
=
;
:::;
; i = 1; :::; n:
@y i
@y i
@y i
Nieco ogólniej co bedzie
¾
nam zaraz potrzebne
F
f dx1 ^ ::: ^ dxn = F (f ) F
16.5
dx1 ^ ::: ^ dxn = f
F det (JF ) dy 1 ^ ::: ^ dy n
Hiperpowierzchnie zorientowane i
róz·niczkowych maksymalnego stopnia
ca÷
kowanie
form
Ca÷
kowanie w końcowym etapie musi sie¾ sprowadzić do znanej operacji ca÷
kowania (w
n
sensie Riemanna lub ogólniejszym Lebesgue’a w R ), tzn. do liczenia ca÷
ki z funkcji
1
n
n
n-zmiennych f (x ; :::; x ) po zbiorze mierzalnym A R ;
Z
f x1 ; :::; xn dx1 :::dxn :
A
85
(k+l)
Wyraz·enie pod ca÷
ka¾ wyglada
¾ znajomo, podobnie do formy róz·niczkowej stopnia n która
we wspó÷
rzednych
¾
kartezjańskich jest postaci
! = f x1 ; :::; xn dx1 ^ ::: ^ dxn :
Jeśli akurat róz·niczki zmiennych wystepuj
¾ a¾w naszej n-formie w innej kolejności to moz·na
je poprzestawiać wykorzystujac
¾ w÷
asności (16.2.1) skośnego mnoz·enia dxi ^ dxj = dxj ^
dxi ; dxi ^ dxi = 0:
Dlatego jest ca÷
kiem naturalne po prostu przyjać,
¾ z·e
Z
Z
1
n de…nicja
1
n
f x1 ; :::; xn dx1 :::dxn
=
f x ; :::; x dx ^ ::: ^ dx
A
A
o ile ca÷
ka Riemanna lub Lebesgue’a z funkcji f (x1 ; :::; xn ) istnieje. Przy innym porzadku
¾
zmiennych w iloczynie dx1 ^ ::: ^ dxn stosujemy warunki skośności, np.
Z
Z
Z
f (x; y) dxdy:
f (x; y) dx ^ dy =
f (x; y) dy ^ dx =
A
A
A
Jedna¾ z najwaz·niejszych w÷
asności (u÷
atwiajacych
¾
obliczanie ca÷
ek po "krzywych " obszarach) jest twierdzenie o zamianie zmiennych, bowiem wybierajac
¾ stosownie zmiane¾
zmiennych moz·na "wyprostować" obszar do tzw. normalnego obszaru lub nawet czasem
do prostopad÷
ościanu i w końcu zastosować Twierdzenie Fubiniego czy nawet od razu
sprowadzić liczenie do ca÷
ek iterowanych po kolejnych zmiennych. Zasada stosowania zamiany zmiennych do dyfeomor…zmu F : D0 ! D miedzy
¾
otwartymi zbiorami D i D0 w
Rn polega na wzorze
Z
Z
1
n
1
n
f x ; :::; x dx :::dx =
f F y 1 ; :::; y n
JF y 1 ; :::; y n
dy 1 :::dy n
D0
D
(zakladajac
¾ o funkcji f ca÷
kowalność). Aby w powyz·szym wzorze nie by÷potrzebny
modu÷Jacobianu to musimy za÷
oz·yć z·e zmiana zmiennych zachowuje orientacje,
¾ tzn.
Jf ((y 1 ; :::; y n )) > 0 dla (y 1 ; :::; y n ) 2 D0 :
Skonfrontujmy teraz ten ostatni wzór ze wzorem
F
f dx1 ^ ::: ^ dxn = F (f ) F
dx1 ^ ::: ^ dxn = f
F det (JF ) dy 1 ^ ::: ^ dy n
otrzymanym niedawno i z de…nicja¾ ca÷
ki z n-formy. Dla dyfeomor…zmu F zachowujacego
¾
orientacje¾ mamy zatem wzór
Z
Z
1
n
f dx ^ ::: ^ dx =
F f dx1 ^ ::: ^ dxn ; gdy det (JF ) > 0
D
D0
Jez·eli dyfeomor…zm F zmienia orientacje¾ (tzn. det (JF ) < 0) wówczas ca÷
ki te bed
¾ a¾
róz·ni÷
y sie¾ znakiem
Z
Z
1
n
f dx ^ ::: ^ dx =
F f dx1 ^ ::: ^ dxn ; gdy det (JF ) < 0:
D
D0
86
Oznaczajac
¾ ! = f dx1 ^ ::: ^ dxn - jest to postać dowolnej n-formy na Rn - otrzymujemy
Z
Z
!=
F !;
(16.5.1)
D0
D
znak zalez·y od tego, czy dyfeomor…zm F zachowuje czy zmienia orientacje¾ (tzn. czy
det (JF ) > 0 czy det (JF ) < 0).
Wzory te podpowiadaja nam metode¾ ca÷
kowania n-form ! klasy C 1 na hiperpowierzchniach n-wymiarowych M: Najpierw za÷
óz·my, z·e "ca÷
a" forma siedzi w dziedzienie
U M pewnej mapy x, tzn. dok÷
adniej, z·e tzw. nośnik formy ! czyli domkniecie
¾ zbioru
tych punktów, w których forma jest niezerowa jest zawarty w U ; nośnik ! oznaczamy
symbolem supp !; zatem
supp ! = fp 2 M; ! p 6= 0g
U:
Forma ! na U jest postaci ! = f dx1 ^ ::: ^ dxn : Nalez·y teraz wziać
¾ parametryzcje¾
' = x 1 : Rn U 0 ! U M; odwrotna¾ do mapy x i cofnać
¾ nasza¾ form¾
e do przestrzeni
n
parametrów
' (!) a tak otrzymana¾ n-form¾
e na R daje si
kować
R
R e¾ juz· klasycznie sca÷
' (!) jak by÷
o wyz·ej opisane. Pytanie: a jak ta ca÷
ka U 0 ' (!) zalez·y od wyboru
U0
parametryzacji? Otóz·, jez·eli wziać
¾ druga¾ parametryzje¾ : Rn
U 00 ! U
M tego
samego otwartego podzbioru U
M; to dzieki
¾ wyz·ej pisanemu wzorowi na zamiane¾
1
zmiennych (stosowanego dla dyfeomor…zmu przejścia F =
' : U 0 ! U 00 ) jest jasne,
z·e jeśli funkcja przejścia F ma jakobian dodatni, to wartości ca÷
ek beda¾ takie same. Jeśli
natomiast wziać
¾
taka,
¾ z·e funkcja przejścia ma jakobian ujemny to wartości ca÷
ek beda¾
przeciwne (na podstawie (16.5.1) ):
Z
Z
Z
Z
1
1
'
( (!)) =
F ( (!)) =
' ( (!)) =
(!) =
U 00
U0
U0
U0
Co w takim razie zrobić aby de…nicja by÷
a poprawna? Aby określić ca÷
k¾
e z formy !
określonej na hiperpowierzchni M przede wszystkim musimy mieć mozliwość wyboru atlasu parametryzacji takich, aby funkcje przejścia mia÷
y jakobiany dodatnie. A to oznacza,
z·e moz·na ca÷
kować formy tylko po hiperpowierzchniach zorientowanych czyli takich,
dla których taki atlas jest zadany (nie kaz·da hiperpowierzchnia dopuszcza taki atlas, np.
wstega
¾ Möbiusa nie dopuszcza takiego atlasu, nie jest orientowalna.
De…nicja 16.5.1 Hiperpowierzchnie¾ M nazywamy orientowalna¾ je·zeli dopuszcza atlas
dla ktorego funkcje przej´scia maja¾dodatni Jakobian.
Zauwaz·my, z·e dana parametryzacja ' otwartego podzbioru U
M orientuje kaz·da¾
przestrzeń styczna¾ Tp M dla p 2 U za pomoca¾ bazy kanonicznej wyraz·onej przy pomocy mapy x =' 1 ; @x@ 1 jp ; :::; @x@n jp i z·e dwie parametryzacje na tym samym zbiorze
U i zgodne w tym sensie, z·e funkcja przejścia ma dodatni Jakobian jednakowo orientuja¾ przestrzenie styczne Tp M: Zatem orientacje M moz·na zadać równowaz·nie poprzez
orientacje kaz·dej przestrzeni stycznej Tp M ale tak, z·eby orientacja "g÷
adko" zalez·a÷
a od
punktu [w tym sensie, aby w otoczeniu U dowolnego punktu istnia÷
a mapa która orientuje
przestrzeń styczna¾ tak samo jak zadana orientacja].
87
Z
U0
' (!) :
Uwaga 16.5.1 Dodajmy jeszcze, ·ze gdy M
R3 jest powierzchnia¾ zorientowana,¾ to na
M istnieje pole wektorowe ciag÷
¾ e wszedzie
¾
niezerowe N i prostopad÷e do M: Mianowicie,
pole takie okre´slone jest przez wykorzystanie iloczynu wektorowego: na dziedzienie mapy
x = (x; y) zgodnej z zadana¾orientacja¾pole N de…niujemy wzorem
N=
@
@x
@
@y
@
@x
@
@y
:
I odwrotnie, zadanie takiego pola orientuje powierzchnie, bo wybieramy atlas map takich,
które na swojej dziedzinie orientuja¾przestrze´n styczna¾zgodnie z zadana¾orientacja¾i ÷atwo
zobaczy´c, ·ze dwie takie mapy maja¾ funkcje przej´scia o dodatnim Jakobianie. Daje sie¾ to
uogólni´c na przypadek hiperpowierzchni wymiaru n 1 w przestrzei Rn stosujac
¾ iloczyn
n
wektorowy n 1 wektorów w przestrzeni R :
Jest jeszcze jeden równowa·zny sposób orientowania n-wym. hiperpowierzchni: mianowicie M jest orientowalna gddy istnieje na M forma ró·zniczkowa ! stopnia n niezerowa w ka·zdym punkcie.
Za÷
óz·my zatem, z·e nasza hiperpowierzchnia M jest zorientowana. Pojawia sie¾ drugi
problem: jez·eli forma ! nie jest "skupiona" w jednej mapie, tzn. jej nośnik nie siedzi w
jednej mapie. Co wtedy zrobić? Otóz·, w tym celu trzeba by umieć roz÷
oz·yć form¾
e ! na
sum¾
e form
!a
takich aby kaz·dy sk÷
adnik mia÷ma÷
y nośnik, tzn. zawarty w jednej mapie. Do tego celu
s÷
uz·y narzedzie
¾
zwane rozk÷
adem jedynki.
Rozwaz·amy otwarte pokrycie U = fU g hiperpowierzchni M dziedzinami map (parametryzacji ' ). Udowadnia sie¾ (co pominiemy) istnienie funkcji klasy C 1 na hiperpowierzchni M
f g
takich, z·e
(a) nośnik funkcji
jest zawarty w U ; supp
U ;
(b) rodzina nośników fsupp g jest lokalnie skończona w tym sensie, z·e kaz·dy punkt
p 2 M ma otoczenie otwarte V które przecina sie¾ tylko
P ze skończona¾ ilościa¾ nosników
supp P
(dzieki
¾ czemu suma - moz·e być nieskończona ma sens).
(c)
=1
Dzieki
¾ w÷
asności (c) rodzina f g nazywa sie¾ rozk÷
adem jedności (podporzad¾
kowanym pokryciu U = fU g ).
Dowolna¾ n-form¾
e ! na M moz·emy przedstawić w postaci
!
X
X
X
!=1 !=
!=
(
!) =
! ; gdzie ! =
!;
a
a
a
i oczywiście nośniki form ! sa¾ wtedy ma÷
e, zawarte w dziedzinach U parametryzacji
' ; supp
U : De…niujemy (pod warunkiem zwartości nośnika ! - np. gdy sama
rozmaitość jest zwarta - co zapewnia istnienie poniz·szej ca÷
ki)
Z
Z
X
!=
(' ) (
!) :
M
a
' [U ]
88
Dowodzi sie,
¾ z·e de…nicja jest poprawna, tzn. nie zalez·y od pomocniczych wyborów
jak np. atlasu zgodnie orientujacego
¾
M z zadana¾ orientacja,
¾ oraz od rozk÷
adu jedności.
Bedzie
¾
przydatne w końcu wyk÷
adu twierdzenie:
Twierdzenie 16.5.1 Dla n-formy ! nigdzie niezerowej na rozmaito´sci zorientowanej
zwartej M
Z
! 6= 0:
M
Dowód. Ustalmy pokrycie mapami zgodnymi z orientacja¾ zadana¾ fU ; x g i zapiszmy
form¾
e ! w mapach
! jU = f dx1 ^ ::: ^ dxn :
óz·my z·e w dla jakiejś mapy
Z za÷
oz·enia f jest niezerowa. Dla ustalenia uwagi, za÷
x funkcja f > 0: Pokaz·emy, z·e w kaz·dej innej mapie x funkccja f > 0: Najpierw rozwaz·my druga¾ mape¾ o dziedzinie U przecinajacej
¾ U ; U \ U 6= ?: Niech
1
n
i
! jU = f dx ^ ::: ^ dx . Przedstawiamy róz·niczki dx za pomoca¾ róz·niczek dxk ;
X
aik dxk :
@
@xk
=
dxi =
k
Obliczamy
aik = dxi
Macierz
a=
aik
@ xi
:
@xk
"
@ xi
=
@xk
#
ma dodatni wyznacznik bo mapy sa¾ zgodne oraz
f dx1 ^ ::: ^ dxn = ! jU
\U
= f dx1 ^ ::: ^ dxn
= f
k1
1
k1 ak1 dx
1
^ ::: ^
n
kn
kn akn dx
n
= f det a dx ^ ::: ^ dx
skad
¾
f = f det a
co implikuje, z·e obie funkcje f i f sa¾tego samego znaku. Biorac
¾ dowolnie punkt x 2 U
oraz y 2 M i ÷
acz
¾ ac
¾ x z y dowolnym ÷
ukiem ciag÷
¾ ym moz·na (ze zwartości ÷
uku) znaleźć
skończomy "÷
ańcuch" map x = x1 ; x2 ; ..., xk taki, z·e dwa sasiednie
¾
maja¾ niepusta¾ cześć
¾
wspólna¾ dziedzin. Z powyz·szego wywodu kolejne dwie funkcje f i ; f i+1 sa¾ tego samego
znaku,
wi
¾ Rw szczególności ta ostatnia jest tego samego znaku co pierwsza. W sumie
R
Pec
!
=
!) de…niuniacej
¾ ca÷
k¾
e, kaz·dy sk÷
adnik ca÷
kuje funkcje f '
a ' [U ] (' ) (
M
R
(' = x 1 ) nieujemna¾ i gdzieś niezerowa,
¾ skad
¾ musi być M ! > 0:
89
Uwaga 16.5.2
(Na zapas) Po wprowadzeniu wzoru Stokesa i ró·zniczkowania form z
R
warunku M ! 6= 0 wynika´c bedzie,
¾
·ze forma ! nie jest dok÷adna, tzn. nie jest ró·zniczka¾
·zadnej (n 1)-formy. Istotnie, gdyby ! = d to skoro brzeg rozmaito´sci M jest pusty
mamy ze wzoru Stokesa
Z
Z
d =
=0
M
@M
n
wbrew za÷o·zeniu. Zatem napewno bedzie
¾
H (M ) 6= 0 (H n (M ) to n - ta grupa kohomologii
rozmaito´sci M ).
Zastosowania ca÷
kowania form w …zyce czesto
¾
polegaja¾ na stowarzyszeniu z polem
wektorowym odpowiedniej formy róz·niczkowej.
Przyk÷
ad 16.5.1 Rozwa·zmy na Rn pole wektorowe F o wspó÷rzednych
¾
F = [P1 ; :::; Pn ] :
Wia¾·zemy z nim 1-forme¾ ró·zniczkowa¾
= P1 dx1 + ::: + Pn dxn :
Je´sli w dziedzinie pola jest okre´slony pewien ÷uk c : [a; b] ! Rn ; c (t) = (x1 (t) ; :::; xn (t)) ;
(zadany jest dzieki
¾ temu na obrazie ÷uku - czyli krzywej - kierunek obiegu parametru, a
wiec
¾ zadana jest orientacja tej krzywej) to mo·zna liczy´c ca÷ke¾
Z
Z b
Z b
: =
c ( )=
c P1 dx1 + ::: + Pn dxn =
c
a
a
Z b
1
dxn
dx
=
P1 (c (t))
+ ::: + Pn (c (t))
dt
dt
a
Z b
1
n
dx
dx
=
[P1 ; :::; Pn ]
; :::;
/mamy tu iloczyn skalarny
dt
dt
a
i widzimy, ·ze jest to ca÷ka skierowana
wzd÷u·z ÷uku c z pola wektorowego F (znana¾z semetru
R
III). Ca÷ke¾ oznacza sie¾ tak·ze c F ds i jest to praca pola wektorowego F wzd÷u·z zorientowanej krzywej c: Z ostatniego wzoru widzimy tak·ze, ·ze pole F prostopad÷e do drogi ·zadnej
pracy nie wykona.
Przyk÷
ad 16.5.2 Je´sli S
R3 jest 2-wymiarowa¾ zorientowana¾ powierzchnia¾ w R3 i
F = [P; Q; R] jest polem wektorowym którego dziedzina zawiera powierzchniRe¾ S to z polem
wektorowym
F wia¾·zemy 2 forme¾ = P dy^dz Qdx^dz +Rdx^dy: Ca÷ke¾ S oznaczamy
R
tak·ze S F dS i nazywamy strumieniem pola F przez powierzchnie zorientowana¾S
Z
Z
F dS : =
P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy:
S
S
Je´sli powierzchnia zorientowana S okre´slona jest poprzez jedna¾parametryzacje¾ ' : U ! S
zgodna¾z orientacja¾(nie trzeba wtedy rozk÷adu jedno´sci) wówczas mamy
Z
Z
F dS : =
P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy =
S
Z S
=
' (P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy) = :::
U
90
Po nietrudnych standardowych obliczeniach dostajemy znany z III semestru wzór (nie
trzeba go pamieta´c - wystarcza "na palcach" cofa´c nasza¾forme¾ przez ' ! )
ZZ
@ (y; z)
@ (x; z)
@ (x; y)
=
P (' (u; v))
Q (' (u; v))
+ R (' (u; v))
dudv
@ (u; v)
@ (u; v)
@ (u; v)
U
ZZ
@' @'
=
F (' (u; v))
dudv; /mamy tu iloczyn skalarny
@u
@v
U
Z ostatniego wzoru tak·ze widzimy, ·ze pole F prostopad÷e do
powierzchni daje zerowy strumie´n.
16.6
@'
@u
@'
@v
czyli styczne do
Róz·niczkowanie form róz·niczkowych
De…nicja 16.6.1 Ró·zniczke¾ 0-formy na rozmaito´sci M; czyli funkcji f okre´slamy jako
zwyk÷¾
a ró·zniczke¾ df: Jest to 1-forma na M: Ró·zniczke¾ k formy ! 2 k (M ) ; k
1;
okre´slamy nastepuj
¾ aco:
¾
ró·zniczka¾ jest k + 1 forma oznaczana przez d! taka, ·ze gdy
przedstawimy
! lokalnie w jakim´s uk÷adzie wspó÷rzednych
¾
(U; x) ; x = (x1 ; :::; xn ) ;
P i1 ;::;iforme
k dxi1 ^ ::: ^ dxik ; to na dziedzinie U tej mapy zachodzi
! jU = !
X
(d!)jU =
d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik :
(16.6.1)
Nalez·y pokazać poprawność de…nicji, tzn. niezalez·ność (d!)jU od wyboru mapy na U .
Dowód przebiega nastepuj
¾ aco:
¾ najpierw pokazujemy w÷
asności operatora
dx :
(U ) !
(U )
określonego dla ustalonej mapy x o dziedzinie U wzorem j/w.
Twierdzenie 16.6.1 1. dx jest liniowy,
2. dx (f ) = df;
3. dx (! ^ ) = dx ! ^ + ( 1)k ! ^ dx ; dla formy ! stopnia k i dowolnej formy ;
4. dx (dx f ) = 0:
Nastepnie
¾
pokazujemy, z·e jest tylko jeden operator d~ : (U ) ! (U ) spe÷
niajacy
¾
takie 4 postulaty. Stad
¾ dx nie moz·e zalez·eć od mapy x; dla map x i y musi bowiem być
~
dx = d = dy :
Jak to pokazujemy?
a) weźmy dowolne funkcje f1 ; :::; fk ; wówczas d~(df1 ^ ::: ^ dfk ) = 0: Istotnie, pokaz·emy
to indukcja¾ wzgledem
¾
k: Dla k = 1
(2)
~1
d~(df1 ) = d~ df
(4)
= 0:
Za÷
óz·my, z·e równość zachodzi dla pewnej liczby k; pokaz·emy z·e zachodzi dla liczby k + 1
(3)
d~(df1 ^ ::: ^ dfk ^ dfk+1 ) = d~(df1 ) ^ (df2 ^ dfk+1 )
| {z }
=0 dla k=1
91
df1 ^ d~(df2 ^ dfk+1 ) = 0
|
{z
}
=0
z za÷. ind dla k
d) zapiszmy dowoln
e w jakimkolwiek lokalnym uk÷
adzie wspó÷
rzednych
¾
x na
P a¾ k form¾
¾ 1), 3), 2) i a), z·e
U w postaci ! = ! i1 ;::;ik dxi1 ^ ::: ^ dxik : Pokazujemy (stosujac
X
(16.6.2)
d~(!) =
d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik :
Prawa strona zalez·y zatem tylko od róz·niczek funkcji.
Zatem gdy d~ i d sa¾ dwoma opP
eratorami spe÷
niajacymi
¾
te 4 postulaty to d~(!) =
d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik = d (!)
co dowodzi jednoznaczności operacji spe÷
niajacej
¾ te 4 postulaty. Pokaz·emy wzór (16.6.2)
korzystajac
¾ tylko z aksjomatów 1-4 oraz wykazanych w÷
asności a), b) i c).
X
/z 1. czyli z liniowości
d~(!) = d~
! i1 ;::;ik dxi1 ^ ::: ^ dxik
X
/z 3 i 2
=
d~ ! i1 ;::;ik dxi1 ^ ::: ^ dxik
X
=
d ! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik + ! i1 ;::;ik d~ dxi1 ^ ::: ^ dxik
|
{z
}
=
X
=0
z a)
d ! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik :
Oczywiście, operator globalny d = dM : (M ) ! (M ) określony lokalnym wzorem
(16.6.1) spe÷
nia te same 4 postulaty jak operator dla dziedziny mapy. Pokaz·emy, z·e
postulaty 1), 2), 3), 4) jednoznacznie scharakteryzuja¾ globalny operator dM : W tym celu
pokaz·emy najpierw lemat o lokalności operatora dM spe÷
niajacego
¾
1), 3).
Lemat 16.6.1 Operator dM spe÷niajacy
¾ 2 powy·zsze globalne postulaty 1), 3)
1) dM jest liniowy,
3) dM (! ^ ) = dM ! ^ + ( 1)k ! ^ dM ;
jest lokalny, tzn. gdy !; ! 0 2 (M ) sa¾dwiema formami na M równymi na podzbiorze
otwartym B M; ! jB = ! 0jB : to (dM !)jB = (dM ! 0 )jB :
Dowód. Weźmy dowolnie x 2 B oraz funkcje¾ rozdzielajac
¾ a¾ x w B; tzn. taka,
¾ z·e
supp
B oraz jV = 1 dla pewnego otwartego podzbioru V
B zawierajacego
¾
x;
wówczas
(! ! 0 ) = 0
skad
¾
1)
0 = dM (0) = dM ( (!
1)
3)
! 0 )) = dM ( ) ^ (!
= dM ( ) ^ (!
!0) +
(dM !
!0) +
dM (!
dM ! 0 ) :
Stad
¾ na otoczeniu V punktu x mamy
0 = (dM ( ))jV ^ (!
= (dM ( ))jV ^ 0 + 1
= (dM !)jV
! 0 )jV +
(dM ! 0 )jV
jV
(dM !)jV
92
(dM !)jV
(dM ! 0 )jV
(dM ! 0 )jV
!0)
skad
¾
(dM !)jV = (dM ! 0 )jV :
Z dowolności wyboru punktu x 2 B wnosimy, z·e
(dM !)jB = (dM ! 0 )jB :
Twierdzenie 16.6.2 Dla dowolnej parazwartej rozmaito´sci Hausdor¤a M istnieje
dok÷adnie jeden operator globalny dM : (M ) ! (M ) spe÷niajacy
¾ postulaty 1), 2),
3), 4)
Lemat 16.6.2 1) dM jest liniowy,
2) dM f = df;
3) dM (! ^ ) = dM ! ^ + ( 1)k ! ^ dM ;
4) dM (dM f ) = 0:
Jest on okre´slony lokalnym wzorem (16.6.1).
Dowód. Istnienie. Operator globalny d określony lokalnym wzorem (16.6.1) jak wiemy
spe÷
nia te postulaty, wiec
¾ operator dM spe÷
niajacy
¾ 1), 2), 3), 4) istnieje.
Jednoznaczność. Tak samo jak wyz·ej pokazujemy, a) z·e dM (df1 ^ ::: ^ dfk ) = 0 dla
funkcji fi na M: Niech d0 ; d00 bed
¾ a¾ dwoma globalnymi operatorami spe÷
niajacymi
¾
1), 2),
3), 4). Lemat zaświadcza, z·e ka
¾ mape¾ x na dziedzinie
Pz·dy z nich jest lokalny. Weźmy wiec
U i przedstawmy form¾
e ! U = ! i1 ;::;ik dxi1 ^:::^dxik : Ustalmy x 2 U i wybierzmy funkcje¾
rozdzielajac
¾ a¾ x w U; jB = 1; dla x 2 B P U: Wtedy
! i1 ;::;ik ;
xi sa¾ funkcjami
g÷
adkimi na ca÷
ej rozmaitości M oraz ! jB = ( ( ! i1 ;::;ik ) d ( xi1 ) ^ ::: ^ d ( xik ))jB :
Z lokalności operatorów d0 ; d00 mamy
X
(d0 !)jB = d0
! i1 ;::;ik d
xi1 ^ ::: ^ d
xik
jB
X
=
d
! i1 ;::;ik ^ d
xi1 ^ ::: ^ d
xik
B
00
= (d !)jB :
Z dowolności x wnosimy o równości d0 ! = d00 !: Z powyz·szych równości skoro jB = 1 to
X
(dM !)jB =
d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik
i z dowolności x wnosimy o równości (dM !)jU =
Przyk÷
ad 16.6.1 Obliczy´c d (x2 y dx + x dy) :
P
jB
d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik :
Twierdzenie 16.6.3 Operator cofania form komutuje z ró·zniczkowaniem form, tzn. gdy
F : M ! N jest odwzorowaniem miedzy
¾ hiperpowierzchniami wówczas dla dowolnej formy
! na rozmaito´sci N zachodzi wzór
F (d!) = d (F !) :
93
Dowód. Dla formy stopnia 0 by÷
o napisane we wcześniejszym Lemacie,
(df ) =
d (f
) = d ( f ) : Za÷
óz·my indukcyjnie, z·e przemienność cofania z róz·niczkowaniem
zachodzi dla form pewnego stopnia k 0: Pokaz·emy, z·e zachodzi dla form stopnia k + 1:
Z liniowości tych operatorów wynika, z·ewystarcza sprawdzić lokalnie dla form postaci
f dx 1 ^ :::dxik ^ dxik+1 gdzie x = (x1 ; ::; xn ) jest lokalnym systemem wspó÷
rzednych
¾
(czyli
ik+1
mapa)
¾ na podzbiorze otwartym U
N: Forma taka ma postać ! ^ dx
dla pewnej
oz·enie indukcyjne.
formy ! = f dx 1 ^ :::dxik stopnia k dla której zachodzi za÷
d F
F
/F ik+1 = xik+1
= d F ! ^ d F ik+1
! ^ dxik+1
k
ik+1
+ ( 1) F ! ^ dd F
= d (F !) ^ d F
= d (F !) ^ d F ik+1 + 0
= d (F !) ^ d F ik+1
d ! ^ dxik+1
na zbiorze F
F
d! ^ dxik+1 + 0 = F (d!) ^ F
= F
za÷. ind
=
[U ]
ik+1
d! ^ dxik+1 + ( 1)k ! ^ ddxik+1
= F
1
dxik+1
d (F !) ^ d F ik+1 :
Twierdzenie 16.6.4 Globalny wzór na ró·zniczke¾ dM :
k
(M ) i niech Xi bed
¾ a¾polami wektorowymi na M:
(M ) !
(M ) : Niech ! 2
(dM !) (X0 ; :::; Xk )
k
X
X
=
( 1)i Xi (! (X0 ; :::^{:::Xk )) +
( 1)i+j ! ([Xi ; Xj ] ; :::^{:::^
|:::Xk )
i=0
i<j
(daszekm oznacza opuszczenie wyrazu).
Ćwiczenie 16.6.1 Pokaza´c na przyk÷adzie ! 2
zmiennych
1
(R2 ) ; ! = x2 ydx + xdy oraz zmiany
R 2 ! R2
x = r cos '
F (r; ') =
y = r sin '
F
:
zachodzenie przemienno´sci cofania z ró·zniczkowaniem.
16.7
Kompleks de Rhama, grupy kohomologii, charakterystyka
Eulera-Poincarégo i genus powierzchni
Kompleksem de Rhama hiperpowierzchni M nazywamy ciag
¾ przestrzeni form
róz·niczkowych k (M ) i operatorów dk róz·niczkowania form
0!
0
d0
(M ) !
1
d1
dn
2
(M ) ! ::: !
94
n 1
dn
1
(M ) !
n
dn =0
(M ) ! 0:
W kompleksie tym z÷
oz·enie dwu sasiednich
¾
odwzorowań dd daje 0; dd = 0: Stad
¾ Im dk
k
ker d : Iloraz
k
HdR
(M ) := ker dk = Im dk 1
1
jest przestrzenia¾ wektorowa¾ zwana¾ k-ta¾ grupa¾ kohomologii de Rhama hiperk
powierzchni M: Kaz·dy element przestrzeni HdR
(M ) nazywa sie¾ klasa kohomologii.
De…nicja 16.7.1 Forma ró·zniczkowa ! nazywa sie¾ zamknieta
¾ gdy d! = 0; tzn. gdy
! 2 ker d:
ker d = f! 2 (M ) ; d! = 0g =: Z (M ) :
Forma ró·zniczkowa ! nazywa sie¾ dok÷adna (lub zupe÷na) gdy jest ró·zniczka¾pewnej formy,
t.j. gdy ! = d dla pewnej formy ; tzn. gdy ! 2 Im d.
Im d = f ; 9! = d!g =: B (M ) :
Klase¾ kohomologii formy zamknietej
¾ ! oznaczamy [!] : Klasa ta jest zerowa wtedy i tylko
wtedy gdy forma ! jest dok÷adna.
H k (M ) = 0 gddy gdy kaz·da k-forma zamknieta
¾ jest dok÷
adna. Np. Lemat Poincarégo
n
mówi, z·e na otwartym obszarze gwiaździstym U R kaz·da k-forma (k 1) zamknieta
¾
k
jest dok÷
adna, a tym samym H (U ) = 0 dla k 1:
Gdy M jest spójna to H 0 (M ) = R: Istotnie, gdy df = 0 to f = const; skad
¾
0
0
ker d = R i H (M ) = R=f0g = R: Gdy M jest zwarta i zorientowana n-wymiarowa
to H k (M ) = H n k (M ) - dualność Poincarégo. W szczególności gdy M jest spójna,
zwarta i zorientowana to H n (M ) = R: Gdy M nie jest zwarta lub jest nieorientowalna to
H n (M ) = 0:
Twierdzenie 16.7.1 Niech n = dim M: a) Je·zeli M jest spójna to H 0 (M ) = R; b) je·zeli
M jest zwarta i orientowalna to H n (M ) = R; w pozosta÷ych przypadkach (niezwarta lub
nieorientowalna) H n (M ) = 0:
Twierdzenie 16.7.2 Je·zeli M jest zwarta¾ hiperpowierzchnia¾ to wszystkie grupy kohomologii H k (M ) sa¾sko´nczenie wymiarowe.
De…nicja 16.7.2 Je·zeli H k (M ) jest przestrzenia¾ sko´nczenie wymiarowa,¾ to jej wymiar
dim H k (M ) oznaczamy przez bk ;
bk = dim H k (M ) ;
i nazywamy k-ta¾ liczba¾ Bettiego hiperpowierzchni M: Wielomian PM (t) =
nazywamy wielomianem Poincarégo hiperpowierzchni M:
Pn
k
k=0 bk t
Gdy M jest zwarta i zorientowana to bk = bn k : W szczególności b0 = bn :
Np. dla okregu
¾ S 1 mamy H 0 (S 1 ) = R =H 1 (S 1 ) czyli b0 = b1 = 1: Zatem
wielomian Poincarégo okregu
¾ to 1 + t: Jest twierdzenie o wielomianie Poincarégo dla
iloczynu kartezjańskiego M N; mianowicie PM N (t) = PM (t) PN (t) : Rozwaz·my dla
prostego przyk÷
adu torus T =S 1 S 1 ; jego wielomian Poincarégo to iloczyn wielomianów
(1 + t) (1 + t) = 1 + 2t + t2 skad
¾ mamy b1 = 2:
95
De…nicja 16.7.3 Je·zeli wszystkie grupy kohomologii H k (M ) sa¾ sko´nczenie wymiarowe
[np. tak jest dla zwartych hiperpowierzchni] i bk = dim H k (M ) sa¾ liczbami Bettiego to
liczba
n
X
( 1)k bk
M =
k=0
nazywa sie¾ charakterystyka¾Eulera-Poincarégo hiperpowierzchni M:
Dalej ograniczmy sie¾ do n = 2; t.j. powierzchni 2-wymiarowych oznaczanych raczej
przez S. Wśród nich sa¾ tzw. powierzchnie Riemanna. Aby je lepiej zobaczyć,
utoz·samiamy p÷
aszczyzne¾ z liczbami zespolonymi R2 = C: Jez·eli funkcje przejścia dla
takiej S sa¾ holomor…czne, to S nazywamy powierzchnia¾ Riemanna (sa¾ to zatem hiperpowierzchnie (lepiej rozmaitości) zespolone wymiaru zespolonego 1). Dla powierzchni
2-wymairowych
b1 + b2 :
S = b0
Jeśli S jest zwarta i zorientowana to b0 = 1 = b2 zatem wtedy S = 2 b1 :
Teraz dojdziemy do genusu i zwia¾z·emy go z S oraz wyjaśnimy jego znaczenie.
Formalnie
–dla zwartej orientowalnej powierzchni S genus (po polsku rodzaj) to liczba
g=
2
S
2
ale dalej nie widać co ona oznacza. Za pomoca¾ liczb Bettiego mamy
g=
2
(2
2
b1 )
=
b1
:
2
Przyk÷
adowo dla sfery S 2 mamy H 1 (S 2 ) = 0 skad
¾ b1 = 0 i S 1 = b0 b1 = 0 oraz g = 0:
1
1
Dla torusa T = S
S ÷
atwo obliczyliśmy wyz·ej b1 = 2 skad
¾ T = 2 b1 = 0 i g = 1:
Najpierw podamy metode¾ "na palcach" policzenia charakterystyki Eulera-Poincarégo
przy pomocy traingulacji (dowód np. w ksia¾z·ce Rotmana An Introduction to Algebraic
Topology, GTM119, Springer 1988.
De…nicja 16.7.4 Trójkatem
¾
na powierzchni S nazywamy obszar domkniety
¾ homeomor2
…czny ze zwyk÷ym trójkatem
¾
na p÷aszczy·znie R : Trójkat
¾ na powierzchni S ma wiec
¾ trzy
wierzcho÷ki i trzy krawedzie.
¾
Stwierdzenie 16.7.1 Triangulacja¾ powierzchni S nazywamy sko´nczona¾ rodzine¾ F trojkatów
¾ STi S; i = 1; :::; n; taka,¾ ·ze
1) Ti = S;
2) gdy Ti \ Tj 6= ? to Ti \ Tj jest albo wspólna¾ krawedzi
¾ a¾ ca÷¾
a obu trójkatów
¾
albo
wspólnym wierzcho÷kiem.
Wprowadźmy dla danej triangulacji F powierzchni S nastepuj
¾ ace
¾ oznaczenia:
F = ilość ścian (t.j. trójkatów),
¾
E = ilość boków (t.j. kraw¾
edzi),
V = ilość wierzcho÷
ków.
96
De…nicja 16.7.5 Liczba
F
=V
E+F
nazywa sie¾ charakterystyka¾Eulera-Poincarégo triangulacji F:
Twierdzenie 16.7.3 (Dowód np. u Rotmana): Dla danej powierzchni zwartej S zachodzi
równo´s´c
S = F;
w szczególno´sci
F
nie zale·zy od wyboru triangulacji.
Twierdzenie 16.7.4 Je·zeli S i S 0 sa¾ dwiema zwartymi powierzchniami w R3 o jednakowych charakterystykach Eulera-Poincarégo (S1 ) = (S2 ) to S jest homeomor…czna z S 0 : Jedynymi liczbami bed
¾ acymi
¾
charakterystykami Eulera-Poincarégo zwartych
3
powierzchni w R sa¾
2; 0; 2; 4; :::; 2n; :::
Powierzchniami o takich charakterystykach sa¾
- sfera,
S2
= 2; oto przyk÷
adowa triangulacja sfery
ilość wierzcho÷
ków - 5
ilość kraw¾
edzi - 9
ilość trójkatów
¾
-6
9+6=2
S2 = 5
2 2
g =
= 0 - sfera bez raczek
¾
2
97
Twierdzenie 16.7.5 - sfera z jedna¾raczk
¾ a¾(torus),
T
= 0; przyk÷adowa triangulacja
ilo´s´c wierzcho÷ków - 9
ilo´s´c krawedzi
¾
- 27
ilo´s´c trójkatów
¾
- 18
27 + 18 = 0
T = 9
2 0
g =
= 1 sfera z 1 raczk
¾ a¾
2
- sfera z n-raczkami
¾
(n-torus), S = 2 2n:
W konsekwencji ka·zda zwarta powierzchnia S w R3 jest homeomor…czna ze sfera¾ z
pewna¾ ilo´scia¾ raczek
¾
(jest wiec
¾ te·z orientowalna) . Liczba raczek
¾
n dla powierzchni S o
charakterystyce Eulera-Poincarégo S wynosi
2
S
2
i jest to w÷a´snie genus powierzchni S:
Przyk÷
ad 16.7.1 Dla nieorientowalnej powierzchni zwartej - butelki Kleina = przestrze´n
rzutowa = wycinamy w sferze ko÷o i zaklejamy wsteg
¾ a¾ Möbiusa (równowa·znie sklejamy
punkty antypodyczne). Na rysunku zewnetrzny
¾
okrag
¾ obrazuje wyciete
¾ ko÷o i uto·zsamiamy
punkty antypodyczne ponumerowane tymi samymi cyframi i krawedzie
¾
÷¾
aczace
¾ wierzcho÷ki
98
o takich samych wierzcho÷kach
K
K
ilo´s´c wierzcho÷ków - 6
ilo´s´c krawedzi
¾
- 15
ilo´s´c trójkatów
¾
- 10
= 6 15 + 10 = 1
= b0 b1 + b2 = 1 b1 + 0 = 1
b1 = 1 skad
¾ b1 = 0
Skoro b1 = 0 dla butelki Kleina to oznacza to, ·ze H 1 (K) = 0 czyli ka·zda 1-forma
ró·zniczkowa zamknieta
¾ jest dok÷adna czyli jest ró·zniczka¾pewnej funkcji.
17
Hiperpowierzchnie w mechanice klasycznej przestrzenie kon…guracyjne
Przestrzeń kon…guracyjna (intuicyjnie mówiac)
¾ to pewna matematyczna przestrzeń K
bed
¾ aca
¾ zbiorem moz·liwych stanów danego uk÷
adu …zycznego. Za÷
óz·my z·e uk÷
ad …zyczny zawiera n elementów (punktów), kaz·dy opisany jest przez 3 wspó÷
rzedne
¾
w R3 :
Wygodniej jest z matematycznego punktu widzenia rozpatrywać ten uk÷
ad n elementów równowaz·nie jeden punkt w przestrzeni 3n wymiarowej. Dlatego zbiór moz·liwych
stanów (czyli przestrzeń kon…guracyjna K) bedzie
¾
podzbiorem w przestrzeni R3n : Jeśli
na te elementy nie sa¾ na÷
oz·one z·adne wiezy
¾ to przestrzenia¾ kon…guracyjna¾ jest ca÷
a
przestrzeń R3n : Jeśli jednak istnieja¾ jakieś wiezy,
¾ wówczas przetrzeń kon…guracyjna K
jest jakimś podzbiorem w R3n ; najcześciej w typowych uk÷
adach …zycznych jest to jakaś
hiperpowierzchnia a jej wymiar to ilość stopni swobody naszego uk÷
adu.
Przyk÷
ad 17.0.2 n punktów marerialnych w R3 bez ·zadnych wiezów.
¾
Przestrze´n kon…g3n
3n
uracyjna K to R ; K = R :
99
Przyk÷
ad 17.0.3 1 punkt materialny po÷¾
aczony sztywnym niewa·zkim pretem
¾
d÷ugo´sci
l z ustalonym punktem x0 = (x10 ; x20 ; x30 ) : Uk÷ad ten to tzw. wahad÷
o sferyczne.
Przestrze´n kon…guracyjna K to sfera dwuwymiarowa S 2 (x0 ; l) w R3 o ´srodku w x0 i
promieniu l; K = S 2 (x0 ; l) : Jest ona dyfeomor…czna ze sfera¾ o ´srodku w 0 i promieniu l oznaczana¾przez S 2 (l) : Dyfeomor…zmem jest f : S 2 (x0 ; l) ! S 2 (l) ; f (x) = x x0 :
[Dla wahad÷a p÷askiego mieliby´sby okrag
¾ jako przestrze´n kon…guracyjna].
¾
Przyk÷
ad 17.0.4 Niech uk÷ad sk÷ada sie z dwóch punktów poruszajacych
¾
sie¾ swobodnie
w R3 , ale zwiazanych
¾
ze soba sztywnym, niewa·zkim pretem
¾
o d÷ugosci l. Uk÷ad ten to
poruszajacy
¾ sie¾swobodnie w przestrzeni R3 odcinek. Wtedy przyjmujac dowolnie po÷o·zenie
pierwszego punktu o wspó÷rzednych
¾
(x1 ; x2 ; x3 ) dostajemy warunek na wspó÷rzedne drugiego
punktu (y1 ; y2 ; y3 ) w formie: (x1 y1 )2 + (x2 y2 )2 + (x3 y3 )2 = l2 : Jest to równanie
sfery 2-wymiarowej o ´srodku w punkcie (x1 ; x2 ; x3 ) i promieniu l: Dostajemy wiec,
¾ ·ze
przestrze´n kon…guracyjna to pieciowymiarowa
¾
hiperpowierzchnia w R6 opisana powy·zszym
warunkiem. Jest ona dyfeomor…czna z R3 S 2 (l) ; dyfeomor…zm f : K ! R3 S 2 (l)
jest dany wzorem f (x; y) = (x; y x) : W przypadku p÷askim otrzymujemy przestrze´n K
dyfeomor…czna¾z R2 S 1 (l) :
Przyk÷
ad 17.0.5 Zmody…kujmy uk÷ad dwupunktowy p÷aski z poprzedniego przyk÷adu i dodatkowo za÷ó·zmy, ·ze pierwszy punkt po÷¾
aczony jest sztywnym niewa·zkim pretem
¾
o d÷ugo´sci
l1 z poczatkiem
¾
uk÷adu wspó÷rzednych
¾
0: Otrzymujemy tzw. wahad÷
o podwójne, Wtedy pierwszy punkt zakre´sla okrag
¾ S 1 (l1 ) o równaniu x21 + x22 = l12 ; przyjmujac dowolnie
po÷o·zenie pierwszego punktu o wspó÷rzednych x =(x1 ; x2 ) dostajemy, ·ze drugi punkt przebiega okrag
¾ S 1 (x; l) o´srodku w x i promieniu l: Dyfeomor…zm o takim samym wzorze jak w
poprzednim przyk÷adzie przekszta÷ca dyfeomor…cznie przestrze´n kon…guracyjna¾K wahad÷a
podwójnego na iloczyn kartezja´nski okregów
¾
S 1 (l1 ) S 1 (l) ; czyli na torus.
Przyk÷
ad 17.0.6 Rozwa·zmy uk÷ad sztywny sk÷adajacy
¾ sie¾ z trzech niewspó÷liniowych
punktów p; q; r; tzn. ka·zde dwa punkty po÷¾
aczone sa¾sztywnym, niewa·zkim pretem
¾
o pewnej
d÷ugo´sci. Równowa·znie mo·zna powiedzie´c, ·ze mamy cia÷o sztywne - trójkat
¾ w R3 : Jak
wyglada
¾ przestrze´n kon…guracyjna? Jeden punkt p mo·zna dowolnie ustawi´c w R3 : Je´sli
ju·z to zrobili´smy, to dozwolone dalej ruchy bed
¾ a¾ ruchami sztywnymi, czyli obrotami zachowujacymi
¾
ten ustalony punkt. Z geometrii analitycznej wiadomo, ·ze ruch sztywny
100
trzymajacy jeden punkt jest izometria¾liniowa¾zachowujac
¾ a¾orientacje,
¾ a wiec
¾ opisana jest
przez macierz ortogonalna¾ o wyznaczniku +1; czyli przez macierz z grupy Liego SO (3) :
Zatem K = R3 SO (3) ; jest to hiperpowierzchnia 6 wymiarowa w R12 (bo SO (3) jest 3
wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾w R9 ).
Przyk÷
ad 17.0.7 Strona internetowa dotyczaca
¾ przestrzeni kon…guracyjnej dla robotów:
http://riad.usk.pk.edu.pl/~zk/GO_LAB_00/robot/robot.htm
18
TWIERDZENIE CA×KOWE STOKESA
Celem jest Twierdzenie Stokesa dla hiperpowierzchni z brzegiem:
Twierdzenie 18.0.6 (Stokes) Je·zeli M jest n-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ zorientowana¾z brzegiem @M i na brzegu mamy orientacje dodatnia¾to dla dowolnej n 1 formy
na M o zwartym no´sniku zachodzi wzór
Z
Z
!=
d!:
@M
M
Twierdzenie to jest Rdaeko idacym
¾
uogólnieniem zasadnicze Tw rachunku
b 0
róz·niczkowego i ca÷
kowego a f (x) dx = f (b) f (a) :
Przyk÷
ad 18.0.8 Niech M = [a; b] ; wtedy @M = fag [ fbg : Orientacja brzegu to zeroforma na @M = fag [ fbg równa +1 na b i 1 na a: Dla formy stopnia 0 na M czyli
funkcji f mamy df = f 0 dx stad
¾
Z
f = f (b) f (a) ;
@M
Z b
Z
f 0 (x) dx:
df =
M
a
Zatem wzór Stokesa staje sie¾ w tym trywialnym przypadku zasadniczym Tw. rachunku
ró·zniczkowego i ca÷kowego
Z b
f 0 (x) dx = f (b) f (a) :
a
R
R
W dowodzie ogólnego Tw.Stokesa @M ! = M d! wykorzystujemy ten wzór
Rb 0
f (x) dx = f (b) f (a) ; który jest znany z dowodem z kursu analizy I.
a
Najpierw musimy wprowadzić hiperpowierzchnie z brzegiem.
18.1
Hiperpowierzchnie z brzegiem
Rozwaz·my pó÷
przestrzeń
Rn+ = f(x1 ; :::; xn ) ; xn
ze swoja¾ topologia¾ indukowana¾ z Rn :
101
0g
De…nicja 18.1.1 Hiperpowierzchnia¾ kl. C 1 wymiaru n z brzegiem nazywamy podzbiór
M
Rm taki, ·ze dla ka·zdego punktu p 2 M istnieje odwzorowanie ' : U ! M (zwane
tak·ze parametryzacja)
¾ okre´slone na podzbiorze U Rn+ otwartym w Rn+ tak, ·ze p 2 ' [U ] ;
które jest ró·znowarto´sciowe, regularne kl. C 1 i homeomor…czne na otwarty podzbiór w
M.
Punkty p 2 M dla których nie istnieje parametryzacja okre´slona na podzbiorze otwartym w Rn nazywamy punktami brzegowymi. Ich podzbiór oznaczamy @M: Sa¾to punkty
z obrazu ' @Rn+ \ U po wszelkich parametryzacjach (to jest ´cwiczenie - nie jest to fakt
oczywisty).
Funkcje przejścia sa¾ (jak w przypadku bez brzegu) dyfeomor…zmami miedzy
¾
podzbion
rami otwartymi w R+ :
Jez·eli U Rn+ jest otwartym podzbiorem to @Rn+ \ U utoz·samiamy z podzbiorem
(x1 ; :::; xn 1 ) 2 Rn 1 ; (x1 ; :::; xn 1 ; 0) 2 U
w Rn 1 i jest to podzbiór otwarty. Mianowicie inkluzja i : Rn 1 ! Rn ; (x1 ; :::; xn 1 ) 7 !
(x1 ; :::; xn 1 ; 0) 2 Rn+ jest ciag÷
¾ a wiec
¾ przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty.
Twierdzenie 18.1.1 Je·zeli M jest n wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾klasy C 1 z brzegiem
@M to brzeg @M jest n 1 wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C 1 (bez brzegu): Parametryzacjami brzegu @M sa¾obciecia
¾ parametryzacji 'jU \ @Rn+ ! @M:
Uwaga 18.1.1 Dla hiperpowierzchni z brzegiem pozostaja¾ tak samo okre´slone: formy
ró·zniczkowe, operator ró·zniczkowania, przestrze´n styczna, rozk÷ad jedynki, orientacja.
Twierdzenie 18.1.2 Je·zeli M jest hiperpowierzchnia¾zorientowana¾klasy C 1 z brzegiem
@M i U jest atlasem f'a ; U g parametryzacji zgodnyvh z orientacja,¾ wówczas atlas obcie¾´c
' jU \ @Rn+ ; U \ @Rn+ jest atlasem orientujacym
¾
brzeg @M:
102
Dowód. Niech ' i ' bed
¾ a¾ dwoma parametryzacjami z zadanego atlasu orientujacego.
¾
1
Wtedy funkcja przejścia : '
' jest dyfeomor…zmem zachowujacym
¾
orientacje¾ [czyli
n
o jakobianie dodatnim] miedzy
¾
podzbiorami otwartymi w R+ : Poniewaz· ' U \ @Rn+
@M to
1
' 1 ' U \ @Rn+ = ' jU
(' jU ) U \ @Rn+
@Rn+ :
1
' jU \ @Rn+ dla atlasu na brzegu
Stad
¾ funkcje przejścia 0 = ' jU \ @Rn+
@M i funkcje przejścia
= ' 1 ' na M sa¾ zwiazane
¾
zalez·nościa¾ 0i (x1 ; :::; xn 1 ) =
1 oraz
i (x1 ; :::; xn 1 ; 0) ; dla i = 1; 2; :::; n
(
0
(x1 ; :::; xn 1 ) ; 0) =
(x1 ; :::; xn 1 ; 0)
= ( 1 (x1 ; :::; xn 1 ; 0) ; :::;
Zatem macierze Jacobiego dla funkcji przejścia
iazane
¾
zalez·nościa¾
2
0
@ i
@xj
6
6
6
6
=6
6
6
4
@ 01
@xn 1
0
n 1
@ 0n
@xn
3
..
.
@x1
@ n
@x1
(x1 ; :::; xn 1 ; 0) ; 0) :
sa¾ w punktach z brzegu @Rn+ pow-
@ 1
@x1
..
.
@
0
i
n 1
1
1
@ n
@xn 1
7
7
7
0 7
7
0 7
7
0 5
@ n
@xn
Ca÷
y wyznacznik jest dodatni przy czym z w÷
asności wyznacznika wynika, z·e jest to iloczyn
@ 01
@x1
@ 01
@xn 1
0
n 1
@ 0n
@xn
..
.
det
@
..
.
@x1
1
@ n
@xn
1
Zatem ostatnia liczba @@xnn =
6
0: Wiemy, z·e n (x1 ; :::; xn 1 ; xn )
0 oraz, z·e
@ n
@ n
¾ nie moz·e być @xn < 0: Zatem @xn > 0: Implikuje to
n (x1 ; :::; xn 1 ; 0) = 0: Stad
@ 01
@x1
@ 01
@xn 1
0
n 1
@ 0n
@xn
..
.
z·e det
@
@x1
..
.
> 0 co znaczy z·e parametryzacje obciete
¾ do brzegu sa¾ tez·
1
1
zgodne.
De…nicja 18.1.2 Orientacje¾ brzegu zadana tym obcietem atlasem nazywamy dodatnia¾
gdy n parzyste,
R a ujemn
R a¾ gdy n nieparzyste.
R
R (uzasadnienie poprzez wzów Stokesa: aby
zawsze by÷o @M ! = M d! a nie @M ! =
d!).
M
De…nicja 18.1.3 Niech M bedzie
¾
hiperpowierzchnia¾zorientowana¾z brzegiem @M: Je·zeli
rozwa·zymy orientacje przestrzeni wektorowej Tp M zgodna¾z atlasem orientujacym to gdy
p 2 @M wówczas orientacja w Tp (@M ) dana reperem (v1 ; :::; vn 1 ) jest dodatnia je·zeli, dla
wektora w 2 Tp M skierowanego do wewnatrz
¾ M [tzn. w = 0 (0) dla ÷uku : [0; a) ! M
takiego, ·ze [(0; a)] M n@M; (0) = p] baza ( w; v1 ; :::; vn 1 ) jest dodatnia.
103
Przyk÷
ad 18.1.1 (1) Orientacja pó÷p÷aszczyzny @Rn+ za pomoca¾ wersorów (e1 ; :::; en 1 )
jest ( 1)n - zgodna, t.j. gdy n jest parzyste wtedy baza (e1 ; :::; en 1 ) jest dodatnia
a gdy nieparzyste - ujemna. Mianowicie dodatnia¾ baza¾ Rn w punkcie (x1 ; :::; xn 1 ; 0)
ma by´c ( en ; v1 ; :::; vn 1 ) : Biorac
¾ ( en ; e1 ; :::; en 1 ) widzimy, ·ze jest to zgodne z
(e1 ; :::; en 1 ; ( 1)n en ) skad
¾ teza.
(2) Niech M
R2 bedzie
¾
obszarem domknietym
¾
[domkniecie
¾ zbioru otwartego U ,
M = U ] którego brzeg @M sk÷ada sie¾ z krzywych klasy C 1 . Orientacja na U jest dodatnia. Orientacja brzegu @M jest dodatnia gdy: idac
¾ wzd÷u·z brzegu mamy obszar U po
lewej rece.
¾
Uzasadnienie. W punkcie p 2 @M wektor v styczny do brzegu, v 2 Tp @M
nale·zy do dodatniej orientacji krzywej @M gdy dla wektora w skierowanego do wewnatrz
¾
U para ( w; v) jest dodatnia, czyli para (v; w) jest dodatnia, czyli zgodna z wersorami osi
wspó÷rzednych.
¾
¾
punktem dla
(3) Rozpatrzmy powierzchnie¾ zamkniet
¾ a¾ M w R3 i niech p0 2 M bedzie
którego wspó÷rzedna
¾
z bedzie
¾
najwieksz
¾ a¾warto´scia¾dla punktów p z M: Wokó÷p0 powierzchnia jest zadana jako wykres z = f (x; y) : Parametryzacja (x; y) = (x; y; f (x; y)) : jx i
jy sa baza¾ Tp M: W punkcie p0 sa to wersory osi OX i OY: We´zmy wersor ez osi OZ.
Baza (ex ; ey ) by÷aby dodatnia gdy (ez ; ex ; ey ) jest dodatnia, ale (ez ; ex ; ey ) jest równowa·zna
(ex ; ey ; ez ) czyli jest OK. orientacja dodatnia na @M to orientacja zadana na zewnatrz.
¾
n
n
Ogólniej dla M
R kowymiaru 1 jest dodatnia przez ( 1) V dla pola na zewnatrz,
¾
t,j. dla n nieparzystego (n-1 jest parzyste i przestawienie en na koniec nie zmienia orientacji) orientacja dodatnia jest dla pola na zewnatrz
¾ a dla n parzystego dodatnia jest do
wewnatrz.
¾
(4) M dwuwymiarowa w R3 o brzegu L zorientowana przez pole V : Wtedy dodatnia
na L to taka: idac
¾ po L z g÷owa¾ w kierunku V mamy mie´c M po lewej rece.
¾ Zrozumie´c
dlaczego.
Przyk÷
ad 18.1.2 Okre´sli´c dodatnie orientacje brzegów nastepuj
¾ acych
¾
hiperpowierzchni
z brzegiem (a) M1 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x1 0g ; (b) M2 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x1 0g ;
(c) M3 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x2 0g ; (d) M4 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x2 0g : (e) M5 =
f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ; x4 0g
1. Czy parametryzacja : R2 ! @M1 ; (x2 ; x3 ) = (0; x2 ; x3 ) jest zgodna czy nie?
2. Czy parametryzacja : R2 ! @M2 ; (x2 ; x3 ) = (0; x2 ; x3 ) jest zgodna czy nie?
3. Czy parametryzacja : R2 ! @M3 ; (x1 ; x3 ) = (x1 ; 0; x3 ) jest zgodna czy nie?
4. Czy parametryzacja : R2 ! @M4 ; (x1 ; x3 ) = (x1 ; 0; x3 ) jest zgodna czy nie?
5. Czy parametryzacja : R3 ! @M5 ; (x; y; z) = (x; y; z; 0) jest zgodna czy nie?
Np. orientacja @M3 zadana przez sk÷ada sie¾ z bazy (e1 ; e3 ) : Wektorem skierowanym
do wewnatrz
¾ @M3 jest e2 : Rozwa·zmy zatem baze¾ w dowolnym punkcie (x1 ; 0; x3 ) brzegu
@M3 równa¾ (e2 ; e1 ; e3 ) : Jest ona niezgodna z (e1 ; e2 ; e3 ) : Ale ta ostatnia jest dodatnia,
zatem nasza parametryzacja jest niezgodna.
Dowód Tw. Stokesa zostawimy na potem, a teraz przejdziemy do jego szczególnych
przypadków oraz najprostszych zastosowań oraz podamy uogólnienie na przypadek brzegu
z osobliwościami (np. brzeg prostokata
¾ to 4 odcinki po÷
aczone
¾
wierzcho÷
kami, brzeg sześcianu to nie jedna powierzchnia a 6 po÷
aczonych
¾
kraw¾
edziami).
104
18.2
Twierdzenie Stokesa dla podzbiorów z osobliwościami
Poniz·sze tw. zwane Tw Greena dla prostokata wskazuje, z·e nalez·y oczekiwać uogólnienia
na przypadek gdy brzeg ma osobliwości.
Twierdzenie 18.2.1 Twierdzenie Greena dla prostokata.
¾
Niech R
R2 bedzie
¾
1
prostokatem
¾
o dodatnio zorientowanym brzegu @R i ! 2
(U ) niech bedzie
¾
1 forma¾
okre´slona¾na zbiorze otwartym U R2 zawierajacym
¾
prostokat
¾ R; R U: Wtedy
ZZ
Z
!=
d!:
@R
R
Je´sli wyrazi´c ! we wspó÷rzednych
¾
! = P dx + Qdy wtedy
d! = d (P dx + Qdy) = dP ^ dx + dQ ^ dy
@P
@P
@Q
@Q
=
dx +
dy ^ dx +
dx +
dy ^ dy
@x
@y
@x
@y
@P
@Q
@Q
@P
dx ^ dx +
dy ^ dx +
dx ^ dy +
dy ^ dy
=
@x
@y
@x
@y
@P
@Q
= 0
dx ^ dy +
dx ^ dy + 0
@y
@x
@Q @P
=
dx ^ dy
@x
@y
i wzór Stokesa dla prostokata
¾ staje sie¾ tzw.wzorem Greena
Z
ZZ
@Q @P
(P dx + Qdy) =
dxdy:
@x
@y
@R
R
Dowód. Dowód tego szczególnego przypadku tw. Stokesa. Niech R = [a; b] [c; d] ; Na
mocy Tw. Fubiniego i zasadniczego Tw. rachunku róz·niczkowego i ca÷
kowego
ZZ
@Q @P
dxdy
@x
@y
R
ZZ
ZZ
@Q
@P
=
dxdy
dxdy
R @x
R @y
Z d Z b
Z b Z d
@Q
@P
=
dx dy
dy dx
c
a @x
a
c @y
Z d
Z b
=
(Q (b; y) Q (a; y)) dy
(P (x; d) P (x; c)) dx
c
a
Z
=
(P dx + Qdy)
@R
(@R sk÷
ada sie¾ z czterech odcinków odpowiednio zorientowanych) ). Np odcinek ÷
acz
¾ acy
¾
(a; c) i (a; d) o parametryzacji c (y) = (a; y) ; y 2 [c; d] ma ujemna¾ orientacje¾ stad
¾
R
Rd
(P dx + Qdy) =
Q (a; y) dy itd.
(a;c);(a;d)
c
105
Niech A bedzie
¾
zwartym podzbiorem n wymiarowej hiperpowierzchni M
Rm (bez
brzegu). Niech IntA oznacza wnetrze
¾
zbioru A w przestrzeni topologicznej M i rozwaz·my
brzeg zbioru A
F rA = AnIntA:
Punkt p 2 F rA nazywamy regularnym jesli cześć
¾ wspólna zbioru F rA i pewnego
otoczenia punktu p w M jest podhiperpowierzchnia¾ g÷
adka¾ n 1-wymiarowa.
¾ Pozosta÷
e
punkty z brzegu F rA nazywamy punktami osobliwymi. Oznaczmy podzbiór punktów
regularnych przez F rr A a osobliwych przez F rs A (osobliwy = singularny, stad
¾ indeks s
).
Podzbiór A
M nazywamy regularny jez·eli kaz·dy punkt p 2 F rr A nalez·y do
IntA: (Rysunek c) ze str 424 w ksia¾z·ce
domkniecia
¾ wnetrza
¾
zbioru A; IntA; F rr A
Birkholca jest przyk÷
adem zbioru nieregularnego).
Twierdzenie 18.2.2 Ogólne Tw Stokesa dla podzbiorów regularnych w hiperpowierzchniach. (Birkholc, "Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych", Tw 8.1)
Niech M
Rm bedzie
¾
g÷adka¾ n wymiarowa¾ hiperpowierzchnia i A
M regularnym
zwartym podzbiorem M , oraz ! - g÷adka¾n 1-forma¾ró·zniczkowa¾na M: Zak÷adamy, ·ze
— brzeg osobliwy F rs A zbioru A zawiera sie¾ w przeliczalnej rodzinie podhiperpowierzchni o wymiarach mniejszych od n 1:
Wtedy zachodzi wzór Stokesa
Z
Z
!:
d! =
A
F rr A
18.3
Szczególne przypadki ogólnego wzoru Stokesa dla hiperpowierzchni z brzegiem
18.3.1
Twierdzenie Greena
Twierdzenie 18.3.1 (Twierdzenie Greena) Niech D
R2 bȩdzie ograniczonym
p÷askim obszarem którego brzeg @D tworzy jedna lub kilka krzywych C 1 zorientowanych
dodatnio wzgledem
¾
D: (Dodatnia orientacja ka·zdej krzywej z brzegu @D jest dana przez
obieg punktów w takim kierunku, ·ze obszar D mamy po lewej stronie). Dla 1-formy
ró·zniczkowej ! = P dx + Q dy okre´slonej w obszarze D zachodzi wzór
Z
Z
ZZ
ZZ
@Q @P
dx ^ dy
! =
P dx + Q dy =
d! =
@x
@y
@D
@D
D
D
ZZ
@Q @P
dx dy:
=
@x
@y
D
UWAGA: Tw. jest prawdziwe przy os÷
abieniu za÷
oz·eń: wystarcza z·adać,
¾
aby brzeg
1
@D sk÷
ada÷sie¾ z krzywych przedzia÷
ami kl C [Ko÷
odziej, str. 442-443 - jest to szczególny
przypadek Tw. Stokesa po podzbiorze z osobliwościami].
106
18.3.2
Twierdzenie Stokesa dla powierzchni 2-wymiarowej w R3
Twierdzenie 18.3.2 (Twierdzenie Stokesa dla powierzchni z brzegiem, 2 wymiarowej w R3 ) Niech S
R3 bȩdzie ograniczona̧ powierzchnia̧ zorientowana̧ o brzegu @S
sk÷adajacym
¾
sie¾ z jednej lub kilku krzywych kl. C 1 zorientowanym dodatnio wzgledem
¾
orientacji S (równowaznie: ida̧c wzd÷u·z takiej krzywej z g÷owa̧ zwrócona̧ w stronȩ pola
wektorowego n orientuja̧cego S bȩdziemy mieli powierzchniȩ po lewej stronie.
Wówczas, dla 1-formy ró·zniczkowej ! = P dx + Qdy + Rdz zachodzi wzór
Z
Z
Z
Z
! =
(P dx + Qdy + Rdz) =
d! =
d (P dx + Qdy + Rdz) = :::
@S
@S
S
S
Z
@R @Q
@P
@R
@Q @P
=
dy ^ dz
dx ^ dz +
dx ^ dy:
dy
@z
@z
@x
@x
@y
S
UWAGA: z 1-forma¾ ! = P dx + Qdy + Rdz wia¾z·emy pole wektorowe F = [P; Q; R] a
z nim rotacje¾ pola
rot F =
@R
@y
@Q @P
;
@z @z
107
@R @Q
;
@x @x
@P
:
@y
Strumień tego nowego pola rot F przez powierzchnie¾ S to w÷
aśnie
Z
ZZ
@R @Q
@P
@R
rot F dS =
dy ^ dz
dx ^ dz +
dy
@z
@z
@x
S
S
@Q
@x
@P
@y
dx ^ dy:
Zatem w terminach pola wektorowego wzór Stokesa w tym przypadku oznacza
ZZ
Z
F ds =
rot F dS:
@S
S
UWAGA: Tw jest prawdziwe dla powierzchni S kl. C 2 której brzeg jest suma¾ krzywych przedzia÷
ami kl. C 1 :
Wniosek 18.3.1 Je·zeli powierzchnia S
to
ZZ
R3 jest zamknieta (t.j. nie ma brzegu @S = ;)
rot F dS = 0:
S
18.3.3
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego
Twierdzenie 18.3.3 (Tw. Gaussa-Ostrogradskiego) Niech W bȩdzie domkniȩtym i
ograniczonym obszarem w R3 którego brzeg @W jest suma̧ sko´nczonej ilo´sci powierzchni
S1 ; :::; Sk kl. C 1 : Orientujemy brzeg @W = S1 [ ::: [ Sk za pomoca̧ pola wektorowego normalnego jednostkowego n skierowanego na zewna̧trz obszaru W: Wówczas, dla dowolnej
2 formy ! postaci ! = P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy zachodzi wzór
ZZ
P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy
Z Z@W
Z
d (P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy)
=
W
ZZZ
@Q @R
@P
=
+
+
dx ^ dy ^ dz
@x
@y
@z
W
ZZZ
@P
@Q @R
=
+
+
dxdydz:
@x
@y
@z
W
UWAGA: Z polem F = [P; Q; R] wia¾z·emy funkcje¾ zwana¾ dywergencja¾ pola
div F = @P
+ @Q
+ @R
: Dlatego w terminach pola wektorowego wzór Stokesa w tym przy@x
@y
@z
padku ma postać
ZZ
ZZZ
F dS =
(div F) dV:
@W
W
Twierdzenie jest prawdziwe gdy brzeg @W jest suma̧ skończonej ilości domknietych
¾
p÷
atów poierzchniowych S1 ; :::; Sk przecinaja̧cych siȩ wzd÷
uz· conajwyz·ej skończonej ilości
krzywych przedzia÷
ami kl. C 1 :
108
19
DOWÓD TWIERDZENIA STOKESA
Twierdzenie 19.0.4 (Tw Stokes) Je·zeli M jest hiperpowierzchnia¾ zorientowana¾ z
brzegiem @M i na brzegu mamy orientacje dodatnia¾ to dla dowolnej n 1 formy na
M o zwartym no´sniku zachodzi wzór
Z
Z
d! =
!:
M
@M
Dowód. KROK I. M = Rk : W tym przypadku @M = ;:R Niech ! bedzie
¾
dowolna¾ k 1
forma¾ o zwartym nośniku. Potrzeba udowodnić równość Rk d! = 0: Forma ! jest suma¾
sk÷
adników postaci
! i = f dx1 ^ ::: ^ dxi 1 ^ dxi+1 ^ ::: ^ dxk :
Dla krótkości piszemy daszek nad opuszczonym wyrazem, zatem
Stad
¾
ci ^ ::: ^ dxk :
! i = f dx1 ^ ::: ^ dx
ci ^ ::: ^ dxk
d! i = df ^ dx1 ^ ::: ^ dx
@f
@f
@f
ci ^ ::: ^ dxk
dx1 + ::: +
dxi + ::: +
dxk ^ dx1 ^ ::: ^ dx
=
@x1
@xi
@xk
@f
ci ^ ::: ^ dxk
dxi ^ dx1 ^ ::: ^ dx
=
@xi
@f
dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk :
= ( 1)i 1
@xi
R
Równość Rk d! = 0 bedzie
¾
wykazana, jez·eli pokaz·emy ja¾ dla kaz·dego sk÷
adnika:
R @f
dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk = 0: Niech
Rk @xi
supp f
Yk
j=1
[aj ; bj ] :
Wtedy z Tw. Fubiniego (ustawiajac
¾ odpowiednio kolejność ca÷
kowania)
Z
@f
dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk
Rk @xi
Z
@f
=
dx1 :::dxi :::dxk
Rk @xi
Z b1 Z bi 1 Z bi+1 Z bk Z bi
@f
=
:::
:::
dxi ^ ::: ^ ^{ ^ ::: ^ dxk :
a1
ai 1
ai+1
ak
ai @xi
Do wykazania kroku I wystarcza pokazać, z·e
R bi
f x01 ; :::; xi ; :::; x0k = 0
109
@f
dxi
ai @xi
= 0: Poniewaz·
dla xi 2
= [ai ; bi ]
to z ciag÷
¾ ości f takz·e sa¾ zera na końcu przedzia÷
u. Stad
¾ z zasadniczego Tw. rachunku
róz·niczkowego i ca÷
kowego
Z bi
@f
x01 ; :::; xi ; :::; x0k dxi = f x01 ; :::; bi ; :::; x0k
f x01 ; :::; ai ; :::; x0k = 0:
@x
i
ai
KROK II. M = Rk+ : Wtedy @M = Rk 1 f0g : Niech ! bedzie
¾
dowolna¾ k
o zwartym nośniku na M: Forma ! jest suma¾ sk÷
adników postaci
! = f dx1 ^ ::: ^ dxk
1+
k 1
X
i=1
Obliczamy
d! = df ^ dx1 ^ ::: ^ dxk
1
+
k 1
X
i=1
@f
dxk ^ dx1 ^ ::: ^ dxk
=
@xk
k 1
= ( 1)
P =
=
Z
ci ^ ::: ^ dxk :
qi dx1 ^ ::: ^ dx
ci ^ ::: ^ dxk
dqi ^ dx1 ^ ::: ^ dx
k 1
X
@qi
ci ^ ::: ^ dxk
dxi ^ dx1 ^ ::: ^ dx
1+
@x
i
i=1
@f
dx1 ^ ::: ^ dxk
@xk
1
^ dxk +
k 1
X
( 1)i
i=1
1
@qi
dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk :
@xi
!
Rk
1
Rk
1
Z
1 forma¾
f0g
f0g
f dx1 ^ ::: ^ dxk
1
+
k 1Z
X
i=1
Weźmy parametryzacje¾ hiperpowierzchni Rk
' : Rk
1
! Rk
1
1
Rk
1
f0g
f0g
ci ^ ::: ^ dxk
qi dx1 ^ ::: ^ dx
f0g ; (x1 ; :::; xk 1 ) 7 ! (x1 ; :::; xk 1 ; 0) :
Jest ona ( 1)k -zgodna z dodatnia¾ orientacja¾ brzegu @ Rk+ = Rk 1
f0g (pokazać
szczegó÷
owo). Stad
¾ skoro ' (dxk ) = d (0) = 0; to
Z
ci ^ ::: ^ dxk
qi dx1 ^ ::: ^ dx
k
1
R
Zf0g
ci ^ ::: ^ dxk
= ( 1)k
' qi dx1 ^ ::: ^ dx
k
1
ZR
= ( 1)k
qi (x1 ; :::; xk 1 ; 0) ' (dx1 ) ^ ::: ^ ^{ ^ ::: ^ ' (dxk )
| {z }
Rk 1
=0
= 0:
110
Zatem
P =
Z
Rk
1
k
= ( 1)
= ( 1)k
f0g
Z
k
ZR
Rk
Z drugiej strony
Z
d!
L =
f dx1 ^ ::: ^ dxk
1
1
' (f dx1 ^ ::: ^ dxk 1 )
1
f (x1 ; :::; xk 1 ; 0) dx1 ^ ::: ^ dxk 1 :
Rk+
=
Z
X
@f
dx1 ^ ::: ^ dxk +
( 1)i
@xk
i=1
k 1
k 1
( 1)
Rk+
k 1
= ( 1)
Z
X
@f
dx1 ^ ::: ^ dxk +
( 1)i
@xk
i=1
k 1
Rk+
1
1
Z
@qi
dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk
@xi
Rk+
!
@qi
dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk :
@xi
Poniewaz· dla i < k otrzymujemy z Tw. Fubiniego (ustawiajac
¾ odpowiednio kolejność
ca÷
kowania)
Z
@qi
dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk
Rk+ @xi
Z
@qi
dx1 :::dxi :::dxk
=
Rk+ @xi
Z 1 Z 1 Z 1Z 1
@qi
:::
=
dxi ^ dxk dx1 ^ :::^{::: ^ dxk 1
1 0
1 @xi
1
{z
}
|
=0
= 0
(co zauwaz·amy analogicznie jak poprzednio na mocy argumentu nośnika ... ). Zatem
Z
L =
d!
Rk+
k 1
= ( 1)
Z
Rk+
Z
@f
dx1 ^ ::: ^ dxk
@xk
@f
dx1 :::dxk
Rk+ @xk
Z 1 Z 1 Z 1
@f
k 1
= ( 1)
:::
dxk dx1 :::dxk
@xk
1
1
0
= ( 1)k
1
(*)
=
111
1
Z powodu zwartości nośnika f (x1 ; :::; xk 1 ; xk ) = 0 gdy xk > b dla pewnej b > 0 skad
¾
R 1 @f
R b @f
@f
takz·e @xk (x1 ; :::; xk 1 ; xk ) = 0 dla xk > b co implikuje 0 @xk dxk = 0 @xk dxk i dalej
(*)
= ( 1)
= (
= (
= (
= (
Rk
= P:
Z
Z
Z
b
@f
:::
dxk dx1 :::dxk 1
1
1
0 @xk
Z 1 Z 1
k 1
f (x1 ; :::; xk 1 ; xk ) jxxkk =b
:::
1)
=0 dx1 :::dxk 1
1
1
0
1
Z 1 Z 1
@f (x1 ; :::; xk 1 ; b) f (x1 ; :::; xk 1 ; 0)A dx1 :::dxk
:::
1)k 1
|
{z
}
1
1
=0
Z 1 Z 1
k
1)
:::
f (x1 ; :::; xk 1 ; 0) dx1 :::dxk 1
1
1
Z
k
1)
f (x1 ; :::; xk 1 ; 0) dx1 :::dxk 1
k 1
1
1
1
1
KROK III. M jest dowolna¾ zorientowana¾ hiperpowierzchnia¾ z brzegiem @M . Za÷
óz·my, z·e nośnik formy ! jest zawarty w dziedzinie jednej mapy U 0
M: W tej sytuacji
nośnik d! takz·e jest zawarty w U 0 skad
¾
Z
Z
d! =
d!;
M
U0
Z
Z
! =
!:
@M \U 0
@M
Wystarczy zatem pokazać
Z
d! =
Z
!:
@M \U 0
U0
Niech ' : U ! U 0 bedzie
¾
parametryzacja¾ zgodna¾ z orientacja¾ M (U jest otwarty w Rk+
).
Z
Z
Z
L=
d! =
' (d!) =
d (' !) :
U0
U
U
Nośnik ' ! jest zawarty w U moz·na wiec
¾ rozszerzyć form¾
e ' ! do g÷
adkiej formy
k
określonej na ca÷
ej przestrzeni R+ k÷
adac
¾ 0 poza U (pokazać szczegó÷
owo). Wtedy na
mocy kroku 2
Z
Z
Z
Z
d (' !) =
d =
=
' !:
U
Rk+
@Rk+
@Rk+ \U
Z drugiej strony ' : U ! U 0 po obcieciu
¾ do brzegów
' : U \ @Rk+ ! U 0 \ @M
jest parametryzacja¾ @M przy czym rozwaz·ajac
¾ na U \ @Rk+
Rk 1 f0g orientacje¾
dodatnia wzgledem
¾
Rk+ (czyli ( 1)k zgodna¾ z naturalna orientacja Rk 1 ) mapa obcieta
¾
112
jest zgodna z orientacja¾ @M: Stad
¾
Z
P =
!=
Z
' ! = L:
U \@Rk+
@M \U 0
KROK IV. Przypadek ogólny. M jest dowolna¾ zorientowana¾ hiperpowierzchnia¾ z
brzegiem @M . Za÷
óz·my, z·e nośnik formy ! jest zwarty. Rozwaz·my dowolny atlas f' ; U g
parametryzacji zgodnych z orientacja¾ M i wybierzmy skończony ciag
¾ indeksów 1 ; :::; n
takich, z·e supp ! U 1 [ ::: [ U n : Wpiszmy
adki
Pn w pokrycie fU 1 ; :::; U n ; M n supp !g g÷
rozk÷
ad
jedności
;
:
Wtedy
!
=
!
(bo
!
=
0
wi
ec
¾
!
=
!
1
=
!
i=1
Pn
Pin
(( i=1 ) + ) = i=1
!:
!
Z
Z
n
n Z
X
X
! =
!
d! =
d
d
/ supp i ! U i
i
i
M
M
=
XZ
i
i=1
@M
i
!=
M
i=1
Z
@M
X
!=
i
Z
!:
@M
Zauwaz·my, z·e dla dowodu tw. Stokesa dla form o zwartych nośnikach wystarcza mieć
istnienie g÷
adkich rozk÷
adów jedności wpisanych dla rodzin skończonych co jest znacznie
÷
atwiejsze do wykazania.
20
Element objetości
¾
i Tensor Riemanna
Niech na k wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej V bedzie
¾
dany iloczyn
skalarny h ; i : V V ! R, t.j. dwuliniowe odwzorowanie symetryczne niezdegenerowane.
Pokazuje sie,
¾ z·e istnieje baza (e1 ; :::; ek ) która jest ortonormalna (w skrócie ON), czyli
taka, z·e wektory tej bazy maja¾ d÷
ugości 1 i sa¾ prostopad÷
e do siebie
hei ; ej i =
ij :
Jez·eli weźmiemy inna¾ baze¾ ON (e1 ; :::; ek ) to macierz przejścia a := aji od jednej bazy
do drugiej
ei = j aji ej
jest ortogonalna, tzn. wiersze macierzy sa¾ d÷
ugości 1 i sa prostopad÷
e (co powinno być
znane z algebry). Istotnie,
ij
= hei ; ej i = h
r r
=
r ai aj :
r
r ai er ;
s
s aj es i
=
r s
r;s ai aj her ; es i
Inaczej ten fakt moz·na zapisać w postaci
r
r ai
aT
j
r
=
który oznacza, z·e
a aT = Id:
113
ij
=
r s
r;s ai aj rs
Z w÷
asności macierzy (Tw. Cauchy’ego)
1 = det Id = det a aT = det a det aT = det a det a = (det a)2
otrzymujemy, z·e macierz przejścia a ma wyznacznik det a = 1:
W konkluzji, jez·eli obie bazy orientuja¾ V jednakowo (czyli macierz przejścia ma wyznacznik dodatni) to musi być: det a = +1:
Zak÷
adajac,
¾ z·e na V dana jest orientacja, i biorac
¾ bazy ei oraz ej ON i dodatnie
(czyli orientujace
¾ zgodnie z zadana¾ orientacja),
¾ stwierdzamy z powyz·szego, z·e macierz
przejścia a ma wyznacznik +1: Rozwaz·my bazy dualne ei i ej w przestrzeni kowektorów
V : Zwia¾z·emy z tymi bazami (ei ) oraz (ej ) tensory skośnie symetryczne stopnia k postaci
! = e1 ^ ::: ^ ek ;
! = e1 ^ ::: ^ ek :
Oczywiście
! (e1 ; :::; ek ) = 1;
! (e1 ; :::; ek ) = 1:
Pokaz·emy, z·e ! = ! co bedzie
¾
oznacza÷
o, z·e tensor ! określony dla dowolnej bazy ON
dodatniej nie zalez·y od wyboru tej bazy. Otóz·, skoro ! = r ! dla pewnej liczby
rzeczywistej r to
1 = ! (e1 ; :::; ek ) = r ! (e1 ; :::; ek )
= r det a ! (e1 ; :::; ek ) /Spivak Tw. 4.6 str 76
= r 1 1=r
(co moz·na tez· ÷
atwo zobaczyć z de…nicji
1 =
=
=
=
! (e1 ; :::; ek ) = r ! (e1 ; :::; ek )
r e1 ^ ::: ^ ek (e1 ; :::; ek )
r det [ei (ej )]
r det ei r arj er
= r det
r
r aj ei
= r det
r
r aj ir
(er )
= r det aij = r
Tensor ! równy ! = e1 ^ ::: ^ ek dla dowolnej bazy ON dodatniej nazywa sie¾ tensorem
objetości
¾
zorientowanej przestrzeni wektorowej k-wymiarowej V: Z powyz·szego jest takz·e
jasne, z·e jest to jedyny tensor stopnia k na V skośnie symetryczny taki, z·e ! (e1 ; :::; ek ) = 1
dla pewnej (dowolnej) bazie ON dodatniej.
Niech teraz M
Rn bedzie
¾
dowolna¾ hiperpowierzchnia¾ k wymiarowa¾ w Rn : Weźmy
kanoniczny iloczyn skalarny w Rn
h; i
:
Rn R n ! R
i
(v; w) 7 !
wj :
iv
114
Dla p 2 M rozwaz·my przestrzeń styczna¾ Tp M
Rn : Skoro Tp M jest podprzestrzenia¾
n
wektorowa¾w R to iloczyn skalarny obcina sie¾ do tej przestrzeni dajac
¾ tensor symetryczny
dwuliniowy i takz·e niezdegenerowany
G (p) = h ; ijTp M
Tp M : Tp M
Tp M ! R:
Tensor G na hiperpowierzchni M nazywamy tensorem Riemanna. Niech M bedzie
¾
zorientowana. Tak jak przed chwila¾ rozwaz·ajac
¾ dowolna baze¾ ei (p) ON dodatnia na
przestrzeni wektorowej zorientowanej Tp M wprowadzamy na M k-form¾
e rózniczkowa¾ !
która w punkcie p równa jest elementowi objetości
¾
tej przestrzeni stycznej, ! (p) = e1 (p)^
¾
hiperpowierzchni M i bywa oznaczana
::: ^ ek (p) : Nazywa sie¾ ona forma¾ objetości
symbolem dV:
¾ ´sci dV (p) : Tp M ::: Tp M ! R na wektorach
Ćwiczenie 20.0.1 Element objeto
(v1 ; :::; vk ) jest równy znakowanej objeto´sci równoleg÷o´scianu rozpietego
¾
na tych wektorach
(znak + gdy wektory orientuja¾Tp M dodatnio i gdy ujemnie (oczywi´scie gdy wektory sa¾
liniowo zale·zne to objeto
¾ ´s´c jest 0).
Twierdzenie 20.0.5 Dla zwartej zorientowanej hiperpowierzchni M
Z
dV
M
jest równa (M ) - mierze k-wymiarowej M - czyli objeto
¾ ´sci M: W szczególno´sci dV jest
niedok÷adna.
M o parametryzacji ' : U ! U 0 zgodnej i
Dowód. Szkic dowodu. Dla p÷
ata U 0
formy objetości
¾
dV mamy równość (do dowodu wykorzystujemy ćwiczenie)
' (dV ) = j'0 j dx1 ^ ::: ^ dxk
skad
¾
0
jU j =
Z
U0
1=
Z
U
0
j' j dx1 :::dxk =
Z
U
0
j' j dx1 ^ ::: ^ dxk =
Z
' (dV ) =
U0
U
W dowolnym przypadku wykorzystujemy rozk÷
ad jedności aby wykazać, z·e
R
Z
M
1=
dV:
R
M
dV:
UWAGA: uzasadnia
k¾
e z funkcji skalarnej f po hiperR
R to stary symbol na ca÷
powierzchni M : M f = f dV:
Poniz·sze tw uogólnia Tw. 5.6 z ksia¾z·ki Spivaka "Analiza na rozmaitościach",
PWN.2005.
Twierdzenie 20.0.6 Je·zeli M jest zorientowana hiperopowierzchnia kowymiaru 1; M
Rn+1 ; dim M = n; i N = [N1 ; :::; Nn+1 ] jest jednostkowym polem wektorowym ciag÷
¾ ym normalnym do M to forma objeto
¾ ´sci dV jest równa
dV =
n+1
X
i=1
Ni dx1 ^ :::^{::: ^ dxn+1 :
115
Przyk÷
ad 20.0.1 We´zmy sfere¾S n Rn+1 : Polem normalnym jest pole punktu wodzacego
¾
N = [x 1 ; :::; xn+1 ] stad
¾ forma objeto
¾ ´sci na S n jest równa
n
dS =
n+1
X
i=1
xi dx1 ^ :::^{::: ^ dxn+1 :
Skoro jest to forma objeto
¾ ´sci, to
Z
Sn
n
dS n 6= 0
bo to jest objeto
¾ ´sc sfery S : W szczególno´sci forma ta jest niedok÷adna, czyli nie istnieje
n
na S ·zadna forma dtopnia n 1 taka, ·ze d = dS n :
Podamy teraz pewne ciekawe zastosowania Tw. Stokesa w topologii.
21
Zastosowania Tw. Stokesa w topologii
Oznaczmy przez K n+1 kule¾ w Rn+1 o promieniu 1 i środku w 0; zatem @K n+1 = S n :
Twierdzenie 21.0.7 Nie istnieje g÷adkie odwzorowanie
r : K n+1 ! S n
które jest identyczno´scia¾na sferze S n :
Dowód.R Przypuśćmy, z·e takie odwzorowanie r istnieje. Weźmy dowolna¾ n-form¾
e na S n
taka,
¾ z·e S n ! 6= 0: Forma taka istnieje (np. forma objetości
¾
- lub nawet dowolna n forma
nigdzie nie równa zeru - patrz Tw 16.5.1). Wtedy (skoro rjS n = id )
Z
Z
Z
Z
Z
Tw. Stokesa
r (d!)
r!=
r!
=
d (r !) =
!=
0 6=
n+1
n+1
n+1
n
n
K
K
@K
S
S
Z
=
r (0) = 0
K n+1
bo d! jest n + 1 forma¾ na S n a taka forma musi być zerowa.
Twierdzenie 21.0.8 Tw. Brouwera o punkcie sta÷
ym. Niech f : K n ! K n bedzie
¾
n
g÷adkim odwzorowaniem kuli w kule.
¾ Wtedy istnieje punkt x 2 K taki, ·ze f (x) = x (t.j.
f posiada punkt sta÷y).
Dowód. Przypuśćmy, z·e f nie ma punktów sta÷
ych. Tzn. dla wszystkich x 2 K n
punkty x i f (x) sa¾ róz·ne. Zde…niujemy odwzorowanie r : K n ! S n 1 nastepuj
¾ aco:
¾
r (x) jest to punkt jaki promień startujacy
¾ z f (x) i przechodzacy
¾ przez x przetnie sfere.
¾
Trzeba sprawdzić liczac
¾ wspó÷
rzedne
¾
z·e jest to odwzorowanie g÷
adkie. Z konstrukcji r
n
mamy r (x) = x dla punktów x 2 S . Istnienie takiego odwzorowania jest sprzeczne z
poprzednim twierdzeniem.
116
22
22.1
Zastosowania ca÷
ki
towanej w Fizyce
powierzchniowej
zorien-
Strumień cieczy
Niech S bȩdzie powierzchnia̧ zorientowana̧ i V (x; y; z) ; (x; y; z) 2 S; polem wektorowym
predkości
¾
przep÷
ywu cieczy przez powierzchniȩ S: Wtedy
ZZ
F dS
S
jest objȩtościa̧ cieczy przep÷
ywaja̧cej przez powierzchniȩ S w jednostce czasu w kierunku
dodatniej strony powierzchni. Jeśli ca÷
ka ta jest liczba̧ ujemna̧, oznacza to, z·e wiȩcej
cieczy p÷
ynie w przeciwnym kierunku.
22.2
Pole cienia
Za÷
óz·my, z·ȩ świat÷
o pada promieniami równoleg÷
ymi do siebie w kierunku wektora jednostkowego G na p÷
aszczyznȩ P prostopad÷
a̧ do G: Za÷
óz·my tez·, z·e powierzchnia zorientowana S o parametryzacji :D ! S jest tak u÷
oz·ona miȩdzy świat÷
em i p÷
aszczyzna̧ P;
z·e kaz·dy promień świat÷
a przecina ja̧ w conajwyz·ej jednym punkcie.
Wówczas, pole A cienia powierzchni S na p÷
aszczyznȩ P dane jest wzorem
ZZ
@
@
A=
G
du dv:
@u
@v
D
Jeśli świat÷
o pada od strony ujemnej powierzchni S to modu÷w tym wzorze moz·na
pomina̧ć i ca÷
ka wówczas równa siȩ
ZZ
A=
G dS:
S
22.3
Strumień ciep÷
a
Wcześniej stwierdziliśmy, z·e przep÷
yw ciep÷
a w ciele o temeraturze T (x; y; z) opisuje pole
wektorowe J = k rT: Sta̧d ca÷
ka
ZZ
ZZ
J dS = k
rT dS
S
S
wyraz·a globalna̧ ilość ciep÷
a przep÷
ywaja̧ca̧ przez zorientowana̧ powierzchniȩ S:
22.4
Prawo Gaussa
Za÷
óz·my, z·e pole elektryczne E jest wytworzone przez ÷
adunek elektryczny Q punktowy, liniowy, powierzchniowy lub przestrzenny: Prawo Gaussa wia̧z·e strumień pola
117
elektrycznego E przez zamknieta̧ powierzchniȩ S z ca÷
kowitym ÷
adunkiem Q zawartym
wewna̧trz S za pomoca̧ ca÷
ki pola E przez powierzchni¸e S zorientowana̧ na zewna̧trz
ZZ
1
E dS = 4 "Q; = Q
(22.4.1)
"o
S
gdzie " jest wspó÷
czynnikiem wystȩpuja̧cym w prawie Coulomba a "o jest wspó÷czynnikiem
przenikalno´sci elektrycznej danego ośrodka w którym umieszczony jest ÷
adunek Q: Bȩdzie
ono uzasadnione dla ÷
a̧dunku punktowego w rozdziale dotycza̧cym wzorów ca÷
kowych.
22.5
Zadania
Zadanie RR
Oblicz S rot F dS, gdzie S jest zorientowana̧ do wewna̧trz powierzchnia̧ boczna̧ bry÷
y
ograniczonej od góry p÷
aszczyzna̧ z = 0 a od do÷
u elipsoida̧ x2 + y 2 + 3z 2 = 1 dla pola
F =yi xj + zx3 y 2 k:
Zadanie
h
i
RR
2
Oblicz S F n dS gdzie F = 1; 1; z (x2 + y 2 ) i S jest powierzchnia̧ ca÷
kowita̧ walca
x2 + y 2
1; 0
z
1; zaś n jest polem jednostkowym normalnym skierowanym do
wewna̧trz cylindra.
Zadanie
Za÷
óz·my, z·e funkcja temperatury jest dana wzorem T (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 i niech S
bȩdzie sfera̧ jednostkowa̧ x2 +y 2 +z 2 = 1 zorientowana̧ na zewna̧trz. Obliczyć bez uz·ywania
parametryzacji sfery strumień ciep÷
a przez powierzchniȩ S jez·eli k = 1: Zinterpretować
znak wyniku. Odp. -8 :
Zadanie
p
Niech pole prȩdkości przep÷
ywu cieczy bȩdzie dane wzorem V = xj (mierzone w
m=s). Obliczyć ile m3 cieczy p÷
ynie na sekundȩ przez powierzchniȩ x = y 2 +z 2 ; 0 x 1;
zorientowana̧ przez pole dla którego cos > 0:
Zadanie
Niech temperatura T w przestrzeni R3 dana bȩdzie wzorem T (x; y; z) = 3x2 + 3z 2 :
Obliczyć strumień ciep÷
a wp÷
ywaja̧cy do środka walca x2 + y 2 = 2; 0 x 2; przez jego
powierzchniȩ boczna̧ (dla k = 1).
Zadanie
Niech S bȩdzie zamknieta̧ powierzchnia̧ która sk÷
ada siȩ z górnej pó÷
sfery x2 +y 2 +z 2 =
2
2
1; z
0; i ko÷
a x +y
1; z = 0: Niech E bȩdzie polem elektrycznym zde…niowanym
wzorem E = 2xi + 2yj + 2zk: Obliczyć ÷
adunek elektryczny zamkniȩty przez powierzchniȩ
S:
Zadanie
Świat÷
o pada z góry na dó÷w kierunku prostopad÷
ym do p÷
aszczyzny x + 2y + 3z = 1:
3
:
Obliczyć pole cienia rzucanego przez dysk x2 + y 2 14 ; z = 0: Odp. 4p
14
Zadanie
Niech S bȩdzie górna̧ po÷
ówka̧ sfery x2 + y 2 + z 2 = 1; z 0; zorientowana̧ przez pole
normalne skierowane na zewna̧trz. Weźmy pola wektorowe
F = xi + yj;
118
F = yi + xj:
Obliczyć dla tych pól
ZZ
rot F dS i
S
Z
F ds;
C
gdzie C jest brzegiem powierzchni pó÷
sfery S – okrȩgiem jednostkowym w p÷
aszczyźnie
OXY przebieganym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara patrza̧c z dodatniej czȩści osi
OZ (zak÷
a̧damy prawoskrȩtny uk÷
ad wspó÷
rzȩdnych). Zauwaz·yć fenomen równości tych
ca÷
ek. Bȩdzie on wyjaśniony w nastȩpnym rozdziale za pomoca̧ wzoru Stokesa.
Zadanie
Pokazać, z·e jez·eli pole wektorowe F jest styczne do powierzchni S to strumień tego
pola przez powierzchniȩ S jest zerowy.
22.6
Zadania teoretyczne
Zadanie
Jeśli poniz·sze zdanie jest prawdziwe, udowodnij je, jez·eli jest fa÷
szywe daj kontrprzyk÷
ad:
— je´sli f (x; y; z) jest funkcja̧ ró·zniczkowalna̧, to strumie´n pola rf przez powierzchniȩ
sfery x2 + y 2 + z 2 = 1 jest równy zero.
23
Wykorzystanie wzoru Greena
Przyk÷
ad 23.0.1 Niech C bedzie
¾
brzegiem kwadratu D = [0; 1] [0; 1] zorientowanego
przeciwko ruchowi wskazówek zegara. Ca÷
ka po ÷
uku C musi rozpaść sie¾ na sum¾
e ca÷
ek
po czterech odcinkach. Twierdzenie Greena pozwala wykonać to jedna¾ ca÷
ka¾ (o ile
wspó÷
rzedne
¾
pola [formy róz·niczkowej] sa¾określone i róz·niczkowalne wewnatrz
¾ kwadratu).
Np.
Z
ZZ
@
@
4
3
6
2x6
y 4 + x3
dx dy = 1:
y + x dx + 2x dy =
@x
@y
C
D
Twierdzenie 23.0.1 (Pole obszaru p÷
askiego) Je·zeli krzywa C jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru p÷askiego D [C mo·ze sk÷ada´c sie¾z kilku cze¾´sci] to pole D równa
sie¾
Z
Z
Z
1
jDj =
x dy y dx =
x dy =
y dx:
2 C
C
C
Dowód.
1
2
Z
C
x dy
1
y dx =
2
ZZ
D
@
(x)
@x
@
( y)
@y
Pozosta÷
e wzory dowodzimy identycznie.
119
dx dy =
ZZ
D
dx dy = jDj :
Twierdzenie 23.0.2 (Twierdzenie Greena w terminach pola wektorowego) Niech
F = P i + Qj = [P; Q] bedzie
¾
polem wektorowym kl. C 1 okre´slonym w obszarze p÷askim D
ograniczonym dodatnio zorientowana¾zamkniet
¾ a¾krzywa¾@D: Wówczas
ZZ
Z
F ds =
rot F k dx dy:
@D
D
Dowód. Zgodnie z def. rotacji rot F =
@Q
@x
@P
@y
k: Stad
¾ rot F k =
@Q
@x
@P
:
@y
Twierdzenie 23.0.3 (Twierdzenie Gaussa o dywergencji na p÷
aszczy´znie) Niech
D bedzie
¾
obszarem p÷askim i n – jednostkowym normalnym polem wektorowym wzd÷u·z
brzegu @D skierowanym na zewnatrz
¾ obszaru D: Dla dowolnego pola wektorowego F kl.
1
C na D zachodzi wzór
Z
ZZ
(F n) ds =
div F dx dy:
@D
D
Dowód. Niech T bedzie
¾
ciag÷
¾ ym jednostkowym i stycznym polem wzd÷
uz· brzegu @D
zgodnym z jego dodatnia¾ orientacja¾ (t.j. (n; T) dodatnio orientuje p÷
aszczyzne,
¾ zatem
(n; T; k) dodatnio orientuje przestrzeń skad
¾ - co wynika z w÷
asności iloczynu wektorowego
z poczatku
¾ wyk÷
adu - w ciagu
¾ (n; T; k;n; T; k; :::) iloczyn wektorowy dwu sasiednich
¾
wektorów jest wektorem nastepnym).
¾
Implikuje to T = k n; a takz·e n = k T i
Z
Z
Z
F (k T) ds:
F ( k T) ds =
(F n) ds =
@D
@D
@D
Z drugiej strony, z w÷
asności iloczynu mieszanego
F (k
T) = T (F
k) = (F
k) T =
(k
F) T;
i zamiany ca÷
ki zorientowanej na ca÷
k¾
e niezorientowana¾ z funkcji skalarnej
Z
Z
Z
(k F) ds:
((k F) T) ds =
(F n) ds =
@D
@D
@D
Niech F =Ai + Bj; wtedy k F = Ak i + Bk j = Aj Bi: Stosujac
¾ Twierdzenie
Greena do ca÷
ki krzywoliniowej (dla P = B i Q = A) otrzymujemy
Z
Z
Z
(k F) ds =
(Aj Bi) ds =
(P i + Qj) ds
@D
@D
@D
ZZ
ZZ
@Q @P
@A @B
=
dx dy =
+
dx dy
@x
@y
@x
@y
D
ZZ
=
(div F) dx dy:
D
Uwaga 23.0.1 Fizycznie, lewa strona p÷
askiego Twierdzenia Gaussa o dywergencji
wyraz·a strumień pola wektorowego wyp÷
ywajacy
¾ z wnetrza
¾
obszaru D przez jego brzeg
@D: Jez·eli zatem pole F reprezentuje p÷
askie pole przep÷
ywu cieczy, twierdzenie orzeka,
z·e strumień cieczy wyp÷
ywajacy
¾ z D przez jego brzeg @D w jednostce czasu równa sie¾
ca÷
ce po D z dywergencji pola F: W szczególności,
jez·eli dywergencja znika, to strumień jest zerowy.
120
23.1
Zadania praktyczne
Zadanie
Sprawdzić Tw.Greena dla pola F = [x; xy] i ko÷
a jednostkowego D : x2 + y 2
Zadanie
Stosujac
¾ ca÷
ki zorientowane obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywa:
¾
2
(a) elipsa¾ xa2 +
y2
b2
1:
= 1;
2
2
2
(b) hipocykloida¾ x 3 + y 3 = a 3 ;
(c) krzywa¾ Steinera
x (t) = 23 R cos t + 31 R cos (2t) ;
y (t) = 23 R sin t 31 R sin (2t) ; t 2 (0; 2 ) :
Zadanie
Obliczyć strumień pola wektorowego F = y 3 i + x3 j wyp÷
ywajacy
¾ z wnetrza
¾
kwadratu
[0; 1] [0; 1] :
24
24.1
Wykorzystanie wzoru Stokesa dla powierzchni
Zadania praktyczne
Zadanie
Znalez·ć cyrkulacje¾ pola wektorowego F = [z; x; y] wzd÷
uz· brzegu trójkata
¾ zorientowanego tak, aby kolejnymi wierzcho÷
kami by÷
y (0; 0; 0) ; (0; 2; 0) ; (0; 0; 2) :
Zadanie
p 2
3 = 4; z 0; zorientowana¾ przez pole
Niech S bedzie
¾
cześci
¾ a¾ sfery x2 RR
+ y2 + z
skierowane na zewnatrz.
¾
Obliczyć S rot F dS dla F = [y; x; exz ] : (Odp. -2 )
Zadanie
Rozwaz·yć pole grawitacyjne F = GMr3mr : Pokazać, z·e
div F = 0;
istnieje zamnknieta
¾ powierzchnia przez która¾ strumień jest niezerowy (rozwaz·yć
sfere¾ jednostkowa¾ o środku w poczatku
¾
uk÷
adu wspó÷
rzednych)
¾
pole F nie RR
ma potencja÷
u wektorowego ! (Gdyby mia÷
o, F = rot G; to zgodnie z
RR
wnioskiem S F dS = S rot G dS = 0 dla kaz·dej powierzchni zamknietej
¾ S ale
jest to sprzeczne z poprzednim punktem.)
Zadanie
Wykorzystujac
¾ Tw. Stokesa obliczyć ca÷
k¾
e krzywoliniowa¾
Z
y 3 dx + x3 dy z 3 dz
C
121
gdzie C jest przecieciem
¾
cylindra x2 + y 2 = 1 z p÷
aszczyzna¾ x + y + z = 1; orientacja C
odpowiada ruchowi przeciw wskazówkom zegara (w/g obserwatora umieszczonego wysoko
na osi OZ). (Odp. 32 ).
Zadanie
Korzystajac
¾ z uwagi 24.2.1 obliczyć ca÷
k¾
e krzywoliniowa¾ niezorientowana¾
ZZ
(rot F n) dS;
S
gdzie S jest cześci
¾ a¾ sfery x2 + y 2 + z 2 = 1; x + y + z
1; n jest polem normalnym
jednostkowym
¾ sfery zaś F = r (i + j + k) ; r = xi + yj + zk:
p zwróconym na zewnatrz
4
(Odp. 3 3 ).
Zadanie
Rozwaz·my pole wektorowe
F=
x2
y
i
+ y2
x2
x
j + k:
+ y2
R
Sprawdzić, z·e rot F = 0 oraz C F ds 6= 0 dla jednostkowego okregu
¾ lez·acego
¾
w
p÷
aszczyźnie OXY bed
¾ acego
¾
brzegiem ko÷
a: Dlaczego nie jest to sprzeczne z Tw. Stokesa
?
Zadanie RR
Obliczyć S rot F dS dla pola wektorowego F = [3y; xz; yz 2 ] po cześci
¾ powierzchni
S o równaniu 2z = x2 + y 2 ; 0
z
2; (a) bezpośrednio, (b) przez zastosowanie
Tw.Stokesa. Za÷
oz·yć, z·e powierzchnia S jest zorientowana za pomoca¾ pola wektorowego
normalnego dla którego cos > 0:
24.2
Zadania teoretyczne
Zadanie
Udowodnić równość
Z
@D
r
n ds =
ZZ
r2 + r
D
r
dx dy:
Zadanie
Wykazać, z·e jeśli f jest funkcja¾ harmoniczna¾ w obszarze D to
Z
@f
@f
dx
dy = 0:
@x
@D @y
Zadanie
h
Weźmy pole wektorowe F =
dyskiem x2 + y 2
padku.
i
x
; x2 +y
: Zak÷
adajac,
¾ z·e D jest jednostkowym
2
1 wyjaśnić dlaczego Twierdzenie Greena nie zachodzi w tym przyy
x2 +y 2
Przyk÷
ad 24.2.1 Rozwaz·my pole wektorowe F = yez i+xez j+xyez k: Wykaz·emy (korzystajac
¾ z Tw.Stokesa), z·e ca÷
ka po dowolnej krzywej zamknietej
¾ bed
¾ acej
¾ brzegiem pewnej
powierzchni znika.
122
I-sposób. Sprawdzamy bezpośrednio zwiazek
¾ rot F = 0 i stosujemy Tw. Stokesa.
II-sposób. Zauwaz·amy, z·e pole F jest gradientem F = r (xyez ) i stosujemy Lemat
mówiacy,
¾ z·e rotacja gradientu znika.
Uwaga 24.2.1 Z Tw. Stokesa wynika, z·e jez·eli dwie zorientowane powierzchnie maja¾ten
sam zorientowany brzeg, wtedy ca÷
ki z rotacji pola wektorowego przez te dwie powierzchnie
sa¾ równe.
Zadanie
Niech C bedzie
¾
krzywa¾zamkniet
¾ a¾która jest brzegiem powierzchni S i niech f i g bed
¾ a¾
2
funkcjami kl. C określonymi w dziedzinie zawierajacej
¾ S: Pokazać równości
R
RR
f rg ds = S (rf rg) dS:
C
R
(f rg + grf ) ds = 0:
C
Zadanie
Pokazać dla zamknietej
¾ powierzchni S i sta÷
ego pola F (x; y; z) = v wzór
Z
ZZ
(v r) ds;
v n dS =
2
@S
S
gdzie jak zwykle r jest polem wektorowym punktu wodzacego.
¾
Przyk÷
ad 24.2.2 H2 (R3 n f0; 0; 0g) 6= 0: Zbiór R3 n f0; 0; 0g jest jednospójny. We´zmy 2
forme¾
1
(xdy ^ dz ydx ^ dz + zdx ^ dy) :
!=p
2
x + y2 + z2
Jest to 2-forma odpowiadajaca
¾ polu wektorowemu grawitacyjnemu. ×atwo sprawdzamy, ·ze
(1) d! = 0; skad
¾ forma ! wyznacza klase¾ kohomologii [!] 2 H2 (R3 n f0; 0; 0g) :
2
(2) dla sfery S (mo·ze by´c dowolny promie´n)
Z
! 6= 0:
S2
R
Wiemy z wniosku z tw. Stokesa ·ze gdyby ! = d to S 2 d = 0: Zatem forma
! 2 2 (R3 n f0; 0; 0g) nie jest dok÷adna! Oznacza, to ·ze klasa kohomlogii [!] nie
jest "zerowa! czyli H2 (R3 n f0; 0; 0g) 6= 0:# Oznacza to tak·ze, ·ze pole wektorowe
F=
p
x
x2 +y 2 +z 2
3
; p
y
x2 +y 2 +z 2
3
; p
z
x2 +y 2 +z 2
3
chocia·z w R3 n f0; 0; 0g ma zerowa¾ dyw-
ergencje¾ to nie posiada globalnie potencja÷u wektorowego.
123
24.3
Wykorzystanie wzoru Gaussa-Ostrogradskiego
24.4
Zadania praktyczne
Zadanie
RR
Obliczyć ca÷
k¾
e powierzchniowa¾ zorientowana¾ S (2xi + y 2 j + z 2 k) dS, gdzie S jest
sfera¾ x2 + y 2 + z 2 = 1 zorientowana¾ na zewnatrz.
¾
Odp. 83 :
Zadanie
Obliczyć strumień pola wektorowego F = xy 2 i+x2 yj+yk przez powierzchnie¾ ca÷
kowita¾
2
2
walca x + y
1; 1 z 1; zorientowana¾ na zewnatrz.
¾
Odp.
Zadanie
Obliczyć strumień pola wektorowego V = [x3 ; y 3 ; z 3 ] przenikajacy
¾ na zewnatrz
¾ sfery
12
2
2
2
x + y + z = 1: Odp. 5 :
Zadanie
Znaleźć strumień pola wektorowego F = [x; y; z] przenikajacy
¾ przez na zewnatrz
¾ sfery
jednostkowej x2 + y 2 + z 2 = 1 (a) bezpośrednio, (b) za pomoca¾ Tw.G-0.
Zadanie
RR
Niech F = yi + zj + xzk: Obliczyć @W F dS dla kaz·dego obszaru ograniczonego
poniz·szymi powierzchniami
(a) x2 + y 2
z
1;
(b) x2 + y 2
z
1; x
0;
(c) x2 + y 2
z
1; x
0:
Zadanie RR
Obliczyć M xyzi dS; gdzie M jest powierzchnia¾ ca÷
kowita¾ walca x2 + z 2
y 10; zorientowana¾ do wewnatrz.
¾
24.5
Zadania teoretyczne
Zadanie
Wykazać równość
ZZZ
ZZ
(rf ) F dV =
W
f (F n) dS
@W
ZZZ
W
Zadanie
Wykazać identyczności Greena:
RR
RRR
(a) @W f rg n dS =
f r2 g + rf rg dV;
W
RR
RRR
(b) @W (f rg grf ) n dS =
f r2 g gr2 f dV:
W
Zadanie
124
f div F dV:
1; 0
Ustalmy k wektorów v1 ; :::; vk i rozwaz·my k ÷
adunków elektrycznych q1 ; :::; qk umieszczonych odpowiednio w v1 ; :::; vk : Weźmy funkcje¾
(x; y; z) =
k
X
l=1
qi
;
4 kr vi k
gdzie r = [x; y; z] :
Pokazać, z·e dla zamknietej
¾ powierzchni S na której nie lez·y z·aden ÷
adunek i pola E =
r zachodzi
ZZ
E dS = Q;
S
gdzie Q jest suma¾ ÷
adunków lez·acych
¾
wewnatrz
¾ S:
25
25.1
ZASTOSOWANIA
CA×KOWYCH
TWIERDZEŃ
Cyrkulacja a rotacja
W teorii pola wektorowego wspomnieliśmy, z·e rot F ma zwiazek
¾
z efektami obrotowymi
pola F: Oto wyjaśnienie dok÷
adne tego zwiazku
¾
bed
¾ ace
¾ konsekwencja¾ Tw. Stokesa.
Twierdzenie 25.1.1 Niech C" bedzie
¾
okregiem
¾
o promieniu " i ´srodku w punkcie xo
prostopad÷ym do wektora jednostkowego n: Orientujemy C" w/g rysunku: [zrobi´c sobie
prosze¾ samemu]
Niech F bedzie
¾
polem wektorowym okre´slonym w obszarze zawierajacym
¾
xo : Wtedy
Z
1
F ds:
(25.1.1)
(rot F) (xo ) n = lim 2
"!0 "
C"
Oznacza to, ·ze rzut rotacji (rot F) (xo ) na kierunek n mo·ze by´c interpretowany jako cyrkulacja pola F po brzegu jednostkowego obszaru le·zacego
¾
w p÷aszczy´znie normalnej do n (we
2
wzorze powy·zszym " jest polem ko÷a ograniczonego przez okrag
¾ C" ).
Dowód. Oznaczmy przez S" dysk (tzn. ko÷
o) o środku w xo i promieniu " lez·acy
¾ w
p÷
aszczyźnie prostopad÷
ej do n: Oczywiście C" = @S" : Z Tw. Stokesa
ZZ
ZZ
Z
rot F dS =
(rot F n) dS =
F ds:
S"
S"
C"
Z Tw. o wartości średniej dla ca÷
ki podwójnej wynika istnienie punktu x" 2 S" takiego,
z·e
ZZ
(rot F n) dS = ((rot F) (x" ) n) jS" j :
S"
Stad
¾
1
(rot F) (x" ) n =
jS" j
Z
1
F ds = 2
"
C"
125
Z
C"
F ds:
Dla " ! 0 zachodzi x" ! xo . Zatem
1
(rot F) (xo ) n = lim 2
"!0 "
Z
F ds:
C"
Wniosek 25.1.1 Z wzoru (25.1.1) wynika, z·e
je´sli cyrkulacja pola wzd÷u·z ka·zdego ÷uku zamknietego
¾
jest zerowa, to pole wektorowe
jest bezwirowe.
Na odwrót wiemy, z·e nie zachodzi. Pole wektorowe bezwirowe moz·e mieć niezerowa¾
y
x
cyrkulacje¾ (np. F = x2 +y
·e jest określone w obszarze jednospójnym !
2 i + x2 +y 2 j, chyba, z
Zadanie
Sprawdzić prawdziwość powyz·szego wzoru dla pola wektorowego opisujacego
¾
ruch
obrotowy.
25.2
Dywergencja a strumień
Wykorzystamy Tw. Gaussa-Ostrogradskiego do podania …zyczneji geometrycznej interpretacji dywergencji.
Twierdzenie 25.2.1 Je´sli Br jest kula¾o promieniu r i ´srodku w punkcie xo oraz brzegu
Sr = @Br zorientowanym na zewnatrz,
¾ to dla dowolnego pola F okre´slonego w otoczeniu
punktu xo dywergencja pola F w xo jest dana wzorem
ZZ
1
F dS:
(25.2.1)
(div F) (xo ) = lim
r!0 jBr j
Sr
Dowód tego twierdzenia przebiega podobnie do dowodu Tw. (25.1.1). Wykorzystuje
sie¾ tu Tw. G-O i twierdzenie o wartości średniej dla ca÷
ki potrójnej.
Uwaga 25.2.1 Wzór (25.2.1) orzeka,z·e dywergencja (div F) (xo ) pola F w punkcie xo
moz·e być interpretowana jako strumień pola F wyp÷
ywajacy
¾ z zamknietej
¾ jednostkowej
objetości
¾
zawierajacej
¾ xo : W przypadku interpretacji hydromechanicznej i pola F opisujacego
¾
predkość
¾
przep÷
ywu cieczy wyjaśnia to nazwy punktów ”źród÷
o”i ”ujście”.
Wniosek 25.2.1 Z wzoru (25.2.1) wynika, z·e
pole wektorowe dla którego strumie´n przez ka·zda¾powierzchnie¾ zamknieta¾jest zerowy
ma znikajac
¾ a¾dywergencje,
¾
Na odwrót wiemy, z·e nie zachodzi. Pole wektorowe bezz·ród÷
owe moz·e mieć niezeG
rowy strumień przez zamkniet
¾ a¾powierzchnie¾ (np. pole grawitacyjne F = mM
r)
r3
chyba, z·e jest określone w obszarze gwiaździstym. Zauwaz·my dodatkowo, z·e jednospójność obszaru nie wystarcza do równowaz·ności bezźród÷
owości ze znikaniem
strumienia, np. ww wspomnianym zadaniu dziedzina¾ pola jest przestrzeń R3 z
usunietym
¾
punktem a ten zbiór jest jednospójny!
126
26
Zastosowania Tw. Stokesa w elektromagnetyźmie
Rachunek wektorowy gra istotna¾ role¾ w teorii elektromagnetyzmu.
26.1
Równanie Maxwella
W zamknietym
¾
obwodzie C zbudowanym z przewodnika pojawiaja¾ sie prady
¾ elektryczne
(zwane indukcyjnymi), jez·eli przez powierzchnie¾ S ograniczona¾ obwodem przenika zmienny strumień magnetyczny. Nate¾z·enie pradu
¾ indukowanego zalez·y jedynie od szybkości
zmian strumienia magnetycznego (jest to tzw. zjawisko indukcji elektromagnetycznej
Faradaya). Przyk÷
adowo, zjawisko to ma miejsce gdy do obwodu zbliz·amy i oddalamy
sta÷
y magnes.
Zmienne w czasie nate¾z·enie pola elektrycznego E (t) i pole wektorowe indukcji magnetycznej B (t) zwiazane
¾
sa¾ ze soba¾ jednym z równań Maxwella:
@B
:
@t
rot E =
26.2
(26.1.1)
Prawo Faradaya
Zwiazek
¾
miedzy
¾
cyrkulacja¾ nate¾z·enia pola elektrycznego wzd÷
uz· obwodu C (nazywane
tez· “spadkiem napiecia
¾
wzd÷
uz·”) a strumieniem indukcji pola magnnetycznego przez
powierzhnie¾ S ogra-niczona¾ obwodem C wyraz·a równanie zwane prawem Faradaya:
ZZ
Z
@
B dS:
E ds =
@t C
C
×atwo jest uzasdnić to prawo korzystajac
¾ z równania Maxwella (26.1.1) i Tw. Stokesa.
Z Tw. Stokesa dostajemy
Z
ZZ
E ds =
C
rot E dS:
S
Korzystajac
¾ z równania Maxwella (26.1.1) i zak÷
adajac,
¾ z·e znamy prawo matematyczne
wchodzenia z róz·niczkowaniem pod znak ca÷
ki otrzymujemy
Z
ZZ
ZZ
ZZ
@B
@
E ds =
rot E dS =
dS =
B dS:
@t
@t S
C
S
S
26.3
Prawo Gaussa c.d.
Podstawa¾ wykazania Prawa Gaussa jest poniz·sze twierdzenie.
Twierdzenie 26.3.1 Niech W bedzie
¾
obszarem w R3 dla którego poczatek
¾
uk÷adu
wspó÷rzednych
¾
(0; 0; 0) nie le·zy na brzegu @W: Wtedy
ZZ
rn
4
je´sli (0; 0; 0) 2 W
dS =
3
0
je
= W;
´sli (0; 0; 0) 2
r
@W
gdzie r (x; y; z)p= xi + yj + zk jest wektorem wodzacym
¾
punktu (x; y; z) a r (x; y; z) =
2
2
2
kr (x; y; z)k = x + y + z :
127
Dowód. Jeśli (0; 0; 0) 2
= W to powyz·szy wzór wynika bezpośrednio z Tw. GaussaOstrogradskiego o dywergencji
ZZ
ZZ
ZZZ
rn
r
r
div 3 dV = 0
dS =
dS =
3
3
r
@W r
@W r
W
bo pole
r
r3
ma zerowa¾ dywergencje.
¾ Istotnie
1
div (r) + r
r3
3
3
= 3
r r
r
r5
=0
div
r
r3
@
@y
1
r3
=
1
r3
r
gdyz· r r = r2 oraz
r
1
r3
=
"
@
@x
1
r3
;
@
1
=
@x (x2 + y 2 + z 2 ) 32
h
x
y
zi
=
3 5; 3 5; 3 5
r
r
r
r
= 3 5:
r
@
;
@z
!
1
r3
#
"
3
; ::::; :::: =
2
1
5
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
!
#
2x; ::::; :::
Jeśli (0; 0; 0) 2 W to argumentacja powyz·sza jest fa÷
szywa, bo pole rr3 nie jest określone w
punkcie (0; 0; 0) : W tym przypadku weźmy ma÷
a¾kulk¾
e B ośrodku w (0; 0; 0) i promieniu ro
~ obszar przestrzenny zawarty
ca÷
kowicie zawarta¾wewnatrz
¾ obszaru W i oznaczmy przez W
~ : Orientujemy brzeg @B kulki B standardowo
miedzy
¾
@W i @B: Oczywiście (0; 0; 0) 2
=W
przez pole wektorowe skierowane na zewnatrz
¾ kulki, jednakz·e wtedy –jako cześć
¾ brzegu
~
obszaru W –jest to powierzchnia zorientowana ujemnie (gdyz· kulka B lez·y na zewnatrz
¾
~
~
obszaru W ). Stosujemy pierwsza¾ cześć
¾ dowodu dla obszaru W = W
ZZ
ZZ
ZZ
rn
rn
rn
dS =
dS
dS:
0=
3
3
3
~ r
@W r
@B r
@W
Stad
¾
ZZ
@W
rn
dS =
r3
ZZ
@B
rn
dS = 4
r3
gdyz· na brzegu @B sfery B o promieniu ro zachodzi n =
xi+yj+zk
r(x;y;z)
i dlatego
rn
x2 + y 2 + z 2
1
=
= 2
3
4
r
r
r
oraz
ZZ
@B
rn
dS =
r3
ZZ
@B
1
1
1
dS = 2 j@Bj = 2 4 ro2 = 4 :
2
r
ro
ro
128
26.4
Dowód Prawa Gaussa
Potencja÷
em w punkcie (x; y; z) pola elektrycznego indukowanego przez ÷
adunek elektryczny Q umieszczony w środku uk÷
adu wspó÷
rzednych
¾
jest (patrz prawo Coulomba
V =
Q
Q
p
=
:
4 "o r
4 "o x2 + y 2 + z 2
Pole elektryczne E wyznaczone jest swoim potencja÷
em V jednoznacznie jako pole
skierowane w strone¾ najwiekszego
¾
spadku potencja÷
uV
E=
rV =
Q
r
4 "o
1
r
=
Q
r
:
4 "o r 3
Z Tw (26.3.1) wnosimy, z·e strumień pola elektrycznego E wyp÷
ywajacy
¾ z powierzchni
zamknietej
¾ @W nie przechodzacej
¾ przez (0; 0; 0) wynosi
ZZ
ZZ
ZZ
Q
r
n dS
E ndS =
E dS =
r3
@W 4 "o
@W
@W
ZZ
Q
Q r n
jeśli (0; 0; 0) 2 W
"
o
=
dS =
3
0 jeśli (0; 0; 0) 2
= W:
r
@W 4 "o
Jest to treść prawa Gaussa.
26.5
Ciag÷
¾ e pole ÷
adunków elektrycznych i równanie Maxwella
Rozwaz·my teraz ciag÷
¾ e pole ÷
adunków elektrycznych o gestości
¾
(x; y; z) : Jedno z równań Maxwella dla takiego pola ustanawia zwiazek
¾
nate¾z·enia pola elektrycznego E
wywo÷
anego ciag÷
¾ ym polem ÷
adunków z jego gestości
¾
a¾
div E =
(x; y; z)
:
"o
Stosujac
¾ Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego dostajemy
ZZ
ZZZ
ZZZ
1
E dS =
div E dV =
(x; y; z) dV:
"o
@W
W
W
RRR
Liczba Q =
(x; y; z) dV wyraz·a ca÷
kowity ÷
adunek elektryczny objety
¾ powierzchnia¾
W
@W:
26.6
Objetość
¾
obszaru przestrzennego
Tw. G-O moz·e równiez· s÷
uz·yć do obliczania objetości
¾
obszaru przestrzennego W; analogicznie jak Tw. Greena moz·e s÷
uz·yć do obliczania pola powierzchni p÷
askiej. Mianowicie,
objetość
¾
jW j obszaru przestrzennego ograniczonego zamkniet
¾ a¾ powierzchnia¾ @W dodatnio zorientowana¾ jest równa ca÷
ce powierzchniowej pola wektorowego F = P i + Qj + Rk
@P
+ @R
jest toz·samościowa równa 1 :
którego dywergencja div F = @x + @Q
@y
@z
129
Twierdzenie 26.6.1 (Objeto
¾ ´s´c obszaru przestrzennego) Je´sli div F = 1 to
ZZZ
ZZZ
ZZ
jW j =
dV =
div F dV =
F dS:
W
W
@W
Na przyk÷
ad polami wektorowymi F o dywergencji równej 1 sa¾ F =xi; F =yj; F = zk;
1
F = 2 (xi + yj) ; ..., F = 13 (xi + yj + zk) ; itp. Dlatego zachodzi poniz·sze twierdzenie.
Twierdzenie 26.6.2 (Objeto
¾ ´s´c obszaru przestrzennego, wzory konkretne) Je´sli
zamknieta
¾ po-wierzchnia S jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru przestrzennego
W [S mo·ze sk÷ada´c sie¾ z kilku ”cze¾´sci”] to objeto
¾ ´s´c jW j obszaru W równa sie¾
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
1
1
jW j =
xi dS =
yj dS =
zk::: =
(xi + yj) dS =
(xi + yj + zk) dS:
2 S
3 S
S
S
S
Przyk÷
ad 26.6.1 Za÷ó·zmy, ·ze parametryzacja¾ dodatnia¾ powierzchni zamknietej
¾ S jest
2
(t; u) = (x (t; u) ; y (t; u) ; z (t; u)) ; (t; u) 2 D R : Wtedy
x (t; u) i
@
= x (t; u)
@u
@
@t
@y
@t
@y
@u
@z
@t
@z
@u
:
Stad,
¾ objeto
¾ ´s´c obszaru W ograniczonego powierzchnia¾S równa sie¾
ZZ
ZZ
ZZZ
@y
@z
@t
@t
x (t; u)
xi dS =
dV =
jW j =
@y
@z
D
S
W
@u
dt du:
@u
Analogicznie mo·zemy wyprodukowa´c inne wzory wyra·zajace
¾ objeto
¾ ´s´c obszaru W wychodzac
¾
od innego pola F o dywergencji 1; np. F =yj lub F = zk :
ZZZ
ZZ
ZZ
@x
@z
@t
@t
jW j =
dV =
yj dS =
y (t; u)
dt du;
@x
@z
W
S
D
@u
@u
ZZZ
ZZ
ZZ
@y
@x
@t
@t
jW j =
dV =
zk dS =
z (t; u)
dt du:
@y
@x
W
26.7
S
D
@u
@u
Zadania praktyczne
Zadanie
Powtarzajac
¾ rozumowanie z przyk÷
adu (26.6.1) (aby utrwalić teorie¾ ca÷
ki krzywoliniowej i wzór G-O) obliczyć objetość
¾
torusa o duz·ym promieniu R i ma÷
ym r: Odp. 2 2 Rr2
- tyle samo ile wynosi objetość
¾
walca powsta÷
ego z przeciecia
¾ torusa wzd÷
uz· ma÷
ego okregu
¾
i jego ”wyprostowania”.
Zadanie
RRR
(Wykorzystanie wzoru G-O w druga¾ strone)
¾ Obliczyć
x2 dx dy dz po obW
2
szarze ogra-niczonym paraboloida¾ eliptyczna¾ z = x2 + y4 i p÷
aszczyzna¾ z = 1: (Znaleźć
pole F którego dywergencja¾ jest funkcja x2 i zastosować wzór G-O). Odp. 6 :
130
26.8
Zadania teoretyczne
Zadanie
Wykorzystujac
¾ ostatni z napisanych wyz·ej wzorów rozwiazać
¾
nastepuj
¾ ace
¾ zadanie:
Dana jest zamknieta
¾ krzywa w p÷
aszczyźnie OY Z o równaniu parametrycznym
y = y (t) > 0;
z = z (t) ;
t 2 [ ; ]:
Obracamy ja¾ dooko÷
a osi OZ otrzymujac
¾ powierzchnie¾ obrotowa¾ o parametryzacji
(t; u) = (y (t) sin u; y (t) cos u; z (t)) ; u 2 [0; 2 ] ; t 2 [ ; ] :
Obliczyć objetość
¾
otrzymanej bry÷
y obrotowej W: Odp. jW j =
131
2
R
z (t) y 0 (t) y (t) dt: