Analiza-na-rozmaitos..
Transcription
Analiza-na-rozmaitos..
Analiza na rozmaitościach Jan Kubarski Politechnika ×ódzka, Instytut Matematyki June 26, 2012 Spis treści 1 Analiza funkcji wielu zmiennych - co najwaz·niejsze na razie 4 2 Rozmaitości topologiczne i róz·niczkowe, mapy i atlasy - de…nicje 5 3 Elementarne przyk÷ ady 9 4 Sklejanie rozmaitości 12 5 Hiperpowierzchnie 15 6 Odwzorowania g÷ adkie miedzy ¾ rozmaitościami 20 7 Zbiory mierzalne na rozmaitości, miara i ca÷ ka Lebesque’a na hiperpowierzchni 21 8 Przeciwobraz wartości regularnej 24 9 Grupy Liego 28 9.1 De…nicja i wstepne ¾ w÷ asności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 9.2 Grupy topologiczne, podstawowe w÷ asności topologiczne. . . . . . . . . . . 29 9.3 Grupy Liego - w÷ asności topologiczne cd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10 Wektory i przestrzenie styczne do hiperpowierzchni 31 11 Podgrupy Liego grupy Liego GL (n; R) 11.1 Podstawowe twierdzenie o tworzeniu podgrup Liego grupy Liego GL (n; R) 11.2 Grupa obrotów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Podgrupy macierzy niezmienniczych wzgledem ¾ odwzorowania dwuliniowego 34 34 35 41 12 Grupy transformacji 47 1 13 Pojecie ¾ wiazki, ¾ wiazki ¾ z grupa¾ strukturalna¾ 49 14 Quaterniony 14.1 Algebra quaternionów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Grupa jednostkowych quaternionów . . . . . . . . . . . 14.3 Grupa quaternionowa Q (n) : . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Zwiazek ¾ grupy Liego S 3 z grupa¾ obrotów przestrzeni R3 . . . . 54 54 55 56 58 . . . . 60 60 65 68 72 . . . . 74 74 76 80 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Grassmanniany, w szczególności przestrzenie rzutowe 15.1 Grassmanniany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Rzeczywiste, zespolone i quaternionowe przestrzenie rzutowe . . . . . . 15.3 Rozw÷ óknienia Hopfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Róz·niczka funkcji rzeczywistej f : M ! R określonej na rozmaitości M . . . . . . . . 16 Formy róz·niczkowe na rozmaitościach 16.1 1-formy róz·niczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Mnoz·enie skośne 1-form róz·niczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 k-formy róz·niczkowe na rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Cofanie form róz·niczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Hiperpowierzchnie zorientowane i ca÷ kowanie form róz·niczkowych maksymalnego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6 Róz·niczkowanie form róz·niczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7 Kompleks de Rhama, grupy kohomologii, charakterystyka EuleraPoincarégo i genus powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 . 91 . 94 17 Hiperpowierzchnie w mechanice klasycznej - przestrzenie kon…guracyjne 99 18 TWIERDZENIE CA×KOWE STOKESA 18.1 Hiperpowierzchnie z brzegiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Twierdzenie Stokesa dla podzbiorów z osobliwościami . . . . . . . . . . 18.3 Szczególne przypadki ogólnego wzoru Stokesa dla hiperpowierzchni brzegiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1 Twierdzenie Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2 Twierdzenie Stokesa dla powierzchni 2-wymiarowej w R3 . . . . 18.3.3 Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego . . . . . . . . . . . . . . . 101 . . 101 . . 105 z . . 106 . . 106 . . 107 . . 108 19 DOWÓD TWIERDZENIA STOKESA 109 20 Element objetości ¾ i Tensor Riemanna 113 21 Zastosowania Tw. Stokesa w topologii 116 22 Zastosowania ca÷ ki powierzchniowej zorientowanej 22.1 Strumień cieczy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Pole cienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Strumień ciep÷ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 w Fizyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 . 117 . 117 . 117 22.4 Prawo Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 22.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 22.6 Zadania teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 23 Wykorzystanie wzoru Greena 119 23.1 Zadania praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 24 Wykorzystanie wzoru Stokesa dla powierzchni 24.1 Zadania praktyczne . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Zadania teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . 24.3 Wykorzystanie wzoru Gaussa-Ostrogradskiego . 24.4 Zadania praktyczne . . . . . . . . . . . . . . 24.5 Zadania teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 121 122 124 124 124 25 ZASTOSOWANIA TWIERDZEŃ CA×KOWYCH 125 25.1 Cyrkulacja a rotacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 25.2 Dywergencja a strumień . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 26 Zastosowania Tw. Stokesa w elektromagnetyźmie 26.1 Równanie Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Prawo Faradaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 Prawo Gaussa c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4 Dowód Prawa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5 Ciag÷ ¾ e pole ÷ adunków elektrycznych i równanie 26.6 Objetość ¾ obszaru przestrzennego . . . . . . . . . 26.7 Zadania praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.8 Zadania teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 . 127 . 127 . 127 . 129 . 129 . 129 . 130 . 131 WYK×AD 1, 8.XI.2011 Zak÷ adamy znajomość analizy funkcji wielu zmiennych (pochodne, ca÷ ki, miara Lebesque’a), topologii i algebry liniowej. 1 Analiza funkcji wielu zmiennych - co najwaz·niejsze na razie Zadanie. Funkcja 1 f (x) = Pokazać, z·e f 2 C 1 (R) i ex ; 0; x<0 x 0 f (n) (0) = 0: Hint: a) pokazać indukcyjnie, z·e dla dowolnego n; istnieje wielomian stopnia n taki, z·e dla x < 0 wn (x) 1 f (n) (x) = ex : x2n b) pokazać indukcyjnie, z·e f (n) (0) = 0 (do liczenia granic stosować pomocniczo podstawienia t = x 1 ). Funkcja f (x) nie jest R-analityczna w x P = 0; tzn. nie rozwija sie¾ w szereg potegowy ¾ 1 n o środku w 0; bowiem kaz·da funkcja f (x) = n=0 an x o dodatnim promieniu zbiez·ności (n) ¾ gdy f (n) (0) = 0 dla n 2 N; to funkcja f w ma wspó÷ czynniki an = f n!(0) ; gdyby wiec otoczeniu x = 0 by÷ aby 0; ale f (x) > 0 dla x < 0: Funkcje rozwijalne lokalnie w szereg potegowy ¾ nazywamy funkcjami klasy C ! ; widzimy, z·e C 1 ( C ! : De…nicja 1.0.1 Niech f : Rn U ! Rm bedzie ¾ danym odwzorowaniem (oznaczenie znaczy: f : U ! Rm gdzie U jest otwartym podzbiorem Rn ). Ró·zniczka¾(pochodna¾mocna) ¾ n m odwzorowania f punkcie x0 nazywamy odwzorowanie liniowe L : R U ! R takie, ·ze lim h!0 f (x0 + h) f (x0 ) jjhjj L (h) = 0: W÷ asności a) róz·niczka L jest conajwyz·ej jedna, oznaczamy ja¾ Df (x0 ) : b) jez·eli Df (x0 ) jest róz·niczka¾ w x0 to funkcja f ma w x0 pochodna¾ kierunkowa¾ w 0 kaz·dym kierunku fjh (x0 ) i 0 fjh (x0 ) = Df (x0 ) (h) : W szczególności pochodna kierunkowa jest liniowa wzgledem ¾ kierunku oraz istnieja¾ @f pochodne czastkowe ¾ (x0 ) ; tzn. pochodne kierunkowe w kierunku wersorów osi wspól@xi rzednych ¾ ei @f (x0 ) = fje0 i (x0 ) = Df (x0 ) (ei ) : @xi 4 h 1 i @f @f @f m (x0 ) zapisujemy wierszowo lub kolumnowo @x (x ) = (x ) ; :::; (x ) ; 0 0 0 i @xi @xi h 1 i T m @f @f lub @x (x0 ) ; :::; @f (x0 ) : i (x0 ) = @xi @xi Mcierz róz·niczki jest macierza¾ pochodnych czastkowych ¾ (czyli tzw. macierza¾ Jacobiego) @f j Df (x0 ) = (x0 ) : i n @xi Wektor @f @xi j m 2 6 Df (x0 ) = 4 @f 1 @x1 @f 1 @xn (x0 ) .. . (x0 ) 3 (x0 ) 7 .. 5 . @f m (x0 ) @xn @f m @x1 lub transponowana (jak wygodniej). Macierz powyz·sza¾ nazywa sie¾ macierza¾ Jacobiego odwzorowania f w x0 : c) Z istnienia róz·niczki w x0 nie wynika ciag÷ ¾ ość pochodnych czastkowych, ¾ np. tak jest juz· dla n = m = 1 dla funkcji f : R ! R danej wzorem f (x) x2 sin x1 ; x 6= 0; 0; x=0 (Df (0) = 0 jest róz·niczka, ¾ ale pochodna nie jest ciag÷ ¾ a), d) z ciag÷ czastkowych ¾ wynika, z·e odwzorowanie liniowe Df (x0 ) o h jości pochodnych i @f macierzy @xi (x0 ) jest róz·niczka¾ odwzorowania f w x0 : e) róz·niczka superpozycji D (g f ) (x0 ) jest z÷ oz·eniem róz·niczek D (g f ) (x0 ) = Dg (f (x0 )) Df (x0 ) : f) jez·eli f jest odwzorowaniem liniowym to Df (x0 ) = f: De…nicja 1.0.2 Dyfeomor…zmem klasy C k nazywamy odworowanie f : U ! V; U; V Rn sa otwarte, które jest bijekcja, oraz f i f 1 sa¾klasy C k : Twierdzenie 1.0.1 (O dyfeomor…źmie, inaczej tw o funkcji odwrotnej) Je·zeli f : Rn U ! Rn jest klasy C k oraz w punkcie x0 ró·zniczka Df (x0 ) jest izomor…zmem, to istnieje otoczenie U1 punktu x0 zawarte w U takie, ·ze f jU1 jest ró·znowarto´sciowe, f [U1 ] jest zbiorem otwartym oraz f : U1 ! f [U1 ] jest dyfeomeor…zmem klasy C k : Dowód na ćwiczeniach - pan Bienias 2 Rozmaitości topologiczne i róz·niczkowe, mapy i atlasy - de…nicje De…nicja 2.0.3 Rozmaito´scia¾topologiczna¾wymiaru n nazywamy przestrze´n topologiczna¾ M dla której ka·zdy punkt ma otwarte otoczenie homeomor…czne z otwartym podzbiorem w przestrzeni Rn : 5 De…nicja 2.0.4 Niech M bedzie ¾ n-wymiarowa¾ rozmaito´scia topologiczna.¾ Je·zeli jest homeomor…zmem otwartego zbioru U M na otwarty podzbiór V Rn nazywamy mapa¾ rozmaito´sci M (na zbiorze U ) a uk÷ad (U; ) nazywamy systemem [uk÷adem] lokalnych wspó÷rzednych. ¾ Mówimy te·z, ·ze jest mapa¾ na U o zbiorze parametrów V: Gdy = ( 1 ; :::; n ) ( i = pri ) to funkcje i : U ! R nazywamy funkcjami wspó÷rzednymi ¾ a system wspó÷rzednych ¾ oznaczamy (U; 1 ; :::; n ) : Je´sli dla p 2 U mamy (p) = 0 = (0; :::; 0) 2 Rn to mówimy, ·ze uk÷ad wspó÷rzednych ¾ (U; ) jest o ´srodku w p 1 (lub: jest wycentrowany w p). Homeomor…zmy postaci ; gdzie, jest mapa,¾ nazywamy parametryzacjami M: Czesto ¾ wspó÷rzedne ¾ danej mapy oznaczane sa¾ przez (x1 ; :::; xn ) ; xi = pri : Jeśli : U ! V jest mapa¾ na M oraz : V ! V1 jest homeomor…zmem, to jest 0 tez· mapa. ¾ Jeśli : U ! V jest mapa¾ oraz U U jest otwartym podzbiorem, to obciecie ¾ jU 0 jest mapa¾ na U 0 o zbiorze parametrów [U 0 ] (otwartym w Rn ). rysunki: sfera, torus, wstega ¾ Möbiusa. n Uwaga 2.0.1 Poniewa ¾ metryki kartezq ·z topologia w R jest topologia¾metryczna¾wzgledem (yi xi )2 to ka·zdy otwarty podzbiór V Rn wraz z punktem q ja´nskiej d (x; y) = zawiera kule¾ otwarta¾ K (q; r) o pewnym promieniu dodatnim r > 0: Gdy jest mapa¾ na rozmaito´sci topologicznej M wokó÷punktu p to zmniejszajac ¾ jej dziedzine¾ mo·zna otrzyma´c mape¾ której obrazem dziedziny bedzie ¾ kula otwarta o´srodku w (p) albo kostka D o´srodku w (p) i bokach o d÷ugo´sci 2a; D ( (a) ; a) = f(r1 ; :::; rn ) ; jri i (a)j < ag : Kule otwarte o ró·znych promieniach sa¾ dyfeomor…czne (tym bardziej homeomor…czne) [ : K (q1 ; r1 ) ! K (q2 ; r2 ) ; (x) = q2 + (x q1 ) rr12 ; jest dyfeomor…zmem klasy C ! ], tak·ze kostki o ró·znych bokach sa¾ dyfeomor…czne, to sk÷adajac ¾ mape¾ z odpowiednim mo·zna otrzyma´c mape¾ wycentrowana¾ w zdanym punkcie i aby obrazem dziedziny by÷a kula o ´srodku w 0 i zadanym z góry promieniu (np. 1 lub 2) lub kostka o ´srodku w 0 i bokach 2a: a przestrzenia¾Rn (pos÷ugujemy sie¾tangensem Kula o promieniu 2 jest dyfeomor…czna z ca÷¾ i arcusem tangensem - ´cwiczenie), kostka o danym boku tak·ze, zatem zawsze mo·zna otrzyma´c w otoczeniu danego punktu mape¾ dla której obrazem dziedziny bedzie ¾ ca÷a przestrze´n Rn : Prz. top. jest T1 jeśli dla dowolnych dwu punktów x 6= y istnieje otwarte otoczenie punktu x nie zawierajace ¾ y: Lemat. Rozmaitość topologiczna jest zawsze T1 : Dowód. Niech M bedzie ¾ rozmaitościa¾ topologiczna¾ i niech x; y 2 M; x 6= y: Jeśli x i y lez·a¾ w dziedzinie jednej mapy : U ! V; x; y 2 U to skoro Rn jest T2 to punkty (x) i (y) moz·na oddzielić roz÷ acznymi ¾ zbiorami otwartymi (x) 2 V1 i (y) 2 V2 w V: 1 Wtedy x 2 U1 := [V1 ] jest otwarty w M i y 2 = U1 : Jeśli x i y nie lez·a¾ w jednej mapie i : U ! V jest mapa¾ taka,¾ z·e x 2 U oraz y 2 = U to U oddziela x i y: O topologii rozmaitości topologicznej zazwyczaj zak÷ ada sie¾ wiecej ¾ niz· T1 , mianowicie z·e a) jest T 2; b) spe÷ nia drugi aksjomat przeliczalności (tzn. ma baze¾ przeliczalna). ¾ 6 Przyk÷ ad 2.0.1 ×atwo poda´c przyk÷ad rozmaito´sci topologicznej nie Hausdor¤a: Rozwa·zamy prosta¾R i jeden punkt "zdwajamy" M = (R fag) [ fa0 ; a00 g : Topologie¾ na M de…niujemy nastepuj ¾ aco: ¾ za baze¾ otocze´n punktu x 2 R fag = M fa0 ; a00 g uznajemy otwarte przedzia÷y zawierajace ¾ x; (x "; x + ") i zawarte w 0 R fag ; natomiast za baze¾ otocze´n punktu a uznajemy zbiory postaci (a "; a) [ (a; a + ")[fa0 g a za baze¾otocze´n punktu a00 zbiory (a "; a)[(a; a + ")[fa00 g : Sprawdzamy aksjomaty BP 1 3 bazy otocze´n punktów (R.Engelking BM 47, rozdzia÷1) i upewniamy sie, ¾ ·ze istnieje dok÷adnie jedna topologia na M dla której wskazane rodziny sa¾ bazami otocze´n punktów. Jasne, ·ze dla x 2 M fa0 ; a00 g otoczenie "ma÷e" U = (x "; x + ") jest homeomor…czne z otwartym podzbiorem R za pomoca¾ id : U ! U . Dla x = a0 2 M otoczenie (a "; a) [ (a; a + ") [ fa0 g jest homeomor…czne z (a "; a + ") za pomoca¾ : (y) = (a "; a) [ (a; a + ") [ fa0 g ! (a y; y 6= a0 a; y = a0 "; a + ") (analogicznie okre´slamy mape¾ wokó÷a00 ). Punktów a0 i a00 nie daje sie¾ rozdzieli´c zbiorami otwartymi. 7 WYK×AD 2, 15.XI.2011 Twierdzenie 2.0.2 Je·zeli M jest rozmaito´scia¾ topologiczna¾ T2 wówczas warunki sa¾ równowa·zne: (a) spe÷nia drugi aksjomat przeliczalno´sci (tzn. ma baze¾ przeliczalna), ¾ b) jest parazwarta, tzn. ma nastepuj ¾ ac ¾ a¾ w÷asno´s´c: w ka·zde otwarte pokrycie U = fU g 2I zbiorami otwartymi mo·zna wpisa´c podpokrycie B = fV g 2J lokalnie sko´nczone, tzn. takie, ·ze i) dla ka·zdego istnieje ; takie, ·ze V U ; oraz ka·zdy punkt p 2 M ma otwarte otoczenie U takie, ·ze card f ; V \ U 6= ?g < @0 : Na razie bez dowodu. Gdy jest mapa¾ rozmaitości M to dziedzine¾ tej mapy oznaczać bedziemy ¾ takz·e D . De…nicja 2.0.5 Niech i bed ¾ a¾mapami na rozmaito´sci M: Funkcja¾przej´scia od mapy do nazywamy homeomor…zm otwartych podzbiorów przestrzeni parametrów Rn 1 : [D \ D ] ! [D \ D ] : De…nicja S 2.0.6 Atlasem rozmaito´sci ró·zniczkowej M nazywamy rodzine¾ map f g 2I D = M: Je´sli dziedzina¾mapy jest zbiór U to atlas ten zapisujemy tak·ze taka,¾ ·ze w postaci uk÷adu systemów wspó÷rzednych ¾ f(U ; )g 2I : De…nicja 2.0.7 Mówimy, ·ze atlas A = f(U ; )g rozmaito´sci topologicznej M jest klasy 1 C k ; k 2 N[ f1g[f!g ; je·zeli dla ka·zdego ; funkcje przej´scia sa¾klasy C k : Niech A bedzie ¾ dowolnym atlasem klasy C k na rozmaito´sci topologicznej M i niech (U; ) bedzie ¾ dowolnym systemem wspó÷rzednych ¾ na M: Mówimy, ·ze mapa (system wspó÷rzednych ¾ (U; ) ) jest zgodny klasy C k z atlasem A je·zeli A[ f(U; )g jest te·z atlasem klasy C k ; tzn. 1 1 gdy oraz a sa¾klasy C k : Atlas A nazywamy zupe÷nym (inaczej maksymalnym), je·zeli zawiera wszystkie mo·zliwe systemy wspó÷rzednych ¾ na M zgodne klasy C k z A. Jeśli : U ! V jest mapa¾ z atlasu A klasy C k i : V ! V1 jest dowolnym dyfeomor…zmem klasy C k to z÷ oz·enie jest mapa¾ zgodna¾ z atlasem A: Obciecie ¾ do otwartego 0 podzbioru jU jest tez· mapa zgodna¾ z atlasem A: Wynika stad, ¾ z·e w otoczeniu kaz·dego punktu istnieje mapa zgodna z danym atlasem A dla której obrazem dziedziny jest kula K (0; r) o z góry ustalonym promieniu r (np. r = 1 lub r = 2) a takz·e mapa zgodna z atlasem A dla której obrazem dziedziny jest kostka D (0; a) lub ca÷ a przestrzeń Rn : Kaz·dy atlas A klasy C k moz·na jednoznacznie rozszerzyć do atlasu zupe÷ nego: gdy A jest danym atlasem to A0 = (U; ) ; 1 2 C k oraz 1 a 2 C k ; dla kaz·dego jest atlasem zupe÷ nym. Dwa atlasy A1 i A2 klasy C k nazywamy zgodne klasy C k jeśli ich suma A1 [ A2 jest atlasem zgodnym klasy C k : Jeśli uzupelnić atlas A1 do atlasu zupe÷ nego A0 to A0 zawierać musi takz·e ten drugi atlas. De…nicja 2.0.8 Rozmaito´scia¾ró·zniczkowa¾klasy C k nazywamy pare¾ (M; A) gdzie M jest rozmaito´scia¾topologiczna¾a A jest atlasem maksymalnym klasy C k na M: 8 ×÷ atwo z wcześniejszych obserwacji zauwaz·yć prawdziwośc lematu: Lemat 2.0.1 Na ka·zdej rozmaito´sci ró·zniczkowej klasy C k istnieje atlas z÷o·zony z takich map których obrazem dziedzin sa¾ kule K (0; r) o ustalonym z góry promieniu (np. 1 lub 2) lub kostki o ´srodku w 0 i boku 2a; a tak·ze atlas z÷o·zony z takich map których obrazem dziedzin jest ca÷a przestrze´n Rn : Jest twierdzenie którego tu nie bedziemy ¾ dowodzić, z·e z kaz·dego atlasu A klasy C 1 moz·na wybrać podatlas klasy C 1 (na ogó÷nie moz·na wybrać podatlasu klasy C ! ). Sa¾tez· przyk÷ ady rozmaitości topologicznych (a wiec ¾ z atlasem A klasy C 0 - homeomor…zmów) na której nie istnieje z·aden atlas klasy C 1 (Kervaire 1960 - pierwszy przyk÷ ad w wymiarze 1 10). Rozmaitości klasy C sa¾ nazywane g÷ adkimi. Nie jest prawda¾z·e atlas maksymalny klasy C 1 jest jedyny. Moga¾sie¾ zdarzyć na danej rozmaitości róz·ne maksymalne atlasy klasy C 1 ; tzn. moga¾ istnieć atlasy maksymalne A i B takie, z·e funkcje przejścia miedzy ¾ mapami z róz·nych atlasów nie sa¾ róz·niczkowalne. Przyk÷ ad 2.0.2 Rozwa·zmy R z normalna¾ topologia.¾ Okre´slamy dwie mapy globalnie okre´slone : R!R 1 (x) = x 3 2 (x) = x : 1; 2 Oba odwzorowania sa¾ homeomor…zmami. Rozwa·zmy atlas A1 = f 1 g oraz A2 = f 2 g : Ka·zdy z nich rozszerzamy do atlasu maksymalnego otrzymujac ¾ dwie struktury rozmaito´sci ró·zniczkowych na R: Pokaza´c, ·ze atlasy te nie sa¾C 1 zgodne. UWAGA: za jakiś czas zapoznamy sie¾ z pojeciem odwzorowania g÷ adkiego (czy innej k klasy C ) miedzy ¾ rozmaitosciami i latwo zauwaz·ymy, z·e obie rozmaitości 1-wymiarowe (R; A1 ) i (R; A2 ) sa¾ dyfeomor…czne. Nie jest prawda,¾ z·e zawsze atlasy maksymalne na danej rozmaitości tworza¾ rozmaitości róz·niczkowe dyfeomor…czne. Jest to znacznie trudniejsze zagadnienie z topologii róz·niczkowej. Np. na sferze S 7 istnieje az· 28 róz·nych niedyfeomor…cznych maksymalnych atlasów ! Jest twierdzenie mówiace, ¾ z·e dla wymiaru < 4 atlas maksymalny klasy C 1 istnieje i z dok÷ adnościa¾ do dyfeomor…zmu jest dok÷ adnie jeden. Na rozmaitościach zwartych wymiaru > 4 istnieje conajwyz·ej skończona ich ilość takich atlasów. Wymiar 4 jest wyjatkiem. ¾ Moz·e być nieprzeliczalna ilość róz·nych atlasów maksymalnych niedyfeomor…cznych. Na Rn dla n 6= 4 jest tylko jeden atlas maksymalny, a dla R4 jest ich nieprzeliczalnie wiele (Donaldson). Nazywane sa¾ egzotycznymi. 3 Elementarne przyk÷ ady Przyk÷ ad 3.0.3 Przestrze´n Rn ; jej otwarte podzbiory U Rn ; oraz ich sumy roz÷¾ aczne sa¾przyk÷adami n-wymiarowych rozmaito´sci topologicznych. 9 Przyk÷ ad 3.0.4 Gdy n = 0; rozmaito´s´c nazywa sie¾ dyskretna i jest to suma roz÷¾ acznych 1-punktowych przestrzeni topologicznych, czyli inaczej jest to dowolna przestrze´n topologiczna dyskretna (ka·zdy podzbiór jest otwarty). Przyk÷ ad 3.0.5 Ka·zda n-rozmaito´s´c topologiczna z atlasem o jednej mapie A = f g ; : M ! U Rn (mapa globalna) czyli rozmaito´s´c homeomor…czna z U Rn ) jest rozmaito´scia klasy C ! bo jedna mapa jest oczywi´scie C ! zgodna i wystarcza ten atlas uzupe÷ni´c do maksymalnego. Konkretny przyk÷ad: je´sli f : U ! Rm jest dowolna¾ funkcja¾ ciag÷¾ ¾ a to jej wykres M = f(x; f (x)) ; x 2 U g U Rm z topologia¾indukowana¾z U Rm jest homeomor…czny z U ; parametryzacja¾globalna jest : M ! U; (x; f (x)) 7 ! x: 1 Istotnie, : U ! M; x 7 ! (x; f (x)) ; jest ciag÷ ¾ a z za÷o·zenia ciag÷ ¾ o´sci ; za´s to po m prostu obciecie ¾ do M rzutu pr : U R ! U (rzut jest ciag÷ ¾ y - nawet klasy C 1 - wiec ¾ jego obciecie ¾ jest ciag÷ ¾ e). M ma wiec ¾ strukture¾ rozmaito´sci ró·zniczkowej ka·zdej klasy, cho´c je·zeli f nie jest ró·zniczkowalne to M nie bedzie ¾ tzw. hiperpowierzchnia¾ ró·zniczkowalna¾ w/g de…nicji ni·zej. Przyk÷ ad 3.0.6 (na ´cw.) Pokaza´c, ·ze zwarta rozmaito´s´c topologiczna M nie ma atlasu z÷o·zonego z jednej mapy. Przyk÷ ad 3.0.7 Ka·zda sko´ncznie wymiarowa przestrze´n wektorowa V ma strukture¾ rozmaito´sci klasy C 1 : Wybierajac ¾ baze¾ fei gni=1 mo·zemy okre´sli´c bijekcje¾ : V ! Rn ; ( ri ei ) = (r1 ; :::; rn ) : Wprowadzamy w V topologie¾ dla której jest to homeomor…zm. Topologia nie zale·zy od wyboru bazy (proste ´cwiczenie). Atlas z÷o·zony z jednej mapy rozszerzamy do atlasu maksymalnego danej z góry klasy k 2 N[ f1:!g : Przyk÷ ad 3.0.8 Zamieniajac ¾ formalnie w de…nicji rozmaito´sci n-wymiarowej ró·zniczkowalnej przestrze´n parametrów z Rn na Cn i ró·zniczkowalno´s´c w sensie rzeczywistym na rózniczkowalno´s´c w sensie zespolonym dochodzimy do pojecia ¾ rozmaito´sci holomor…cznej wymiaru zespolonego n: Poniewa·z Cn = R2n (jako przestrze´n wektorowa) to wymiar rzeczywisty Cn jest 2n: Zatem holomor…czna rozmaito´s´c wymiaru zespolonego n jest rozmaito´scia¾ró·zniczkowa¾klasy C ! wymiaru 2n: Przyk÷ ad 3.0.9 Pokaza´c, ·ze podzbiór K = f(x; y) 2 R2 ; xy = 0g z topologia¾indukowana¾ z R2 nie jest rozmaito´scia¾topologiczna¾1-wymiarowa.¾ (UWAGA: nie jest te·z rozmaito´scia¾ topologiczna 2-wymiarowa,¾ z jakiego tw. trzeba skorzysta´c? hint J.Mioduszewski, Wyk÷ady z topologii , topologia przestrzeni euklidesowych, Katowice 1994, wyd. Uniw. ´Slaskiego) ¾ Przyk÷ ad 3.0.10 (na ´cwiczenia) Sfera S n Rn+1 ; S n = (x1 ; :::; xn+1 ) ; 10 x2i = 1 : Zbudowa´c dwa atlasy (a) za pomoca¾ wykresów funkcji: gdy (a1 ; ::; an+1 ) 2 S n to istnieje ¾ xi0 dostajemy w indeks i0 taki, ·ze ai0 0: Rozwiazuj ¾ ac ¾ równanie x2i = 1 wzgledem n otoczeniu (a1 ; ::^{:::; an+1 ) 2 R dwa rozwiazania ¾ x2i0 = 1 xi0 = q 2 i6=i0 xi 1 2 i6=i0 xi ; znak zale·zy od znaku xi0 : W otoczeniu (a1 ; ::^{:::; an ) (w jakim najwiekszym ¾ mo·zliwym otoczeniu?) sfera jest wykresem tej funkcji i w/g przyk÷adu pierwszego wy·zej de…niujemy parametryzacje (i mape) ¾ a zatem atlas A1 . Sprawdzi´c, ·ze jest to atlas klasy C 1 : Z ilu conajmniej map on sie¾ musi sk÷ada´c? (b) za pomoca¾ rzutów stereogra…cznych z dwu biegunów pó÷nocnego i po÷udniowego. Otrzymamy atlas z÷o·zony z dwu map A2 : (c) sprawdzi´c, ·ze otrzymane dwa atlasy A1 i A2 sa¾C 1 zgodne (de…niuja¾wiec ¾ te¾ sama¾ 1 romaito´s´c ró·zniczkowa¾klasy C ). Przyk÷ ad 3.0.11 Okrag. ¾ Jeszcze jeden atlas. Rozwa·zmy S 1 R2 = C i funkcje f : R ! S 1 ; f ( ) = ei = (cos ; sin ) : Ograniczajac ¾ sie¾ do przedzia÷ów otwartych o d÷ugo´sci 2 otrzymujmy bijekcje takiego przedzia÷u na okrag ¾ pozbawiony jednego punktu. Pokaza´c, ·ze atlas A3 z÷o·zony z odwzorowa´n odwrotnych do tak okre´slonych obcie¾´c (f j (a; a + 2 )) 1 jest klasy C 1 : Sprawdzi´c, ·ze jes to atlas C 1 -zgodny z atlasem A1 z poprzedniego zadania (dla n = 1). 11 WYK×AD 3, 22.XI.2011 Przyk÷ ad 3.0.12 Produkt rozmaito´sci ró·zniczkowych. Niech M1 i M2 beda ¾ dwoma rozk maito´sciami ró·zniczkowymi wymiaru n1 i n2 odpowiednio klasy C o atlasach maksymalnych A1 i A2 : Tworzymy produkt przestrzeni topologicznych M = M1 M2 (z jakich zbiorów sk÷ada sie¾ ta topologia?) Dla dowolnych map 1 i 2 na M1 i M2 odpowiednio de…niujemy odwzorowanie 1 2 :D 1 D 2 ! Rn1 +n2 ; (x; y) = ( 1 (x) ; 2 (y)) : Jest to homeomor…zm otwartego w produkcie M1 M2 podzbioru D 1 D 2 M1 M2 Rn2 = Rn1 +n2 : Pokaza´c, ·ze atlas na zbiór otwarty 1 D 1 Rn1 2 D 2 k f 1 niamy go do maksymalnego otrzymujac ¾ 2; 1 2 A1 ; 2 2 A2 g jest klasy C : Uzupe÷ produkt rozmaito´sci. Przyk÷ ad 3.0.13 W szczególno´sci mamy tzw. n-wymiarowy torus Tn = S 1 ::: S 1: Przyk÷ ad 3.0.14 Pe÷na grupa liniowa GL (n) macierzy n n nieosobliwych tworzy n2 wymiarowa¾ rozmaito´s´c ró·zniczkowa¾ klasy C ! o jednej mapie. Poda´c mape¾ (zauwa·zy´c, ·ze 2 obrazem jest otwarty podzbiór w Rn : 4 Sklejanie rozmaitości Przypomnijmy pojecie ¾ topologii ilorazowej. Niech (X; ) bedzie ¾ przestrzenia¾topologiczna¾ i R X X dowolna¾ relacja¾ równowaz·ności na X: Niech X=R bedzie ¾ zbiorem klas abstrakcji relacji R i oznaczmy przez odwzorowanie rzutowania : X ! X=R ; (x) = [x] : Rozwaz·my na przestrzeni ilorazowej X=R rodzine¾ zbiorów R := A X=R ; 1 [A] 2 : Wówczas rodzina R jest topologia¾ na przestrzeni ilorazowej X=R , nazywamy ja¾ ilorazowa¾ i rzutowanie jest wówczas ciag÷ ¾ e. Poza tym mamy taka¾ charakteryzacje¾ topologii ilorazowej: jest to najsilniejsza topologia w zbiorze X=R dla której rzutowanie jest ciag÷ ¾ e. W÷ asności topologii ilorazowej: (a) ćwiczenia. Niech Y bedzie ¾ dowolna¾ przestrzenia¾ topologiczna¾ i f : X=R ! Y dowolna¾ funkcja. Wtedy f jest ciag÷ ¾ a gddy f jest ciag÷ ¾ a. (b) ćwiczenia. Cieciem ¾ rzutowania nazywamy funkcje¾ s : X=R ! X taka, ¾ z·e s = id; tzn. gdy [s (a)] = a (inaczej s (a) 2 a; s (a) jest jakimś reprezentantem klasy a) dla kaz·dego a 2 X=R : Jeśli istnieje ciag÷ ¾ e ciecie ¾ s wówczas dowolna funkcja g : Y ! X=R jest ciag÷ ¾ a¾ gddy s g jest ciag÷ a. (c) ćwiczenia. Niech U X bedzie ¾ podzbiorem nasyconym (czyli zawierajacym ¾ ca÷ e klasy abstrakcji które przecinaja¾ sie¾ z U ) z topologia¾ indukowana¾ z X; jU = fU \ V ; V 2 g : Po÷ óz·my U 0 = f[x] ; x 2 U g X=R : 12 Skoro U 0 jest podzbiorem X=R to posiada topologie¾ indukowana¾ R jU 0 = fU 0 \ W ; W 2 R g : Z drugiej strony moz·emy na U rozwaz·ać relacje¾ równowaz·ności RU = R \ (U U ) a dalej przestrzeń ilorazowa¾ U=RU ze swoja¾ topologia¾ ilorazowa. ¾ Oczy0 0 wiście U = U=RU - jako zbiory. Sprawdzić, czy obie topologie na U , indukowana i ilorazowa, pokrywaja¾ sie. ¾ [nie zawsze, ale tak jest gdy [U ] jest otwarty lub domkniety ¾ w X=R - Engelking, BM 47, rozdzia÷2, Tw 7] Rozwaz·my dwie roz÷ aczne ¾ rozmaitości Hausdor¤a M1 i M2 tego samego wymiaru n i wybierzmy na nich dwie mapy odwzorowujace ¾ swoje dziedziny na Rn (wystarczy z·adać ¾ aby obrazami by÷ y kule K (0; 2 + ") dla pewnych dodatnich "). (U1 ; (U2 ; 1 1) 2) [U1 ] = na na 2 M1 M2 [U2 ] : i Wycinamy z M1 podzbiór zwarty K1 = 1 1 K 0; 21 i analogicznie wycinamy z M2 h i 1 1 podzbiór zwarty K2 = 2 K 0; 2 : Zwarte podzbiory przestrzeni Hausdor¤a sa¾ domkniete, ¾ wiec ¾ M1 K1 jest otwartym podzbiorem M1 oraz M2 K2 - otwartym w M2 : Tworzymy sum¾ e tych rozmaitości h M = (M1 K1 ) [ (M2 K2 ) : Rozwaz·amy pierścień P 0; 21 ; 2 = V2 U2 określone nastepuj ¾ aco ¾ x 2 Rn ; V1 = 1 V2 = 2 1 P 1 P 1 2 < jjxjj < 2 oraz podzbiory V1 U1 i 1 0; ; 2 2 1 0; ; 2 2 "Wsuwamy" jedna¾ szyjk¾ e w druga¾ i sklejamy za pomoca¾ odwzorowania które "przestawi" kolejność brzegów pierścieni, dok÷ adniej weźmy dyfeomomor…zm : P 0; 21 ; 2 ! 1 P 0; 2 ; 2 określony wzorem x : (x) = jjxjj2 (brzeg o promieniu 12 przechodzi na drugi brzeg o promieniu 2 i odwrotnie). Sklejanie polega na utoz·samieniu V1 i V2 za pomoca¾ bijekcji F : V1 ! V2 F = 21 1: Dok÷ adniej opisujemy to za pomoca¾topologii ilorazowej: w zbiór M wprowadzamy relacje¾ równowaz·ności R nastepuj ¾ aco: ¾ x y gddy (a) x = y; lub x 2 V1 ; y 2 V2 i y = F (x) ; lub odwrotnie, y 2 V1 i x 2 V2 oraz x = F (y) : De…niujemy przestrzen ilorazowa¾ M=R z topologia¾ ilorazowa¾ która¾ oznaczamy 13 M1 #M2 (oznaczenie jest sensowne, bo okaz·e sie, ¾ z·e otrzymane rozmaitości ilorazowe "nie zalez·a" ¾ od wyboru owych map sklejajacych, ¾ tzn. dok÷ adniej mówiac ¾ dla dwu wyborów takich map otrzymane rozmaitości bed ¾ a¾dyfeomor…czne w sensie jaki opiszemy niebawem. Twierdzenie 4.0.3 M=R jest rozmaito´scia¾ topologiczna.¾ Je·zeli wychodzimy od atlasów klasy C k to dostaniemy rozmaito´s´c klasy C k : Dowód. Pokaz·emy, z·e kaz·dy punkt [p] 2 M=R ma otwarte otoczenie homeomor…czne z otwartym podzbiorem w Rn : Otrzymana mapa bedzie ¾ "z dok÷ adnościa¾ do sklejeń punktów" obcieciem ¾ map z zadanych atlasów (tak, z·e klasa g÷ adkości pozostanie hjaka by÷ a). h i i 1 1 (a) Rozwaz·my [p] 2 M dla p 2 M1 K (0; 2) [ M2 K (0; 2) := 1 2 jest to zbiór otwarty w M i oczywiście wysycony klasami abstrakcji (bo dla punktów z tego zbioru klasy sa¾ jedno-elementowe, nic sie¾ tam nie skleja÷ o). Zbiór moz·na traktować jak podzbiór otwarty przestrzeni ilorazowej M=R : Topologia indukowana na z M=R - zgodnie z w÷ asnościa¾ (c) topologii ilorazowej - jest topologia¾ ilorazowa¾ - a z·e sie¾ nic nie io h skleja÷ 1 K (0; 2) : to jest to po prostu topologia indukowna z M: Za÷ óz·my, z·e p 2 M1 1 Wybieramy h teraz idowolnie mape¾ w otoczeniu p (z zadanego atlasu) o dziedzinie zawartej 1 M1 K (0; 2) ; mapa ta jest homeomor…zmem z topologii ilorazowej (bo w otoczeniu 1 p jak wyz·ej pokazaliśmy topologia z M=R i z M pokrywaja¾ sie. h i h¾ i 1 1 1 1 (b) p 2 U1 K 0; K 0; (analogicznie dla p 2 U ). Po wysyceniu 2 1 2 2 2 otrzymamy zbiór " #! 1 1 U := U1 K 0; [ V2 M: 1 2 który jest otwarty w M (oba jego sk÷ adniki sa¾ otwarte w U i w M ). Niech U 0 M=R bedzie ¾ zbiorem klas abstrakcji elementów z U; poniewaz· #) ## " " ( " 1 1 1 1 K 0; = 1 U1 K 0; : U 0 = f[x] ; x 2 U g = [x] ; x 2 U1 1 1 2 2 to U 0 jest otwarty w M=R : Z c) topologia na U 0 indukowana z M=R pokrywa sie¾ a topologia¾ ilorazowa¾ w przestrzeni U=RU = U 0 dla relacji RU w U która jest przeci eciem ¾ i relacji R ze h 1 zbiorem U U; a wiec ¾ która utoz·samia punkty z V1 U1 K 0; 12 z punktami 1 z V2 przez F . Niech U : U ! U 0 bedzie ¾ rzutowaniem. Za pomoca¾ mapy 1 ; U1 ! n K (0; 2 + ") R de…niujemy odwzorowanie ~ : U 0 ! K (0; 2 + ") 1 K 0; 1 2 =: W h i 1 1 K 0; : Zauwaz·ymy, z·e jest to homeomorwzorem ~ 1 ([x]) = 1 (x) dla x 2 U1 1 2 …zm. ciag÷ ość ~ 1 : U 0 ! W . Weźmy z÷ oz·enie ~ U U! U 0 !1 W 14 ~ 1 U (x) = 1 = ( 1 1 h i 1 K 0; 1 2 x 2 V2 2 (x) ; 1 x 2 U1 1 (x) ; 1 (x)) = 1 1 (F 1 1 2 ), 0 ~ ciag÷ ¾ ość odwrotnego 1 : W ! U . Znajdziemy ciag÷ ¾ e ciecie ¾ s1 : U 0 = U=RU ! U: Określamy je wzorem " # 1 1 s1 ([x]) = x dla x 2 U1 K 0; : 1 2 jest ono ciag÷ ¾ e( 1 F 1 1 2 = 1 1 1 Wzór jest dobry bo klasy [x] wyczerpuj a¾ wszystkie z U 0 : Zbadamy jego ciag÷ ¾ ość: h i 1 1 K 0; 2 a ten zbiór jest otwarty w U: Zatem otóz· jego obraz jest równy U1 1 1 wystarcza h zobaczyć, i z·e s1 [B] jest otwarty dla otwartych podzbiorów B zawartych w 1 U1 K 0; 12 : Z de…nicji topologii ilorazowej zbiór s1 1 [B] U=RU jest otwarty gdy 1 1 U s1 1 [B] U jest otwarty, ale 1 U s1 1 [B] to suma klas abstrakcji punktów z s1 1 [B] t.j. 1 U s1 1 [B] = B [ F [B] = B [ F [B \ V1 ] ~ a to jest zbiór otwarty. Skoro z÷ oz·enie s1 s1 ~ 1 1 1 1 : W ! U jest dane wzorem 1 (w) = s1 1 (w) = 1 1 (w) to jest ciag÷ ¾ e. WYK×AD 4, 29.XI.2011 5 Hiperpowierzchnie De…nicja 5.0.9 Macierza¾Jacobiego odwzorowania f : Rn U ! Rm ; w punkcie x 2 U nazywamy macierz pochodnych czastkowych ¾ wspó÷rzednych ¾ odwzorowania f w punkcie x (Jf )x = @f i (x) @xj : i m;j n i @f (dla skrótu bedziemy ¾ dalej pochodne czastkowe ¾ oznacza´c tak·ze inaczej @x = fjji ). j n m Rzedem ¾ odwzorowania f : R U ! R ; w punkcie x 2 U nazywamy rzad ¾ macierzy Jacobiego odwzorowania w punkcie x (rank f )x ; = rank fjji (x) i m;j k : Z liniowej algebry wiemy, z·e jest to wymiar obrazu odwzorowania liniowego o macierzy (Jf )x (czyli wymiar obrazu róz·niczki [mocnej] (Df )x : Rn ! Rm . Z algebry liniowej dalej widzimy, z·e warunki sa¾ równowaz·ne 1) (rank f )x = n (zatem w szczególności musi być n m), 15 2) dim Im (Df )x = n; 3) (Df )x jest monomor…zmem, czyli ker (Df )x = 0: Gdy n m to odwzorowanie f : Rn U ! Rm które jest w kaz·dym punkcie x maksymalnego rzedu ¾ (rank f )x = n nazywamy regularnym. Z twierdzenia o dyfeomor…źmie jest Wniosek 5.0.1 Odwzorowanie f : Rn U ! Rn ; (n = m) regularne i globalnie ró·znowarto´sciowe jest homeomor…zmem na obraz (jest dyfeomor…zmem tej klasy co ). Przyk÷ ad 5.0.15 Odwzorowanie f : Rn U ! Rm ; U Rn ; n < m; regularne i globalnie ró·znowarto´sciowe nie musi by´c homeomor…zmem na obraz! (odwrotne mo·ze nie by´c ciag÷e!). We´zmy przyk÷ad "petelka". ¾ Twierdzenie 5.0.4 (Tw o odwzorowaniu regularnym) Je·zeli f : Rn U ! Rm ; n < m; jest odwzorowaniem regularnym, to ka·zdy punkt x 2 U ma otoczenie G takie, ·ze f jG : G ! f [G] jest homeomor…zmem na obraz f [G] Rm z topologia¾ indukowana¾ z m R : i h Dowód. (Analiza IV) Niech w punkcie x 2 U rank fjji (x) = n: Wtedy istnieje i m;j n rosnacy ¾ ciag ¾ indeksów I = (i1 ; :::; in ) ; 1 i1 < ::: < in jest nieosobliwa. Wybierzmy wspó÷ rzedne ¾ m taki, z·e macierz fjis (x) j;s f I = f i1 ; ::; f in : Z tw o dyfeomor…źmie f I jest dyfeomor…zmem pewnego otoczenia G punktu x na otoczenie G0 = f I [G] punktu f I (x) : Niech I : Rm ! Rn bedzie ¾ rzutem na osie I = (i1 ; :::; in ) : m Skoro f jest ciag÷ ¾ e to fjG : G ! R tez· jest ciag÷ ¾ e, wiec ¾ fjG : G ! f [G] jest tez· ciag÷ ¾ e m gdzie na f [G] rozwaz·amy topologie¾ indukowana¾ z R : Z diagramu fjG G (zobaczyć przemienność !) fjG topologie¾ indukowana¾ z Rm : 1 f [G] % # Ijf [G] I fjG ! G = I = fjG 1 I Uwaga 5.0.2 Z dowodu widzimy tak·ze, ·ze fjG (5.0.1) 0 I jf [G] fjG jest ciag÷ ¾ e gdzie na f [G] rozwaz·amy 1 jest rzutem na osie I = (i1 ; :::; in ) : De…nicja 5.0.10 (1) Niepusty podzbiór M Rm nazywamy n-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ topologiczna¾ je·zeli wraz z topologia¾ indukowana¾ jest rozmaito´scia¾ topologiczna¾ (tzn. je·zeli ka·zdy punkt p 2 M ma otoczenie U otwarte w M które jest homeomor…czne z otwartym podzbiorem Rn : Ka·zdy taki homeomor…zm : U ! V; U M; V Rn nazywamy mapa¾hiperpowierzchnin M . Odwrotny do niego 1 : V ! U nazywa sie¾ parametryzacja¾M: (2) Niepusty podzbiór M Rm nazywamy n-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ kl. C k je·zeli ka·zdy punkt p 2 M ma mape¾ : M U !V Rn wokó÷p dla której parame1 tryzacja : V ! U M Rm jest ró·zniczkowalna kl. C k i jest regularna. 16 Z uwagi przed de…nicja¾ mamy natychmiastowy wniosek: Twierdzenie 5.0.5 Niech M bedzie ¾ n wym. podrozmaito´scia¾kl. C k w Rm : Wtedy ka·zdy punkt p 2 M ma otoczenie U w M na którym istnieje mapa która jest rzutowaniem na pewne osie, = IjU . Otoczenie to jest wykresem pewnej funkcji n zmiennych. Dowód. Dla mapy bierzemy parametryzacje f = 1 i przy oznaczeniach j/w mapa¾ w otoczeniu danego punktu jest I jf [G] : f [G] ! G0 : Po odwróceniu odwzorowanie 1 g = I jf [G] = (g 1 ; :::; g m ) ma wspó÷ rzedne ¾ g i o numerach innych niz· w ciagu ¾ I = (i1 ; :::; in ) które sa¾ funkcjami zmiennych (xi1 ; ::; xin ) ; jasne tez· z·e g is (xi1 ; ::; xin ) = xis : Przyk÷ ad n = 2; m = 3: M jest lokalnie wykresem funkcji f (x; y) lub f (x; z) lub f (y; z) : Przyk÷ ad, n = 1; m = 3; M jest lokalnie wykresem funkcji (x (z) ; y (z)) lub (y (x) ; z (x)) lub (x (y) ; z (y)) : Jez·eli juz· wiemy, z·e M jest hiperpowierzchnia¾to ÷ atwiej sprawdzić aksjomaty na parametryzacje: Stwierdzenie 5.0.1 Niech M bedzie ¾ hiperpowierzchnia¾ n-wymiarowa¾ kl. Ck w przestrzeni Rm : Ka·zde odwzorowanie f : Rn ! Rm regularne i ró·znowarto´sciowe takie, ·ze f [ ] M jest jej parametryzacja.¾ Dowód. Brakuje tylko otwartości f [ ] w M i ciag÷ ¾ ości odwrotnego f 1 : Ustalmy x 2 i p = f (x) : Wokó÷p istnieje mapa : U ! V która jest rzutowaniem na pewne osie I; = IjU : Poniewaz· na M rozwaz·amy topologie¾ indukowana¾ z Rm to f : ! M jest ciag÷ ¾ e. Zatem G := f 1 [U ] jest otwarty i zawiera x: Weźmy f I = I f: Poniewaz· mapa I = IjU jest homeomor…zmem to sk÷ adajac ¾ fjG = IjU fjG z lewej strony z 1 dostajemy równość I fjG = 1 fjG ; skad ¾ 1 (Df )x = D f I (x) I D fjG x : Poniewaz· róz·niczka (Df )x jest monomor…zmem, to z tej równości wynika natychmiast I to, z·e róz·niczka D fjG x jest takz·e monomor…zmem co pociaga ¾ za soba¾ (wobec równości wymiarów) jej izomor…czność. Do f I i punktu x moz·emy zatem zastosować twierdzenie o dyfeomor…źmie i znaleźć otoczenie x 2 G0 G i f I (x) 2 V 0 V takie, z·e f I : 1 0 0 n G ! V jest dyfeomor…zmem. Poniewaz· parametryzacja :R V !U M jest 1 0 0 homeomor…zmem to U := [V ] jest otwarty w U a wiec ¾ i w M: Ale U0 = 1 [V 0 ] = 1 f I [G0 ] = f [G0 ] f [ ]: Dowodzi to otwartości zbioru f [ ] (kaz·dy jego punkt ma otoczenie otwarte w nim 1 zawarte). Wreszcie, skoro f = f I na f 1 [U ] to tym bardziej na G0 wiec ¾ I fjU10 = fjG 0 1 jU 0 . : Dowodzi to ciag÷ ¾ ości f 17 1 na U 0 a z dowolności p ciag÷ ¾ ości f 1 : Ćwiczenie 5.0.1 Pokaza´c, ·ze odwzorowanie f : R 2 ! R3 dane wzorami 4u 4v 4 u2 v 2 ; ; 4 + u2 + v 2 4 + u2 + v 2 4 + u 2 + v 2 f (u; v) = jest parametryzacja¾sfery S 2 : De…nicja 5.0.11 Niech M bedzie ¾ hiperpowierzchnia¾ k-wymiarowa¾ kl. C r w przestrzeni Rm i niech 1 : U ! M i 2 : V ! M bed ¾ a¾dwoma parametryzacjami w otoczenieu punktu p 2 M (tzn. p 2 W := 1 [U ] \ 2 [V ] M ). Funkcja¾ przej´scia od 1 do 2 (inaczej zmiana¾zmiennych) nazywamy odwzorowanie = 1 2 1 : 1 1 [W ] ! 1 2 (Dla map x i y otoczenia punktu p funkcja przej´scia y 1 [Dx \ Dy ] ) 18 [W ] : = y x 1 : x 1 [Dx \ Dy ] ! WYK×AD 5, 7.XII. 2011 Twierdzenie 5.0.6 Niech M bedzie ¾ hiperpowierzchnia¾n-wymiarowa¾kl. C k w przestrzeni m R : Funkcja przej´scia dla dwu dowolnych map klasy C k jest dyfeomeor…zmem C k (tej samej co klasa g÷adko´sci M ). Dowód. Niech 1 : M U1 ! V1 Rn i 2 : M U2 ! V2 klasy C k takimi, z·e U1 \ U2 6= ?: Oczywiście odwzorowanie = 1 2 1 : 1 [U1 \ U2 ] ! 2 Rn beda ¾ dwoma mapami [U1 \ U2 ] jako z÷ oz·enie dwu homeomor…zmów jest homeomor…zmem. Wystarczy pokazać g÷ adkość 1 (z symetrii za÷ oz·eń oznaczać to bedzie ¾ takz·e g÷ adkość odwrotnego, bo = 1 2 1 ). adkość Weźmy dowolnie punkt x2 1 [U1 \ U2 ] i niech y = (x) = 2 1 1 (x) : Pokaz·emy g÷ w otoczeniu punktu x: Z regularności parametryzacji 2 1 wynika, z·e istnieja¾ indeksy I 1 I = (i1 ; :::; ik ), 1 i1 < ::: < ik m takie, z·e 2 1 := I 2 jest dyfeomor…zmem 1 I otoczenia punktu G punktu y na pewien zbiór otwarty w Rn ; : G ! : 2 jG Oznaczmy odwrotny do niego dyfeomor…zm przez : ! G; wtedy w otoczeniu punktu p = 2 1 (y) mamy równość I 2 = skad ¾ w otoczeniu punktu x mamy = 1 2 1 I = a to jest g÷ adkie, co dowodzi g÷ adkości 1 = I 1 na otoczeniu punktu x: Wniosek 5.0.1 Hiperpowierzchnia n-wymiarowa klasy C k w Rm jest w naturalny sposób rozmaito´scia¾ró·zniczkowa¾klasy C k (wszystkie mapy klasy C k tworza¾atlas klasy C k ). Zadanie dla m÷ odych …zyków (aby wzmocnili si÷ y a analizy wielu zmiennych). Twierdzenie 5.0.7 (O funkcji uwik÷ anej) Korzystajac ¾ z twierdzenia o dyfeomorp …´zmie udowodni´c twierdzenie o funkcji Rq ! Rp jest funkcja¾ h uwik÷ ianej: je·zeli f : R klasy C k taka,¾ ·ze f (a; b) = 0 i det fjji (a; b) 6= 0 {dziedzina f mo·ze by´c mniejsza i;j p otoczenie punktu (a; b))} to istnieje otoczenie a 2 V Rp i otoczenie b 2 W Rq takie, ·ze je·zeli w 2 W to istnieje jedyny punkt v (w) 2 V dla którego f (v (w) ; w) = 0: Funkcja W ! V okre´slona wzorem w 7 ! v (w) jest klasy C k : Jako zastosowanie rozwiazać ¾ zadanie: Ćwiczenie 5.0.2 a) Korzystajac ¾ wy÷¾ acznie z tw. o funkcji uwik÷anej pokaza´c, ·ze zbiór n o 2 T = (x; y; z) ; x2 + y 2 + z 2 + 3 = 16 x2 + z 2 R3 jest 2-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾klasy C 1 : b) Pokaza´c, ·ze jest to powierzchnia obrotowa powsta÷a przez obrót okregu ¾ (y 1 wokó÷osi OZ (jest to wiec ¾ torus). c) Znale´z´c atlas z÷o·zony z trzech map. 2)2 +z 2 = Ćwiczenie 5.0.3 Niech p (t) = (y (t) ; z (t)) bedzie ¾ funkcja¾ [przebiegiem] klasy C 1 w R2 (o zmiennych (y; z)) ró·znowarto´sciowym i takim, ·ze y (t) > 0: Pokaza´c, ·ze po obrocie wokó÷osi OZ otrzymamy powierzchnie¾ klasy C 1 : Znale´z´c atlas z÷o·zony z dwu map. 19 6 Odwzorowania g÷ adkie miedzy ¾ rozmaitościami De…nicja 6.0.12 Odwzorowaniem klasy C k z rozmaito´sci ró·zniczkowej M klasy C k o atlasie A w rozmaito´s´c N klasy C k o atlasie B mazywamy funkcje F : M ! N taka,¾ ·ze dla ka·zdego punktu p 2 M istnieje mapa 2 A i mapa 2 B takie, ·ze a) p 2 D ; F (p) 2 D ; b) F (D ) D ; 1 c) odwzorowanie F 2 C k (jako odwzorowanie miedzy ¾ podzbiorami otwartymi dim M dim N w przestrzeniach kartezja´nskich R wR ). Odwzorowanie F : M ! N jest ciag÷ ¾ e. Jez·eli F : M ! N jest ciag÷ ¾ e to jest klasy C k 1 gddy dla kaz·dego 2 A i 2 B odwzorowanie F 2 C k (z ciag÷ ¾ ości F mamy 1 1 F (D ) jest otwarty, wiec ¾ dla dowolnego p 2 F (D ) znajdziemy mape¾ 2 A taka, ¾ z·e D F 1 (D ) ; skad ¾ F (D ) D : De…nicja 6.0.13 Odwzorowanie F : M ! N nazywamy dyfeomor…zmem klasy C k je´sli jest bijekcja¾oraz F i F 1 sa¾klasy C k : Ćwiczenie 6.0.4 We´zmy P : R2 ! R2 okre´slone wzorem P (x; y) = ax3 3axy 2 + bx2 by 2 + xx + d; 3ax2 y ay 2 + 2bxy + cy ; gdzie a2 + b2 + c2 > 0: Za pomoca¾rzutu stereogra…cznego h+ okre´slamy odwzorowanie f : S2 ! S2 wzorem f (p) = h+1 P h+ (p) ; p 6= (0; 0; 1) (0; 0; 1) ; p = (0; 0; 1) : Pokaza´c, ·ze f : S 2 ! S 2 jest klasy C 1 : Ćwiczenie 6.0.5 Uogólnienie powy·zszego: Niech ! : C ! C bedzie ¾ ustalonym wielomianem zespolonym ró·znym od sta÷ej. ! (z) = a0 z n + a1 z n 1 + ::: + an ; gdzie ai 2 C dla i = 0; 1; :::; z 2 C: Uto·zsamiamy C = R2 : Rozwa·zmy rzut stereogra…czny h+ z bieguna pó÷nocnego i po÷ó·zmy f : S 2 ! S 2 okre´slone wzorem g (p) = h+1 ! h+ (p) ; p 6= (0; 0; 1) : (0; 0; 1) ; p = (0; 0; 1) : Pokaza´c g÷adko´s´c (klase¾ C 1 ) odwzorowania g miedzy ¾ hiperpowierzchniami - sferami S 2 . Poda´c przyk÷ad odwzorowania ! : R2 ! R2 którego wspó÷rzedne ¾ sa¾ wielomianami rzeczywistymi, dla którego teza nie zachodzi. Ćwiczenie 6.0.6 Kontynuacja zadania (5.0.2). Pokaza´c, ·ze powierzchnia T jest dyfeomor…czna z produktem kartezja´nskim S 1 S 1 : 20 Kolejne waz·ne pytanie: Czy ka·zda spójna rozmaito´s´c ró·zniczkowa jest dyfeomor…czna z hiperpowierzchnia? ¾ Otó·z tak jest gddy topologia rozmaito´sci jest parazwarta. (parazwarto´s´c wprowadzi÷Dieudonne, za´s twierdzenia o zanurzaniu pochodza¾ od Whitneya, koniec lat 40-tych). Twierdzenie 6.0.8 (Twierdzenie o zanurzaniu) Ka·zda spójna n wymiarowa rozmaito´s´c ró·zniczkowa Hausdor¤a i parazwarta jest dyfeomor…czna z pewna¾hiperpowierzchnia¾n wymiarowa¾w przestrzeni R2n+1 : 7 Zbiory mierzalne na rozmaitości, miara i ca÷ ka Lebesque’a na hiperpowierzchni De…nicja 7.0.14 Niech M bedzie ¾ n-wymiarowa¾rozmaito´scia¾topologiczna.¾ Podzbiór A M nazywamy mierzalny w sensie Lebesque’a je·zeli w Rn dla ka·zdej parametryzacji : V ! U M zbiór 1 [A \ [V ]] jest mierzalny w sensie Lebesque’a w Rn : Oznaczmy rodzine¾ tych zbiorów przez MM : Podzbiór A M nazywamy zbiorem miary 0 je·zeli dla ka·zdej parametryzacji : V ! U M zbiór 1 [A \ [V ]] Rn ma zerowa¾ miare¾ Lebesque’a w Rn : Pytanie. Czy jest prawda,¾ z·e jez·eli dla ustalonej parametryzacji na rozmaitości 1 topologicznej M i podzbioru A [D ] mamy [A \ [D ]] jest mierzalny to czy n zbiór A 2 MM ? Czy dla M = R rodzina MRn powyz·ej zde…niowana = rodzina zbiorów mierzalnych w sensie Lebesque’a na Rn ? Twierdzenie 7.0.9 (i) Rodzina MM jest -cia÷em (czyli przeliczalnie addytywnym cia÷em) zbiorów zawierajacym ¾ wszystkie zbiory borelowskie (tzn. zbiory z najmniejszego -cia÷a podzbiorów M zawierajacego ¾ zbiory otwarte. (ii) Rodzina MM jest jest zupe÷na, tzn. ka·zdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny i ma miare¾ 0: Dowód. (i) 1) MM jest przeliczalnie addytywnym cia÷ em podzbiorów przestrzeni M: a) ? 2 MM ; b) gdy A 2 MM to M A 2 MMS ; c) gdy An 2 MM ; n = 1; 2; ::: to 1 n=1 An 2 MM : 1 Niech bedzie ¾ dowolna¾ parametryzacja¾ na M: a) S1 [?] = ?; b) [M A] = S 1 1 1 1 1 [M ] [A] = V [A] jest mierzalny, c) A = [An ] jest n2N n n2N mierzalny. 2) kaz·dy zbiór A otwarty w M nalez·y do MM bo 1 [A] jest otawarty w Rn ; 3) kaz·dy podzbiór borelowski nalez·y do MM : Istotnie, skoro M MM a MM jest -cia÷ em to najmniejsze -cia÷ o zawierajace ¾ M musi być zawarte w MM : (ii) Niech A bedzie ¾ miary 0 i niech B A: Wówczas dla dowolnej parametryzacji 1 1 mamy [B \ [D ]] [A \ [D ]] : Ten drugi jest mierzalny, wiec ¾ z zupe÷ ności miary Lebesque’a na Rn mamy mierzalność i miare¾ zero dla 1 [B \ [D ]] : 21 Twierdzenie 7.0.10 (O istnieniu miary i ca÷ ki Lebesque’a na hiperpowierzchni) MIARA) Niech M Rm bedzie ¾ n-wymiarowa¾ hiperpowierzchniowa¾ klasy C 1 : Wówczas istnieje dok÷adnie jedna miara M okre´slona na -ciele MM taka, ·ze (*) dla dowolnej parametryzacji : V ! U M [klasy C 1 ] je·zeli A [V ] i A 2 MM to jego miara jest równa Z j 0j M (A) = 1 [A] 0 gdzie j j oznacza tzw. modu÷pochodnej okre´slony nastepujaco: ¾ gdy U ! Rm to v u i1 in 2 u j1 j1 u X . .. : 0 u .. j j=t . i1 jn 1 i1 <:::<in m = 1 ; :::; m : in jn CA×KA) Funkcja rzeczywista f : A ! R okre´slona na zbiorze mierzalnym A M hiperpowierzchni M wymiaru n jest mierzalna w/g miary gddy dla ka·zdej parametryzacji : V ! U M superpozycja f jest mierzalna wzgledem ¾ n-wymiarowej min ary Lebesque’a na R : W szczególno´sci ka·zda funkcja ciag÷ ¾ a na M jest mierzalna. Je´sli A 2 MM i A [V ], gdzie : V ! U M jest parametryzacja,¾ to dla dowolnej funkcji rzeczywistej f : A ! R mierzalnej w sensie miary M zachodzi wzór Z Z f d M= f j 0j : 1 A W szczególno´sci jAj = Z 1 d M A [A] = Z 1 [A] j 0j : WYK×AD 6, 13.XII. 2011 Dowód. Przestrzeń Rm z naturalna¾ topologia¾ jest ośrodkowa. Istotnie, prostopad÷ ościany o wymiernych bokach f(x1 ; :::; xn ) ; ai < xi < bi ; i = 1; 2; :::; mg ai ; bi 2 Q sa¾ rodzina¾ przeliczalna¾ i rodzina ta stanowi baze. ¾ Podzbiór M przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenia¾ ośrodkowa¾ (przeciecia ¾ Bn \ M stanowia baze¾ dla M ). Twierdzenie Lindelöfa. Dla ka·zdej rodziny (At )t2T podzbiorów otwartych S S przestrzeni o´srodkowej istnieje podzbiór przeliczalny T0 T taki, ·ze t2T0 At = t2T At : Dowód nietrudny, patrz np. Sikorski BM 28, Tw. III, 5.1. Hiperpowierzchnia M jest ośrodkowa (jako podzbiór Rm ). M jest suma¾ otwartych w M podzbiorów U które sa¾ dziedzinami map. Z Tw. Lindelöfa wynika, z·e z rodziny tych otwartych podzbiorów U pokrywajacych ¾ M moz·na wybrać ciSag ¾ przeliczalny Un : Tzn. istnieje ciag ¾ parametryzacji n : Vn ! Un M taki, z·e M = 1 n=1 n [Vn ] : Określamy rodzine¾ podzbiorów: — B1 = 1 [V1 ] ; — Bn = n [Vn ] n 1 [V1 ] [ ::: [ n 1 [Vn 1 ] dla n > 1: 22 S Zbiory te nalez·a¾ do MM (bo sa¾ borelowskie), sa¾ roz÷ aczne ¾ oraz M = 1 n=1 Bn : Dla dowolnego zbioru A 2 MM oznaczmy Cn = Bn \ A: Oczywiście Cn 2 MM : K÷ adziemy M (A) = 1 Z X n=1 n 1 [Cn ] j 0 nj : S ×atwo sprawdzamy, z·e M P jest miara¾(dla A = 1 acznych ¾ mierzalm=1 Am podzbiorów roz÷ 1 nych zachodzi M (A) = m=1 M (Am ) - sprawdzić! ). Teraz sprawdzamy spe÷ nienie warunku (*). Niech A [V ] gdzie A 2 MM i parametryzacji : V ! U M: Oz: Wtedy dla Cn = Bn \ A naczmy przez n funkcje przejścia dla n i ; n = n 1 mamy Cn U \ Un oraz 1 [Cn ] = n 1 [Cn ] : n Z Tw o ca÷ kowaniu przez podstawienie Z Z 0 j nj = (j n 1 1 [Cn ] [Cn ] 0 nj n) j 0 nj = Z 1 [Cn ] j 0j 0 0 (bo (j 0n j y Sikorski V 3.5 prostych w÷ asności n ) j n j = j j - patrz szczegó÷ R - na mocy 0 wyznaczników). Sumujac ¾ po n otrzymujemy M (A) = j j : Warunek (*) określa 1 [A] miare¾ jednoznacznie. CA×KA) Najpierw pomocniczy lemat: Lemat. Dowolna hiperpowierzchnia M 0 wymiaru < n zawarta w hiperpowierzchni n-wymiarowej M ma miare¾ M równa¾ zeru. Dowód lematu. Wystarczy pokazać, z·e dla dowolnej parametryzacji : V ! 1 1 0 0 U M zbiór [M ] ma miare¾ zero. Oczywiście [M ] jest hiperpowierzchnia¾ w V (ćwiczenie! ). Zagadnienie sprowadza sie¾ zatem do pokazania, z·e hiperpowierzchnia M w Rm wymiaru < m ma miare¾ Lebesque’a m-wymiarowa¾ równa¾ zeru. Tak jest w istocie, bo z tw. Lindelöfa M jest suma¾ przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych w M które sa wykresami funkcji kl. C k : Wiemy z klasycznej teorii z·e wykres taki (nawet dla funkcji mierzalnej) ma miare¾ zero. Cd dowodu. Dowód klasyczny: najpierw dla funkcji charakterystycznych zbioru mierzalnego, potem dla funkcji prostej, potem przez przejście graniczne dla funkcji mierzalnych nieujemnych i wreszcie dla dowolnych mierzalnych przez roz÷ oz·enie na sum¾ e cześci ¾ niedodatniej i nieujemnej. Ćwiczenie 7.0.7 (1) Gdy n = 1; tzn. M = L jest krzywa¾ w Rm o parametryzacji dla mierzalnego zbioru A (D ) i funkcji mierzalnej f : A ! R otrzymujemy Z Z q 1 0 f d M= f (t) (t)2 + ::: + ( m )0 (t)2 dt: A 1 to [A] (2) dla n = 2 i m = 3 (powierzchnia 2-wymiarowa w R3 ) dostajemy wzór ( ; A i f jak wy·zej) Z Z @ @ f d M= f (x; y) dxdy: 1 @x @y A [A] 23 Ćwiczenie 7.0.8 Obliczy´c pole powierzchni równoleg÷oboku w R4 rozpietego ¾ na wektorach [1; 2; 3; 4] ; [2; 0; 2; 3] (równoleg÷obok jest mierzalnym podzbiorem na odpowiedniej p÷aszczyznie - 2-wymiarowej hiperpowierzchni w R4 ). Uogólni´c rezultat na obliczenie objeto ¾ ´sci k-wymiarowego równoleg÷o´scianu rozpietego ¾ na wektorach a1 ; ::; ak w przestrzeni n wymiarowej Rn : 8 Przeciwobraz wartości regularnej Poznamy tu tylko najprostsza¾wersje¾ twierdzenia o przeciwobrazach. Dla duz·o ogólniejszej patrz znakomita ksia¾z·ka — R.Narasimhan Analysis on complex and real manifolds. De…nicja 8.0.15 Niech F : Rn ! Rm bedzie ¾ odwzorowaniem kl. C k : Punkt x 2 nazywamy punktem krytycznym je·zeli ró·zniczka (DF )x : Rn ! Rm nie jest epimor…zmem. Równowa·znie, je·zeli macierz Jacobiego (JF )x ma rzad ¾ mniejszy od m: Obraz F (x) punktu x nazywamy warto´scia¾krytyczna¾odwzorowania F . Punkt y 2Rm który nie jest warto´scia¾ krytyczna¾nazywa sie¾ warto´scia¾regularna.¾ W szczególności, kaz·dy punkt y 2Rm nF [ ] jest wartościa¾ regularna. ¾ Zauwaz·my tez·, z·e punkt y 2 F [ ] jest wartościa¾ regularna¾ jez·eli z·aden punkt x 2 F 1 [fyg] nie jest krytyczny. Przyk÷ ad 8.0.16 We´zmy F (x; y) = x2 + y 2 : Czy 1 jest warto´scia¾ regularna? ¾ Zbadamy 1 1 2 2 punkty z przeciwobrazu F [f1g] = S = f(x; y) ; x + y = 1g : Niech (x0 ; y0 ) 2 S 1 : Obliczamy macierz Jacobiego (JF )(x0 ;y0 ) = [2x0 ; 2y0 ] : Jej rzad ¾ jest mniejszy od 1 gdy jest 1 równy 0 t.j. gdy x0 = 0 = y0 : Ale (0; 0) nie nale·zy do S : Zatem 1 jest warto´scia¾regularna.¾ Twierdzenie 8.0.11 Je·zeli F : Rn ! Rm jest odwzorowaniem kl. C k i a 2 Rm jest warto´scia¾regularna¾taka,¾ ·ze F 1 [fag] 6= ? to przeciwobraz F 1 [fag] jest hiperpowierzchnia¾n m wymiarowa¾klasy C k : Dowód. Niech x0 2 F 1 [fag] : Z za÷ oz·enia, z·e a jest wartościa¾ regularna¾ mamy (DF )x0 : n m R ! R jest epimor…zmem, tzn. jego rzad ¾ (czyli rzad ¾ macierzy Jacobiego) jest równy m: Oczywiście n m: Z de…nicji rzedu ¾ macierzy wynika, z·e istnieja¾ indeksy j1 < ::: < jm ze zbioru f1; 2; :::; ng takie, z·e det Fjji s (x0 ) i;s m 6= 0: Dla uproszczenia rozwaz·ań, zmieńmy numeracje zmiennych, tak aby j1 ; :::; jm by÷ y ostatnimi m indeksami spośród f1; 2; :::; ng ; t.j. aby to by÷ y to n m + 1; n m + 2; :::; n: Weźmy pomocniczo odwzorowanie ! Rn G: G (x1 ; :::; xn ) = x1 ; :::; xn m; F 1 (x1 ; :::; xn ) ; :::; F m (x1 ; :::; xn ) : 24 Obliczmy jego macierz Jacobiego w punkcie x0 2 1 0 6 .. .. 6 . . 6 6 0 1 (JG)x0 = 6 6 0 0 Fjn1 m+1 6 6 .. .. .. 4 . . . 0 0 Fjn1 3 Fjnm m+1 .. . Fjnm (w lewym górnym rogu jest macierz jednostkowa wymiaru n det (JG)x0 = 1 det Fjni 7 7 7 7 7 7 7 7 5 m+s 1 i;s m m: ). 6= 0: Z Tw. o dyfeomor…źmie G jest dyfeomor…zmem pewnego otoczenia otoczenie 00 punktu G (x0 ) = (x01 ; :::; x0n m ; a1 ; :::; am ) 0 Gj : 0 00 ! 0 punktu x0 na : Wykaz·emy, z·e G gdzie H jest n " " Niech b 2 ". Niech y 2 0 \F 1 00 1 (a) = 00 \H 00 (a) : Wtedy G (b) 2 G [ 0 ] = m; F 1 00 : Poza tym F (b) = a wiec ¾ (b) ; :::; F m (b) = (b1 ; :::; bn m ; a1 ; :::; am ) 2 H: \ H: Wówczas yn oraz skoro \F m wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ (hiperp÷ aszczyzna) ¾ o równaniu 8 xn m+1 = a1 > > < xn m+2 = a2 ::: > > : x n = am : G (b) = b1 ; :::; bn " 0 m+1 = a1 ; :::; yn m+m = an = G [ 0 ] to y = G (b) dla pewnego b 2 V: Zatem (y1 ; :::; yn ) = (y1 ; :::; yn m ; a1 ; :::; am ) = G (b) = b1 ; :::; bn m; F 1 (b) ; :::; F m (b) : Stad ¾ ai = F i (b) t.j. a = F (b) co oznacza, z·e b 2 F równości. 1 (a) : Zatem y = G (b) dla b 2 F 25 1 (a) \ 0 : Dowodzi to szukanej Wez·my V = f(x1 ; :::; xn m) ; (x1 ; :::; xn i homeomor…zm (obciecie ¾ rzutu na pierwsze n prjH : H ! Rn m ; (x1 ; :::; xn m ; a1 ; :::; am ) 2 00 \ Hg m osi) m ; a1 ; :::; am ) 7 ! (x1 ; :::; xn m) ; oraz U= 0 \F 1 (a) F 1 (a) - otwarty podzbiór w F Pokaz·emy, z·e f =G 1 (prjH) 1 1 (a) : jV dane wzorem f (x1 ; :::; xn m) =G 1 (x1 ; :::; xn m ; a1 ; :::; am ) jest parametryzacja¾ zbioru F 1 (a) w otoczeniu x0 : 1) jest kl. C k bo G 1 jest kl. C k : 2) jest homeomor…zmem Rn U ! F 1 (a) \ V F 1 (a) jako z÷ oz·enie homeomor…zmów. 3) jest regularne poniewaz· jego macierz Jacobiego zbudowana jest w ten sposób, z·e wierszami sa pochodne czastkowe ¾ G 1 po x1 ; :::; xn m a one sa¾ liniowo-niezalez·ne. WYK×AD 7, 20.XII. 2011 Uogólnienie bez dowodu (ćwiczenie) Twierdzenie 8.0.12 (a) Je·zeli F : ! Rm jest klasy C k i Q Rm jest hiperpowierzchnia¾ wymiaru r: Je·zeli F 1 [Q] 6= ? i ka·zdy punkt y 2 Q jest warto´scia¾ regularna¾ odwzorowania F to F 1 [Q] jest te·z hiperpowierzchnia¾kl. C k i obie Q oraz F 1 [Q] maja¾ten sam kowymiar, tzn n dim F 1 [Q] = m dim Q: UWAGA. Po wprowadzeniu wektorów stycznych do rozmaitości i przestrzeni stycznych oraz róz·niczki odwzorowania miedzy ¾ rozmaitościami oraz pojecia ¾ podrozmaitości moz·na bedzie ¾ ÷ atwo uogólnić powyz·sze dwa twierdzenia na odwzorowanie F miedzy ¾ rozmaitościami. Poza tym moz·na iść jeszcze dalej w kierunku twierdzenia Twierdzenie. Niech F : M ! N bedzie ¾ odwzorowaniem klasy C k ; Q N podrozmaitościa¾ N . Jez·eli F jest transwersalne do Q; tzn. dla kaz·dego x 2 F 1 [Q] zachdzi równość przestrzeni wektorowych Im (DF ) (x) + TF (x) Q = TF (x) N; wówczas F 1 (Q) jest podrozmaitościa¾ rozmaitości M: Dowód w Narasimhanie. 26 Ćwiczenie 8.0.9 Zadanie 58. Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowania g : R2 ! R; (x; y) 7 ! x2 + y 2 2 4a x3 + y 2 (a + x) ; a 6= 0: Ćwiczenie 8.0.10 Zadanie 59. Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowania g : R2 n f(0; 0)g ! R; (x; y) 7 ! x2 + y 2 2 4a x3 + y 2 (a + x) ; a 6= 0: Ćwiczenie 8.0.11 Zadanie 60. Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowania g : R2 ! R; (x; y) 7 ! x x2 + y 2 2ay 2 ; a 6= 0: Ćwiczenie 8.0.12 Zadanie 61. Czy 0 jest warto´scia¾regularna¾odwzorowania g : R2 ! R; (x; y) 7 ! x2 + y 2 3 a2 x 2 y 2 ; a 6= 0: Przyk÷ ad 8.0.17 62 Czy zbiór H = f(x; y; z) 2 R3 ; xy = z 3 hiperpowierzchnia? ¾ Ćwiczenie 8.0.13 Zadanie 63. Pokaza´c, ·ze podzbiory f hiperpowierzchniami kl. C 1 (a 6= 0; b 6= 0 ) f : R3 ! R; g : R3 ! R; h : R3 ! R 2 ; Pokaza´c, ·ze h 1 (x; y; z) 7 ! x2 + y 2 1 3; yz = x + x2 g jest (0) ; g 1 (0) ; h 1 (0) sa¾ a2 ; z sinh ; b 2 2 (x; y; z) 7 ! x + y a2 ; y (x; y; z) 7 ! y sinh z : b (0) jest linia¾´srubowa.¾ Ćwiczenie 8.0.14 Zadanie 64. Pokaza´c, ·ze podzbiory M = f M \ N sa hiperpowierzchniami kl. C 1 (a > 0 ) f : R3 ! R; g : R3 ! R; 1 (0) ; N = g 1 (0) ; oraz (x; y; z) 7 ! x2 + y 2 + z 2 a2 ; (x; y; z) 7 ! x2 + y 2 ax: Ćwiczenie 8.0.15 Zadanie 65. Sprawdzi´c, ·ze zbiór x2 y2 + z3 = 1 opisuje powierzchnie. Znale´z´c jej dowolna¾parametryzacje¾ w otoczeniu punktu (0; 1; 0) : Ćwiczenie 8.0.16 Zadanie 66. Pokaza´c, ·ze M = h h : R3 ! R 2 ; (x; y; z) 7 ! x2 + y 2 + z 2 27 1 (0) jest krzywa¾kl. C 1 dla 1; x2 + y 2 2x : 9 Grupy Liego 9.1 De…nicja i wstepne ¾ w÷ asności Rozmaitości róz·niczkowe i odwzorowania klasy C 1 bedziemy ¾ nazywać krótko g÷adkimi. De…nicja 9.1.1 Grupa¾Liego nazywamy grupe¾ G która ma strukture¾ g÷adkiej rozmaito´sci ró·zniczkowej [nie zak÷adamy apriori · zadnych aksjomatów oddzielania ani II aksjomatu przeliczalno´sci - bedzie ¾ to wynika÷o z aksjomatów] i dla której grupowe dzia÷anie :G G!G jest g÷adkie. Przyk÷ ad 9.1.1 Grupa Rn z dodawaniem i standardowa¾struktura¾g÷adkiej rozmaito´sci w Rn jest grupa¾Liego bo dodawanie + : Rn Rn ! Rn jest odwzorowaniem g÷adkim. Przyk÷ ad 9.1.2 Grupa macierzy rzeczywistych nieosobliwych GL (n; R) jako otwarty 2 podzbiór w Rn jest g÷adka¾ rozmaito´scia,¾ mno·zenie macierzy (AB)ji = k Aki Bkj jest okre´slone po wspó÷rzednych ¾ jako funkcja wielomianowa, jest wiec ¾ g÷adka. Zatem GL (n; R) jest grupa¾Liego. Ćwiczenie 9.1.1 Je·zeli F : Rn ! Rm jest odwzorowaniem klasy C k oraz M Rn i N Rm sa¾ hiperpowierzchniami klasy C k takimi, ·ze F [M ] N; to indukowane k odwzorowanie F : M ! N jest klasy C : Przyk÷ ad 9.1.3 Hiperpowierzchnia g÷adka S 1 C z mno·zeniem liczb zespolonych (z; w) 7 ! z w (w zapisie wyk÷adniczym dla liczb o module 1 eti e i = e(t+ )i ) tworzy grupe¾ Liego. Dlatego, ·ze mno·zenie liczb zespolonych C C ! C (R2 R2 ! R2 ) jest g÷adkie wiec ¾ jego obciecie ¾ do S 1 S 1 ! S 1 na mocy poprzedniego ´cwiczenia jest te·z g÷adkie. Przyk÷ ad 9.1.4 Je´sli G1 i G2 sa¾grupami Liego, to produkt kartezja´nski G1 duktem rozmaito´sci i produktem mno·zenia grupowego jest grupa¾Liego. G La G2 z pro- Niech G bedzie ¾ grupa¾ Liego. Lewa translacja La : G ! G; La (g) = ag; jest g÷ adka ( g7 !(a;g) adka oraz La 1 jest odwrotne do La ; La ! G G ! G ); skoro La 1 tez· jest g÷ 1 = Id oraz La 1 La = Id to La jest g÷ adkim dyfeomor…zmem. Analogicznie prawa translacja Ra : G ! G; Ra (g) = ga; jest tez· dyfeomor…zmem. Twierdzenie 9.1.1 Je·zeli G jest grupa¾ Liego to operacja odwracania elementów G ! G; g 7 ! g 1 ; jest dyfeomor…zmem. 1 : Dowód. Poniewaz· 1 : G ! G jest bijekcja¾ oraz odwrotna¾ jest ona sama to wystarczy pokazać g÷ adkość odwracania. Pokaz·emy, z·e wystarcza udowodnić g÷ adkość w otoczeniu jedności e 2 G: Weźmy dowolnie g 2 G: Zauwaz·my, z·e 1 Rg 1 1 Lg 1 = Rg 1 (h) = Rg 1 = h 1 gg 1 Lg 1 ; 1 g 1 h = Rg 1 =h 1 28 = 1 1 (h) ; g 1h 1 = Rg 1 h 1g poza tym Lg 1 przeprowadza otoczenie punktu g na otoczenie jedności e; wiec ¾ jeśli 1 jest 1 1 g÷ adka w otoczeniu jedności e to = Rg 1 Lg 1 jest g÷ adka w otoczeniu g: 1 Do pokazania g÷ adkości w otoczeniu jedności e weźmy dowolna¾ mape¾ : U ! V w otoczeniu e 2 U: Poniewaz· mnoz·enie : G G ! G jest g÷ adkie, to jest ciag÷ ¾ e, wiec ¾ ( ) 1 U G G jest otwartym otoczeniem (e; e) a, z·e na produkcie mamy topologie¾ produktowa, ¾ to istnieje otoczenie e 2 V takie, z·e V V ( ) 1 U czyli V 2 U: Przenieśmy mnoz·enie : V V ! U za pomoca¾ mapy jV i do otwartych podzbiorów przestrzeni Euklidesowej Rn (n = dim M ) V [V ] ! V # [V ] U # f ! [U ] : Poniewaz· g e = g to hf (w; 0) = ¾ w szczególności i w dla wszystkich w 2 [V ] : Stad j 6 0: Dla lepszego ogladu = ¾ oznaczmy identyczne fjji (0; 0) = i czyli det fjji (0; 0) i;j n czynniki w V V przez V1 i V2 kolejno. Z twierdzenia o funkcji uwik÷ anej istnieja¾otoczenia 0 0 0 2 V1 V oraz 0 2 V2 i jednoznacznie określone g÷ adkie odwzorowanie : V20 ! V10 które jest uwik÷ ane w równanie f (x; y) = 0 czyli spe÷ niajace ¾ równość f ( (y) ; y) = 0: Pozostaje zauwaz·yć, z·e odwzorowanie odpowiada w mapie odwracaniu elementów w 1 grupie G; = 1 : Istotnie, z przemienności diagramu mamy 1 1 (f (x; y)) = zatem, skoro (e) = 0; to f (x; y) = 0 gddy f ( (y) ; y) = 0 otrzymujemy 1 Dla y = 1 (y) = (y) ; 1 (x) 1 (0) = e: 1 (y) = e; skad ¾ z równości (g) jest 1 9.2 ( (y)) 1 (x) 1 ( ( (g))) ( (g)) = e 1 ( ( (g))) g = e 1 ( ( (g))) = g 1 : Grupy topologiczne, podstawowe w÷ asności topologiczne. Uwaga 9.2.1 W de…niowaniu grupy topologicznej trzeba do÷o·zy´c aksjomat o ciag÷ ¾ o´sci odwracania - nie ma z czego tego wywnioskowa´c /powinien by´c przyk÷ad grupy na prz. top. dla której mno·zenie jest ciag÷ ¾ e a odwracanie nie - nie znam. Lemat 9.2.1 Elementarne w÷ asno´sci topologiczne grupy topologicznej [w szczególno´sci grupy Liego]. Niech G bedzie ¾ grupa¾topologiczna¾i niech U; V bed ¾ a¾jej otwartymi podzbiorami. 29 Dla a 2 U zbiór aU := La [U ] jest otwarty /La jest homeo. U V = fgh; g 2 U; h 2 V g = jest otwarty. [ g gV Je´sli e 2 U to istnieje otwarte otoczenie jedno´sci e 2 W takie, ·ze W 2 ciag÷ ¾ o´sci mno·zenia. 1 U jest te·z otwarty / bo 1 jest homeo. U /z = g 1; g 2 U Je´sli e 2 U to istnieje otwarte otoczenie jedno´sci e 2 V takie, ·ze V = V 1 i V 2 U / bierzemy najpierw otoczenie e 2 W takie, ·ze W 2 U a nastepnie ¾ V = W \ W 1: Uwaga 9.2.2 Oczywiste: je´sli G jest grupa¾ topologiczna¾ i H G jest podgrupa,¾ to H z topologia¾ indukowana¾ jest podgrupa¾ topologiczna.¾ Podgrupe¾ która jest otwartym podzbiorem nazywamy otwarta¾podgrupa,¾ za´s która jest domknietym ¾ podzbiorem domkniet ¾ a¾podgrupa.¾ Lemat 9.2.2 Podgrupa otwarta H grupy topologicznej G jest te·z domknieta. ¾ Dowód. Pokaz·emy z·e G H jest podzbiorem otwartym. Niech g 2 = H: Wtedy gH (G H) : Istotnie, niech x 2 gH i przypuśćmy, z·e x 2 = G H; czyli x 2 H wówczas x = gh dla pewnego h 2 H i g = xh 1 2 H wbrew za÷ oz·eniu. Stad ¾ [ (gH) G H= g 2H = jest otwarty. Stwierdzenie 9.2.1 Spójna grupa topologiczna G jest generowana przez dowolne otoczenie otwarte jedno´sci. Dowód. Niech U bedzie ¾ otwartym otoczeniem jedności e 2 U G: Oznaczmy przez H najmniejsza¾ podgrupe¾ G zawierajac ¾ a¾ U (jest to podgrupa generowana przez U ). H jest otwarta bo dla dowolnego h 2 H zachodzi hU H: Z lematu H jest tez· domknieta, ¾ wiec ¾ ze spójności H = G: Lemat 9.2.3 Je´sli G jest grupa¾topologiczna¾T1 to jest T2 : Dowód. Najpierw za÷ óz·my, z·e g 6= e: Pokaz·emy, z·e istnieja¾ otwarte otocznia e i g roz÷ aczne. ¾ Z za÷ oz·enia T1 istnieje otoczenie e 2 U nie zawierajace ¾ g; g 2 = G: Z ciag÷ ¾ ości mnoz·enia i odwracania (elementarne w÷ asności) znajdujemy otoczenie e 2 V takie, z·e V 1 V U: Wówczas V g \ V = ?: Istotnie, gdyby istnia÷x 2 V g \ V to x = hg dla pewnego h 2 V stad ¾ g = h 1x 2 V 1V U wbrew za÷ oz·aniu. Zbiory V i V g oddzielaja¾ wiec ¾ e i g: 0 0 Ogólnie, niech g; g 2 G. Z poprzedniego istnieja¾ otoczenia W i W oddzielajace ¾ ei 1 0 0 0 g g : Wtedy gW i gW oddzielaja¾ g i g : 30 9.3 Grupy Liego - w÷ asności topologiczne cd. Uwaga 9.3.1 Dowolna rozmaito´s´c topologiczna M (bez zak÷adania aksjomatów oddzielania) jest T1 : Istotnie, niech x; y 2 M; x 6= y: Je´sli x i y le·za¾ w dziedzinie jednej mapy : U ! V; x; y 2 U to skoro Rn jest T2 to punkty (x) i (y) mo·zna oddzieli´c roz÷¾ acznymi 1 zbiorami otwartymi (x) 2 V1 i (y) 2 V2 w V: Wtedy x 2 U1 := [V1 ] jest otwarty w M iy2 = U1 : Je´sli x i y nie le·za¾ w jednej mapie i : U ! V jest mapa¾ taka,¾ ·ze x 2 U oraz y 2 = U to U oddziela x i y: Jako wniosek dostajemy Stwierdzenie 9.3.1 Ka·zda grupa Liego jest T2 : Troche¾ trudniej jest udowodnić Twierdzenie 9.3.1 Ka·zda spójna grupa Liego G ma baze¾ przeliczalna.¾ Dowód. Szkic: 1. e 2 U = U 1 - otoczenie wspó÷ rzednościowe, ¾ homeomor…czne z V Rn ; ma ośrodek S 0 U (przel i gesty), ¾ 2. S := S 0 [ (S 0 ) 1 = S 1 U jest przeliczalny i gesty ¾ w U; 3. H podgrupa generowana przez S; jest przeliczalna. 4. H = G: Istotnie: niech g 2 G i niech g 2 V G dowolne otwarte otoczenie g w G: Pokaz·emy, z·e istnieje h 2 H taki, z·e h 2 V: U generuje G wiec ¾ g = g1 :::gp ; gi 2 U: Z ciag÷ ¾ ości mnoz·enia znajdziemy otoczenia gi 2 Vi U takie, ze V1 ::: Vp V: Skoro S jest gesty ¾ w U to istnieja¾ h1 ; :::; hp 2 S takie, z·e hi 2 Vi : Stad ¾ h := h1 ::: hp 2 H \ V: WYK×AD 8, 4.I. 2012 10 Wektory i powierzchni przestrzenie styczne do hiper- De…nicja 10.0.1 Niech M Rm bedzie ¾ n - wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C k ; = k 1; i niech p 2 M: We´zmy dowolna¾ parametryzacje¾ g : Rn V ! U M hiperpowierzchni M obejmujac ¾ a¾p; p 2 U; i niech p 2 g (x) dla x 2 V: Przez (Dg)x : Rn ! Rm oznaczmy ró·zniczke¾ odwzorowania w punkcie x: Przestrzenia¾styczna¾do hiperpowierzchni M w punkcie y nazywamy obraz ró·zniczki odwzorowania g w punkcie x Tp M = Im (Dg)x Rm : Zauwaz·my, z·e de…nicja przestrzeni stycznej do hiperpowierzchni M jest poprawna, tzn. nie zalez·y od wyboru parametryzacji. = = W tym celu weźmy dwie parametryzacje g1 : V1 ! U1 M , g2 : V2 ! U2 M n m otoczeń punktu p 2 U1 \ U2 i niech p = g1 (x1 ) = g2 (x2 ) : Weźmy (Dg)x1 : R ! R i (Dg)x2 : Rn ! Rm ; róz·niczki odwzorowań g1 i g2 w punktach odpowiednio x1 i x2 : 31 Weźmy funkcje¾ przejścia = g2 1 g1 ; jest to dyfeomor…zm otoczenia punktu x1 na otoczenie punktu x2 ; jego róz·niczka w kaz·dym punkcie jest izomor…zmem. Stad ¾ skoro g1 = g2 (w otoczeniu x1 ), to Im (Dg1 )x1 = Im D (g2 )x1 = (Dg2 )x2 Im (D )x1 = (Dg2 )x2 (Rn ) = Im (Dg2 )x2 : Dla parametryzacji g : V ! U M hiperpowierzchni M i punktu x 2 V oznaczmy n = przez (dg)x : R ! Tf (x) M izomor…zm liniowy taki, z·e (dg) (Dg)x : Rn !x Tg(x) M ,! Rm : Jasne, z·e gdy M jest podprzestrzenia¾ wektorowa¾ lub jest hiperpowierzchnia¾ - warstwa¾ wzgledem ¾ M (czyli równoleg÷ ym przesunieciem ¾ M; v + M - a wiec ¾ hiperp÷ aszczyzn ¾ a¾ o przestrzeni wektorów równoleg÷ ych M ) to przestrzeń styczna do M w kaz·dym punkcie jest równa M: Wniosek 10.0.2 Standardowa notacja bazy przestrzeni stycznej Tp M za pomoca¾ mapy x: Niech x = (x1 ; :::; xn ) : M U !V Rn bedzie ¾ mapa¾ na rozmaito´sci M w otocze1 niu punktu p 2 U; we´zmy parametryzacje¾ x : Niech ei bedzie ¾ baza¾ Rn wersorów osi wspó÷rzednych. ¾ Wektory (stanowia¾baze) ¾ dx 1 x(p) (ei ) 2 Tp M oznaczamy @ ; @xi jp @ = dx @xi jp 1 x(p) (ei ) : Dla funkcji g÷adkiej f : M ! R przez pochodna¾w kierunku wektora @ @xi jp (f ) = @f @xi (p) okre´slona¾wzorem @f (p) = f @xi x 1 ji @ @xi jp rozumiemy liczbe¾ (x (p)) czyli D (f x 1 )x(p) (ei ) : Oznaczajac ¾ zwyk÷e pochodne czastkowe ¾ w Rn (czyli j/w dla @f mapy identyczno´s´c x = (x1 ; :::; xn ) = IdRn mo·zna te·z tradycyjnie napisa´c @x (p) = i @ (f x 1 ) (x (p)) : @xi De…nicja 10.0.2 Niech M Rm i N Rl bed ¾ a¾hiperpowierzchniami klasy C k wymiarów n i k odpowiednio, oraz f : M ! N niech bedzie ¾ odwzorowaniem g÷adkim. We·zmy p 2 M i q = f (p) 2 N: Przez dfp : Tp M ! Tq N oznaczmy pochodna¾ (ró·zniczke) ¾ odwzorowania w punkcie p zde…niowana¾ jak nastepuje. ¾ We´zmy dwie dowolne parametryzacje: g : V ! U M; h : V 0 ! U 0 N otoczenia punktu p i q; odpowiednio, takie, ·ze f [U ] U 0: 32 Stad ¾ f~ = h otoczeniu p 1 f g : V ! V 0 jest dobrze okre´slonym przekszta÷ceniem g÷adkim, oraz w f = h f~ g 1 : Niech x = g 1 (p) i y = h 1 (q) : K÷adziemy Df~ dfp = dhy (dg)x 1 : Tp M ! Tq N: x Bardzo ÷atwo sprawdzamy (Ćwiczenie) poprawno´s´c de…nicji, czyli niezale·zno´s´c od wyboru parametryzacji. Równie ÷ atwo obserwujemy, z·e dla odwzorowania F : Rm x2 (DF )x (Rm ) TF (x) N; Rl i punktu !N czyli (DF )x : Rm (dF )x ! TF (x) N ,! Rl : ×atwo sprawdzamy regu÷ e¾ ÷ ańcuchowa¾ d (f g)p = (df )g(p) (dg)p dla superpozycji odwzorowań miedzy ¾ hiperpowierzchniami. Opiszemy róz·niczk¾ e dfp : Tp M ! Tf (p) N w terminach wektorów bazowych dla map wokó÷p i f (p) : Lemat 10.0.1 Niech f : M ! N bedzie ¾ odwzorowaniem klasy C k miedzy ¾ hiperpowierzechniami M i N i niech x = (x1 ; :::; xn ) i y = (y1 ; :::; yk ) bed ¾ a¾ mapami na M i N w otoczeniach punktów p i f (p) : Wtedy dfp @ @xi jp k X @ (yj = f) @xi j=1 (p) @ : @yj jf (p) (10.0.1) Dowód. Dla odwzorowania F miedzy ¾ przestrzeniami Euklidesowymi F : Rn ! Rk róz·niczka dFx jest odwzorowaniem liniowym o macierzy Jacobiego. Oznaczmy bazy wersorów w Rn przez ei zaś w Rk przez e0i : Wtedy jez·eli dFx (ei ) = j aj e0j to aj = dFxj (ei ) = Fjij (x) ; zatem dFx (ei ) = j Fjij (x) e0j : Wracajac ¾ do rozmaitości i f : M ! N oraz map x @ @ 1 i y mamy @xi jp = d (x )x(p) (ei ) oraz @yj = d (y 1 )y(f (p)) e0j oraz z de…nicji róz·niczki jf (p) 1 1 x 1 )x(p) (dx 1 )x(p) : Stad ¾ dfp : Tp M ! Tf (p) N mamy dfp = d (y )y(f (p)) (Dy f dfp @ @xi jp = d y 1 = d y 1 = d y 1 Dy f x 1 y(f (p)) Dy f x 1 y(f (p)) y(f (p)) j = j yj f x 1 = j yj f x 1 yj f x i (x (p)) d y i (x (p)) 33 dx x(p) x(p) 1 i 1 1 x(p) @ @xi jp (ei ) (x (p)) e0j 1 y(f (p)) @ = @yj jf (p) j e0j @ (yj f ) @ (p) : @xi @yj jf (p) Wnioskiem jest: rzad ¾ odwzorowania f w punkcie p to rzad ¾ macierzy h @(yj f ) @xi i (p) i n j k : Uz·ywajac ¾ róz·niczki (df )x odwzorowania miedzy ¾ hiperpowierzchniami analogicznie de…niujemy punkt krytyczny, wartość krytyczna¾ i wartość regularna. ¾ Bez problemu moz·emy nieco uogólnić twierdzenie o przeciwobrazie wartości regularnej. Twierdzenie 10.0.3 Niech F : Rm ! N Rn bedzie ¾ odwzorowaniem kl. C k o warto´sciach w hiperpowierzchni N i a 2 N niech bedzie ¾ warto´scia¾ regularna¾ taka,¾ ·ze F 1 [fag] 6= ? (tzn. dla ka·zdego x 2 F 1 [fag] ró·zniczka (dF )x : Rm ! Ta N jest epimor…zmem). Wówczas przeciwobraz F 1 [fag] jest hiperpowierzchnia¾m dim N wymiarowa¾ klasy C k : Dowód. Dla dowolnej parametryzacji mapy : U ! V hiperpowierzchni N w otoczeniu a mamy 1 [fa0 g] ; gdzie a0 = (a) ; F 1 [fag] = FjF 1 [U ] dla x 2 F 1 [fag] róz·niczka d( F )x = (d )a (dF )x jest epimior…zmem. Zatem a0 jest wartościa¾ regularna¾ odwzorowania FjF 1 [U ] : Z 1 0 pierwszego tw. o przeciwobrazie FjF 1 [U ] [fa g] jest hiperpowierzchnia¾ wymiaru k 1 m dim N kl. C , a z·e jest to równe F [fag] to otrzymujemy teze. ¾ 11 11.1 Podgrupy Liego grupy Liego GL (n; R) Podstawowe twierdzenie o tworzeniu podgrup Liego grupy Liego GL (n; R) Twierdzenie 11.1.1 Niech M Rm bedzie ¾ hiperpowierzchnia¾g÷adka¾wymiaru k i niech m : GL (n; R) ! M R bedzie ¾ odwzorowaniem g÷adkim o warto´sciach w hiperpowierzchni M o którym zak÷adamy, ·ze jest rzedu ¾ k = dim M w jedno´sci e = 1n 2 grupy Liego GL (n; R) (tzn. dla p = (e) mamy (d )e : Rn ! Tp M jest epimor…zmem Im (d )e Tp M i dim Im (d )e = k). Niech H := 1 (p) oraz za÷ó·zmy, ·ze (hg) = (g) ; dla h 2 H; g 2 GL (n; R) : Wówczas (a) H jest podgrupa¾grupy GL (n; R) ; (b) H jest hiperpowierzchnia¾ i ze struktura¾ grupy jest grupa¾ Liego wymiaru dim GL (n; R) dim M = n2 k: 34 Dowód. Sprawdzamy, z·e H jest podgrupa. ¾ Niech h1 ; h2 2 H; wówczas (h1 h2 ) = (h2 ) = p; skad ¾ h1 h2 2 H; 1 1 Niech h 2 H; wówczas (e) = (hh ) = (h ) skad ¾ h 1 2 H: Zgodnie z twierdzeniem 10.0.3 aby pokazać, z·e H jest hiperpowierzchnia¾ wystarczy zauwaz·yć, z·e p jest wartościa¾ regularna¾ odwzorowania : GL (n; R) ! M: Niech h 2 H: Wtedy równość (h 1 g) = (g) oznacza Lh 1 = : zatem (d )h = d ( Lh 1 )h = (d )e (dLh 1 )h 2 2 ma rzad ¾ k jako z÷ oz·enie liniowego izomor…zmu (dLh 1 )h : Rn ! Rn z odwzorowaniem 2 liniowym (d )e : Rn ! Tp M Rm rzedu ¾ k = dim M: Poniewaz· mnoz·enie : GL (n; R) GL (n; R) ! GL (n; R) jest g÷ adkie, to jego obciecie ¾ do hiperpowierzchni : H H ! H jest tez· g÷ adkie (ćw. 9.1.1). Zatem H jest grupa¾ Liego. Stwierdzenie 11.1.1 Niech n > 1: Grupa SL (n; R) macierzy o wyznaczniku 1 jest grupa¾ Liego wymiaru n2 1: Dowód. Rozwaz·my m = 1 i odwzorowanie det : GL (n; R) ! R i M = R: Pokaz·emy, z·e sa¾ spe÷ nione za÷ oz·enia ostatniego twierdzenia. Najpierw pokaz·emy, z·e rank (det)e = 1; @ czyli któraś pochodna czastkowa ¾ (det)e 6= 0: Poniewaz·z rozwiniecia ¾ Laplace’a wzgledem ¾ xj i i-tego wiersza dla A = xji mamy det A = j j xi (MA )ji nieniem algebraicznym gdzie (MA )ji jest dope÷ det (macierz po usunieciu ¾ i-tego w i j-kol) ) to elementu aji (czyli ( 1)i+j @ j j (det)A = (MA )i xi (wyznacznik (MA )ji nie zawiera zmiennej xji ). W szczególności (macierz po usunieciu ¾ pierwszego wiersza i pierwszej kolumny w e jest nadal jednostkowa wymiaru n 1 na n 1 i jej wyznacznik jest +1) @ (det)e = 1: x11 Warunek det (hg) = det (g) to twierdzenie Cauchy’ego. cnu. WYK×AD 9, 11.I. 2012 11.2 Grupa obrotów Powróćmy na moment do Tw. 11.1.1. Lemat 11.2.1 Przestrze´n styczna do H w jedno´sci e jest równa ker (d )e : 35 Dowód. Niech j : H ! GL (n; R) bedzie ¾ inkluzja. ¾ Poniewaz· sta÷ ym to d ( j)e = 0 skad ¾ (dj)j [Te H] j jest odwzorowaniem ker (d )e ; ale obie przestrzenie wektorowe maja¾ ten sam wymiar równy dim H = n2 dim M wiec ¾ sie¾ pokrywaja.¾ 2 - wymiarowej w Rn a Poniz·szy przyk÷ ad hiperpowierzchni (hiperp÷ aszczyzny n(n+1) 2 jeszcze dok÷ adniej podprzestrzeni wektorowej) bedzie ¾ potrzebny niz·ej w badaniu grupy ortogonalnej O (n; R) : Jasne, z·e gdy M Rl jest podprzestrzenia¾ wektorowa¾ lub jest hiperpowierzchnia¾ - warstwa¾ wzgledem ¾ M (czyli równoleg÷ ym przesunieciem ¾ M; v + M ) a wiec ¾ hiperp÷ aszczyzna¾ o przestrzeni wektorów równoleg÷ ych M ) to przestrzeń styczna do M w kaz·dym punkcie jest równa M: Przyk÷ ad 11.2.1 Macierze symetryczne S (n; R) = A = aji 2 M (n; R) ; aji = aij 2 M (n; R) = Rn nie sa¾ grupa¾ (co ÷atwo sprawdzi´c na przyk÷adach) ale stanowia¾ hiper(podprzestrze´n wektorowa) ¾ z jedna¾globalna mapa¾ powierzchnie¾ wymiaru n(n+1) 2 y n(n+1) : S (n; R) ! R 2 = aji 7 ! a11 ; a21 ; :::; an1 ; a22 ; a32 ; :::; an2 ; :::; ann : n(n+1) 2 y jest ciag÷ ¾ a - obciecie ¾ rzutowania Rn ! R 2 na wszystkie osie o bi-numerach i j do podzbioru S (n; R). Odwzorowanie odwrotne g=y 1 :R n(n+1) 2 ! S (n; R) j i dla GL (n; R) jest liniowe dane wzorem gij (a) = aji ; gdy i j ; aij ; gdy i > j jest ono monomor…zmem wiec ¾ jego rzad ¾ jest S (n; R) : n(n+1) : 2 Zatem g jest globalna¾parametryzacja¾ n macierz AT A jest symetryczna Zauwaz·my, z·e dla dowolnej macierzy A wymiaru n AT A j i = k AT k i Ajk = i j k Ak Ak = j i k Ak Ak = k AT k j i Aik = AT A j : De…nicja 11.2.1 Macierz A 2 GL (n; R) nazywa sie¾ ortogonalna je·zeli AT A = e; tzn. gdy A 1 = AT (wiersze i kolumny sa¾ortonormalne). Macierze ortogonalne tworza¾grupe¾ O (n; R) : Stwierdzenie 11.2.1 Niech n > 1: Grupa O (n; R) macierzy ortogonalnych jest grupa¾ Liego wymiaru n(n2 1) : Przestrze´n styczna do O (n; R) w jedno´sci e to przestrze´n macierzy i ; T + = 0 - macierzy sko´snie symetrycznych ji = j: 36 2 Rn - hiperpowierzchnie¾ wymiaru Dowód. Rozwaz·my m = n2 , M = S (n; R) 2 Rn i odwzorowanie g÷ adkie n(n+1) 2 w : GL (n; R) ! S (n; R) ; A 7 ! AT A: Mamy 1 O (n; R) = ×atwo sprawdzamy (e) : (hg) = (g) ; dla h 2 O (n; R) ; g 2 GL (n; R) : (hg) = (hg)T hg = g T hT hg = g T hT h g = g T eg = g T g = (g) : Zatem O (n; R) jest podgrupa.¾ [Dodatkowo spostrzegamy, z·e indukuje bijekcje [ ] : GL (n; R) =O (n; R) ! S (n; R) ; [ ] (X O (n; R)) = (X) :]. 2 Pozostaje pokazać, z·e róz·niczka (d )e : Rn ! Te M jest epimor…zmem (czyli rzedu ¾ dim M ). W tym celu weźmy "kanoniczne" mapy x i y na GL (n; R) i S (n; R) ; x = xji i;j n y = yij i j n : Do policzenia postaci tej róz·niczki obliczymy najpierw P @(y f ) (d )e @x@ s ; r; s n: Z wzoru 10.0.1 dfp @x@ i jp = kj=1 @xj i (p) @y@ j r je (d )e / yij @ @xsr je ! jf (p) = (X) = = X @ yij @xsr i j j i XT X X = ! i j k xk xk @xsr i j k @ @yij j (e) i j k xk xk = @ X (e) kr is j xk (e) + xik @ @yij j kr (e) sj (e) i j = X is j xr + xir sj (e) i j = X is j r @ @yij j i sj r + i j Pozwala to znaleźć wzór na róz·niczk¾ e ! s @ (d )e = r;s r @xsr je = s r;s r s r;s r @ @yij j (d )e X (e) : + ! i sj r i j = XX i j = X i j 37 s r is j r + i sj r r;s i j + j i (e) (e) @ @xsr je is j r @ @yij j @ @yij j (e) @ @yij j @ @yij j (e) (e) Zatem (d )e za pomoca¾ wspó÷ rzednych ¾ w bazach wyraz·a sie¾ wzorem (d )e [ sr ]r;s = i j + j i i j ; Jest widoczne, z·e jest to epimor…zm; wystarcza dla górnotrójkatnej ¾ macierzy aji 1 s a; r s s 2 r = : Wtedy 1 r r a ; r>s 2 s (d )e [ sr ]r;s = 1 j 1 j a + a 2 i 2 i = aji i j i j wziać ¾ : W konkluzji O (n; R) jest hiperpowierzchnia¾ i grupa¾ Liego wymiaru n2 2n2 n2 n = n(n2 1) : 2 Rozwaz·ajac ¾ odwzorowanie g÷ adkie w przestrzeń wszystkich macierzy : GL (n; R) ! Mn i j n(n+1) 2 = 2 n = Rn ; A 7 ! AT A; i powtarzajac ¾ rozumowanie z dowodu Tw 11.1.1 dla map kanonicznych x i y na GL (n; R) i 2 2 Mn n (czyli identyczności) otrzymamy wzór na róz·niczk¾ e (d )e : Rn ! Rn (d )e ( ) = T + : Zatem przestrzeń styczna w jedności do O (n; R) oznaczana so (n; R) lub Sk (n; R) to i macierzy skośnieprzestrzeń wektorowa ker (d )e = ; T + =0 = ; ji = j symetrycznych. Widzimy dodatkowo, z·e Im (d )e to sa¾ macierze symetryczne stanowiace ¾ oczywiście przestrzeń styczna¾ do przestrzeni liniowej macierzy symetrycznych S (n; R) Im (d )e = Te (S (n; R)) = S (n; R) : Ćwiczenie 11.2.1 Sprawdzi´c, ·ze przestrze´n wektorowa macierzy sko´snie-symetrycznych so (n; R) wzgledem ¾ tzw. nawiasu Liego [A; B] = AB BA jest algebra¾Liego, tzn. nawias [; ] spe÷nia aksjomaty: - jest sko´snie symetryczny, - spe÷nia to·zsamo´s´c Jacobiego [[A; B] ; C] + [[C; A] ; B] + [[B; C] ; A] = 0 ([[A; B] ; C] + cycl = 0). Ćwiczenie 11.2.2 Ró·zniczka odwzorowania v w dowolnym punkcie X wynosi (d )X ( ) = T X + XT = XT T + XT i jasne, ·ze jej obraz to te·z macierze symetryczne. Pokaza´c, ·ze obraz (skad ¾ tak·ze rzad) ¾ tego odwzorowania nie zale·zy od X 2 GL (n; R) :Czyli ·ze Im (d )X = Im (d )e : 38 Rozwiazanie ¾ (d )X (d )X r;s @ @xsr je s @ r @xsr jX ! ! = X is @ @yij j sj Xrj + Xri i j = s r;s r = s r;s r @ @xsr je (d )X X is (X) ! Xrj + Xri sj i j = X is s r;s r Xrj + Xri sj i j = X i j r Xr r @ @yij j j i r Xr + i j = X T X j i + XT j i i j @ @yij j @ @yij j @ @yij j (X) (X) (X) (X) Zatem (d )X za pomoca¾ wspó÷ rzednych ¾ w bazach wyraz·a sie¾ wzorem h i j j T (d )X [ sr ]r;s = ; X i + XT i (d )X ( ) = T X +X T = X Co do niezalez·ności rzedu ¾ od (d )X od X ((d )e ( ) = T (d )X ( ) = X T + X T = (d )e X T (d )X = (d )e LX T : Skoro LX : Mn n ! Mn Im (d )X = Im (d )e : n T T i j T + XT : + ) = (d )e LX T ( ) ; jest liniowym izomor…zmem dla macierzy nieosobliwej X to Uwaga 11.2.1 Grupa Liego O (n; R) ma dwie sk÷adowe: jedna¾ jest SO (n; R) grupa macierzy ortogonalnych o wyznaczniku +1 (dowód nie jest trywialny i tu jest za wcze´snie na ÷atwy dowód) a druga¾sk÷adowa¾jest podzbiór macierzy o wyznaczniku 1: SO (n; R) jest oczywi´scie otwarto-domknieta, ¾ ma wymiar taki jak O (n; R) : Grupa macierzy zespolonych GL (n; C) jest spójna i jest to zasadnicza ró·znica miedzy ¾ geometria¾rzeczywista¾a zespolona.¾ Dlaczego grupa obrotów przestrzeni Rn ma akurat tyle wymiarów? ×YK GEOMETRII ANALITYCZNEJ Przestrzeni Euklidesowych: Z wyk÷ adu geometrii analitycznej (sem II) wiemy: Odwzorowanie liniowe o macierzy ortogonalnej jest izometria¾ i odwrotnie: izometria jest z÷ oz·eniem izomor…zmu o macierzy otogonalnej z przesunieciem. ¾ Formalniej: oznaczmy n n przez h ; i : R R ! R standardowy iloczyn skalarny hv; wi = i v i wi : n Niech f : R ! Rn bedzie ¾ dowolnym odwzorowaniem liniowym. Trzy warunki sa¾ róz·nowaz·ne (patrz Geometria Analityczna przestrzeni Euklidesowych) - jest to banalny fakt typu "ćwiczenia": 39 f jest izometria¾ (czyli zachowuje odleg÷ ość de (v; w) = de (f (v) ; f (w))) f zachowuje iloczyn skalarny hv; wi = hf (v) ; f (w)i jego macierz w bazie ei jest ortogonalna. Inzaczej mówiac: ¾ utoz·asamiajac ¾ macierz z odwzorowaniem liniowym o tej macierzy mamy O (n; R) = ff : Rn ! Rn ; f jest izomor…zmem liniowym i 8v 8w (hv; wi = hf (v) ; f (w)i) g (11.2.1) Nawet wiecej ¾ (mniej trywialny fakt) - jez·eli odwzorowanie dowolne f : Rn ! Rn takie, z·e f (0) = 0 jest izometria¾ to jest liniowe i dalej j/w; dowolna izometria g : Rn ! Rn jest postaci g (x) = g (0) + f (x) dla pewnej izometrii liniowej f (czyli f (x) := g (x) g (0) jest liniowa i jest izometria, ¾ czyli ma macierz ON. Zobaczmy ortogonalność macierzy izometrii wzgledem ¾ standardowego iloczynu skalarnego hv; wi = i vi wi : Dla wersorów ei mamy hei ; ej i = ij : Zatem macierz odwzorowania dwuliniowego -iloczyn skalarny- to macierz jednostkowa 1n : Jez·eli zapisać wektory z Rn w postaci macierzy 1-kolumnowych to hv; wi = v T 1n w; istotnie 3 2 3 2 w1 1 0 7 6 .. 7 6 T .. hv; wi = i vi wi = [v1 ; :::; vn ] 4 5 4 . 5 = v 1n w: . 0 1 wn Zde…niujemy macierz A izomor…zmu f : Rn ! Rn w taki sposób aby zachodzi÷ a równość i i j f (v) = A v: Wybieramy sposób taki: niech f (e ) = j aj e ; wtedy określamy macierz A w postaci A = aij : [Druga metoda da macierz transponowana¾ f (ei ) = j aji ej ]. Sprawdzamy 02 31 v1 5A = f i vi ei = i vi f ei = i vi j aij ej = j i aij vi ej f (v) = f @4 vn 2 3 2 3 2 3 i a11 an1 v1 i a1 v i 6 7 6 7 6 .. 7 .. .. = 4 5=4 5 4 . 5 = A v: . . i 1 n an an vn i an v i Z dwuliniowości h; i widzimy, z·e warunek hv; wi = hf (v) ; f (w)i jest równowaz·ny warunkom tylko dla bazy ei , hei ; ej i = hf (ei ) ; f (ej )i : Istotnie, gdy dla bazy zachodzi to i i vi e ; hv; wi = = i vi f j = j wj e i e ; j wj f Dla macierzy A = aij ; f (ei ) = j i = = = i j j aj e ei ; ej = i:j vi wj f ei ; f ej = hf (v) ; f (w)i : i:j vi wj j e jest to równowaz·ne ei ; ej = f ei ; f ej i j k;r ak ar T k k a i ek ; er = ajk = k = i j kr k;r ak ar j AT A i : 40 i k k ak e ; = j r r ar e i j k ak ak Czyli 1 =AT A Rozpatrzmy tylko izometrie posiadajace ¾ 0 jako punkt sta÷ y. Sa to wszystkie izomor…zmy liniowe o macierzy ortogonalnej. 1. Obrotem elementarnym w Rn rozumiemy izometrie¾ f : Rn ! Rn która jest obrotem wzgledem ¾ pewnych dwu wspó÷ rzednych ¾ i identycznościa¾wzgledem ¾ pozosta÷ ych wspó÷ rzed¾ nych. 2. Izometria¾elementarna¾ w Rn nazywamy z÷ oz·enie skończonej ilości obrotów elementarnych i przesuniecia. ¾ 3. Izometrie¾ f : Rn ! Rn nazywamy zwyk÷¾ a (albo zachowujac ¾ a¾ orientacje) ¾ jez·eli jej wyznacznik jest równy +1 i nazywamy zwierciadlana¾ (albo zmieniajaca¾orientacje) ¾ jez·eli jej wyznacznik jest równy 1: 4. Izometrie zwyk÷ e tworza¾ grupe. ¾ Wszystkie macierze izometrii zwyk÷ ych f : Rn ! n R tworza¾ grupe¾ SO (n). 5. Kaz·da izometria zwyk÷ a (czyli zachowujaca ¾ orientacje) ¾ jest izometria¾ elementarna,¾ czyli jest z÷ oz·eniem obrotów elementarnych z przesunieciem. ¾ Zatem wymiar SO (n; R) to ilość wyborów dwu zmiennych spośród n: Ile jest wyborów dwu zmiennych spośród n ? Odpowiedź n2 = 2!(nn! 2)! = n(n2 1) = dim SO (n; R) = dim O (n; R) : Dla n = 2 mamy wymiar 1; dla n = 3 mamy wymiar 3; dla n = 4 mamy wymiar 6: 11.3 Podgrupy macierzy niezmienniczych zorowania dwuliniowego wzgledem ¾ odw- Wiecej ¾ grup Liego dostaniemy uogólniajac ¾ w powyz·szej de…nicji iloczyn skalarny h; i na dowolne odwzorowanie dwuliniowe ! : Rn Rn ! R: Po pierwsze ogó÷izomor…zmów f : Rn ! Rn zachowujacych ¾ ! niezmienniczo ff ; ! (v; w) = ! (f (v) ; f (w)) dla dowolnych v; wg jest grupa¾ -trywia÷ . Niech ei bedzie ¾ baza¾ Rn i niech aji = ! (ei ; ej ) bedzie ¾ macierza¾ odwzorowania !: Wówczas ! (v; w) = v T a w: Istotnie, ! (v; w) = ! vi ei ; j j wj e 2 6 = [v1 ; :::; vn ] 4 a11 a1n ei ; ej = ij vi wj aji = 32 3 an1 w1 7 6 .. 7 T .. 5 4 . 5 = v a w: . ann wn = ij vi wj ! j ij vi ai wj Lemat 11.3.1 Niech ei bedzie ¾ baza¾Rn i niech ! ji = ! (ei ; ej ) bedzie ¾ macierza¾odwzorowania !: Wówczas f o macierzy A zachowuje niezmienniczo ! gddy AT !A = !: 41 Dowód. (= Za÷ óz·my, z·e AT !A = !: Wtedy ! (f (v) ; f (w)) = f (v)T !f (w) = (A v)T !A w = v T AT !Aw = v T !w = ! (v; w) : =) Za÷ óz·my, z·e f zachowuje ! niezmienniczo, tzn. ! (v; w) = ! (f (v) ; f (w)) : Biorac ¾ i wektory bazowe e mamy aji = ! ei ; ej = ! f ei ; f ej = kr aT k i ! ek ; er ajr = i k k ak e ; =! k i aT kr j r r ar e ! rk ajr = AT !A = i j kr ak ar ! ek ; er j i czyli A = AT !A: Rozwaz·my g÷ adkie odwzorowanie : GL (n; R) ! M Mn 2 n = Rn (A) = AT !A: Mamy (e) = !: De…niujemy H= 1 (!) : ×atwo sprawdzamy warunek (hg) = (g) ; dla h 2 H; g 2 GL (n; R) : Stad ¾ H jest podgrupa¾ GL (n; R) : Jasne, z·e H jest domknieta, ¾ wiec ¾ z ogólnego twierdzenia o domknietej ¾ podgrupie grupy Liego, H jest grupa¾ Liego. Czy moz·na to zobaczyć i obliczyć jej wymiar na podstawie Tw. 11.1.1. Nie jest to ogólnie ÷ atwe i nie ma w z·adnym podreczniku. ¾ Obliczamy róz·niczk¾ e (d )e Ćwiczenie 11.3.1 (d )e : Mn n ! Mn (d )e ( ) = T n jest zadana wzorem ! + ! = !T T +! : W dowolnym punkcie X wynosi (d )X ( ) = T !X + X T ! = X T ! T 42 T + XT ! : (d )X (d )X s r;s r @ @xsr @ @xsr jX = ! X j t t si ! r Xt i r k Xk ! k sj + ij = s r;s r = s r;s r @ : @xji @ @xsr (d )X X j t t si ! r Xt + i r k Xk ! k sj @ @xji j t t si ! r Xt + i r k Xk ! k sj @ @xji t j s t r;s r si ! r Xt + k t j i t r r ! r Xt k ij = X s r;s r ij = X s i r r;s r Xk ! k sj ij = X + j i r r r Xk ! k ij = X T !X j i + XT ! ij j i @ @xji @ @xji @ @xji T !X + X T ! : n o 2 Problem 11.3.1 Czy ogó÷ macierzy M := AT !A; A 2 Mn n = Rn (= GL (n; R) =H) stanowi hiperpowierzchnie? ¾ I jakiego wymiaru? Pytanie wystarcza rozpatrze´c lokalnie, tzn. czy pewne otoczenie macierzy ! 2 M jest dyfeomor…czne z otw podzbiorem w RN dla pewnego N ? Jaki jest obraz odwzorowania liniowego (d )e ? Powinien by´c przestrzenia¾styczna¾do M (tzn. rzad ¾ (d )e powinien by´c dim M (d )X ( ) = T! M = Im (d )e i ogólniej T (X) M = Im (d )X : Wniosek 11.3.1 Jak to bedzie ¾ wiadome, to z ogólnego tw. mieliby´smy ·ze H jest podgrupa¾ 2 Liego wymiaru n dim M a tak·ze, ·ze przestrze´n styczna w jedno´sci e do H [algebra Liego grupy Liego H] jest równa g : = ker (d )e = ; T! + ! = 0 = ; T! = ! : Sprawdzi´c jako ´cwiczenie ·ze g jest algebra¾Liego. Ćwiczenie 11.3.2 Rozwa·zy´c banalny przyk÷ad n = 2 i formy symetrycznej zdegen1 0 erowanej ! = : Pokaza´c, ·ze M jest dwuwymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ (przy0 0 najmniej w otoczeniu !) i nie jest to p÷aszczyzna. 1 0 - nie 1 0 umiem rozwiaza´c ¾ (tzn. pokaza´c, ·ze M jest hiperpowierzchnia¾wymiaru dim Im (d )e ). Ćwiczenie 11.3.3 Jak wy·zej dla niesymetrycznej zdegenerowanej ! = 43 Dlaczego dla O (n; R) hiperp÷ aszczyzna M by÷ a przestrzenia¾ wektorowa? ¾ Otóz· SO (n; R) jest maksymalna¾ zwarta¾ podgrupa¾ spójna¾ a jest ogólniejsze twierdzenie dotyczace ¾ dowolnej grupy Liego spójnej G: Jeśli H jest jej maksymalna¾ zwarta¾ podgrupa¾ to topologicznie G jest produktem H i przestrzeni euklidesowej. U nas by÷ o G = GL+ (n; R) SO (n; R) : Stad ¾ bez zdziwienia mamy M = GL (n; R) =O (n; R) = GL+ (n; R) =SO (n; R) to przestrzeń euklidesowa S (n; R). Dla innej podgrupy H przestrzeń ilorazowa M = GL (n; R) =H juz· nie musi być "trywialna". PRZYPADKI SZCZEGÓLNE Uogólniona grupa ortogonalna to grupa O! (n; R) utworzona w powyz·szy sposób dla symetrycznej macierzy ! = ! T (! ji = ! ij ). Sk÷ ada sie¾ z macierzy A dla których AT !A = !: Przyk÷ ad 11.3.1 Grupa O! (n; R) jest grupa¾ Liego a jej przestrze´n styczna w jedno´sci [algebra Liego grupy Liego O! (n; R)] jest równa /zapisujac ¾ kolumny macierzy a przez ai / i ; j !j = ! i dla wszystkich i; j : Istotnie, przestrzeń styczna do O! (n; R) w e to ker (d )e = ; T! = ! : Obliczajac ¾ T ! = ! mamy T ! j i T k j ! i k i j k k !k = (! )ji = ! ki ; T !+! =0 = j /z umowa¾ Einsteina k j i i j k !k k = k k !k = Inaczej mówiac, ¾ mamy równości wzgledem ¾ kanonicznego iloczynu skalarnego zwiazek ¾ i w szczególności dla i = j mamy skośnej symetrii macierzy : i !j = j !i; ! i = 0: Gdy ! = 1n otrzymujemy poprzedni warunek Uwaga 11.3.1 Czym zastapi´c warunek dodatnio´sci (niezdegenerowania) iloczynu skalarnego? Otó·z, gdy ! jest dwuliniowe symetryczne i nieujemne ! (v; v) 0 to ! jest dodatnie [czyli ! (v; v) > 0 dla v 6= 0, tzn. jest iloczynem skalarnym] gddy ! jest macierza¾ nieosobliwa,¾ det ! 6= 0: (Nietrywialne twierdzenie - patrz ksia¾·zki z algebry]. Dlatego uogólniamy warunek niezdegenerowania iloczynu skalarnego do warunku det ! 6= 0: *** Dotyczyć bed ¾ a¾ niezdegenerowanych odwzorowań dwuliniowych. Czyli takich ! : Rn Rn ! R dla których indukowane odwzorowanie liniowe Rn ! (Rn ) ; v 7 ! ! (v; ) ; izomor…zmem, czyli równowaz·nie gdy jego macierz aji = [! (ei ; ej )] jest nieosobliwa. Najpierw przypomnijmy co oznacza niezdegenerowanie w przypadku odwzorowania dwuliniowego symetrycznego h; i nieujemnego hv; vi 0: Otóz· (nie jest to oczywisty fakt, 44 dowodzi sie¾ indukcja¾ wzgledem ¾ n): h; i jest niezdegenerowane gddy gdy jest dodatnie, tzn. hv; vi > 0 dla v 6= 0: [jako ćwiczenie odszukać dowód w jakiejś ksia¾z·ce z algebry]. *** Jesli ! jest symetryczna i niezdegenerowana w tym sensie, ze det ! 6= 0 to dla macierzy A 2 O! mamy det AT !A = det AT det ! det A = det !; det AT det A = 1; (det A)2 = 1; zatem det A = 1 (tak jak i dla macierzy ortogonalnych). Grupa Lorentza O (p; q) : Przyk÷ ad 11.3.2 Dla formy symetrycznej ! indeksu (p; q) t,j. o macierzy nieosobliwej 0 1q 1p 0 != grupa izometrii wzgledem ¾ pseudo iloczynu skalarnego o macierzy ! równego (ta sama litera na oznaczenie) 02 3 2 31 x1 y1 B6 7 6 7C ! @4 ... 5 ; 4 ... 5A xn yn = ! (v; w) = v = [x1 ; :::; xn ] T ! w = 0 1q 1p 0 2 6 6 6 6 [x1 ; :::; xn ] 6 6 6 4 2 y1 .. . yp yp+1 .. . 3 7 7 7 7 7 7 7 5 3 y1 6 .. 7 4 . 5 yn yp+q = x1 y1 + ::: + xp yp xp+1 yp+1 ::: xn yn : [inaczej mówiac, ¾ wzgledem ¾ formy kwadratowej x21 + ::: + x2p x2p+1 ::: x2n ] jest grupa¾ zwana grupa¾ Lorentza O (p; q) : Za pomoca¾ pseudo iloczynu skalarnego: A 2 O (p; q) = fA 2 GL (n; R) ; ! (Av; Aw) = ! (v; w) dla wszystkich v i wg otrzymujemy warunki (równowa·zne z niezmienniczo´scia¾wzgledem ¾ !) 8 0; gdy i 6= j < i j +1; gdy i = j p ! A ;A = : 1; gdy i = j p + 1: Przestrze´n styczna [algebra Liego grupy O (p; q)] w jedno´sci sk÷ada sie¾ z macierzy j niajacych ¾ warunki i ! j = ! i dla i; j: Dok÷adniej rozpisujac ¾ mamy j i = i j; i j; i i; j p; lub i; j > p + 1 : p; j > p; lub i > p; j p 45 spe÷- Inaczej mówiac ¾ algebra Liego grupy Lorentza sk÷ada sie¾ z macierzy = takich, ·ze T 2; 1 i 4 1 2 3 4 sa¾sko´snie symetryczne [w szczególno´sci zerowe na diagonali] oraz T 1; = = 1 3 4 3 = T 4; = T 2: Zatem wymiar grupy Lorentza jest równy (ilo´sci niezale·znych parametrów w macierzach klatkowych i pq + p2 p 2 + q2 q 2 = p (n p) + p)2 p2 + (n 2 n : Najwazniejszym przyk÷ adem w …zyce grupy Lorentza jest grupa O (3; 1) izometrii wzgledem ¾ formy kwadratowej indeksu (3; 1) postaci x2 + y 2 + z 2 t2 : Jej wymiar jest równy 9+1 4 =6 2 czyli tyle samo co wymiar grupy obrotów euklidesowych w R4 : Jest ciekawe z·e dla p = n 1; q = 1; wymiar O (n 1; 1) wynosi tyle samo co wymiar obrotów euklidesowych. Forma x2 +y 2 +z 2 t2 jest podstawa¾w teorii wzgledności: ¾ gdy mamy R3 i wypuszczamy świat÷ o z poczatku ¾ uk÷ adu wspó÷ rzednych ¾ przy czym jednostki tak dobieramy aby świat÷ o przebieg÷ o droge¾ o d÷ ugości 1 w czasie 1 wówczas gdy świat÷ o po promyku osiagnie ¾ punkt (x; y; z) to potrzebuje czasu p x2 + y 2 + z 2 = t 3+ czyli jest spe÷ niony warunek x2 + y 2 + z 2 t2 = 0 Pojawia sie¾ forma kwadratowa 4 zmiennych x2 + y 2 + z 2 t2 o sygnaturze (3; 1) i dlatego w R4 rozwaz·amy nie metryk¾ e euklidesowa¾ a pseudometryk¾ e Minkowskiego o formie kwadratowej j/w. Bourbaki, tom I str 420 grupa Lorentza Hall str 7 Heizenberg grupa str 8 Ćwiczenie 11.3.4 Przebada´c grupe¾ izometrii wzgledem ¾ formy ! o macierzy 2 3 0 1 5 !=4 1 0 (jedynki na drugiej przekatnej). ¾ 46 Grupa symplektyczna Ćwiczenie 11.3.5 Dla formy sko´snie symetrycznej J niezdegenerowanej (na przestrzeni wymiaru 2n) o macierzy 0 1n J= 1n 0 okre´slamy grupe¾ Liego izometrii wzgledem ¾ tej formy, nazywamy ja¾ grupa¾ symplektyczna¾ i oznaczamy Sp (n; R) GL (2n; R) : Obliczy´c jej wymiar i przestrze´n styczna¾ w e: W tym przypadku M bedzie ¾ ÷atwe, M = A (2n; R) jest hiperp÷aszczyzna¾ macierzy sko´snie symetrycznych. Algebra symplektyczna (algebra Liego Sp (n; R) sk÷ada sie¾ z macierzy postaci A C B AT w których B i C sa¾symetryczne. 12 Grupy transformacji De…nicja 12.0.1 Transformacja¾rozmaito´sci M nazywamy dyfeomor…zm M ! M: Ogó÷ transformacji rozmaitosci M tworzy grupe¾ Aut (M ) : [Jest to za du·za grupa any mia÷a strukture¾ grupy Liego, ale jest wielka teoria wprowadzajaca ¾ w te¾ grupe¾ strukture¾ rozmaito´sci (i grupy Liego) niesko´nczenie wymiarowej]. Mówimy, ·ze grupa G (abstrakcyjna), dzia÷a (lewostronnie) na rozmaito´s´c M jako grupa transformacji {krótko: mamy lewe dzia÷anie G na M } je·zeli dane jest globalne odwzorowanie M !M :G takie, ·ze (i) dla dowolnego g 2 G odwzorowanie g : M ! M; x 7 ! cja¾rozmaito´sci M; (ii) dla dowolnych g; h 2 G jest równo´s´c g W zapisie krótszym g h = (g; x) ; jest transforma- gh : (g; x) = g x = gx mamy ex = x; g (hx) = (gh) x: UWAGA: dla dzia÷ ania prawego M h = hg : Proste w÷ asności: (1) G ! M bedzie ¾ xe = x; (xg) h = x (gh) ; czyli e = IdM : Istotnie e (x) = e e ( e) 1 (x) = ee ( 1 e) (x) = e ( e) 1 (x) = x; w konsekwencji (2) ( g) 1 = g 1 : (3) Indukowane odwzorowanie G ! Aut (G) ; g 7 ! 47 g; jest homomor…zmem grup. De…nicja 12.0.2 Mówimy, ·ze grupa G dzia÷a (a) efektywnie na M; je·zeli e jest jedynym takim elementem z G; ·ze g = id; (t.j. ·ze 8x ( g (x) = x) ) inaczej. ·ze indukowane odwzorowanie G ! Aut (G) ; g 7 ! g ; jest monomor…zmem, (b) wolno na M; je·zeli dla dowolnego (ustalonego) x 2 M z tego, ·ze g (x) = x wynika, ·ze g = e [czyli, dla g 6= e transformacja g nie ma punktów sta÷ych]. Ćwiczenie 12.0.6 Pokaza´c, ·ze grupa SO (2; R) dzia÷a efektywnie jako grupa transformacji na R2 wzgledem ¾ odwzorowania (A; x) 7 ! A x: Ćwiczenie 12.0.7 Niech i niech :G M ! M bedzie ¾ dowolnym lewym dzia÷aniem G na M H = fh 2 G; g = idg : Wtedy H jest normalna¾ podgrupa¾ G i dzia÷anie ilorazowej G=H na M: indukuje efektywne dzia÷anie grupy De…nicja 12.0.3 Niech : G M ! M bedzie ¾ dowolnym dzia÷aniem grupy G na 0 M: Podzbiór M M nazywamy niezmienniczym wzgledem ¾ dzia÷ania (tak·ze Gniezmienniczym [wzgledem ¾ dzia÷ania ]) je·zeli dla dowolonego g 2 G zachodzi g Ćwiczonko: [M 0 ] M 0: indukuje dzia÷ anie na dowolny G-niezmienniczy podzbiór M 0 : Ćwiczenie 12.0.8 Skonfrontowa´c z Problemem 11.3.1. Pokaza´c, ·ze grupa Liego GL (n; R) dzia÷a na rozmaito´s´c macierzy Mn n wzgledem ¾ odwzorowania (A; !) 7 ! A!AT : Dzia÷anie nie jest efektywne. Odwzorowanie (!; A) 7 ! AT !A jest dzia÷aniem prawym. Podrozmaito´s´c S (n; R) macierzy symetrycznych jest niezmiennicza, istnieje wiec ¾ indukowane dzia÷anie GL (n; R) na S (n; R) : De…nicja 12.0.4 Mówimy, ·ze grupa Liego G, dzia÷a (lewostronnie) na rozmaito´s´c M jako grupa Liego transformacji {krótko: mamy lewe dzia÷anie grupy Liego G na M } je·zeli dane jest g÷adkie dzia÷anie G na M M ! M: :G Przyk÷ ad 12.0.3 Pokaza´c, ·ze grupa Liego GL (n; R) dzia÷a na Rn jako grupa transformacji wzgledem ¾ odwzorowania (A; v) 7 ! A v: To samo dotyczy dowolnej podgrupy Liego H grupy GL (n; R) ; np. grupy obrotów O (n; R) : Przyk÷ ad 12.0.4 Pokaza´c, ·ze dla dzia÷ania O (n; R) na Rn sfera S n 1 podzbiorem niezmienniczym i indukowane dzia÷anie O (n; R) S n 1 ! S n kie. 1 Rn jest jest g÷ad- Przyk÷ ad 12.0.5 Grupa Liego G dzia÷a na siebie jako grupa Liego transformacji wzgle¾ dem dzia÷ania - mno·zenia w grupie = :G 48 G ! G: De…nicja 12.0.5 Niech G dzia÷a z lewa na rozmaito´s´c M: Wówczas na M mamy relacje równowa·zno´sci x y () 9g2G (gx = y) : Klasy abstrakcji tej relacji nazywamy orbitami dzia÷ania. Orbita punktu x jest równa [x] = G x = fgx; g 2 Gg : Identycznie okre´slamy orbity prawego dzia÷ania. Ćwiczenie 12.0.9 Znale´z´c orbity standardowego dzia÷ania GL (n; R) na Rn oraz dzia÷ania O (n; R) na Rn : Uwaga 12.0.2 Obserwujemy, ·ze odwzorowanie dla ustalonej macierzy ! rozpatrywane w problemie 11.3.1 prowadzi do prawego dzia÷nia Mn n GL (n; R) ! Mn n ; (!; A) 7 ! AT !A; i ·ze zbiór M [dla ustalonej macierzy !] rozpatrywany w tym problemie to orbita tego dzia÷ania przechodzaca ¾ przez !; za´s podgrupa H to grupa izotropii tego dzia÷ania w punkcie !: Uwaga 12.0.3 Zawsze orbita dzia÷ania grupy Liego G na rozmaito´s´c M ma strukture¾ podrozmaito´sci (ale nie zawsze z topologia¾ imdukowana,¾ moze by´c tzw. podrozmaito´s´c imersyjna, czyli gdy inkluzja jest odwzorowaniem regularnym - ró·zniczka mono, a topologia jest wtedy lokalnie indukowana z M ). Wymiary tych orbit nie musza¾ by´c takie same. Mo·zna zapyta´c o "wzajemne po÷o·zenie" wszystkich orbit danego dzia÷ania. Tworza¾ tzw. foliacje z osobliwo´sciami w sensie Stefano, za´s gdy wszystkie wymiary sa¾ jednakowe to foliacje regularna.¾ 13 Pojecie ¾ wiazki, ¾ wiazki ¾ z grupa¾ strukturalna¾ GHV I §9 De…nicja 13.0.6 G÷adka¾wiazk ¾ a¾nazywamy uk÷ad (E; ; M; F ) w którym E; M; F sa¾ rozmaito´sciami g÷adkimi, : E ! M jest odwzorowaniem g÷adkim takim, ·ze – dla ka·zdego punktu x 2 M istnieje zbiór otwarty x 2 U M oraz dyfeomor…zm ':U F ! 1 [U ] taki, ·ze (' (x; v)) = x czyli ' = pr1 : U F ! U: Ka·zdy dyfeomor…zm ' j/w nazywamy lokalna¾ trywializacja¾ wiazki, ¾ rozmaito´s´c E nazywa sie¾ przestrzenia¾ totalna,¾ B - przestrzenia¾ bazowa,¾ F - w÷óknem typowym, dla dowolnego x 2 M podzbiór Ex := 1 [fxg] nazywamy w÷óknem wiazki ¾ nad x: Odwzorowanie ' (x; ) : F ! 1 [fxg] jest bijekcja, ¾ i na 1 [fxg] wprowadza strukture¾ rozmaitości z topologia¾ indukowana¾ z E; oraz inkluzja Ex ! E jest odwzorowaniem 1 g÷ adkim (i homeomor…zmem na obraz). Jeśli '1 : U1 F ! [U1 ] i '2 : U2 F ! 49 [U2 ] sa¾ dwoma lokalnymi trywializacjami wiazki ¾ E to ('1 ) 1 [ (U1 \ U2 ) F jest otwartym podzbiorem U1 F i odwzorowanie 1 ('2 ) 1 '1 : (U1 \ U2 ) F ! (U1 \ U2 ) F; (x; v) 7 ! ('2 ) 1 [U1 ] \ 1 1 [U2 ]] = '1 (x; v) jest dyfeomor…zmem. Stwierdzenie 13.0.1 Niech M; F bed ¾ a¾ rozmaito´sciami, E - zbiorem i : E ! M surjrektywna¾ funkcja.¾ Za÷ó·zmy, ·ze dane jest pokrycie fU g rozmaito´sci M i rodzina f g bijekcji, :U F ! 1 [U ] taka, ·ze (a) (x; v) = x; (x; v) 2 U F; i ka·zdego ; (b) dla i F !U :U 1 F; (x; v) 7 ! (x; v) ; sa¾dyfeomor…zmami, gdzie U = U \ U : Wówczas istnieje dok÷adnie jedna struktura rozmaito´sci na E dla której (E; ; M; F ) jest g÷adka¾wiazk ¾ a,¾ za´s sa¾lokalnymi trywializacjami. UWAGA: Rodzina ma w÷ asność "ko÷ ańcuchowa" ¾ tzn. = Id; na U = ; =U \U \U 1 (x; v) = = 1 (x; v) = (x; v) = 1 1 (x; v) (x; v) : Dowód. GHV I, 1.13 Prop. 10 + 1.6 Prop. VII. Poniewaz· funkcje przejścia sa¾dyfeomor…zmami, wystarcza pokazać istnienie i jednoznaczność topologii na E dla której 1 [U ] sa¾ otwarte i sa¾ homeomor…zmami U F z 1 [U ] : Zatem topologia indukowana na 1 [U ] ; oznaczana przez j 1 [U ] , ma pokrywać sie¾ z topologia¾na 1 [U ] dla której jest homeomor…zmem, która¾ oznaczymy przez ; t.j. szukana topologia musi spe÷ niać równość j 1 [U ] = : 1 Jednoznaczność : Gdy jest dowolna¾ topologia¾ na E dla której [U ] 2 i 1 to j [U ] = = A E; 8 A \ 1 [U ] 2 skad ¾ jednoznaczność. " " Gdy A 2 to dla dow A \ 1 [U ] 2 j 1 [U ] ale j 1 [U ] = 1 1 wiec ¾ A \ 1 [U ] 2 : " " Gdy A E [U ] 2 S i 8 (A \ 1 [U ] 2 ) to skoro 1 i j 1 [U ] = to A \ [U ] 2 i A = (A \ [U ]) 2 : Istnienie : Określamy powyz·szym wzorem. Banalnie sprawdzamy, z·e rodzina jest topologia. ¾ Pokaz·emy, z·e (a) 1 [U ] 2 ; (b) j 1 [U ] = : /Ćw/ a: Nalez·y pokazać, z·e dla dow zachodzi 1 [U ] \ 1 [U ] 2 : Ale :U F ! 1 1 1 [U ] jest homeo gdzie na [U ] jest topologia wiec ¾ skoro [U ] \ 1 [U ] = 50 1 [U \ U ] = [(U \ U ) F ] i (U \ U ) F jest otwarty w U F to 1 [U ] \ [U ] 2 : b: Z określenia jest inkluzja j 1 [U ] : Pokaz·emy w druga¾ strone. ¾ Weźmy 1 A 2 ; w szczególności A [U ] : Pokaz·emy, z·e A 2 ; bedzie ¾ stad ¾ wynikać, z·e A 2 j 1 [U ] . W tym celu nalez·y wziać ¾ dowolnie i pokazać, z·e A \ 1 [U ] 2 czyli, 1 1 1 z·e [A \ [U ]] jest otwarty w U F: Ale z de…nicji = mamy wprost 1 1 ale zbiór (U \ U ) A\ 1 1 [U ] = [A] \ ((U \ U ) F) 1 [A] \ ((U \ U ) F ) jest otwarty w [A] jest otwarty w U F wiec ¾ F a dalej jego obraz przez dyfeomor…zm jest tez· otwarty. 1 De…nicja 13.0.7 G÷adka¾ wiazk ¾ a¾ z grupa¾ Liego strukturalna¾ G (krótko G-wiazk ¾ a) ¾ nazywamy wiazk ¾ e¾ (E; ; M; F ) z w÷óknem typowym F dla której okre´slone jest lewe dzia÷anie efektywne : G F ! F grupy Liego G na w÷ókno typowe F oraz zadany jest uk÷ad lokalnych trywializacji f' : U F ! 1 [U ]g ; 2 I; dla których funkcje przej´scia 1 :U F !U F; (x; v) 7 ! (x; v) ; maja¾nastepuj ¾ ac ¾ a¾w÷asno´s´c: istnieje g÷adkie odwzorowanie g :U !G takie, ·ze (x; v) = (x; g (x) v) czyli 1 jx [z efektywno´sci dzia÷ania funkcja g jx (v) = g (x) v jest wyznaczona jednoznacznie]. Zaobserwujmy warunek G-ko÷ ańcucha dla rodziny fg g g g (x) = e; g = g /na U (x; v) = (x; g (x) v) = (x; (g = (x; g (x) v) ; (x) g (x)) v) = (x; v) czyli (g (x) g (x)) v = g (x) v dla dowolnego v; z efektywności dzia÷ ania g (x) g (x) = g (x) czyli g g =g : UWAGA: jest Tw Ehresmanna o istnieniu wiazki ¾ które mówi, z·e znajac ¾ ko÷ ańcuch fg g ; w÷ ókno typowe F i dzia÷ anie : G F ! F moz·na jednoznacznie odzyskać [zde…niować] wiazk¾ ¾ e dla ktorej fg g bedzie ¾ G-kocyklem dla pewnej rodziny lokalnych trywializacji. Zatem wszystko co dotyczy G-wiazki ¾ musi siedzieć w dowolnym G-kocyklu tej wiazki. ¾ Np. kohomologie, klasy charakterystyczne patrz. np. R.Bott, L.Tu, Di¤erential forms in Algebraic Topology, GTM, 82, 1982 /ostatnie dwie strony 304-305. Wzory uzyskane sa¾klasyczna¾geometria¾i topologia¾róz·niczkowa. ¾ Ostatnio badania moje i N.Telemana wykorzystuja¾ metody geometrii nieprzemiennej, homologii cyklicznych. 51 Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Springer, 1992. Traktujemy kocykl jako obiekt geometrii nieprzemiennej (G jest na ogó÷grupa¾nieabelowa) ¾ i chcemy zbudować kompleks tylko i wy÷ acznie ¾ przy po pomocy kocyklu g (bez udzia÷ u funkcji 0-1) a w nim klasy kohomologii które w odpowiednim w÷ oz·eniu kohomologii de-Rhama w kohomologie tego nowego kompleksu bed ¾ a¾ odpowiadać klasycznym klasom charakterystycznym (kilka ostatnich referatów w tym kierunku na konf miedzy¾ narodowych w Krakowie, Islamabadzie i Harbinie jeszcze na swoja¾ strone¾ nie w÷ oz·y÷ em). Dwie waz·ne klasy wiazek: ¾ a) wektorowe, b) g÷ ówne. De…nicja 13.0.8 Wiazka ¾ wektorowa to taka wiazka ¾ (E; ; M; F ) w której ka·zde w÷ókno Ejx jest przestrzenia¾ wektorowa,¾ w÷okno typowowe F jest przestrzenia¾ wektorowa¾ (nad danym cia÷em R lub C) oraz lokalne trywializacje ' : U F ! 1 [U ] sa¾ we w÷óknach izomor…zmami przestrzeni wektorowych 'jx : F ! Ejx : W takiej sytuacji funkcje przej´scia 1 :U F !U F; (x; v) 7 ! (x; v) ; sa¾ we w÷óknach izomor…zmami liniowymi jx : F ! F czyli elementami grupy Liego GL (F ) liniowych izomor…zmów F na siebie, a zatem okre´slone jest odwzorowanie g : U ! GL (V ) takie, ·ze jx (v) = g (x) v wzgledem ¾ kanonicznego dzia÷ania GL (V ) na V: De…nicja 13.0.9 G-wiazk ¾ a¾ g÷ówna¾ nazywamy G-wiazk ¾ e¾ w której w÷ókno typowe jest grupa¾Liego G; dzia÷anie lewe G na G jest mno·zeniem w grupie, czyli uk÷ad (P; ; M; G), oraz zadane sa¾lokalne trywializacje ' : U G ! 1 [U ] takie, ·ze ' (x; g) h = ' (x; g h) dla g; h 2 G: Przyk÷ ad 13.0.6 Wiazka ¾ wektorowa styczna T M do rozmaito´sci M wymiaru n z atlasem maksymalnym A: Przestrze´n styczna Tp M do M w punkcie p 2 M jest przestrzenia¾ wektorowa¾rozpiet ¾ a¾przez wektory bazowe dla danej mapy x wokó÷p równe @x@ i jp : Przy czym wektory te przy zmianie mapy x na y transformuja¾sie¾w/g regu÷y [otrzymanej dla ró·zniczki P @(y f ) odwzorowania id : M ! M w mapach x i y - patrz lemat] dfp @x@ i jp = kj=1 @xj i (p) @ @yj jf (p) X @yj @ @ = (p) : @xi jp j=1 @xi @yj jp n Otrzymali´smy to dla hiperpowierzchni ale to samo bedzie ¾ dla abstrakcyjnej rozmaito´sci jak tylko zde…niujemy wektory @x@ i jp w terminach wewnetrznych ¾ rozmaito´sci - ni·zej. Rozwa·zamy G TM = Tp M; p2M : Ka·zda mapa x na Ux T M ! M -rzutujemy prz styczna¾nad p w punkt p M okre´sla lokalna¾trywializacje x~ : Ux Rn ! 52 1 [Ux ] wzorem x~jp r1 ; :::; rn = Zatem X i ri @ : @xi jp @ = ei = (0; :::; 1; 0; ::; 0) 1 jest na miejscu i @xi jp Biorac ¾ dwie mapy x i y o niepustej wspólnej cze¾´sci dziedzin Uxy = Ux \ Uy widzimy, ·ze funkcje przej´scia ~ 1 x~ : Uxy Rn ! Uxy Rn yx = y x~jp 1 sa¾równe yx p; r1 ; :::; rn = y~ = = = x~ p; r1 ; :::; rn 1 X i Xn ri y~ i=1 p; @ p; @xi jp 1 n X r i @yj j=1 Xn i=1 @xi ri (p) y~ = y~ = X 1 @y1 (p) ; :::; @xi 1 i p; ri y~ 1 @ p; @yj jp Xn i=1 X p; ! ri i @ @xi jp n X @yj ri j=1 = @ (p) @xi @yj jp n Xn X i=1 j=1 ri ! @yj (p) ej @xi @yn (p) @xi im odwzorowanie to jest dyfeomor…zmem (odwrotnym jest yx ). Zatem w T M istnieje struktura rozmaito´sci dla której x~ sa¾ dyfeomor…zmami. Co wiecej ¾ x~jp : Rn ! Tp M jest n n liniowym izomor…zmem oraz xy jx : R ! R dane wzorem yx jx r1 ; :::; rn = Xn i=1 jest izomor…zmem liniowym (bo macierz h ri @yj @xi Xn @yn @y1 ri (p) ; :::; (p) i=1 @xi @xi i (p) jest nieosobliwa. De…niujemy gyx : Uxy ! GL (Rn ) wzorem @yj (p) @xi (uto·zasamiajac izomor…zm liniowy z jego macierza) ¾ i dla standardowego dzia÷ania n n n GL (R ) R ! R mamy 3 2 1 3 2 @y1 @y1 (p) (p) r @x1 @xn 4 5 4 5: yx jx (r) = gyx (p) r = @yn @yn rn (p) (p) @x1 @xn gyx (p) = : Zatem T M jest GL (n; R) - wiazk ¾ a¾wektorowa.¾ Przyk÷ ad 13.0.7 Rozawa·zajac ¾ dowolna¾ wiazk ¾ e¾ wktorowa¾ E o w÷óknie typowym Rm tworzymy nowa¾wiazk ¾ e¾P dla której w÷óknem bedzie ¾ zbiór uporzadkowanych ¾ baz w÷ókna Ejp : Utworzymy tak wiazk ¾ e¾ g÷ówna¾o grupie Liego strukturalnej GL (n) - zobaczy´c np.ksiazk ¾ e¾ Lee, albo cokolwiek innego z geometrii ró·zniczkowej wspó÷czesnej. 53 14 Quaterniony 14.1 Algebra quaternionów Niech H bedzie ¾ zorientowana¾ 4-wymiarowa¾ (nad R) prz. wektorowa¾ z iloczynem skalarnym h; i : H H ! R i wyróz·nionym elementem e jednostkowym (o d÷ ugości 1 wzgledem ¾ h; i). Określamy K = e? ortogonalne uzupe÷ nienie Lin (e) do H; H = Lin (e) K: Orientujemy K przez baze¾ e1 ; e2 ; e3 tak, aby (e; e1 ; e2 ; e3 ) nalez·a÷ o do zadanej orientacji H: Niech : K K ! K bedzie ¾ iloczynem wektorowym w K: De…niujemy odwzorowanie dwuliniowe nad R H!H :H wzorem hp; qi e + p q; gdy p; q 2 K q p = p ; gdy q = e: (p; q) = p q = De…nicja 14.1.1 Uk÷ad H = (H; ) tworzy 4-wymiarowa¾R-algebre¾ quaternionów. Ka·zdy quaternion q jest postaci q =a e+p dla a 2 R oraz p 2 K: Oznaczamy a = Re q p = Im q: Elementy z K nazywamy czystymi quaternionami. Elementy z Lin (e) uto·zasamiamy z liczbami rzeczywistymi. Ćwiczenie 14.1.1 H jest algebra¾÷¾ aczna,¾ z rozdzielno´scia¾mno·zenia wzgledem ¾ dodawania, oraz nie jest algebra¾przemienna.¾ Np. p1 p2 = p2 p1 = hp1 ; p2 i e + p1 hp2 ; p1 i e + p2 p2 = p1 = hp2 ; p1 i e + p1 hp2 ; p1 i e p1 p2 p2 6= p1 p2 : De…nicja 14.1.2 Sprze¾·zenie quaternionowe a e+p=a e p: Ćwiczenie 14.1.2 Sprze¾·zenie ma w÷asno´sci a) q q = q q = a2 +kpk2 0 (q q 2 Lin (e) = R) b) q1 + q2 = q1 + q2 ; c) q1 q2 = q2 q1 ; d) hq1 ; q2 i = 21 (q1 q2 + q2 q1 ) = Re (q1 q2 ) : De…nicja 14.1.3 Norma quaternionowa jqj = p 54 q q: Ćwiczenie 14.1.3 W÷asno´sci normy 1) jqj 0; 2) jqj = 0 gddy q = 0; 3) jq + q 0 j jqj + jq 0 j ; 4) jqj = jqj ; 5) h p r; q ri = hp; qi jrj2 p; q; r 2 H; [zachodzi tak·ze dla zespolonych (i p rzeczywistych) co sprawdzamy bezpo´srednio] 6) jprj = jpj jrj ; p; r 2 H, 7) jqj = q q = p hq; qi: Ćwiczenie 14.1.4 (Twierdzenie) Algebra quaternionów H ma w÷asno´sci a) jest algebra¾z dzieleniem (tzn. równania q2 x = q1 oraz x q2 = q1 maja¾dok÷adnie po jednym rozwiazaniu). ¾ b) nie ma dzielników zera, tzn. je´sli q1 q2 = 0 i q1 6= 0 to q2 = 0: c) H f0g z mno·zeniem quaternionowym jest grupa¾ i to grupa¾ Liego bo mno·zenie jest g÷adkie. q q 1 = 2: jqj d) [przypomnijmy: Elementy z Lin (e) uto·zasamiamy z liczbami rzeczywistymi] K÷adziemy q 2 = q q: Je´sli q 6= 0 jest quaternionem czystym (q 2 K) to q 2 = hq; qi < 0 (q 2 2 Lin (e) = R), Je´sli jqj = 1 i q jest czysty to q 2 = 1: Ćwiczenie 14.1.5 Pokaza´c, ·ze zbiór macierzy 2 nie tworzy grupy. 14.2 2 quaternionowych o wyznaczniku 1 Grupa jednostkowych quaternionów Rozwaz·my R4 ze zwyk÷ ym iloczynem skalarnym i wyróz·nionym elementem e = (1; 0; 0; 0) : Wtedy K = e? = f0g R3 = R3 rozwaz·ana jest z dodatnia¾ orientacja¾ przez wersory osi wspó÷ rzednych ¾ e1 ; e2 ; e3 . Niech H bedzie ¾ algebra¾ quaternionów dla powyz·szego iloczynu skalarnego. Mnoz·enie kwaternionowe w K pokrywa sie¾ z iloczynem wektorowymp. ×atwo p 3 q q = hq; qi = sprawdzamy, ze (R ; ) jest algebr a ¾ Liego. Z w÷ asności normy jqj = q P a2 + kpk2 dla q = a e + p; a 2 R; p 2 K; gdy q = a0 e + 3i=1 ai ei mamy v u 3 uX jqj = t (ai )2 = k(a0 ; :::; a3 )k -zwyk÷ a norma w R4 i=0 Zatem fq 2 H; jqj = 1g = S 3 : Poniewaz· mnoz·enie quaternionowe w ramach quaternionów jednostkowych dzieki ¾ w÷ asności 6) normy nie wyprowadza poza quaterniony jednostkowe 3 oraz S jest hiperpowierzchnia,¾ to mnoz·enie quaternionowe w S 3 wprowadza strukture¾ grupy Liego w sfere¾ S 3 : Przestrzeń styczna do sfery w jedynce Te S 3 = e? = K czyli jest równa K: Dlatego algebra¾ Liego tej grupy Liego bedzie ¾ algebra Liego (R3 ; ) : p 2 p Zauwaz·my, z·e takz·e w prostszej sytuacji R = C dla z = x + iy; jzj = z z = 2 2 x + y = k(x; y)k ; skad ¾ fz 2 C; jzj = 1g = S 1 i mnoz·enie zespolone nie wyprowadza poza jednostkowe, wiec ¾ S 1 jest grupa¾ Liego wzgledem ¾ mnoz·enia liczb zespolonych. Uwaga 14.2.1 W zasadzie nie poda÷em wcze´sniej formalnej de…nicji algebry Liego grupy Liego wiec ¾ jest luka. Robi sie¾ to tak: ka·zde pole wektorowe X na rozmaito´sci M okre´sla 55 rózniczkowanie algebry funkcji g÷adkich X : C 1 (M ) ! C 1 (M ) ; (Xf )p = (df )p (Xp ) ; i odwrotnie; dlatego najpierw na dowolnej hiperpowierzchni (rozmaito´sci) wprowadzmy nawias Liego pól wektorowych stycznych [X; Y ] jako pole które na funkcji g÷adkiej f jest równe [X; Y ] f = X (Y f ) Y (Xf ) : Pokazujemy ·ze jest to ró·zniczkowanie algebry C 1 (M ) a wiec ¾ jest polem. Nastepnie ¾ sprawdzamy, ·ze pola z nawiasem tworza¾ algebre¾ Liego. Na grupie Liego rozwa·zamy tzw. pola prawo (albo lewo) niezmiennicze, nastepnie ¾ zauwa·zamy z·e nawias Liego pól prawych (lewych) jest polem prawym (lewym). Algebra Liego pól prawych (lewych) na grupie Liego nazywa sie¾ algebra prawa¾(lewa) ¾ grupy Liego. W ko´ncu ÷atwo obserwujemy, ·ze wektor styczny w jedynce grupy Liego rozszerza sie¾ jednoznacznie do pola prawego (lewego) na ca÷ej grupie Liego. Zatem wymiar algebry Liego grupy Liego jest równy wymiarowi grupy Liego, co wiecej ¾ w przestrze´n styczna¾do jedynki wprowadzamy algebre¾Liego tak, aby by÷a izomor…czna z algebra¾pól prawych (albo lewych). Na GL (n; R) 2 przestrze´n styczna w jedynce to po prostu Rn = End (Rn ; Rn ) i pokazuje sie¾ rachunkiem, ·ze algebra Liego grupy GL (n; R) jest zadana jako algebra endomor…zmów z nawiasem [A; B] = A B B A. Takim samym rachunkiem pokazujemy, ·ze algebra Liego grupy Liego niezerowych quaternionów H f0g ma algebre¾ Liego R4 z mno·zeniem [ ; ] = . Stad ¾ rzeczywi´scie algebra Liego grupy Liego S 3 bedzie ¾ podalgebra¾ Liego K z mno·zeniem wektorowym. 14.3 Grupa quaternionowa Q (n) : Niech = R; C; H i rozwaz·my n-wymiarowa¾ -przestrzeń wektorowa¾ n z mnoz·eniem przez skalary po wspó÷ rzednych ¾ z lewej strony p (x1 ; :::; xn ) = (p x1 ; :::; p xn ). Przestrzeń n ma takz·e oczywiście strukture¾ rzeczywistej przestrzeni wektorowej która oznaczymy przez nR (dla = C ma ona wymiar 2n; zaś dla = H ma wymiar 4n). W przestrzeń n wprowadzmy kanoniczne iloczyny skalarne h ; i P a) gdy = R to zwyk÷ y iloczyn skalarny rzeczywisty hx; yiR = ni=1 xi y i ; xi ; y i 2 R, P b) gdy = C to iloczyn skalarny hermitowski hz; wiC = ni=1 z i wi ; z i ; wi 2 C, P c) gdy = H to iloczyn skalarny quaternionowy hp; qiH = ni=1 pi q i ; pi ; q i 2 H. n Uwaga 14.3.1 Zauwa·zamy /ĆW/ , ·ze Re h ; i : nR R ! R jest rzeczywistym iloczynem skalarnym. Dla n = 1 z w÷asno´sci (d) sprze¾·zenia otrzymujemy zwiazek ¾ z wyj´sciowym rzeczywistym iloczynem skalarnym h ; i w H : Re hq1 ; q2 iH = Re (q1 q2 ) = hq1 ; q2 i ; qi 2 H a dalej z indukowanym w potedze ¾ H n / q i = q0i e + qji ej 2 ; qji 2 R Re = Re = i q11 ; :::; q1n ; q21 ; :::; q2n i i i q1 q2 Re q1i q2i = H /liniowo´s´c operatora Re i q1i ; q2i = ij q1i j q2i j Dlatego norma quaternionowa j(q 1 ; :::; q n )j elementu (q 1 ; :::; q n ) 2 n to po prostu zwyk÷a euklidesowa norma po wszystkich wspó÷rzednych ¾ poniewa·z q q jest rzeczywisty, q q = 56 Re (q q) ; q 1 ; :::; q n r q q i qi = = h(q 1 ; :::; q n ) ; (q 1 ; :::; q n )iH = iq r q = ij (q i )j (q i )j = ij 2 (q i )j i Re q i q i q01 ; q11 ; q21 ; q31 ; ::::; q0n ; q1n ; q2n ; q3n = : Dlatego sfera w n wzgledem ¾ normy quaternionowej fq 2 n ; jqj = 1g jest sfera¾ S 4n 1 w R4n : Tak samo dla zespolonych sfera w Cn wzgledem ¾ normy hermitowskiej jest sfera¾S 2n 1 w R2n : (W = R sfera to sfera S n 1 ) Dla n + 1 (bedzie ¾ u·zyteczne dalej) sfera w n+1 jest równa odpowiednio Sn Rn+1 dla Cn+1 dla Hn+1 dla 2n+1 S S 4n+3 = R; = C; = H: De…nicja 14.3.1 Odwzorowanie R-liniowe : n ! n nazywamy (a) -liniowe (odpowiednio R-liniowe, C-liniowe, quaternionowe) je·zeli (x) ; q 2 ; x 2 (q x) = q n : (b) -izometria¾(izometria,¾ izometria¾unitarna,¾ izometria¾quaternionowa) ¾ je·zeli h (x) ; (y)i = hx; yi ; Ćwiczenie 14.3.1 (Tw) Na to aby aby by÷o -liniowe oraz aby : n ! n x; y 2 by÷o n : -izometria¾ potrzeba i wystarcza Re h (x) ; (y)i = Re hx; yi ; tzn. aby 2 O( n R) - grupa obrotów rzeczywistej przestrzeni n R: Ćwiczenie 14.3.2 Wszystkie -izometrie przestrzeni n tworza¾grupe¾i jest to domknieta ¾ n podgrupa w zwartej grupie obrotów O ( R ) ; zatem sama jest zwarta (i Liego). Gdy = R oznaczamy grupe¾ O (n) [obroty w÷a´sciwe zachowujace ¾ orientacje¾ maja¾ wyznacznik +1 i tworza¾grupe¾ Liego SO (n) ], gdy = C oznaczamy grupe¾ U (n) i nazywamy unitarna,¾ gdy = H oznaczamy Q (n) i nazywamy quaternionowa.¾ Stad ¾ U (n) i Q (n) jako dpmkniete ¾ podgrupy w O ( nR ) sa¾zwarte. Ćwiczenie 14.3.3 Wybierzmy w n baze¾ wersorów. Uto·zsamijmy ka·zdy obrót z O (n) ; U (n) ; Q (n) z macierza¾wzgledem ¾ tej bazy. Wówczas A A A A 2 2 2 2 O (n) () AT A = 1; O (n) GL (n; R) ; SO (n) () AT A = 1; det A = +1; O (n) T U (n) () A A = 1; U (n) GL (n; C) ; Q (n) () AT A = 1; Q (n) GL (n; H) : 57 GL (n; R) Niech n = 1: Lemat 14.3.1 Odwzorowanie : ! jest -liniowe gddy (q) = q (1) : Kiedy : ! dane wzorem (q) = q p dla pewnego p 2 jest -izometria? ¾ Z w÷ asności (5) normy quaternionowej (zespolonej, rzeczywistej) otrzymujemy Lemat 14.3.2 gddy jpj = 1: : ! dane wzorem (q) = q p dla pewnego p 2 jest -izometria¾ Istotnie, bycie -izometria¾ oznacza bycie -liniowe i izometria¾ wzgledem ¾ wyjściowego rzeczywistego iloczynu skalarnego Re hq1 ; q2 i = Re (q1 q2 ) = hq1 ; q2 i ; co pozwala stosować (5) dla normy: h (q) ; (q 0 )i = hq; q 0 i () hq p; q 0 pi = hq; q 0 i () hq; q 0 i jpj2 = hq; q 0 i () jpj = 1: Wniosek 14.3.1 Dla = R mamy O (1) = f 1; +1g ; Dla = C mamy U (1) = fz 2 C; jzj = 1g = S 1 ; U (1) = SO (2) - obroty w÷a´sciwe R2 : Dla = H mamay Q (1) = fp 2 H; jpj = 1g = S 3 : Izomor…zmami grup Liego sa¾ (a) : O (1) ! f 1; +1g ; ( ) = (1) ; (b) : U (1) ! S 1 ; ( ) = (1) oraz na jedno wychodzi 1 ( ) = (1) (bo mno·zenie liczb zespolonych jest przemienne), ( ) = ( ) (1) = ( (1)) = (1) (1) = (1) (1) = ( ) ( ) ; tak samo ze (1) = (1) (1) = 1 ( ) 1 ( ) : sprze¾·zeniem 1 ( ) = ( ) (1) = ( (1)) = (1) (c) : Q (1) ! S 3 ; musi by´c ze sprze¾·zeniem bo sprze¾·zenie ¾ iloczynu quaternionów przemienia liczby 1 14.4 ( )=( ) (1) = ( (1)) = (1) (1) = (1) (1) = ( ) ( ): Zwiazek ¾ grupy Liego S 3 z grupa¾ obrotów przestrzeni R3 Traktujmy R3 jako K = e? H. Rozwaz·my dla punktu p 2 S 3 odwzorowanie p : K ! K; x 7 ! pxp 1 : Twierdzenie 14.4.1 a) pxp 1 dla p 2 S 3 jest czystym quaternionem, pxp 1 2 K; b) p jest obrotem przestrzeni K; h p (x) ; p (y)i = hx; yi ; tzn. p 2 O (3) ; c) : S 3 ! O (3) jest homomor…zmem grup, (p q) = (p) (q) ; d) : S 3 K ! K; (p; x) 7 ! pxp 1 ; jest g÷adkie, skad ¾ : S 3 ! O (3) jest g÷adkim homomor…zmem grup Liego, a ·ze S 3 jest spójna, to jego warto´sci musza¾ le·ze´c w spójnej sk÷adowej jedynki grupy Liego O (3) czyli w SO (3) ; tzn. p jest obrotem w÷a´sciwym, e) (p) = ( p) ; f) : S 3 ! O (3) jest surjekcja¾ i ker = fe; eg ; skad ¾ warstwami S 3 wzgledem ¾ ker sa¾zbiory punktów antypodycznych p fe; eg = fp; pg : 58 W takim razie S 3 = ker = SO (3) : Jak zrobić rozmaitość S 3 = ker ? Otóz· w S 3 wprowadzamy relacje¾ równowaz·ności = utoz·samiajac ¾ a¾ punkty antypodyczne p = p: 3 Tworzymy przestrzeń ilorazowa¾S = = z której trzeba zrobić rozmaitość. Utoz·samienie na sferze punktów antypodycznych tworzy tzw. przestrzeń (rozmaitość) rzutowa¾ RP 3 : Niech : S 3 ! RP 3 bedzie ¾ kanonicznym rzutowaniem, wówczas istnieje bijekcja (dyfeomor…zm) S3 ! SO (3) # % RP 3 Tak oto przyda÷ y sie¾ quaterniony do zobaczenia grupy obrotów w÷ aściwych w R3 : jest to jako rozmaitość tzw. przestrzeń rzutowa rzeczywista 3-wymiarowa RP 3 : Darujemy sobie dojście do grupy obrotów R4 : SO (4) jako rozmaitość jest dyfeomor…czna z RP 3 S 3 : Przestrzeń RP 3 = S 3 = = moz·na odtworzyć bardziej "liniowo", mianowicie przez dwa punkty antypodyczne fp; pg przechodzi dok÷ adnie jedna prosta przechodzaca ¾ przez 0 (a wiec ¾ 1-wym podprzestrzeń wektorowa). Moz·na by zatem pomysleć, aby w przestrzeni R4 zawierajac ¾ a¾ sfere¾ S 3 utoz·amiać/ściagn ¾ ać ¾ proste przechodzace ¾ przez 0 (czyli 1-wymiarowe podprzestrzenie wektorowe) do punktu. Ale wszystkie takie proste zawieraja¾ wektor zerowy, wiec ¾ trzeba go usunać ¾ przed utoz·samieniami. Bierzemy zatem R4 f0g i wprowadzamy relacje¾ utoz·samiajac ¾ a¾ punkty na prostej przechodzacej ¾ przez 0 (dwa niezerowe wektory x; y lez·a¾w tej samej 1-wym podprz wektorowej gddy gdy sa¾proporcjonalne) x=y () 9R3t6=0 (y = tx) : Zauwaz·ymy, z·e przestrzenie ilorazowe S 3 = = i R4 f0g = = sa¾ homeomor…czne. Lemat 14.4.1 Odwzorowanie : S 3= = ([x]) = [x] i R4 f0g = = jest homeomor…zmem. Odwrotne dane jest wzorem 1 ([x]) = x : kxk 4 Dowód. Rozwaz·my kanoniczne rzutowania 1 : S 3 ! S 3 = =; f0g ! 2 : R 4 R f0g = =; topologia ilorazowa jest najsilniejsza przy których rzutowania sa¾ ciag÷ ¾ e. Aby sprawdzić, czy jest ciag÷ ¾ e wystarczy z÷ oz·yć z rzutowaniem 1 i rozwazyć diagram w którym 1 : S 3 ! R4 f0g jest inkluzja¾ R4 1 S Otóz·, jest ciag÷ ¾ e gddy 3 % ! 1 1 f0g 3 S == & 2 ! R4 jest ciag÷ ¾ e, ale 59 1 = f0g = = 2 1 jest ciag÷ ¾ e. Teraz odwrotnie, rozwaz·my ciag÷ ¾ e odwzorowanie 2 : R4 diagram S3 & 1 2 % R4 f0g R4 2 ! 1 f0g = = ! f0g ! S 3 ; 2 (x) = x kxk i S 3= = Niz·ej zbiór (który okaz·e sie¾ rozmaitościa) ¾ 1-wymiarowych rzeczywistych prostych R4 f0g = = w R4 uogólnimy na k-wymiarowe -p÷ aszczyzny przechodzace ¾ przez 0 w n n-wymiarowej -przestrzeni wektorowej ( gdzie dla n 3 x; y 6= 0 x=y n f0g) = = () 9 3q6=0 (y = qx) : Gdy = R i n = 4; k = 1; otrzymamy to co wyz·ej. 15 Grassmanniany, w szczególności przestrzenie rzutowe 15.1 Grassmanniany De…nicja 15.1.1 k-p÷aszczyzna¾ [przechodzac ¾ a¾ przez 0 - co dla skrótu bedziemy ¾ pomija´c] n n w nazywamy -podprzestrze´n w -wymiaru k: Oznaczamy przez G (n; k) zbiór k-wymiarowych -p÷aszczyzn w n : Dodatkowo gdy = R wprowadzamy zorientowane n n k-p÷aszczyzny w R czyli k-p÷aszczyzny rzeczywiste w R zaopatrzone w pewna¾orientacje. ¾ ~ Ich zbiór oznaczamy G (n:k) : Gdybyśmy dysponowali twierdzeniem, z·e dla domknietej ¾ podgrupy Liego H G przestrzeń ilorazowa G=H ma strukture¾ rozmaitości (i to jedyna¾ dla ktorej rzutowanie G ! G=H jest koregularne) wówczas moz·na standardowo wprowadzić w G (n; k) strukture¾ rozmaitości i wówczas bedzie ¾ ona nazywana grassmannianem k-wymiarowych p÷ aszczyzn w n : Mianowicie tak: Oznaczmy przez I (n) jedna¾ z grup Liego izometrii O (n) ; U (n) ; Q (n) czyli grupe¾ izometrii n odpowiednio dla = R; C; H: Aby policzyć wymiary tych grup Liego nalez·y najpierw znaleźć ich algebry Liego. Podamy rezultaty bez pokazywania. Oznaczamy algebre¾ Liego grupy I (n) przez Sk (n; ) i mamy kolejno - utoz·samiajac ¾ -liniowe odwzorowanie z Sk (n; ) z macierza¾ gddy A + AT = 0; n (n 1) n dim Sk (n; R) = dim O (n) = = ; macierze skośnie symetryczne 2 2 A 2 Sk (n; R) A dim Sk (n; C) A dim Sk (n; H) 2 = 2 = Sk (n; C) gddy A + AT = 0; dim U (n) = n2 ; macierze skośnie hermitowskie ( dim = dimR ) k (n; H) gddy A + AT = 0; dim Q (n) = n (2n + 1) ; macierze skośnie quaternionowe 60 Lemat 15.1.1 Odwzorowanie G (n; k) ! G (n; k) ; T : I (n) ('; F ) 7 ! ' [F ] ; jest lewym dzia÷aniem tranzytywnym. To, z·e T jest lewym dzia÷ aniem jest oczywiste. Tranzytywność jest otrzymana w sposób standardowy w geometrii analitycznej: kaz·da k-wymiarowa podprzestrzeń wektorowa jest obrazem przez pewna¾ izometrie¾ standardowej k-wymiarowej podprzestrzeni k ¾ dwie podprzestrzenie F1 i F2 i sk÷ adajac ¾ jedna¾ 0 = f(q1 ; :::; qk ; 0; :::; 0) ; qi 2 g : Biorac z takich izometrii z odwrotna¾ do drugiej dostaniemy izometrie¾ przekszta÷ cajac ¾ a¾ F1 na F2 : Konstrukcja takich -izometrii jest u÷ atwiona dzieki ¾ temu, z·e ma być po prostu -liniowa i R-izometria wzgledem ¾ wyjściowego rzeczywistego iloczynu skalarnego (czyli tak jak w rzeczywistej geometrii analitycznej). Wnioskeim z tego lematu jest Wniosek 15.1.1 Odwzorowanie k : I (n) ! G (n; k) ; '7 !' k 0 ; jest surjektywne. Znajdziemy niz·ej k 1 k0 : Podprzestrzenia¾ ortogonalna¾ do k ? 0 n k 1 = k 0 = f(q1 ; :::; qk ; 0; :::; 0) ; qi 2 g jest = f(0; :::; 0; qk+1 ; :::; qn ) ; qi 2 g ; k ? 0 n n k ; 1 k n k : 0 1 = = Zanurzamy I (k) w I (n) w zapisie macierzowym A 7 ! I (n) w zapisie macierzowym B 7 ! I (k) 1 0 0 B A 0 0 1 oraz I (n k) w oraz bierzemy zanurzenie k) ! I (n) I (n (A; B) 7 ! A 0 0 B Jest to homomor…zm grup (mono) co pozwala widzieć I (k) I (n k) jako podgrupe¾ w I (n) (Liego) i zrobić przestrzeń ilorazowa¾ (rozmaitość bo I (k) I (n k) jest domknieta) ¾ I (n)=I (k) I (n k) : Stwierdzenie 15.1.1 1 k k 0 = I (k) I (n 61 k) : Dowód. Po pierwsze zauwaz·my, z·e jez·eli dla -izometrii ' 2 I (n) przestrzeni k ' k0 0 to musi być i h mamy k ? 0 k ? 0 ' n czyli n k 1 ' 1 " " Niech ' 2 k 0 n k : 1 k 0, k 0 ; czyli ' z powyz·szego rozumowania ' n k 1 A 0 dla macierzy A i B izometrii z I (k) i 0 B I (n k) ; co oznacza, z·e ' 2 I (k) I (n k) : " " - oczywiste, bo gdy ' 2 I (k) I (n k) to w szczególności przeprowadza k0 w k0 : Kluczem (dość ogólnym) do znalezienia struktury rozmaitości w G (n; k) jest poniz·sze twierdzenie n k 1 a zatem macierz ' jest postaci Twierdzenie 15.1.1 Istnieje dok÷adnie jedna bijekcja (homeomor…zm) k : I (n)=I ! G (n; k) (k) I (n k) taka, ·ze I (n) I (n)=I . k k ! (k) I (n k) & G (n; k) Dowód. Jednoznaczność: k ([']) = k (') : Poprawność de…nicji, tzn. niezalez·ność powyz·szego wzoru od reprezentanta ' klasy k k ['] : Weźmy 2 I (k) I (n k) : Wtedy ¾ 0 = 0 skad k (' k 0 )=' k 0 =' Surjektywność k wynika z surjektywności k : Injektywność k : Niech k ([']) = k ([ ]) ; zatem 1 k = ' 2 I (n) : Wówczas 0 Weźmy k 0 a dalej z faktu, z·e = 1 ' k 0 = 1 jest -izometria¾ wynika, z·e takz·e n k 1 k 0 =' = k k (') = k 0 = n k 1 (') : k ( ) ; czyli ' k 0 = k ? 0 = k 0 = h k ? 0 i = co implikuje, z·e 2 I (k) I (n k) : Zatem skoro ' = i 2 I (k) I (n k) to ['] = [ ] : Jest oczywiste, z·e k jest homeomor…zmem. Poniewaz· I (n)=I (k) I (n k) jest rozmaitościa¾ (dzielenie grupy Liego przez domkniet ¾ a¾ podgrupe¾ Liego) oraz jest koregularne, to struktura rozmaitości w G (n; k) dla której · grupy k jest koregularne. Poniewaz k jest dyfeomor…zmem jest ta¾ jedyna¾ dla której I (n) sa¾ zwarte to grassmanniany sa¾ tez· zwarte. 62 Lemat 15.1.2 Dla dowolnej -izometrii '0 2 I (n) odwzorowanie ('0 ) : G (n; k) ! G (n; k) ; F 7 ! '0 [F ] ; jest dyfeomor…zmem. Dowód. Wystarczy pokazać g÷ adkość. W tym celu wystarcza pokazać g÷ adkość z÷ oz·enia ('0 ) : k ('0 ) k (') = ('0 ) ' ('0 ) l'0 k = k = ('0 ') k0 = k ('0 ') = k l'0 (') jest g÷ adkie /lewa translacja jest g÷ adka k 0 De…nicja 15.1.2 Grassmannianem k-p÷aszczyzn w G (n; k) dla której k jest dyfeomor…zmem. n nazywamy rozmaito´s´c ró·zniczkowa¾ Zatem mamy GR (n; k) dim GR (n; k) GC (n; k) GH (n; k) = = = = O (n)=O(k) dim O (n) U (n)=U (k) Q (n)=Q(k) ; dim O (k) dim O (n k) = k (n k) ; dim GC (n; k) = 2k (n k) ; U (n k) ; dim GH (n; k) = 4k (n k) : Q(n k) ; O(n k) W szczególności dla k = 1 oraz n := n+1 mamy tzw. przestrzenie rzutowe i ich rzeczywiste wymiary sa¾ równe dimR GR (n + 1; 1) = 1 (n + 1 dimR GC (n + 1; 1) = 2n; dimR GH (n + 1; 1) = 4n: 1) = n; Stwierdzenie 15.1.2 Odwzorowanie : G (n; k) ! G (n; n k) ; F 7 ! F ?; jest dyfeomor…zmem. Dowód. Weźmy -izometrie¾ 2 I (n) o macierzy 0 1n = 0 1n 1k 0 X j (ei ) = i ej T T = k k 1k 0 ; j T j i T T 8 > > < 0; i i = j > ; i > : i n+k 0; i n j k ; i (e1 ) = ek+1 ; n k = n1 k : 0 T n k; j n k; j n k + 1; k + 1; j (en k ) = en 63 k k+1 j k k + 1: Wystarcza pokazać, z·e De…niujemy jest g÷ adka. ' : I (n) ! I (n) wzorem ' (A) = T A : Macierza¾ z÷ oz·enia A T jest T A : ×atwo sprawdzamy, z·e jest to homomor…zm (izomor…zm) grup ' (A B) = ' (A) ' (B) i oczywiście jest g÷ adki (mnoz·enia T A Ak 0 sa¾ g÷ adkie) poza tym dla 2 I (k) I (n k) mamy 0 Bn k ' [I (k) = T k)] = I (n Ak 0 0 Bn k Ak 0 0 Bn k ' = I (n 0 1n 1k 0 Bn 0 = ::: = Ak 0 0 Bn k 0 Ak k k) I (k) 1n 0 k 2 I (n k) 0 1k k I (k) skad ¾ wynika, z·e ' indukuje dyfeomor…zm ' : I (n)=I (k) I (n k) ! I (n)=I (n k) I (k) (bo tak: rzut I (n) ! I (n)=I (k) I (n k) jest koregularny a z÷ oz·enie ' z tym rzutem jest g÷ adkie bo jest to wtedy z÷ oz·enie rzutu z prawej I (n) ! I (n)=I (n k) I (k) z ' ). Pokazujemy przemienność diagramu I (n)=I k ! (k) I (n k) '# ' I (n)=I [ n k ' ['] = n k ' = ' n k 1 k ! G (n; n ' (')] = Stad ¾ jest dyfeomor…zmem, ale mor…zmem. # n k (n k) I (k) ([']) = k G (n; k) ' ' T = = ' k 0 n k n k 1 = ' k) h ' T k ? 0 = i = ' T n k 1 n k 0 : tez· jest dyfeomor…zmem, wiec ¾ 64 ' tez· jest dyfeo- 15.2 Rzeczywiste, zespolone i quaternionowe przestrzenie rzutowe De…nicja 15.2.1 Rozmaito´s´c Grassmanna G (n + 1; 1) 1-wymiarowych -przestrzeni w n+1 ;n 1 P n = Pn := G (n + 1; 1) = n+1 f0g == gdzie dla n+1 3 x; y 6= 0 () 9 x=y 3q6=0 (y = qx) ; nazywamy -przestrzenia¾rzutowa.¾ Dla = R mamy rzeczywista¾przestrze´n rzutowa¾Pn R oznaczana¾te·z RP n : Dla = C mamy zespolona¾przestrze´n rzutowa¾Pn C oznaczana¾te·z CP n : Dla = H mamy quaternionowa¾przestrze´n rzutowa¾Pn H oznaczana¾te·z HP n : Niech n+1 : f0g ! Pn bedzie ¾ kanonicznym rzutowaniem. Wprowadzimy teraz atlas g÷ adki na Pn a tym samym strukture¾ rozmaitości w przestrzeni topologicznej ilorazowej Pn : De…nicja 15.2.2 Niech v = (v0 ; :::; vn ) bedzie ¾ baza¾ zona¾z baza¾v nazywamy odwzorowanie n+1 : Parametryzacja¾Pn stowarzys- n ! Pn ; v0 + ni=1 q i vi ; 'v : 1 n q ; :::; q 7 ! qi 2 : Twierdzenie 15.2.1 'v jest homeomor…zmem na otwarty podzbiór w Pn : Rodzina parametryzacji f'v g stanowi atlas g÷adki na przestrzeni Pn : Dowód. a) Ciag÷ ¾ ość 'v : Z÷ oz·ymy 'v w postaci odwzorowań ciag÷ ¾ ych 'v : n ! q 1 ; :::; q n 7 ! v0 + n+1 n i i=1 q Zatem 'v jest ciag÷ ¾ e. b) obraz 'v jest otwarty w Pn : W f0g ! Pn vi 7 ! v0 + n i i=1 q vi : : = 1 ['v [ n ]] = 1 [ [ n ]] = q v0 + ni=1 q i vi ; 3 q 6= 0; q i 2 n i n+1 = vi ; r0 6= 0; ri 2 f0g i=0 r W jest otwarty w n+1 f0g zatem 'v [ n ] jest otwarty w Pn : Do pokazanie, z·e 'v 1 wystarcza z÷ oz·yć z jW i pokazać ciag÷ ¾ ość. Poniewaz· z÷ oz·enie to wyraz·a sie¾ wzorem 'v 1 jW n i i=0 r vi = 'v 1 0 r 6=0 n i i=0 r vi = 'v 1 = 65 v0 + r1 rn ; :::; r0 r0 i n r i=1 0 r vi jW jest ciag÷ ¾ e, zatem 'v jest homeomor…zmem na o ciag÷ ¾ ych wspó÷ czynnikach to 'v 1 obraz. c) Biorac ¾ baze¾ v0 = (v0 ; :::; vn ) i przesuwajac ¾ vi na pierwsze miejsce vi = (vi ; v0 ; :::^{:::vn ) ÷ atwo widzimy, z·e [n 'vi [ n ] = Pn : i=0 Istotnie, niech [x] 2 Pn ; x 6= 0; x 2 ri0 6= 0: Wtedy n i i=0 r vi [x] = n+1 i i6=i0 r vi = vi0 + = ri0 vi0 + n i i=0 r vi : Wtedy x = i któraś wspó÷ rzedna ¾ ri i6=i0 i vi 2 Im 'vi : 0 r0 Zatem obrazy 'v [ n ] pokrywaja¾ ca÷ a¾ przestrzeń Pn : d) Weźmy dowolne bazy v = (v0 ; :::; vn ) i w = (w0 ; :::; wn ) i parametryzacje 'v i 'w 'v : 'w : n n ! Pn ; ! Pn ; q 1 ; :::; q n 7 ! v0 + q 1 ; :::; q n 7 ! w0 + n i i=1 q n i i=1 q vi ; wi : Obliczymy wspó÷ rzedne ¾ przekszta÷ cenia 'w1 'v : Niech vi = 1 1 ! 2; j n j=0 ci wj ; 1 = 'v 1 ['w [ n ]] ; 2 ]] - otwarte podzbiory. i = 0; :::; n. = 'v 1 ['w [ n ]] = q 1 ; :::; q n ; 'v q 1 ; :::; q n 2 'w [ = q 1 ; :::; q n ; v0 + ni=1 q i vi 2 'w [ n ] = q 1 ; :::; q n ; = q 1 ; :::; q n ; = q 1 ; :::; q n ; ( = n = 'w1 ['v [ n ] j j n n i n n ] j=0 c0 wj + i=1 q j=0 ci wj 2 'w [ c00 + ni=1 q i c0i w0 + nj=1 cj0 + ni=1 q i cji c00 + ni=1 q i c0i 6= 0 - jest to zbiór otwarty q 1 ; :::; q n ; " cj + w0 + nj=1 00 c0 + n i i=1 q n i i=1 q # cji wj 2 'w [ c0i wj 2 'w [ n ] skad ¾ 'v q 1 ; :::; q n = " cj + w0 + nj=1 00 c0 + n i i=1 q n i i=1 q cji wj c0i # = 'w c10 + c00 + n i i=1 q n i i=1 q c1i cn0 + ; :::; c0i c00 + n i i=1 q n i i=1 q cni c0i 'w1 'v q 1 ; :::; q n = c10 + c00 + n i i=1 q n i i=1 q c1i cn0 + ; :::; c0i c00 + n i i=1 q n i i=1 q cni c0i oraz co dowodzi g÷ adkości funkcji przejścia. 66 ) n ] Ćwiczenie 15.2.1 Obliczy´c bezpo´srednio funkcje przej´scia dla baz vi i vj , i 6= j; 'vi1 'vj q 1 ; :::; q n = ::::: dla i j 1 : ::::: dla i j + 1 Wniosek 15.2.1 Pn posiada naturalna¾ strukture¾ rozmaito´sci ró·zniczkowej -wymiaru n; w szczególno´sci wymiar rzeczywisty dla = C wynosi 2n za´s dla = H wynosi 4n co zgadza sie¾ z wcze´sniejszymi wyliczeniami wymiarów Pn = G (n + 1; 1) jako rozmaito´sci jednorodnych (grupa Liego dzielona przez podgrupe¾ Liego I (n + 1)=I (1) I (n) G (n + 1; 1) = Pn ) Ćwiczenie 15.2.2 Rzutowanie larne. : n+1 Twierdzenie 15.2.2 Rozmaito´s´c P1 = R; S 2 dla = C i S 4 dla = H f0g ! Pn 1 ! ' jest g÷adkie, co wiecej ¾ jest koregu- = G (2; 1) jest dyfeomor…czna ze sfera¾ S 1 dla RP 1 = S 1 ; CP 1 = S 2 ; HP 1 = S 4 : Dowód. Weźmy dowolna¾ baze¾ v0 = (v0 ; v1 ) przestrzeni 'v0 : ! P1 ; q 7 ! [v0 + q v1 ] ; 2 i parametryzacje¾ q2 : Jest to dyfeomor…zm na otwarty podzbiór, przy czym parametryzacja nie obejmuje tylko jednego punktu z P1 ; P1 'v0 [ ] = f[v1 ]g : Istotnie, [v1 ] = [0 v0 + 1 v1 ] nie moz·e być w obrazie 'v0 ; i gdy [q0 v0 + q1 v1 ] nie nalez·y do 'v0 [ ] to q0 = 0 bo w przeciwnym wypadku [q0 v0 + q1 v1 ] = v0 + q1 v1 2 'v0 [ ] : q0 Stad ¾ [q0 v0 + q1 v1 ] = [q1 v1 ] = [v1 ] bo musi być q1 6= 0: Stad ¾ z ogólnej topologii [Engelking] odwzorowanie 'v0 rozszerza sie¾ do jedno-punktowego uzwarcenia 'v0 : [ fv1 g ! P1 przy czym jest to homeomor…zm. Ale ÷ atwiej i znajomo moz·na 1-punktowe uzwarcenie przestrzeni zrobić jako sfere¾ wykorzystujac ¾ rzut stereogra…czny z bieguna pó÷ nocnego utoz·samionego z wektorem v1 : Przy czym 8 1 < S ; gdy = R; S 2 ; gdy = C; [ fv1 g = S (1) := : 4 S ; gdy = H: Co wiecej ¾ wykorzystujac ¾ rzut stereogra…czny z bieguna po÷ udniowego utoz·samionego z wektorem v0 oraz parametryzacji 'v1 dla bazy (v1 ; v0 ) pokazujemy [ĆWICZENIE !!!] z·e 67 'v0 : [ fv1 g ! P1 jest dyfeomor…zmem do czego brakuje g÷ adkości tylko w jednym punkcie biegunie po÷ udniowym. Tzn. powinno być f0g " h+ & 'v0 'v 0 S (1) fv0 ; v1 g ! P1 #h % 'v1 f0g 15.3 Rozw÷ óknienia Hopfa Weźmy kanoniczny g÷ adki (koregularny) rzut n+1 : f0g ! Pn oraz wybierzmy sfere¾ S (n) w n+1 f0g o promieniu 1 wzgledem ¾ -normy, S (n) = fq 2 n+1 ; jqj = 1g : Jak wiemy z uwagi (14.3.1) o sferze wzgledem ¾ -normy sfera S (n) jest po prostu sfera¾ w indukowanej euklidesowej normie. Tak wiec ¾ mamy kolejno Sn Rn+1 dla Cn+1 dla Hn+1 dla S 2n+1 S 4n+3 Obetniemy rzut do tej sfery : S (n) a) dla b) dla c) dla = R; = C; = H: =R =C =H n+1 f0g ! Pn : : S n ! RP n ; : S 2n+1 ! CP n ; : S 4n+3 ! HP n : Pokaz·emy, z·e sa¾ to wiazki ¾ o w÷ óknach typowych S (0) równych kolejno Z2 = 1 3 f 1; +1g ; S i S : Wiazki ¾ te nazywaja¾ sie¾ wiazkami ¾ Hopfa. W szczególności dla n = 1 skoro RP 1 = S 1 ; CP 1 = S 2 ; HP 1 = S 4 : to otrzymujemy wiazki ¾ : S 1 ! S 1 - podwójne nakrycie /w÷ ókno Z2 ; dla S 1 = fz; jzj = 1g ; : S 3 ! S 2 - w÷ ókno S 1 ; : S 7 ! S 4 - w÷ ókno S 3 : 68 (z) = z 2 : Wiazki ¾ te nie sa¾ trywialne, rzutowania nie sa¾ ściagalne ¾ do punktów skad ¾ wynika np, z·e 3 (S 2 ) 6= 0 i 7 (S 4 ) 6= 0 tzn. w 2-wymiarowej rozmaitości S 2 sa¾ "dziury" 3wymiarowe a 4-wymiarowej rozmaitości S 4 sa¾ dziury 7-wymiarowe!. Rozwaz·ajac ¾ oktawy 15 Cayleya (czego nie robiliśmy) dochodzi sie¾ w analogiczny sposób do wiazki ¾ S ! S8 z w÷ óknem S 7 (sfery S 1 ; S 3 i S 7 sa¾ jedynymi w których istnieje struktura grupy Liego). Przypadek rzeczywisty jest banalny. Zajmiemy sie¾ przypadkiem 2 i 3. Niech (z0 ; z1 ) 2 S 3 C2 = R4 ; tzn. jz0 j2 + jz1 j2 = 1 (C-norma punktu (z0 ; z1 ) jest 1; j(z0 ; z1 )j = 1: Kaz·dy inny reprezentant klasy [(z0 ; z1 )] 2 CP 1 jest postaci (tz0 ; tz1 ) dla C 3t 6= 0: Jeśli wiec ¾ dalej (tz0 ; tz1 ) 2 S 3 czyli ma C-norm¾ e równa¾ 1 to zachodzi 1 = j(z0 ; z1 )j = j(tz0 ; tz1 )j = jt (z0 ; z1 )j = jtj j(z0 ; z1 )j = jtj : Zatem w÷ ókno nad punktem [(z0 ; z1 )] jest równe ft (z0 ; z1 ) ; jtj = 1g = S 1 : Analogiczny rachunek dla quaternionów daje to samo: wspó÷ czynnik proporcjonalności q mam mieć norm¾ e quaternionowa¾ (czyli zwyk÷ a¾ euklidesowa) ¾ równa¾ 1; a to oznacza, z·e 3 3 q 2 S i w÷ ókno jest dyfeomor…czne z S : Przy okazji obserwujemy bardzo ciekawa¾ rzecz: S3 C2 i S 7 H2 ; na C2 dzia÷ a z lewa grupa Liego S 1 (mnoz·enie zwyk÷ e przez liczby 3 3 zespolone), po obcieciu ¾ do S nie wychodzi sie¾ z S bo norma po pomnoz·eniu przez element z S 1 nie zmienia sie. ¾ Aby mieć prawe dzia÷ anie trzeba mnoz·yć z lewa przez odwrotny : S3 S 1 ! S 3 ; (q; a) 7 ! q := 1 1 q=( q; i (q ) = 1 q 1 = 1 1 q = ) 1 q=q ( ); dostajemy g÷ adkie i tzw. wolne, tzn. gdy (z0 ; z1 ) t = (z0 ; z1 ) to t = 1: Znaczy to, z·e ania pokrywaja¾ sie¾ orbita¾ dzia÷ ania jest S 1 ; (z0 ; z1 ) S 1 = S 1 ; poza tym orbity tego dzia÷ 3 1 co wyz·ej zaobserwowaliśmy z w÷ óknami rzutowania : S ! CP = S 2 : Z Tw Glisona : S 3 ! CP 1 jest wiazk ¾ a¾ i to wiazk ¾ a¾ g÷ ówna¾ o grupie strukturalnej S 1 : Analogicznie w przypadku quaternionowym mamy prawe dzia÷ anie wolne z mnoz·enia 2 2 przez odwracanie quaternionów H H !H : S7 S 3 ! S 7 ; (q; a) 7 ! q := 1 q: Orbita¾ jest (q0 ; q1 ) S 3 = S 3 i orbity pokrywaja¾ sie¾ z w÷ óknami rzutowania koregularnego 7 1 4 : S ! HP = S : Tak samo z Tw. Glisona jest to wiazka ¾ g÷ ówna z grypa¾ strukturalna¾ S 3: Niz·ej bardziej rachunkowo bez Tw. Glisona pokaz·emy z·e mamy do czynienia z wiazkami ¾ lokalnie trywialnymi : S n ! RP n ; : S 2n+1 ! CP n i : S 4n+3 ! HP n ; jednym ujeciem ¾ z wiazk ¾ a¾ : S (n) ! Pn o grupie strukturalnej S (0) = Z2 ; S 1 i S 3 odpowiednio /S (n) f0g : Twierdzenie 15.3.1 (a) Dla dowolnej bazy v = (v0 ; :::; vn ) 2 v : Uv S (0) ! 69 1 [Uv ] S (n) n+1 n+1 f0g ; S (0) odwzorowanie gdzie Uv = f[v0 + i n i=1 q vi ] ; qi 2 g Pn jest otwartym podzbiorem, zadane wzorem ; = (v0 + ni=1 q i vi ) jv0 + ni=1 q i vi j 1 n i i=1 q vi v0 + v jest dyfeomor…zmem (z wiec ¾ lokalna¾trywializacja¾rzutowania ). (b) dla dowolnych dwu baz v = (v0 ; :::; vn ) i w = (w0 ; :::; wn ) istnieje g÷adkie odwzorowanie 'v;w : Uv \ Uw ! S (0) takie, ·ze 1 w : (Uv \ Uw ) S (0) ! (Uv \ Uw ) x; 'v;w (x) : v (x; ) = 1 w S (0) v Dowód. (a1) G÷ adkość v : Uv S (0) ! S (n) : Najpierw obserwujemy, z·e Uv jest dyfeomor…czny z n ; dyfeomor…zmem jest parametryzacja 'v n 'v : Sk÷ adamy v q 1 ; :::; q n 7 ! v0 + ! Uv ; z dyfeomor…zmem 'v IdS Uv S (0) = " 'v IdS n S (0) (0) n : (0) & ((q 1 ; :::; q n ) ; ) S (0) ! Uv v 7 ! 0 1 : 0 S (0) i obliczamy S (0) : Przypomnijmy rzut [Uv ] ! Uv 0 C B qv @ ni=0 q i vi A = @ | {z } n i i=0 q vi (q ) ; v0 + q 0 6=0 : n+1 S (n) 1 v + n qi v ( 0 i=1 i ) jv0 + ni=1 qi vi j ! Dolna strza÷ ka jest g÷ adka, wiec ¾ v jest tez· g÷ adka. 1 (a2) Im v = [Uv ] -Ćwiczenie 1 (a3) G÷ adkość odwrotnego v 1 : [Uv ] ! Uv n+1 n f0g ! P : Weźmy qv 1 n i i=1 q vi 1 n qi i=1 q 0 vi : 1 A: Odwzorowanie qv jest g÷ adkie. Pokaz·emy, z·e qv j Istotnie, i) gdy jq 0 v0 + q0 n i i=0 q vi n i i=1 q v0 + vi j n qi i=1 q 0 2 = S (n) czyli j j 1 vi 1 n i i=0 q vi j = (q0 ) v0 + [Uv ] = n i i=0 q vi j 1 skad ¾ q0 = 1 qi n i=1 q 0 1 v vi 2 S (0) : 70 : = 1 to v0 + q0 qi n i=1 q 0 n qi i=1 q 0 v0 + vi 2 vi = S (0) wiec ¾ ii) qv j 1 [Uv ] v = qv v = id; istotnie, v0 + ni=1 q i vi ; (v0 + ni=1 q i vi ) = qv jv0 + ni=1 q i vi j qv v v0 + ni=1 1 q i vi jv0 + ni=1 q i vi j 1 1 i q n v + vi 0 i=1 n n i jv0 + i=1 q vi j jv0 + i=1 q i vi j = qv = qv 1 1 i 1 = = jv0 + v0 + i n i=1 q vi ; v ([v0 + v i n i=1 q vi ] ; 1 ( 1 2 j v qv n i i=1 q vi j jv0 + [Uv ] ; q 0 6= 0 oraz j ) j 0 n i i=0 q vi 0 @ v0 + v = vi ; i v0 + n i=1 q vi i v0 + n i=1 q vi )= qv (q) = n i i=1 q vi j jv0 + (q0 ) v0 + = = i n q i=1 0 q 0 v0 + = v0 + n i i=0 q (q 0 ) v0 + v0 + vi n qi i=1 q 0 n qi i=1 q 0 vi 1 jv0 + n i i=1 q vi j n qi i=1 q 0 i n q i=1 0 v0 + vi q n qi i=1 q 0 (q ) vi ; 1 n qi i=1 q 0 v0 + 1 vi A vi vi vi = n i i=0 q vi = q: a4) v = pr1 - jasne. a5) Pokaz·emy, z·e v spe÷ nia warunek (u; ) = v (u; ); 71 ; = 1: Otrzymujemy 0 vi n qi i=1 q 0 v0 + = q0 @ n i i=0 q vi j 1 1 qi n i=1 q 0 v vi ; q v0 + v 1 1 : n i i=0 q vi iii) Niech q = n i=1 v0 + n i i=1 q vi j q 2 S (0) : 1 n qi i=1 q 0 vi 1 A ! Niech u = [v0 + i n i=1 q vi ] ; v0 + v wtedy i n i=1 q vi ; = 1 = 1 = 1 v = ( = = ) ( v 1 v0 + ni=1 q i vi ; 1 (v0 + ni=1 q i vi ) jv0 + ni=1 q i vi j n i 1 (v0 + i=1 q vi ) jv0 + ni=1 q i vi j (v0 + ni=1 q i vi ) jv0 + ni=1 q i vi j ) 1 (v0 + ni=1 q i vi ) jv0 + ni=1 q i vi j v0 + ni=1 q i vi ; co pokazuje, z·e wiazki ¾ Hopfa sa wiazkami ¾ g÷ ównymi. 15.4 Róz·niczka funkcji rzeczywistej f : M ! R określonej na rozmaitości M Zanim przedstawimy róz·niczk¾ e funkcji rzeczywistej przypomnijmy waz·ne z algebry liniowej pojecie ¾ przestrzeni wektorowej dualnej do danej. Niech V bedzie ¾ dowolna¾ rzeczywista¾ przestrzenia wektorowa. ¾ Odwzorowanie : V ! R jak wiadomo z algebry nazywa sie¾ liniowe (nazywamy je czesto ¾ funkcjona÷ ami liniowymi albo kowektorami) jeśli (v + w) = (v) + (w) oraz (rv) = r (v) dla v; w 2 V oraz r 2 R: Suma dwu odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym i iloczyn przez skalar tez· Ogó÷ odwzorowań liniowych f : V ! Rg tworzy wiec ¾ takz·e przestrzeń wektorowa, ¾ nazywana¾ dualna¾ do V i oznaczana¾ najcześciej ¾ przez V : Za÷ óz·my, z·e V ma skończony wymiar n i (v1 ; :::; vn ) jest jej baza. ¾ Wiadomo, z·e kaz·dy funkcjona÷liniowy : V ! R jest jednoznacznie określony wartościami na bazie. Dlatego ÷ atwo określić baze¾ przestrzeni dualnej V : De…niujemy w tym celu funkcjona÷ y v1 ; :::; vn określajac ¾ ich wartości na wektorach z bazy (v1 ; :::; vn ) : v1 (v1 ) = 1; v1 (v2 ) = ::: = v1 (vn ) = 0 v2 (v1 ) = 0; v2 (v2 ) = 1; v2 (v3 ) = ::: = v1 (vn ) = 0 :::::::::: vn (v1 ) = ::: = vn (vn 1 ) = 0; vn (vn ) = 1: Krótko vi (vj ) = ij - delta Kroneckera, czyli równowaz·nie vi r1 v1 + ::: + rn vn = ri : 72 Uk÷ ad funkcjona÷ ów (v1 ; :::; vn ) tworzy baze¾ przestrzeni dualnej V zwana¾ baza¾ dualna¾ do bazy (v1 ; :::; vn ) : Dla przyk÷ adu, baza¾ przestrzeni Rn sa¾ wersory osi wspó÷ rzednych ¾ (e1 ; :::; en ) a baza¾ dualna¾ kowektory (e1 ; :::; en ) ; takie, z·e ei (ej ) = ij ; czyli ei x1 ; :::; xn = xi : Wygodnie jest przyjać ¾ jeszcze nastepuj ¾ ace ¾ oznaczenie: gdy (x1 ; :::; xn ) sa¾ wspó÷ rzednymi ¾ n punktu w R (wzgledem ¾ bazy wersorów ei ) to elementy bazy dualnej (e1 ; :::; en ) oznaczamy przez (dx1 ; :::; dxn ) : Przy takim oznaczeniu dowolny funkcjona÷liniowy 2 n n i (R ) ; : R ! R; jest kombinacja¾ liniowa¾ dx ; = a1 dx1 + ::: + an dxn : Przyk÷ adami kowektorów z (Rn ) sa¾ róz·niczki (mocne) funkcji f : U ! R określonych na otwartych zbiorach U Rn : (Df )x0 (h) = 0 fjh (x0 ) = n X i h fji (x0 ) = i=1 n X i=1 fji (x0 ) dxi (h) skad ¾ we wspó÷ rzednych ¾ w przestrzeni dualnej (Rn ) mamy znany wzór na róz·niczk¾ e funkcji 1 f klasy conajmniej C ; w danym punkcie x0 2 U (Df )x0 = n X i=1 fji (x0 ) dxi : Niech M bedzie ¾ dowolna¾ rozmaitościa, ¾ f : M ! R dowolna¾ funkcja¾ rzeczywista¾ klasy C 1 ; p 2 M dowolnym punktem i w 2 Tp M dowolnym wektorem stycznym do M w punkcie p: Określamy róz·niczk¾ e funkcji f w punkcie p nastepuj ¾ aco: ¾ jest to odwzorowanie liniowe (df )p : Tp M ! R zde…niowane tak samo jak odwzorowanie styczne Tp f : Tp M ! Tf (p) R = R, tzn. dla wektora w 2 Tp M wybieramy dowolnie ÷ uk c : ( "; ") ! M taki, z·e c (0) = p i c0 (p) = w 0 i k÷ adziemy (df )p (w) = (f c) (0) : Róz·niczka (df )p jest zatem kowektorem - elementem przestrzeni dualnej do przestrzeni stycznej Tp M (df )p 2 (Tp M ) = /inne oznaczenie/ = Tp M: Przestrzeń dualna Tp M do przestrzeni stycznej Tp M nazywana tez· jest przestrzenia¾ kostyczna. ¾ Uwaga 15.4.1 Dlaczego wprowadzamy symbol ró·zniczki funkcji (df )p inny od odwzorowania stycznego Tp f ? Otó·z dlatego, ·ze pojawia sie¾ w ten sposób litera d która jest tu zala¾·zkiem nowego operatora d(dalej zde…niowanego) który bedzie ¾ ró·zniczkowa÷nie tylko funkcje rzeczywiste ale i tzw. formy ró·zniczkowe dowolnego stopnia, a w÷a´snie w stopniu 0 to bed ¾ a¾po prostu funkcje rzeczywiste na M: 73 Niech x = (x1 ; :::; xn ) bedzie ¾ dowolna mapa¾ na rozmaitości M wokó÷punktu p: Baza¾ przestrzeni stycznej Tp M sa¾ jak wiemy wektory @x@ i jp : Analogicznie jak to pisaliśmy dla P Rn ; baze¾ dualna¾do bazy @x@ i jp oznaczamy przez dxi : Oznacza to, z·e gdy h = nj=1 hj @x@ j jp to (dxi ) (h) = hi : Obliczymy wartość róz·niczki (df )p na wektorze @x@ i jp : Tak samo jak we wzorze (10.0.1) przyjmujac ¾ na prostej R mape¾ identyczność otrzymamy (df )p @ @xi jp = (df )p Dx 1 x(p) tzn. (ei ) = D f @ @xi jp Pn (df )p Dla dowolnego wektora h = i=1 (df )p (h) = = n X i h = @ @xi jp (df )p dxi (h) i=1 tzn. x(p) x (ei ) = f 1 ji x 1 ji (x (p)) = @f (p) ; @xi (x (p)) : otrzymujemy z liniowości róz·niczki i=1 n X 1 @f (p) = f @xi @ @xi jp hi x = @f (p) @xi n X i=1 hi @f (p) @xi n X @f (df )p = (p) dxi i @x i=1 i moz·na sie¾ pozbyć punktu p otrzymujac ¾ wzór n X @f df = dxi i @x i=1 który sprawia, z·e df staje sie¾ tzw. 1-forma¾ róz·niczkowa¾ na M w dziedzinie mapy x co niebawiem dok÷ adniej przedstawimy. Zauwaz·my jeszcze, z·e symbol dxi moz·na traktować jako róz·niczk¾ e wspó÷ rzednej ¾ xi rozumianej jako funkcja na otwartym zbiorze i i @x i na M; istotnie, poniewaz· @x j = j to obie strony ostatniej równości sa¾ równe dx : P P i @x dxi = nj=1 @x dxj = nj=1 ij dxj = dxi : j 16 16.1 Formy róz·niczkowe na rozmaitościach 1-formy róz·niczkowe Niech M bedzie ¾ dowolna¾rozmaitościa¾klasy C 1 : W kaz·dym punkcie p 2 M jest określona przstrzeń styczna Tp M oraz dualna do niej - tzw. przestrzeń kostyczna Tp M = (Tp M ) sk÷ adajaca ¾ sie¾ z kowektorów : Tp M ! R. 74 De…nicja 16.1.1 Forma¾ ró·zniczkowa¾ stopnia 1 (1-forma¾ ró·zniczkowa) ¾ na otwartym podzbiorze U M nazywamy przyporzadkowanie ¾ ! które ka·zdemu punktowi p 2 U przypisuje jaki´s kowektor ! p 2 Tp M: Przyk÷ adami 1-form sa¾ oczywiście róz·niczki funkcji df; dla f 2 C 1 (M ) : Jak zde…nować 1-formy róz·niczkowe klasy C 1 ? W tym celu pos÷ uz·ymy sie¾ lokalnym 1 n systemem wspó÷ rzednych ¾ x = (x ; :::; x ) wokó÷ punktu p i zwiazn ¾ a¾ z nim baza¾ 1 n (dx ; :::; dx ) przestrzeni kostycznej Tp M: Form¾ e ! zapisujemy w tej bazie n X != ! i dxi : i=1 Mówimy, z·e ! jest klasy C 1 jez·eli wspó÷ rzedne ¾ ! i sa funkcjami klasy C 1 : ×atwo zobaczyć, z·e jeśli w pewnej mapie x = (x1 ; :::; xn ) wokó÷punktu p wspó÷ rzedne ¾ formy ! sa¾ klasy C 1 ta w kaz·dej innej mapie y = (y 1 ; :::; y n ) wokó÷punktu p sa¾ tez· klasy C 1 i dlatego P P de…nicja jest poprawna. Istotnie, niech dxi = nj=1 aij dy j ; wtedy nk=1 aik dy k @y@ j = Pn @f k i i ¾ / (df )p @x@ i jp = @x i (p) j = aj skad k=1 ak @ @y j aij = dxi @xi @y j = - jest to funkcja klasy C 1 Zapisujac ¾ ! w dwu mapach x i y mamy != n X ! i i dx = i=1 n X ! ~ i dy i i=1 moz·emy obliczyć ! ~ i za pomoca¾ ! i ! = n X ! i i dx = i=1 = n X j=1 n X i=1 n X i=1 i !i @x @y j ! i ! skad ¾ i ! ~ = n X aij j dy = j=1 n X i=1 ! i n X @xi j=1 @y j dy j dy j n X !i i=1 @xi : @y j Ze wzoru tego widzimy, z·e jeśli ! i sa¾ klasy C 1 to takz·e ! ~ i sa¾ klasy C 1 : Geometrycznie, wartość 1-formy ! p na wektorze v 2 Tp M wyobrazimy sobie w pewien sposób nadajacy ¾ sie¾ na uogólnienie dla form wyz·szego stopnia opisane niz·ej. Rozwaz·my oś oznaczana¾ litera¾ ! i na tej osi zaznaczmy punkt ! p (v) i rozwaz·my odcinek o poczatku ¾ w 0 i końcu w ! p (v) ; 0 ! p (v): D÷ ugość tego odcinka jest wartościa bezwzgledn ¾ a¾ liczby ! p (v) ; 0 ! p (v) = j! p (v)j : Moz·na zatem powiedzieć, z·e ! p (v) jest znakowana¾ d÷ ugościa¾ 75 odcinka 0 ! p (v); tzn. d÷ ugościa¾ opatrzona¾ znakiem + lub liczba ! p (v) jest dodatnia czy ujemna. ; znak zalez·y od tego czy Za uogólnienie odcinka na p÷ aszczyźnie moz·na uwaz·ać równoleg÷ obok, a w wyz·szym wymiarze równoleg÷ ościan - co bedzie ¾ istotne w geometrycznym wyobraz·eniu wartości form wyz·szego stopnia. 16.2 Mnoz·enie skośne 1-form róz·niczkowych W tym paragra…e podamy metode¾ mnoz·enia 1-form róz·niczkowych tak aby by÷ y zachowane w jakimś sensie w÷ asności liniowe. Jeśli ! i sa¾ dwoma 1-formami określonymi na tym samym podzbiorze otwartym U M rozmaitości M to nie moz·na zde…niować mnoz·enia naiwnie wzorem (! )p (v) = ! p (v) p (v) dla p 2 U i v 2 Tp M bo nie bedzie ¾ to liniowe wzgledem ¾ v: W÷ aściwym pomys÷ em jest zde…niować mnoz·enie oznaczane innym symbolem (nie mylacym ¾ sie¾ ze zwyk÷ ym mnoz·eniem) ! ^ [zwanym mnoz·eniem skośnym lub zewnetrznym] ¾ w taki sposób aby by÷ a to 2-forma w tym sensie, z·e w punkcie p określona by by÷ a na parach wektorów (v1 ; v2 ) 2 Tp M Tp M , (! ^ )p : Tp M Tp M ! R: To znaczy, z·e wartość (! ^ )p (v1 ; v2 ) musi zalez·eć od czterech liczb: ! p (v1 ) ; p (v1 ) ; ! p (v2 ) ; p (v2 ) : Pierwsze dwie sa¾ zwiazane ¾ z wektorem v1 a ostatnie dwie z wektorem v2 : Wektory o wspó÷ rzednych ¾ [! p (v1 ) ; p (v1 )] i [ ! p (v2 ) ; p (v2 )] traktujemy jak wektory na p÷ aszczyźnie kartezjańskiej R2 o osiach ! i : Sa¾ to obrazy wektorów v1 i v2 za pomoca¾ odwzorowania liniowego !p; p : Tp M ! R2 ; v 7 ! [! p (v) ; p (v)] : Rozwaz·my równoleglobok P R2 rozpiety ¾ przez te dwa wektory. Geometrycznie mówiac, ¾ P jest obrazem równoleg÷ oboku w przestrzeni Tp M rozpietego ¾ przez wektory v1 i v2 za 76 pomoca¾ odwzorowania ! p ; p : Tp M ! R2 w p÷ aszczyzne¾ R2 = O! : Wiemy z analizy, z·e pole równoleg÷ oboku P jest wartościa¾ bezwzgledn ¾ a¾ wyznacznika ! p (v1 ) ! p (v2 ) (v1 ) : (v2 ) P P Bardzo ÷ atwo to pokazać za pomoca¾ ca÷ ki podwójnej i wzoru na zamiane¾ zmiennych: rozwaz·amy odwzorowanie które nam wyprostuje równoleglobok P na kwadrat K = [0; 1]2 ; (r; s) = r (! p (v1 ) ; p (v1 )) + s (! p (v2 ) ; p (v2 )) = (r ! p (v1 ) + s ! p (v2 ) ; r p (v1 ) + s p (v2 )) ; 1 r; s 2 [0; 1] : [P ] = [0; 1] wyznacznikowi powyz·szemu J = [0; 1] = K i jakobian odwzorowania @ 1 @r @ 1 @s Ze wzoru na zamiane¾ zmiennych RR @ 2 @r @ 2 @s P ! p (v1 ) ! p (v2 ) = d! d = RR K P P jest równy w÷ aśnie (v1 ) : (v2 ) jJ j dr ds = det ! p (v1 ) ! p (v2 ) P P (v1 ) (v2 ) ! p (v1 ) P (v1 ) jKj = det : ! p (v2 ) P (v2 ) Przyjmujemy jako de…nicje, ¾ z·e mnoz·enie 1-form (! ^ )p da 2-form¾ e która na parze wektorów (v1 ; v2 ) 2 Tp M Tp M bedzie ¾ równa znakowanemu polu równoleg÷ oboku rozpietego ¾ na wektorach [! p (v1 ) ; p (v1 )] i [ ! p (v2 ) ; p (v2 )] ; a dok÷ adniej (! ^ )p (v1 ; v2 ) = det ! p (v1 ) ! p (v2 ) P P (v1 ) (v2 ) ; czyli znakowanemu polu obrazu równoleg÷ oboku w Tp M rozpietego ¾ przez (v1 ; v2 ) za po2 moca¾ odwzorowania liniowego ! p ; p : Tp M ! R ; v 7 ! [! p (v) ; p (v)] : 77 Prawa strona powyz·szego wzoru zalez·y tylko od wartości form w punkcie p; moz·na zatem za pomoca¾ powyz·szego wyznacznika określić iloczyn skośny ! p ^ p ; czyli (! ^ )p = ! p ^ p: Pierwsza waz·na obserwacja to skośna symetria mnoz·enia !^ = ^! co wynika z w÷ asności wyznacznika: gdy przestawimy dwie sasiednie ¾ kolumny to wyznacznik zmieni sie¾ na przeciwny. W szczególności !^! =0 gdyz· ! ^ ! = ! ^ ! skad ¾ 2 ! ^ ! = 0 co implikuje ! ^ ! = 0: Stosujac ¾ do bazowych 1-form dxi wzgledem ¾ mapy x = (x1 ; :::; xn ) mamy toz·samości dxi ^ dxj = dxj ^ dxi dxi ^ dxi = 0: dla i 6= j; (16.2.1) Druga waz·na obserwacja to liniowość wzgledem ¾ pierwszej zmiennej v1 oraz liniowość wzgledem ¾ drugiej zmiennej v2 ; np. dla pierwszej zmoennej (! ^ )p (v1 + w1 ; v2 ) = (! ^ )p (v1 ; v2 ) + (! ^ )p (w1 ; v2 ) ; (! ^ )p (rv1 ; v2 ) = r (! ^ )p (v1 ; v2 ) co takz·e wynika z elementarnych w÷ asności wyznacznika. ×¾ acznie mówimy, z·e odwzorowanie (! ^ )p : Tp M Tp M ! R jest dwu-liniowe (tzn. liniowe wzgledem ¾ kaz·dej zmiennej). Powyz·sze w÷ asności pozwalaja¾ ÷ atwo obliczać iloczyn skośny 1-form zapisanych w 1 n lokalnej bazie dx ; :::; dx wzgledem ¾ mapy x = (x1 ; :::; xn ) ; np. na powierzchni 2wymiarowej M i mapy o wspó÷ rzednych ¾ zwyczajowo oznaczanych (x; y) mamy dla 1-form ! = 2x dx xy dy = sin x dx + cos y dy ich skośny iloczyn !^ = (2x dx xy dy) ^ (sin x dx + cos y dy) = 2x dx ^ sin x dx + 2x dx ^ cos y dy xy dy ^ sin x dx = 2x sin x dx ^ dx} + 2x cos y dx ^ dy xy sin x dy ^ dx | {z | {z } =0 = dx^dy = 2x cos y dx ^ dy + xy sin x dx ^ dy = (2x cos y + xy sin x) dx ^ dy: 78 xy dy ^ cos y dy xy cos y dy ^ dy | {z } =0 Analogicznie de…niujemy iloczyn skośny kilku 1-form ! 1 ^ ::: ^ ! k jako odwzorowanie które w danym punkcie p i uk÷ adowi k-wektorów (v1 ; :::; vk ) 2 Tp M ::: Tp M przypisuje znakowane pole odpowiedniego k-równoleg÷ ościanu w przestrzeni Rk (o osiach oznaczanych ! 1 ; :::; ! k ) rozpietego ¾ przez wektory wodzace ¾ punktów [(! 1p ) (vi ) ; ::: (! kp ) (vi )] ; czyli wyznacznik 3 2 ! 1p (v1 ) ! kp (v1 ) 6 7 .. .. (! 1 ^ ::: ^ ! k )p (v1 ; :::; vk ) = det 4 5: . . ! 1p (vk ) ! kp (vk ) Geometrycznie ten k-równoleg÷ ościan w Rk jest obrazem równoleg÷ ościanu w Tp M rozpietego ¾ przez (v1 ; :::; vk ) za pomoca¾ odwzorowania liniowego (! 1p ; :::; ! kp ) : Tp M ! Rk ; v 7 ! [! 1p (v) ; :::; ! kp (v)] : Z w÷ asności wyznacznika obserwujemy w÷ asność: dla dowolnej permutacji (1; 2; :::; k) ! (1) ^ ::: ^ ! (k) = sgn ! 1 ^ ::: ^ ! k : 2 k liczb Wprost z de…nicji zarówno dla mnoz·enia skośnego dwu form jak i wiekszej ¾ ich ilości wartość (! 1 ^ ::: ^ ! k )p w punkcie p zalez·y tylko od wartości tych form w punkcie p; czyli moz·na przy pomocy tego wyznacznika zde…niować iloczyn ! 1p ^ ::: ^ ! kp i wówczas mamy (! 1 ^ ::: ^ ! k )p = ! 1p ^ ::: ^ ! kp : Z w÷ asności wyznacznika wnosimy takz·e, z·e iloczyn skośny k 1-form jest w kaz·dym punkcie p odwzorowaniem (! 1 ^ ::: ^ ! k )p : Tp M | k ::: {z razy Tp M ! R } k-liniowym (t.j. liniowym wzgledem ¾ kaz·dej z k zmiennych) oraz skośnie symetrycznym w sensie takim, z·e dla dowolnych wektorów (v1 ; :::; vk ) z przestrzeni stycznej Tp M i permutacji 2 k mamy równość (! 1 ^ ::: ^ ! k )p v (1) ; :::; v (k) = sgn (! 1 ^ ::: ^ ! k )p (v1 ; :::; vk ) : Na rozmaitości M wymiaru n iloczyn 1-form ! 1 ^ ::: ^ ! k w ilości k > n jest zawsze zerowy ! 1 ^ ::: ^ ! k = 0; k > dim M a to dlatego, z·e po rozk÷ adzie kaz·dej 1-formy ! i w bazie dx1 ; :::; dxn i wykonaniu mnoz·enia kaz·dy sk÷ adnik bedzie zawiera÷conajmniej dwa jednakowe czynniki dxi i w konsekwencji bedzie ¾ równy 0: Lemat 16.2.1 Dla funkcji f1 ; :::; fk x = (x1 ; :::; xn ) na zbiorze otwartym U df1 ^ ::: ^ dfk = X j1 <::<jk 2 C 1 (M ) i lokalnego uk÷au wspó÷rzednych ¾ M mamy na zbiorze U @f1 @xj1 .. . @fk @xj1 79 @f1 @xjk .. . @fk @xjk dxj1 ^ ::: ^ dxjk : Dowód. X @f1 X @f1 j1 ^ ::: ^ dx dxjk j1 jk @x @x jk j1 X @f1 @f1 j1 = :::: dx ^ :::: ^ dxjk j1 jk @x @x j1 ;:::;jk X X @f1 @f1 j 1 = ^ ::: ^ dxj k ::: j k dx j 1 @x @x j1 <::<jk 2Sk X X @f1 @f1 j 1 = sgn ::: ^ ::: ^ dxj j k dx j 1 @x @x j <::<j 2S df1 ^ ::: ^ dfk = 1 = k X j1 <::<jk 16.3 k k @f1 @xj1 @f1 @xjk .. . .. . @fk @xj1 @fk @xjk dxj1 ^ ::: ^ dxjk : k-formy róz·niczkowe na rozmaitości De…nicja 16.3.1 k-forma¾ na rozmaito´sci M okre´slona na otwartym podzbiorze U nazywamy przyporzdkowanie ! ka·zdemu punktowi p 2 U pewnego odwzorowania ! p : Tp M | k ::: {z razy Tp M ! R } króre jest k-liniowe i sko´snie symetryczne, tzn. ! p v (1) ; :::; v (k) = sgn M ! p (v1 ; :::; vk ) : Zbiór wszystkich k-form róz·niczkowych na określonym podzbiorze otwartym U M rozmaitości M oznaczamy przez k (U ) : W szczególności gdy U = M mamy zbiór k (M ) : Formy róz·niczkowe moz·na dodawać i mnoz·yc przez skalary (liczby) "punkt po punkcie", (! + )p = ! p + p ; (r !)p = r ! p ; p 2 U: Jest oczywiste, z·e otrzymamy w ten sposób przestrzeń wektorowa¾ k (U ) nad cia÷ em liczb rzeczywistych. Form¾ e róz·niczkowa¾ na U moz·na takz·e mnoz·yć przez funkcje rzeczywista¾ określona¾ na U; tzn. dla f 2 C 1 (U ) określamy form¾ e f ! 2 k (U ) punkt po punkcie (f !)p = f (p) ! (p) ; p 2 U: Przyk÷ adami k form sa¾iloczyny k sztuk 1-form róz·niczkowych ! 1 ^:::^! k ; ! i 2 i (M ) : Drugim waz·nym przyk÷ adem sa¾ formy otrzymane nastepuj ¾ aco: ¾ rozwaz·amy rozmaitość m m n-wymiarowa¾ M R w przestrzeni Euklidesowej R i k-form¾ e w Rm : Formy takie sa¾ i1 ik generowane przez formy bazowe dx ^ ::: ^ dx ; i1 < ::: < ik (gdzie x = (x1 ; :::; xm ) jest standardowy uk÷ ad wspólrzednych ¾ w Rm ). Poniewaz· Tp M Tp Rm = Rm to form¾ e 2 k m (R ) moz·na uwaz·ać takz·e za form¾ e na M określona w kierunku wektorów stycznych do M tym samym przepisem co ; tzn. p : Rm ::: Rm ! R obcinamy do p : Tp M ::: Tp M ! R i otrzymamy form¾ e na M: Np dla powierzchni S R3 mamy formy 1 2 3 ! = ! dx ^ dy + ! dx ^ dz + ! dy ^ dz które sa¾ 2-formami na R3 i po obcieciu ¾ ich w kaz·dym punkcie p 2 S do wektorów stycznych do S sa¾ takz·e formami na S: 80 Poniewaz· permutacja która przestawia dwie liczby miejscami jest zawsze nieparzysta, to gdy w ciagu ¾ wektorów (v1 ; :::; vk ) sa dwa jednakowe wektory wówczas ! p (v1 ; :::; vk ) = 0 gdyz· stosujac ¾ taka¾ permutacje¾ otrzymujemy ! p (v1 ; :::; vk ) = ! p (v1 ; :::; vk ) dkad ¾ 2 ! p (v1 ; :::; vk ) = 0 co daje równość ! p (v1 ; :::; vk ) = 0: Wynika stad ¾ takz·e, z·e gdy k > dim M to zawsze musi być ! p = 0: Istotnie, biorac ¾ @ dowolny ciag ¾ wektorów (v1 ; :::; vk ) i rozk÷ adajac ¾ kaz·dy wektor vj wzgledem ¾ bazy @xi jp obserwujemy z k-liniowości ! p ; z·e ! p (v1 ; :::; vk ) jest kombinacja¾ liniowa¾ sk÷ adników postaci ¾ (i1 ; :::; ik ) liczb ze zbioru ! p @x@i1 jp ; :::; @x@ik jp i skoro k > dim M = n to w ciagu f1; 2; :::; ng musza¾ zawsze być conajmniej dwie jednakowe, skad ¾ sk÷ adnik taki znika. Niech k n = dim M: Biorac ¾ w otoczeniu punktu p mape¾ x = (x1 ; :::; xn ) obserwujemy dzieki ¾ relacjom (16.2.1), z·e wartość k-formy ! w punkcie p jest kombinacja¾ liniowa¾ bazowych 1-form dxi1 ^ ::: ^ dxik ; i1 < ::: < ik ; ! = X i1 <:::<ik ! i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik ; ! i1 :::ik sa¾ to funkcje rzeczywiste. -zwane wspó÷ czynnikami formy ! (rzeczywiście: pojawienie sie¾ dwu jednakowych form bazowych w takim iloczynie skutkuje zerowaniem sie¾ sk÷ adnika i stad ¾ nie moz·e być go w bazie, zatem nalez·y rozwaz·yć tylko sk÷ adniki w których i1 ; :::; ik sa¾ róz·ne miedzy ¾ soba¾ a nastepnie ¾ uporzadkować ¾ je tak aby i1 < ::: < ik ). Mówimy, z·e k-forma ! jest klasy C 1 jez·eli jej wspó÷ czynniki ! i1 :::ik wzgledem ¾ bazy i 1 dx sa¾ funkcjami klasy C : ×atwo sobie wyobrazić mnoz·enie skośne dwu form ! i ; stopnia k i l odpowiednio, przez siebie zapisujac ¾ w otoczeniu danego punktu kaz·da¾ z nich we wspó÷ rzednych ¾ dxi j/w X ! = ! i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik i1 <:::<ik = X j1 :::ik j1 <:::<jl !^ = X i1 <:::<ik = X ! i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik X i1 <:::<ik j1 <:::<jl ! i1 :::ik j1 :::ik dxj1 ^ ::: ^ dxjl ! ^ X j1 <:::<jl j1 :::ik dxj1 ^ ::: ^ dxjl ! dxi1 ^ ::: ^ dxik ^ dxj1 ^ ::: ^ dxjl po czym porzadkujemy ¾ wyrazy stosujac ¾ zasady dxi ^ dxj = dxj ^ dxi dla i 6= j i dxi ^ dxi = 0: Np. dla form stopnia 1 i 2 na rozmaitości M wymiaru 3 w lokalnych 81 wspó÷ rzednych ¾ x = (x; y; z) xdx 2yzdy + zy 2 dz ^ (xydx ^ dy 3zdy ^ dz) = x2 ydx ^ dx ^ dy 3xzdx ^ dy ^ dz 2xy 2 zdy ^ dx ^ dy | {z } {z } | =0 6yz 2 dz ^ dy ^ dz + {z } | =0 =0 3 +xy zdz ^ dx ^ dy = = = 3 3xzdx ^ dy ^ dz + xy zdz ^ dx ^ dy = 3xzdx ^ dy ^ dz + xy 3 zdx ^ dy ^ dz 3xz + xy 3 dx ^ dy ^ dz: 3xzdx ^ dy ^ dz 3 3y 2 z 2 dz ^ dy ^ dz {z } | =0 xy zdx ^ dz ^ dy Ale czy taka de…nicja jest poprawna? Tzn. czy nie zalez·y od wyboru lokalnego uk÷ adu wspó÷ rzednych? ¾ Rzeczywiście tak jest, bowiem moz·na zde…niować mnoz·enie skośne bez uz·ywania lokalnego uk÷ adu wspó÷ rzednych ¾ i pokazać, z·e otrzymujemy to samo. De…nicja 16.3.2 Iloczynem zewnetrznym ¾ [sko´snie symetrycznym] form ró·zniczkowych ! i stopnia k i l odpowiednio na otwartym podzbiorze U M rozmaito´sci M nazywamy forme¾ ró·zniczkowa¾stopnia k + l okre´slona¾na U nastepuj ¾ aco: ¾ dla dowolnego punktu p 2 U i wektorów vi 2 Tp M (! ^ )p (v1 ; :::; vk+l ) 1 X sgn ! p v (1) ; :::; v (k) = k!l! k+l 2 X = sgn ! p v (1) ; :::; v p v (k) (k+1) ; :::; v (k+l) p v (k+1) ; :::; v (k+l) k+l 2 (1)<:::< (k) (k+1)<:::< (k+l) (czyli z dok÷adno´scia¾do sta÷ej jest to usko´snienie mno·zenia ! p (v1 ; :::; vk ) ). p (vk+1 ; :::; vk+l ) Twierdzenie 16.3.1 Mno·zenie sko´sne w/g powy·zszej de…nicji ma nastepuj ¾ ace ¾ w÷asno´sci: (1) antyprzemienno´s´c ! ^ = ( 1)kl ^ !; w szczególno´sci gdy obie formy sa¾stopnia nieparzystego to ! ^ = jedna jest stopnia parzystego to ! ^ = ^ !. (2) dwuliniowo´s´c (r ! 1 + s ! 2 ) ^ = r !1 ^ + s !2 ^ ; ! ^ (r 1 + s 2 ) = r ! ^ 1 + s ! ^ 2 (3) ÷¾ aczno´s´c (! ^ ) ^ = ! ^ ( ^ ) ; 82 ^ !; gdy conajmniej przy czym zachodzi wzór ! ^ ^ (v1 ; :::; vk+l+s ) X 1 = sgn ! v k!l!s! k+l+s (1) ; :::; v (k) v (k+1) ; :::; v (k+l) v (k+l+1) ; :::; v (k+l+s) 2 Analogicznie dla wiekszej ¾ ilo´sci czynników, np dla 1-form ! 1 ; :::; ! k X ! 1 ^ ::: ^ ! k (v1 ; :::; vk ) = sgn ! 1 v (1) ::: ! k v 2 (k) k = det ! i (vj ) (co oznacza, ·ze mno·zenie w/g powy·zszej de…nicji oraz de…nicji pierwotnej dotyczacej ¾ 1form pokrywa sie). ¾ Z w÷ asności tych wynika, z·e obie de…nicje mnoz·enia wyz·ej przedstawione daja¾w efekcie te¾ sama¾ form¾ e róz·niczkowa.¾ Najwaz·niejsze rzeczy które moz·na robić z formami róz·niczkowymi to ich cofanie oraz róz·niczkowanie oraz dla form maksymalnego stopnia n = dim M - ca÷ kowanie. Omówimy je poniz·ej. 16.4 Cofanie form róz·niczkowych Niech F : M ! N bedzie ¾ odwzorowaniem klasy C 1 miedzy ¾ rozmaitościami M i N: Dla 1 formy róz·niczkowej ! 2 (N ) określimy jej cofniecie ¾ F ! 2 k (M ) : Cofanie 0 form. Cofanie 0 form czyli funkcji f : N ! R określamy nastepujaco: ¾ 1 F : (N ) ! F (f ) = f F: 1 (M ) ; Odwzorowanie to jest oczywiście liniowe F (rf + sg) = r (f F ) + s (g F ) = r F (f ) + s F (g) : Cofanie 1-form róz·niczkowych. Przypomnijmy róz·niczk¾ e odwzorowania Tp F : Tp M ! TF (p) N; zwanego tez· pchaniem wektorów. De…nicja 16.4.1 Niech ! 2 nia F; F !; wzorem 1 (N ) : Okre´slamy cofniecie ¾ fprmy ! za pomoca¾odwzorowa- (F !)p (v) = ! F (p) ((Tp F ) (v)) ; v 2 Tp M: Lemat 16.4.1 W÷asno´sci operacji cofania F : 1 (N ) ! 1 (M ) 1-form. (1) F jest liniowa, t.j. F (! + ! 0 ) = F (!) + F (! 0 ) ; F (r !) = r F (!) ; r 2 R; (2) F (df ) = d (f F ) dla f 2 C 1 (N ) ; (3) F (f !) = F (f ) F !: 83 : Dowód. (1) jasne, formalny dowód zostawiam jako ćwiczenie. (2) dla przyk÷ adu (F (df ))p (v) = (df )F (p) ((Tp F ) (v)) = TF (p) f ((Tp F ) (v)) = Tp (f F ) (v) : (3) (F (f !))p (v) = (f !)F (p) ((Tp F ) (h)) = f (F (p)) ! F (p) ((Tp F ) (v)) = f (F (p)) ! F (p) ((Tp F ) (v)) = f (F (p)) (F !)p (v) = (f F ) (p) (F !)p (v) = (F (f ) F !)p : Wniosek 16.4.1 Niech x = (x1 ; :::; xm ) oznaczaja¾lokalne wspó÷rzedne ¾ na rozmaito´sci M 1 n w otoczeniu punktu p oraz y = (y ; ::; y ) lokalne wspó÷rzedne ¾ na rozmaito´sci N w otoczeniu punktu F (p) : Dla wspó÷rzednych ¾ Fj odwzorowania F mapie y; F j = y j F oraz mamy F dy j = d y j F = d Fj = X @F j i @xi dxi : Przypomnijmy, odwzorowanie liniowe f : V ! W miedzy ¾ przestrzeniami wektorowymi V i W wyznacza odwzorowanie tzw. odwzorowanie dualne f : W ! V wzorem f (!) (v) = ! (f (v)) ; ! 2 W ; v 2 V: Widzimy, z·e dla 1-formy ! 2 1 (N ) i odwzorowania liniowego F p : Tp M ! TF (p) N oraz odwzorowania dualnego (F p ) : TF (p) N ! Tp M cofanie 1-form dla punktu p określone jest przy uz·yciu odwzorowania dualnego (F p ) (F (!))p = ! F (p) ((Tp F ) (v)) = (Tp F ) ! F (p) (v) : Cofanie k form róz·niczkowych. De…nicja 16.4.2 Niech ! 2 k (N ) : Okre´slamy F ! 2 k (M ) wzorem (F !)p (v1 ; :::; vk ) = ! F (p) ((Tp F ) (v1 ) ; :::; (Tp F ) (vk )) : Lemat 16.4.2 W÷asno´sci operacji cofania F : (1) F jest liniowa, (2) F (f !) = F (f ) F !; (3) F (! ^ ) = F ! ^ F : k (N ) ! Dowód. (1) i (2) dowodzi sie¾ analogicznie jak dla 1-form. 84 k (M ) k-form ró·zniczkowych. (3) Dla !; ! 0 2 (N ) ; p 2 M i wektorów vi 2 Tp M , (F (! ^ ))p (v1 ; :::; vk+l ) = (! ^ )p ((Tp F ) (v1 ) ; :::; (Tp F ) (vk+l )) 1 X = sgn ! F (p) (Tp F ) v (1) ; :::; (Tp F ) v (k) F (p) (Tp F ) v k!l! k+l 2 1 X sgn (F !)p v (1) ; :::; v (k) (F )p v (k+1) ; :::; v (k+l) = k!l! k+l (k+1) ; :::; (Tp F ) v 2 = (F !)p ^ (F )p (v1 ; :::; vk+l ) = (F ! ^ F )p (v1 ; :::; vk+l ) Wniosek 16.4.2 Niech y = (y 1 ; ::; y m ) oznaczaja¾lokalne wspó÷rzedne ¾ na rozmaito´sc M w otoczeniu punktu p oraz x = (x1 ; :::; xm ) lokalne wspó÷rzedne ¾ na rozmaito´sci N w otoczeniu punktu F (p) : Wtedy z Lematu (16.2.1) F dxi1 ^ ::: ^ dxik = d F i1 ^ ::: ^ d F ik = X j1 <::<jk @F i1 @y j1 .. . @F i1 @y jk @F ik @y j1 .. . dy j1 ^ ::: ^ dy jk : @F ik @y jk j1 jk Wspó÷czynnik interpretujemy geometrycznie nastepuj ¾ aco: ¾ rozwa·zamy i ^ :::h^ dy i h 1 przy dy n 1 @F @F @F n @F n ¾ rzutujemy je na podprzestrze´n wektory @yj1 ; :::; @yj1 ; :::; @yjk ; :::; @yjk 2 R ; nastepnie o osiach (i1 ; :::; ik ) i obliczamy znakowana¾ k-wymiarowa¾ objeto´s´c równoleg÷o´scianu rozpietego ¾ przez tak otrzymane wektory. W szczególno´sci, gdy n = m oraz k = n to F dx1 ^ ::: ^ dxn = det (JF ) dy 1 ^ ::: ^ dy n ; gdzie JF jest (w danym punkcie) macierza¾ Jacobiego odwzorowania F w mapach y i x; geometrycznie wspó÷czynnik det (JF )p to znakowana n-wymiarowa objeto ¾ ´s´c równoleg÷o´sh 1 i @F @F n @F cianu w Rn rozpietego ¾ przez wektory pochodne czastkowe ¾ = ; :::; ; i = 1; :::; n: @y i @y i @y i Nieco ogólniej co bedzie ¾ nam zaraz potrzebne F f dx1 ^ ::: ^ dxn = F (f ) F 16.5 dx1 ^ ::: ^ dxn = f F det (JF ) dy 1 ^ ::: ^ dy n Hiperpowierzchnie zorientowane i róz·niczkowych maksymalnego stopnia ca÷ kowanie form Ca÷ kowanie w końcowym etapie musi sie¾ sprowadzić do znanej operacji ca÷ kowania (w n sensie Riemanna lub ogólniejszym Lebesgue’a w R ), tzn. do liczenia ca÷ ki z funkcji 1 n n n-zmiennych f (x ; :::; x ) po zbiorze mierzalnym A R ; Z f x1 ; :::; xn dx1 :::dxn : A 85 (k+l) Wyraz·enie pod ca÷ ka¾ wyglada ¾ znajomo, podobnie do formy róz·niczkowej stopnia n która we wspó÷ rzednych ¾ kartezjańskich jest postaci ! = f x1 ; :::; xn dx1 ^ ::: ^ dxn : Jeśli akurat róz·niczki zmiennych wystepuj ¾ a¾w naszej n-formie w innej kolejności to moz·na je poprzestawiać wykorzystujac ¾ w÷ asności (16.2.1) skośnego mnoz·enia dxi ^ dxj = dxj ^ dxi ; dxi ^ dxi = 0: Dlatego jest ca÷ kiem naturalne po prostu przyjać, ¾ z·e Z Z 1 n de…nicja 1 n f x1 ; :::; xn dx1 :::dxn = f x ; :::; x dx ^ ::: ^ dx A A o ile ca÷ ka Riemanna lub Lebesgue’a z funkcji f (x1 ; :::; xn ) istnieje. Przy innym porzadku ¾ zmiennych w iloczynie dx1 ^ ::: ^ dxn stosujemy warunki skośności, np. Z Z Z f (x; y) dxdy: f (x; y) dx ^ dy = f (x; y) dy ^ dx = A A A Jedna¾ z najwaz·niejszych w÷ asności (u÷ atwiajacych ¾ obliczanie ca÷ ek po "krzywych " obszarach) jest twierdzenie o zamianie zmiennych, bowiem wybierajac ¾ stosownie zmiane¾ zmiennych moz·na "wyprostować" obszar do tzw. normalnego obszaru lub nawet czasem do prostopad÷ ościanu i w końcu zastosować Twierdzenie Fubiniego czy nawet od razu sprowadzić liczenie do ca÷ ek iterowanych po kolejnych zmiennych. Zasada stosowania zamiany zmiennych do dyfeomor…zmu F : D0 ! D miedzy ¾ otwartymi zbiorami D i D0 w Rn polega na wzorze Z Z 1 n 1 n f x ; :::; x dx :::dx = f F y 1 ; :::; y n JF y 1 ; :::; y n dy 1 :::dy n D0 D (zakladajac ¾ o funkcji f ca÷ kowalność). Aby w powyz·szym wzorze nie by÷potrzebny modu÷Jacobianu to musimy za÷ oz·yć z·e zmiana zmiennych zachowuje orientacje, ¾ tzn. Jf ((y 1 ; :::; y n )) > 0 dla (y 1 ; :::; y n ) 2 D0 : Skonfrontujmy teraz ten ostatni wzór ze wzorem F f dx1 ^ ::: ^ dxn = F (f ) F dx1 ^ ::: ^ dxn = f F det (JF ) dy 1 ^ ::: ^ dy n otrzymanym niedawno i z de…nicja¾ ca÷ ki z n-formy. Dla dyfeomor…zmu F zachowujacego ¾ orientacje¾ mamy zatem wzór Z Z 1 n f dx ^ ::: ^ dx = F f dx1 ^ ::: ^ dxn ; gdy det (JF ) > 0 D D0 Jez·eli dyfeomor…zm F zmienia orientacje¾ (tzn. det (JF ) < 0) wówczas ca÷ ki te bed ¾ a¾ róz·ni÷ y sie¾ znakiem Z Z 1 n f dx ^ ::: ^ dx = F f dx1 ^ ::: ^ dxn ; gdy det (JF ) < 0: D D0 86 Oznaczajac ¾ ! = f dx1 ^ ::: ^ dxn - jest to postać dowolnej n-formy na Rn - otrzymujemy Z Z != F !; (16.5.1) D0 D znak zalez·y od tego, czy dyfeomor…zm F zachowuje czy zmienia orientacje¾ (tzn. czy det (JF ) > 0 czy det (JF ) < 0). Wzory te podpowiadaja nam metode¾ ca÷ kowania n-form ! klasy C 1 na hiperpowierzchniach n-wymiarowych M: Najpierw za÷ óz·my, z·e "ca÷ a" forma siedzi w dziedzienie U M pewnej mapy x, tzn. dok÷ adniej, z·e tzw. nośnik formy ! czyli domkniecie ¾ zbioru tych punktów, w których forma jest niezerowa jest zawarty w U ; nośnik ! oznaczamy symbolem supp !; zatem supp ! = fp 2 M; ! p 6= 0g U: Forma ! na U jest postaci ! = f dx1 ^ ::: ^ dxn : Nalez·y teraz wziać ¾ parametryzcje¾ ' = x 1 : Rn U 0 ! U M; odwrotna¾ do mapy x i cofnać ¾ nasza¾ form¾ e do przestrzeni n parametrów ' (!) a tak otrzymana¾ n-form¾ e na R daje si kować R R e¾ juz· klasycznie sca÷ ' (!) jak by÷ o wyz·ej opisane. Pytanie: a jak ta ca÷ ka U 0 ' (!) zalez·y od wyboru U0 parametryzacji? Otóz·, jez·eli wziać ¾ druga¾ parametryzje¾ : Rn U 00 ! U M tego samego otwartego podzbioru U M; to dzieki ¾ wyz·ej pisanemu wzorowi na zamiane¾ 1 zmiennych (stosowanego dla dyfeomor…zmu przejścia F = ' : U 0 ! U 00 ) jest jasne, z·e jeśli funkcja przejścia F ma jakobian dodatni, to wartości ca÷ ek beda¾ takie same. Jeśli natomiast wziać ¾ taka, ¾ z·e funkcja przejścia ma jakobian ujemny to wartości ca÷ ek beda¾ przeciwne (na podstawie (16.5.1) ): Z Z Z Z 1 1 ' ( (!)) = F ( (!)) = ' ( (!)) = (!) = U 00 U0 U0 U0 Co w takim razie zrobić aby de…nicja by÷ a poprawna? Aby określić ca÷ k¾ e z formy ! określonej na hiperpowierzchni M przede wszystkim musimy mieć mozliwość wyboru atlasu parametryzacji takich, aby funkcje przejścia mia÷ y jakobiany dodatnie. A to oznacza, z·e moz·na ca÷ kować formy tylko po hiperpowierzchniach zorientowanych czyli takich, dla których taki atlas jest zadany (nie kaz·da hiperpowierzchnia dopuszcza taki atlas, np. wstega ¾ Möbiusa nie dopuszcza takiego atlasu, nie jest orientowalna. De…nicja 16.5.1 Hiperpowierzchnie¾ M nazywamy orientowalna¾ je·zeli dopuszcza atlas dla ktorego funkcje przej´scia maja¾dodatni Jakobian. Zauwaz·my, z·e dana parametryzacja ' otwartego podzbioru U M orientuje kaz·da¾ przestrzeń styczna¾ Tp M dla p 2 U za pomoca¾ bazy kanonicznej wyraz·onej przy pomocy mapy x =' 1 ; @x@ 1 jp ; :::; @x@n jp i z·e dwie parametryzacje na tym samym zbiorze U i zgodne w tym sensie, z·e funkcja przejścia ma dodatni Jakobian jednakowo orientuja¾ przestrzenie styczne Tp M: Zatem orientacje M moz·na zadać równowaz·nie poprzez orientacje kaz·dej przestrzeni stycznej Tp M ale tak, z·eby orientacja "g÷ adko" zalez·a÷ a od punktu [w tym sensie, aby w otoczeniu U dowolnego punktu istnia÷ a mapa która orientuje przestrzeń styczna¾ tak samo jak zadana orientacja]. 87 Z U0 ' (!) : Uwaga 16.5.1 Dodajmy jeszcze, ·ze gdy M R3 jest powierzchnia¾ zorientowana,¾ to na M istnieje pole wektorowe ciag÷ ¾ e wszedzie ¾ niezerowe N i prostopad÷e do M: Mianowicie, pole takie okre´slone jest przez wykorzystanie iloczynu wektorowego: na dziedzienie mapy x = (x; y) zgodnej z zadana¾orientacja¾pole N de…niujemy wzorem N= @ @x @ @y @ @x @ @y : I odwrotnie, zadanie takiego pola orientuje powierzchnie, bo wybieramy atlas map takich, które na swojej dziedzinie orientuja¾przestrze´n styczna¾zgodnie z zadana¾orientacja¾i ÷atwo zobaczy´c, ·ze dwie takie mapy maja¾ funkcje przej´scia o dodatnim Jakobianie. Daje sie¾ to uogólni´c na przypadek hiperpowierzchni wymiaru n 1 w przestrzei Rn stosujac ¾ iloczyn n wektorowy n 1 wektorów w przestrzeni R : Jest jeszcze jeden równowa·zny sposób orientowania n-wym. hiperpowierzchni: mianowicie M jest orientowalna gddy istnieje na M forma ró·zniczkowa ! stopnia n niezerowa w ka·zdym punkcie. Za÷ óz·my zatem, z·e nasza hiperpowierzchnia M jest zorientowana. Pojawia sie¾ drugi problem: jez·eli forma ! nie jest "skupiona" w jednej mapie, tzn. jej nośnik nie siedzi w jednej mapie. Co wtedy zrobić? Otóz·, w tym celu trzeba by umieć roz÷ oz·yć form¾ e ! na sum¾ e form !a takich aby kaz·dy sk÷ adnik mia÷ma÷ y nośnik, tzn. zawarty w jednej mapie. Do tego celu s÷ uz·y narzedzie ¾ zwane rozk÷ adem jedynki. Rozwaz·amy otwarte pokrycie U = fU g hiperpowierzchni M dziedzinami map (parametryzacji ' ). Udowadnia sie¾ (co pominiemy) istnienie funkcji klasy C 1 na hiperpowierzchni M f g takich, z·e (a) nośnik funkcji jest zawarty w U ; supp U ; (b) rodzina nośników fsupp g jest lokalnie skończona w tym sensie, z·e kaz·dy punkt p 2 M ma otoczenie otwarte V które przecina sie¾ tylko P ze skończona¾ ilościa¾ nosników supp P (dzieki ¾ czemu suma - moz·e być nieskończona ma sens). (c) =1 Dzieki ¾ w÷ asności (c) rodzina f g nazywa sie¾ rozk÷ adem jedności (podporzad¾ kowanym pokryciu U = fU g ). Dowolna¾ n-form¾ e ! na M moz·emy przedstawić w postaci ! X X X !=1 != != ( !) = ! ; gdzie ! = !; a a a i oczywiście nośniki form ! sa¾ wtedy ma÷ e, zawarte w dziedzinach U parametryzacji ' ; supp U : De…niujemy (pod warunkiem zwartości nośnika ! - np. gdy sama rozmaitość jest zwarta - co zapewnia istnienie poniz·szej ca÷ ki) Z Z X != (' ) ( !) : M a ' [U ] 88 Dowodzi sie, ¾ z·e de…nicja jest poprawna, tzn. nie zalez·y od pomocniczych wyborów jak np. atlasu zgodnie orientujacego ¾ M z zadana¾ orientacja, ¾ oraz od rozk÷ adu jedności. Bedzie ¾ przydatne w końcu wyk÷ adu twierdzenie: Twierdzenie 16.5.1 Dla n-formy ! nigdzie niezerowej na rozmaito´sci zorientowanej zwartej M Z ! 6= 0: M Dowód. Ustalmy pokrycie mapami zgodnymi z orientacja¾ zadana¾ fU ; x g i zapiszmy form¾ e ! w mapach ! jU = f dx1 ^ ::: ^ dxn : óz·my z·e w dla jakiejś mapy Z za÷ oz·enia f jest niezerowa. Dla ustalenia uwagi, za÷ x funkcja f > 0: Pokaz·emy, z·e w kaz·dej innej mapie x funkccja f > 0: Najpierw rozwaz·my druga¾ mape¾ o dziedzinie U przecinajacej ¾ U ; U \ U 6= ?: Niech 1 n i ! jU = f dx ^ ::: ^ dx . Przedstawiamy róz·niczki dx za pomoca¾ róz·niczek dxk ; X aik dxk : @ @xk = dxi = k Obliczamy aik = dxi Macierz a= aik @ xi : @xk " @ xi = @xk # ma dodatni wyznacznik bo mapy sa¾ zgodne oraz f dx1 ^ ::: ^ dxn = ! jU \U = f dx1 ^ ::: ^ dxn = f k1 1 k1 ak1 dx 1 ^ ::: ^ n kn kn akn dx n = f det a dx ^ ::: ^ dx skad ¾ f = f det a co implikuje, z·e obie funkcje f i f sa¾tego samego znaku. Biorac ¾ dowolnie punkt x 2 U oraz y 2 M i ÷ acz ¾ ac ¾ x z y dowolnym ÷ ukiem ciag÷ ¾ ym moz·na (ze zwartości ÷ uku) znaleźć skończomy "÷ ańcuch" map x = x1 ; x2 ; ..., xk taki, z·e dwa sasiednie ¾ maja¾ niepusta¾ cześć ¾ wspólna¾ dziedzin. Z powyz·szego wywodu kolejne dwie funkcje f i ; f i+1 sa¾ tego samego znaku, wi ¾ Rw szczególności ta ostatnia jest tego samego znaku co pierwsza. W sumie R Pec ! = !) de…niuniacej ¾ ca÷ k¾ e, kaz·dy sk÷ adnik ca÷ kuje funkcje f ' a ' [U ] (' ) ( M R (' = x 1 ) nieujemna¾ i gdzieś niezerowa, ¾ skad ¾ musi być M ! > 0: 89 Uwaga 16.5.2 (Na zapas) Po wprowadzeniu wzoru Stokesa i ró·zniczkowania form z R warunku M ! 6= 0 wynika´c bedzie, ¾ ·ze forma ! nie jest dok÷adna, tzn. nie jest ró·zniczka¾ ·zadnej (n 1)-formy. Istotnie, gdyby ! = d to skoro brzeg rozmaito´sci M jest pusty mamy ze wzoru Stokesa Z Z d = =0 M @M n wbrew za÷o·zeniu. Zatem napewno bedzie ¾ H (M ) 6= 0 (H n (M ) to n - ta grupa kohomologii rozmaito´sci M ). Zastosowania ca÷ kowania form w …zyce czesto ¾ polegaja¾ na stowarzyszeniu z polem wektorowym odpowiedniej formy róz·niczkowej. Przyk÷ ad 16.5.1 Rozwa·zmy na Rn pole wektorowe F o wspó÷rzednych ¾ F = [P1 ; :::; Pn ] : Wia¾·zemy z nim 1-forme¾ ró·zniczkowa¾ = P1 dx1 + ::: + Pn dxn : Je´sli w dziedzinie pola jest okre´slony pewien ÷uk c : [a; b] ! Rn ; c (t) = (x1 (t) ; :::; xn (t)) ; (zadany jest dzieki ¾ temu na obrazie ÷uku - czyli krzywej - kierunek obiegu parametru, a wiec ¾ zadana jest orientacja tej krzywej) to mo·zna liczy´c ca÷ke¾ Z Z b Z b : = c ( )= c P1 dx1 + ::: + Pn dxn = c a a Z b 1 dxn dx = P1 (c (t)) + ::: + Pn (c (t)) dt dt a Z b 1 n dx dx = [P1 ; :::; Pn ] ; :::; /mamy tu iloczyn skalarny dt dt a i widzimy, ·ze jest to ca÷ka skierowana wzd÷u·z ÷uku c z pola wektorowego F (znana¾z semetru R III). Ca÷ke¾ oznacza sie¾ tak·ze c F ds i jest to praca pola wektorowego F wzd÷u·z zorientowanej krzywej c: Z ostatniego wzoru widzimy tak·ze, ·ze pole F prostopad÷e do drogi ·zadnej pracy nie wykona. Przyk÷ ad 16.5.2 Je´sli S R3 jest 2-wymiarowa¾ zorientowana¾ powierzchnia¾ w R3 i F = [P; Q; R] jest polem wektorowym którego dziedzina zawiera powierzchniRe¾ S to z polem wektorowym F wia¾·zemy 2 forme¾ = P dy^dz Qdx^dz +Rdx^dy: Ca÷ke¾ S oznaczamy R tak·ze S F dS i nazywamy strumieniem pola F przez powierzchnie zorientowana¾S Z Z F dS : = P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy: S S Je´sli powierzchnia zorientowana S okre´slona jest poprzez jedna¾parametryzacje¾ ' : U ! S zgodna¾z orientacja¾(nie trzeba wtedy rozk÷adu jedno´sci) wówczas mamy Z Z F dS : = P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy = S Z S = ' (P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy) = ::: U 90 Po nietrudnych standardowych obliczeniach dostajemy znany z III semestru wzór (nie trzeba go pamieta´c - wystarcza "na palcach" cofa´c nasza¾forme¾ przez ' ! ) ZZ @ (y; z) @ (x; z) @ (x; y) = P (' (u; v)) Q (' (u; v)) + R (' (u; v)) dudv @ (u; v) @ (u; v) @ (u; v) U ZZ @' @' = F (' (u; v)) dudv; /mamy tu iloczyn skalarny @u @v U Z ostatniego wzoru tak·ze widzimy, ·ze pole F prostopad÷e do powierzchni daje zerowy strumie´n. 16.6 @' @u @' @v czyli styczne do Róz·niczkowanie form róz·niczkowych De…nicja 16.6.1 Ró·zniczke¾ 0-formy na rozmaito´sci M; czyli funkcji f okre´slamy jako zwyk÷¾ a ró·zniczke¾ df: Jest to 1-forma na M: Ró·zniczke¾ k formy ! 2 k (M ) ; k 1; okre´slamy nastepuj ¾ aco: ¾ ró·zniczka¾ jest k + 1 forma oznaczana przez d! taka, ·ze gdy przedstawimy ! lokalnie w jakim´s uk÷adzie wspó÷rzednych ¾ (U; x) ; x = (x1 ; :::; xn ) ; P i1 ;::;iforme k dxi1 ^ ::: ^ dxik ; to na dziedzinie U tej mapy zachodzi ! jU = ! X (d!)jU = d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik : (16.6.1) Nalez·y pokazać poprawność de…nicji, tzn. niezalez·ność (d!)jU od wyboru mapy na U . Dowód przebiega nastepuj ¾ aco: ¾ najpierw pokazujemy w÷ asności operatora dx : (U ) ! (U ) określonego dla ustalonej mapy x o dziedzinie U wzorem j/w. Twierdzenie 16.6.1 1. dx jest liniowy, 2. dx (f ) = df; 3. dx (! ^ ) = dx ! ^ + ( 1)k ! ^ dx ; dla formy ! stopnia k i dowolnej formy ; 4. dx (dx f ) = 0: Nastepnie ¾ pokazujemy, z·e jest tylko jeden operator d~ : (U ) ! (U ) spe÷ niajacy ¾ takie 4 postulaty. Stad ¾ dx nie moz·e zalez·eć od mapy x; dla map x i y musi bowiem być ~ dx = d = dy : Jak to pokazujemy? a) weźmy dowolne funkcje f1 ; :::; fk ; wówczas d~(df1 ^ ::: ^ dfk ) = 0: Istotnie, pokaz·emy to indukcja¾ wzgledem ¾ k: Dla k = 1 (2) ~1 d~(df1 ) = d~ df (4) = 0: Za÷ óz·my, z·e równość zachodzi dla pewnej liczby k; pokaz·emy z·e zachodzi dla liczby k + 1 (3) d~(df1 ^ ::: ^ dfk ^ dfk+1 ) = d~(df1 ) ^ (df2 ^ dfk+1 ) | {z } =0 dla k=1 91 df1 ^ d~(df2 ^ dfk+1 ) = 0 | {z } =0 z za÷. ind dla k d) zapiszmy dowoln e w jakimkolwiek lokalnym uk÷ adzie wspó÷ rzednych ¾ x na P a¾ k form¾ ¾ 1), 3), 2) i a), z·e U w postaci ! = ! i1 ;::;ik dxi1 ^ ::: ^ dxik : Pokazujemy (stosujac X (16.6.2) d~(!) = d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik : Prawa strona zalez·y zatem tylko od róz·niczek funkcji. Zatem gdy d~ i d sa¾ dwoma opP eratorami spe÷ niajacymi ¾ te 4 postulaty to d~(!) = d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik = d (!) co dowodzi jednoznaczności operacji spe÷ niajacej ¾ te 4 postulaty. Pokaz·emy wzór (16.6.2) korzystajac ¾ tylko z aksjomatów 1-4 oraz wykazanych w÷ asności a), b) i c). X /z 1. czyli z liniowości d~(!) = d~ ! i1 ;::;ik dxi1 ^ ::: ^ dxik X /z 3 i 2 = d~ ! i1 ;::;ik dxi1 ^ ::: ^ dxik X = d ! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik + ! i1 ;::;ik d~ dxi1 ^ ::: ^ dxik | {z } = X =0 z a) d ! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik : Oczywiście, operator globalny d = dM : (M ) ! (M ) określony lokalnym wzorem (16.6.1) spe÷ nia te same 4 postulaty jak operator dla dziedziny mapy. Pokaz·emy, z·e postulaty 1), 2), 3), 4) jednoznacznie scharakteryzuja¾ globalny operator dM : W tym celu pokaz·emy najpierw lemat o lokalności operatora dM spe÷ niajacego ¾ 1), 3). Lemat 16.6.1 Operator dM spe÷niajacy ¾ 2 powy·zsze globalne postulaty 1), 3) 1) dM jest liniowy, 3) dM (! ^ ) = dM ! ^ + ( 1)k ! ^ dM ; jest lokalny, tzn. gdy !; ! 0 2 (M ) sa¾dwiema formami na M równymi na podzbiorze otwartym B M; ! jB = ! 0jB : to (dM !)jB = (dM ! 0 )jB : Dowód. Weźmy dowolnie x 2 B oraz funkcje¾ rozdzielajac ¾ a¾ x w B; tzn. taka, ¾ z·e supp B oraz jV = 1 dla pewnego otwartego podzbioru V B zawierajacego ¾ x; wówczas (! ! 0 ) = 0 skad ¾ 1) 0 = dM (0) = dM ( (! 1) 3) ! 0 )) = dM ( ) ^ (! = dM ( ) ^ (! !0) + (dM ! !0) + dM (! dM ! 0 ) : Stad ¾ na otoczeniu V punktu x mamy 0 = (dM ( ))jV ^ (! = (dM ( ))jV ^ 0 + 1 = (dM !)jV ! 0 )jV + (dM ! 0 )jV jV (dM !)jV 92 (dM !)jV (dM ! 0 )jV (dM ! 0 )jV !0) skad ¾ (dM !)jV = (dM ! 0 )jV : Z dowolności wyboru punktu x 2 B wnosimy, z·e (dM !)jB = (dM ! 0 )jB : Twierdzenie 16.6.2 Dla dowolnej parazwartej rozmaito´sci Hausdor¤a M istnieje dok÷adnie jeden operator globalny dM : (M ) ! (M ) spe÷niajacy ¾ postulaty 1), 2), 3), 4) Lemat 16.6.2 1) dM jest liniowy, 2) dM f = df; 3) dM (! ^ ) = dM ! ^ + ( 1)k ! ^ dM ; 4) dM (dM f ) = 0: Jest on okre´slony lokalnym wzorem (16.6.1). Dowód. Istnienie. Operator globalny d określony lokalnym wzorem (16.6.1) jak wiemy spe÷ nia te postulaty, wiec ¾ operator dM spe÷ niajacy ¾ 1), 2), 3), 4) istnieje. Jednoznaczność. Tak samo jak wyz·ej pokazujemy, a) z·e dM (df1 ^ ::: ^ dfk ) = 0 dla funkcji fi na M: Niech d0 ; d00 bed ¾ a¾ dwoma globalnymi operatorami spe÷ niajacymi ¾ 1), 2), 3), 4). Lemat zaświadcza, z·e ka ¾ mape¾ x na dziedzinie Pz·dy z nich jest lokalny. Weźmy wiec U i przedstawmy form¾ e ! U = ! i1 ;::;ik dxi1 ^:::^dxik : Ustalmy x 2 U i wybierzmy funkcje¾ rozdzielajac ¾ a¾ x w U; jB = 1; dla x 2 B P U: Wtedy ! i1 ;::;ik ; xi sa¾ funkcjami g÷ adkimi na ca÷ ej rozmaitości M oraz ! jB = ( ( ! i1 ;::;ik ) d ( xi1 ) ^ ::: ^ d ( xik ))jB : Z lokalności operatorów d0 ; d00 mamy X (d0 !)jB = d0 ! i1 ;::;ik d xi1 ^ ::: ^ d xik jB X = d ! i1 ;::;ik ^ d xi1 ^ ::: ^ d xik B 00 = (d !)jB : Z dowolności x wnosimy o równości d0 ! = d00 !: Z powyz·szych równości skoro jB = 1 to X (dM !)jB = d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik i z dowolności x wnosimy o równości (dM !)jU = Przyk÷ ad 16.6.1 Obliczy´c d (x2 y dx + x dy) : P jB d! i1 ;::;ik ^ dxi1 ^ ::: ^ dxik : Twierdzenie 16.6.3 Operator cofania form komutuje z ró·zniczkowaniem form, tzn. gdy F : M ! N jest odwzorowaniem miedzy ¾ hiperpowierzchniami wówczas dla dowolnej formy ! na rozmaito´sci N zachodzi wzór F (d!) = d (F !) : 93 Dowód. Dla formy stopnia 0 by÷ o napisane we wcześniejszym Lemacie, (df ) = d (f ) = d ( f ) : Za÷ óz·my indukcyjnie, z·e przemienność cofania z róz·niczkowaniem zachodzi dla form pewnego stopnia k 0: Pokaz·emy, z·e zachodzi dla form stopnia k + 1: Z liniowości tych operatorów wynika, z·ewystarcza sprawdzić lokalnie dla form postaci f dx 1 ^ :::dxik ^ dxik+1 gdzie x = (x1 ; ::; xn ) jest lokalnym systemem wspó÷ rzednych ¾ (czyli ik+1 mapa) ¾ na podzbiorze otwartym U N: Forma taka ma postać ! ^ dx dla pewnej oz·enie indukcyjne. formy ! = f dx 1 ^ :::dxik stopnia k dla której zachodzi za÷ d F F /F ik+1 = xik+1 = d F ! ^ d F ik+1 ! ^ dxik+1 k ik+1 + ( 1) F ! ^ dd F = d (F !) ^ d F = d (F !) ^ d F ik+1 + 0 = d (F !) ^ d F ik+1 d ! ^ dxik+1 na zbiorze F F d! ^ dxik+1 + 0 = F (d!) ^ F = F za÷. ind = [U ] ik+1 d! ^ dxik+1 + ( 1)k ! ^ ddxik+1 = F 1 dxik+1 d (F !) ^ d F ik+1 : Twierdzenie 16.6.4 Globalny wzór na ró·zniczke¾ dM : k (M ) i niech Xi bed ¾ a¾polami wektorowymi na M: (M ) ! (M ) : Niech ! 2 (dM !) (X0 ; :::; Xk ) k X X = ( 1)i Xi (! (X0 ; :::^{:::Xk )) + ( 1)i+j ! ([Xi ; Xj ] ; :::^{:::^ |:::Xk ) i=0 i<j (daszekm oznacza opuszczenie wyrazu). Ćwiczenie 16.6.1 Pokaza´c na przyk÷adzie ! 2 zmiennych 1 (R2 ) ; ! = x2 ydx + xdy oraz zmiany R 2 ! R2 x = r cos ' F (r; ') = y = r sin ' F : zachodzenie przemienno´sci cofania z ró·zniczkowaniem. 16.7 Kompleks de Rhama, grupy kohomologii, charakterystyka Eulera-Poincarégo i genus powierzchni Kompleksem de Rhama hiperpowierzchni M nazywamy ciag ¾ przestrzeni form róz·niczkowych k (M ) i operatorów dk róz·niczkowania form 0! 0 d0 (M ) ! 1 d1 dn 2 (M ) ! ::: ! 94 n 1 dn 1 (M ) ! n dn =0 (M ) ! 0: W kompleksie tym z÷ oz·enie dwu sasiednich ¾ odwzorowań dd daje 0; dd = 0: Stad ¾ Im dk k ker d : Iloraz k HdR (M ) := ker dk = Im dk 1 1 jest przestrzenia¾ wektorowa¾ zwana¾ k-ta¾ grupa¾ kohomologii de Rhama hiperk powierzchni M: Kaz·dy element przestrzeni HdR (M ) nazywa sie¾ klasa kohomologii. De…nicja 16.7.1 Forma ró·zniczkowa ! nazywa sie¾ zamknieta ¾ gdy d! = 0; tzn. gdy ! 2 ker d: ker d = f! 2 (M ) ; d! = 0g =: Z (M ) : Forma ró·zniczkowa ! nazywa sie¾ dok÷adna (lub zupe÷na) gdy jest ró·zniczka¾pewnej formy, t.j. gdy ! = d dla pewnej formy ; tzn. gdy ! 2 Im d. Im d = f ; 9! = d!g =: B (M ) : Klase¾ kohomologii formy zamknietej ¾ ! oznaczamy [!] : Klasa ta jest zerowa wtedy i tylko wtedy gdy forma ! jest dok÷adna. H k (M ) = 0 gddy gdy kaz·da k-forma zamknieta ¾ jest dok÷ adna. Np. Lemat Poincarégo n mówi, z·e na otwartym obszarze gwiaździstym U R kaz·da k-forma (k 1) zamknieta ¾ k jest dok÷ adna, a tym samym H (U ) = 0 dla k 1: Gdy M jest spójna to H 0 (M ) = R: Istotnie, gdy df = 0 to f = const; skad ¾ 0 0 ker d = R i H (M ) = R=f0g = R: Gdy M jest zwarta i zorientowana n-wymiarowa to H k (M ) = H n k (M ) - dualność Poincarégo. W szczególności gdy M jest spójna, zwarta i zorientowana to H n (M ) = R: Gdy M nie jest zwarta lub jest nieorientowalna to H n (M ) = 0: Twierdzenie 16.7.1 Niech n = dim M: a) Je·zeli M jest spójna to H 0 (M ) = R; b) je·zeli M jest zwarta i orientowalna to H n (M ) = R; w pozosta÷ych przypadkach (niezwarta lub nieorientowalna) H n (M ) = 0: Twierdzenie 16.7.2 Je·zeli M jest zwarta¾ hiperpowierzchnia¾ to wszystkie grupy kohomologii H k (M ) sa¾sko´nczenie wymiarowe. De…nicja 16.7.2 Je·zeli H k (M ) jest przestrzenia¾ sko´nczenie wymiarowa,¾ to jej wymiar dim H k (M ) oznaczamy przez bk ; bk = dim H k (M ) ; i nazywamy k-ta¾ liczba¾ Bettiego hiperpowierzchni M: Wielomian PM (t) = nazywamy wielomianem Poincarégo hiperpowierzchni M: Pn k k=0 bk t Gdy M jest zwarta i zorientowana to bk = bn k : W szczególności b0 = bn : Np. dla okregu ¾ S 1 mamy H 0 (S 1 ) = R =H 1 (S 1 ) czyli b0 = b1 = 1: Zatem wielomian Poincarégo okregu ¾ to 1 + t: Jest twierdzenie o wielomianie Poincarégo dla iloczynu kartezjańskiego M N; mianowicie PM N (t) = PM (t) PN (t) : Rozwaz·my dla prostego przyk÷ adu torus T =S 1 S 1 ; jego wielomian Poincarégo to iloczyn wielomianów (1 + t) (1 + t) = 1 + 2t + t2 skad ¾ mamy b1 = 2: 95 De…nicja 16.7.3 Je·zeli wszystkie grupy kohomologii H k (M ) sa¾ sko´nczenie wymiarowe [np. tak jest dla zwartych hiperpowierzchni] i bk = dim H k (M ) sa¾ liczbami Bettiego to liczba n X ( 1)k bk M = k=0 nazywa sie¾ charakterystyka¾Eulera-Poincarégo hiperpowierzchni M: Dalej ograniczmy sie¾ do n = 2; t.j. powierzchni 2-wymiarowych oznaczanych raczej przez S. Wśród nich sa¾ tzw. powierzchnie Riemanna. Aby je lepiej zobaczyć, utoz·samiamy p÷ aszczyzne¾ z liczbami zespolonymi R2 = C: Jez·eli funkcje przejścia dla takiej S sa¾ holomor…czne, to S nazywamy powierzchnia¾ Riemanna (sa¾ to zatem hiperpowierzchnie (lepiej rozmaitości) zespolone wymiaru zespolonego 1). Dla powierzchni 2-wymairowych b1 + b2 : S = b0 Jeśli S jest zwarta i zorientowana to b0 = 1 = b2 zatem wtedy S = 2 b1 : Teraz dojdziemy do genusu i zwia¾z·emy go z S oraz wyjaśnimy jego znaczenie. Formalnie –dla zwartej orientowalnej powierzchni S genus (po polsku rodzaj) to liczba g= 2 S 2 ale dalej nie widać co ona oznacza. Za pomoca¾ liczb Bettiego mamy g= 2 (2 2 b1 ) = b1 : 2 Przyk÷ adowo dla sfery S 2 mamy H 1 (S 2 ) = 0 skad ¾ b1 = 0 i S 1 = b0 b1 = 0 oraz g = 0: 1 1 Dla torusa T = S S ÷ atwo obliczyliśmy wyz·ej b1 = 2 skad ¾ T = 2 b1 = 0 i g = 1: Najpierw podamy metode¾ "na palcach" policzenia charakterystyki Eulera-Poincarégo przy pomocy traingulacji (dowód np. w ksia¾z·ce Rotmana An Introduction to Algebraic Topology, GTM119, Springer 1988. De…nicja 16.7.4 Trójkatem ¾ na powierzchni S nazywamy obszar domkniety ¾ homeomor2 …czny ze zwyk÷ym trójkatem ¾ na p÷aszczy·znie R : Trójkat ¾ na powierzchni S ma wiec ¾ trzy wierzcho÷ki i trzy krawedzie. ¾ Stwierdzenie 16.7.1 Triangulacja¾ powierzchni S nazywamy sko´nczona¾ rodzine¾ F trojkatów ¾ STi S; i = 1; :::; n; taka,¾ ·ze 1) Ti = S; 2) gdy Ti \ Tj 6= ? to Ti \ Tj jest albo wspólna¾ krawedzi ¾ a¾ ca÷¾ a obu trójkatów ¾ albo wspólnym wierzcho÷kiem. Wprowadźmy dla danej triangulacji F powierzchni S nastepuj ¾ ace ¾ oznaczenia: F = ilość ścian (t.j. trójkatów), ¾ E = ilość boków (t.j. kraw¾ edzi), V = ilość wierzcho÷ ków. 96 De…nicja 16.7.5 Liczba F =V E+F nazywa sie¾ charakterystyka¾Eulera-Poincarégo triangulacji F: Twierdzenie 16.7.3 (Dowód np. u Rotmana): Dla danej powierzchni zwartej S zachodzi równo´s´c S = F; w szczególno´sci F nie zale·zy od wyboru triangulacji. Twierdzenie 16.7.4 Je·zeli S i S 0 sa¾ dwiema zwartymi powierzchniami w R3 o jednakowych charakterystykach Eulera-Poincarégo (S1 ) = (S2 ) to S jest homeomor…czna z S 0 : Jedynymi liczbami bed ¾ acymi ¾ charakterystykami Eulera-Poincarégo zwartych 3 powierzchni w R sa¾ 2; 0; 2; 4; :::; 2n; ::: Powierzchniami o takich charakterystykach sa¾ - sfera, S2 = 2; oto przyk÷ adowa triangulacja sfery ilość wierzcho÷ ków - 5 ilość kraw¾ edzi - 9 ilość trójkatów ¾ -6 9+6=2 S2 = 5 2 2 g = = 0 - sfera bez raczek ¾ 2 97 Twierdzenie 16.7.5 - sfera z jedna¾raczk ¾ a¾(torus), T = 0; przyk÷adowa triangulacja ilo´s´c wierzcho÷ków - 9 ilo´s´c krawedzi ¾ - 27 ilo´s´c trójkatów ¾ - 18 27 + 18 = 0 T = 9 2 0 g = = 1 sfera z 1 raczk ¾ a¾ 2 - sfera z n-raczkami ¾ (n-torus), S = 2 2n: W konsekwencji ka·zda zwarta powierzchnia S w R3 jest homeomor…czna ze sfera¾ z pewna¾ ilo´scia¾ raczek ¾ (jest wiec ¾ te·z orientowalna) . Liczba raczek ¾ n dla powierzchni S o charakterystyce Eulera-Poincarégo S wynosi 2 S 2 i jest to w÷a´snie genus powierzchni S: Przyk÷ ad 16.7.1 Dla nieorientowalnej powierzchni zwartej - butelki Kleina = przestrze´n rzutowa = wycinamy w sferze ko÷o i zaklejamy wsteg ¾ a¾ Möbiusa (równowa·znie sklejamy punkty antypodyczne). Na rysunku zewnetrzny ¾ okrag ¾ obrazuje wyciete ¾ ko÷o i uto·zsamiamy punkty antypodyczne ponumerowane tymi samymi cyframi i krawedzie ¾ ÷¾ aczace ¾ wierzcho÷ki 98 o takich samych wierzcho÷kach K K ilo´s´c wierzcho÷ków - 6 ilo´s´c krawedzi ¾ - 15 ilo´s´c trójkatów ¾ - 10 = 6 15 + 10 = 1 = b0 b1 + b2 = 1 b1 + 0 = 1 b1 = 1 skad ¾ b1 = 0 Skoro b1 = 0 dla butelki Kleina to oznacza to, ·ze H 1 (K) = 0 czyli ka·zda 1-forma ró·zniczkowa zamknieta ¾ jest dok÷adna czyli jest ró·zniczka¾pewnej funkcji. 17 Hiperpowierzchnie w mechanice klasycznej przestrzenie kon…guracyjne Przestrzeń kon…guracyjna (intuicyjnie mówiac) ¾ to pewna matematyczna przestrzeń K bed ¾ aca ¾ zbiorem moz·liwych stanów danego uk÷ adu …zycznego. Za÷ óz·my z·e uk÷ ad …zyczny zawiera n elementów (punktów), kaz·dy opisany jest przez 3 wspó÷ rzedne ¾ w R3 : Wygodniej jest z matematycznego punktu widzenia rozpatrywać ten uk÷ ad n elementów równowaz·nie jeden punkt w przestrzeni 3n wymiarowej. Dlatego zbiór moz·liwych stanów (czyli przestrzeń kon…guracyjna K) bedzie ¾ podzbiorem w przestrzeni R3n : Jeśli na te elementy nie sa¾ na÷ oz·one z·adne wiezy ¾ to przestrzenia¾ kon…guracyjna¾ jest ca÷ a przestrzeń R3n : Jeśli jednak istnieja¾ jakieś wiezy, ¾ wówczas przetrzeń kon…guracyjna K jest jakimś podzbiorem w R3n ; najcześciej w typowych uk÷ adach …zycznych jest to jakaś hiperpowierzchnia a jej wymiar to ilość stopni swobody naszego uk÷ adu. Przyk÷ ad 17.0.2 n punktów marerialnych w R3 bez ·zadnych wiezów. ¾ Przestrze´n kon…g3n 3n uracyjna K to R ; K = R : 99 Przyk÷ ad 17.0.3 1 punkt materialny po÷¾ aczony sztywnym niewa·zkim pretem ¾ d÷ugo´sci l z ustalonym punktem x0 = (x10 ; x20 ; x30 ) : Uk÷ad ten to tzw. wahad÷ o sferyczne. Przestrze´n kon…guracyjna K to sfera dwuwymiarowa S 2 (x0 ; l) w R3 o ´srodku w x0 i promieniu l; K = S 2 (x0 ; l) : Jest ona dyfeomor…czna ze sfera¾ o ´srodku w 0 i promieniu l oznaczana¾przez S 2 (l) : Dyfeomor…zmem jest f : S 2 (x0 ; l) ! S 2 (l) ; f (x) = x x0 : [Dla wahad÷a p÷askiego mieliby´sby okrag ¾ jako przestrze´n kon…guracyjna]. ¾ Przyk÷ ad 17.0.4 Niech uk÷ad sk÷ada sie z dwóch punktów poruszajacych ¾ sie¾ swobodnie w R3 , ale zwiazanych ¾ ze soba sztywnym, niewa·zkim pretem ¾ o d÷ugosci l. Uk÷ad ten to poruszajacy ¾ sie¾swobodnie w przestrzeni R3 odcinek. Wtedy przyjmujac dowolnie po÷o·zenie pierwszego punktu o wspó÷rzednych ¾ (x1 ; x2 ; x3 ) dostajemy warunek na wspó÷rzedne drugiego punktu (y1 ; y2 ; y3 ) w formie: (x1 y1 )2 + (x2 y2 )2 + (x3 y3 )2 = l2 : Jest to równanie sfery 2-wymiarowej o ´srodku w punkcie (x1 ; x2 ; x3 ) i promieniu l: Dostajemy wiec, ¾ ·ze przestrze´n kon…guracyjna to pieciowymiarowa ¾ hiperpowierzchnia w R6 opisana powy·zszym warunkiem. Jest ona dyfeomor…czna z R3 S 2 (l) ; dyfeomor…zm f : K ! R3 S 2 (l) jest dany wzorem f (x; y) = (x; y x) : W przypadku p÷askim otrzymujemy przestrze´n K dyfeomor…czna¾z R2 S 1 (l) : Przyk÷ ad 17.0.5 Zmody…kujmy uk÷ad dwupunktowy p÷aski z poprzedniego przyk÷adu i dodatkowo za÷ó·zmy, ·ze pierwszy punkt po÷¾ aczony jest sztywnym niewa·zkim pretem ¾ o d÷ugo´sci l1 z poczatkiem ¾ uk÷adu wspó÷rzednych ¾ 0: Otrzymujemy tzw. wahad÷ o podwójne, Wtedy pierwszy punkt zakre´sla okrag ¾ S 1 (l1 ) o równaniu x21 + x22 = l12 ; przyjmujac dowolnie po÷o·zenie pierwszego punktu o wspó÷rzednych x =(x1 ; x2 ) dostajemy, ·ze drugi punkt przebiega okrag ¾ S 1 (x; l) o´srodku w x i promieniu l: Dyfeomor…zm o takim samym wzorze jak w poprzednim przyk÷adzie przekszta÷ca dyfeomor…cznie przestrze´n kon…guracyjna¾K wahad÷a podwójnego na iloczyn kartezja´nski okregów ¾ S 1 (l1 ) S 1 (l) ; czyli na torus. Przyk÷ ad 17.0.6 Rozwa·zmy uk÷ad sztywny sk÷adajacy ¾ sie¾ z trzech niewspó÷liniowych punktów p; q; r; tzn. ka·zde dwa punkty po÷¾ aczone sa¾sztywnym, niewa·zkim pretem ¾ o pewnej d÷ugo´sci. Równowa·znie mo·zna powiedzie´c, ·ze mamy cia÷o sztywne - trójkat ¾ w R3 : Jak wyglada ¾ przestrze´n kon…guracyjna? Jeden punkt p mo·zna dowolnie ustawi´c w R3 : Je´sli ju·z to zrobili´smy, to dozwolone dalej ruchy bed ¾ a¾ ruchami sztywnymi, czyli obrotami zachowujacymi ¾ ten ustalony punkt. Z geometrii analitycznej wiadomo, ·ze ruch sztywny 100 trzymajacy jeden punkt jest izometria¾liniowa¾zachowujac ¾ a¾orientacje, ¾ a wiec ¾ opisana jest przez macierz ortogonalna¾ o wyznaczniku +1; czyli przez macierz z grupy Liego SO (3) : Zatem K = R3 SO (3) ; jest to hiperpowierzchnia 6 wymiarowa w R12 (bo SO (3) jest 3 wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾w R9 ). Przyk÷ ad 17.0.7 Strona internetowa dotyczaca ¾ przestrzeni kon…guracyjnej dla robotów: http://riad.usk.pk.edu.pl/~zk/GO_LAB_00/robot/robot.htm 18 TWIERDZENIE CA×KOWE STOKESA Celem jest Twierdzenie Stokesa dla hiperpowierzchni z brzegiem: Twierdzenie 18.0.6 (Stokes) Je·zeli M jest n-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ zorientowana¾z brzegiem @M i na brzegu mamy orientacje dodatnia¾to dla dowolnej n 1 formy na M o zwartym no´sniku zachodzi wzór Z Z != d!: @M M Twierdzenie to jest Rdaeko idacym ¾ uogólnieniem zasadnicze Tw rachunku b 0 róz·niczkowego i ca÷ kowego a f (x) dx = f (b) f (a) : Przyk÷ ad 18.0.8 Niech M = [a; b] ; wtedy @M = fag [ fbg : Orientacja brzegu to zeroforma na @M = fag [ fbg równa +1 na b i 1 na a: Dla formy stopnia 0 na M czyli funkcji f mamy df = f 0 dx stad ¾ Z f = f (b) f (a) ; @M Z b Z f 0 (x) dx: df = M a Zatem wzór Stokesa staje sie¾ w tym trywialnym przypadku zasadniczym Tw. rachunku ró·zniczkowego i ca÷kowego Z b f 0 (x) dx = f (b) f (a) : a R R W dowodzie ogólnego Tw.Stokesa @M ! = M d! wykorzystujemy ten wzór Rb 0 f (x) dx = f (b) f (a) ; który jest znany z dowodem z kursu analizy I. a Najpierw musimy wprowadzić hiperpowierzchnie z brzegiem. 18.1 Hiperpowierzchnie z brzegiem Rozwaz·my pó÷ przestrzeń Rn+ = f(x1 ; :::; xn ) ; xn ze swoja¾ topologia¾ indukowana¾ z Rn : 101 0g De…nicja 18.1.1 Hiperpowierzchnia¾ kl. C 1 wymiaru n z brzegiem nazywamy podzbiór M Rm taki, ·ze dla ka·zdego punktu p 2 M istnieje odwzorowanie ' : U ! M (zwane tak·ze parametryzacja) ¾ okre´slone na podzbiorze U Rn+ otwartym w Rn+ tak, ·ze p 2 ' [U ] ; które jest ró·znowarto´sciowe, regularne kl. C 1 i homeomor…czne na otwarty podzbiór w M. Punkty p 2 M dla których nie istnieje parametryzacja okre´slona na podzbiorze otwartym w Rn nazywamy punktami brzegowymi. Ich podzbiór oznaczamy @M: Sa¾to punkty z obrazu ' @Rn+ \ U po wszelkich parametryzacjach (to jest ´cwiczenie - nie jest to fakt oczywisty). Funkcje przejścia sa¾ (jak w przypadku bez brzegu) dyfeomor…zmami miedzy ¾ podzbion rami otwartymi w R+ : Jez·eli U Rn+ jest otwartym podzbiorem to @Rn+ \ U utoz·samiamy z podzbiorem (x1 ; :::; xn 1 ) 2 Rn 1 ; (x1 ; :::; xn 1 ; 0) 2 U w Rn 1 i jest to podzbiór otwarty. Mianowicie inkluzja i : Rn 1 ! Rn ; (x1 ; :::; xn 1 ) 7 ! (x1 ; :::; xn 1 ; 0) 2 Rn+ jest ciag÷ ¾ a wiec ¾ przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty. Twierdzenie 18.1.1 Je·zeli M jest n wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾klasy C 1 z brzegiem @M to brzeg @M jest n 1 wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C 1 (bez brzegu): Parametryzacjami brzegu @M sa¾obciecia ¾ parametryzacji 'jU \ @Rn+ ! @M: Uwaga 18.1.1 Dla hiperpowierzchni z brzegiem pozostaja¾ tak samo okre´slone: formy ró·zniczkowe, operator ró·zniczkowania, przestrze´n styczna, rozk÷ad jedynki, orientacja. Twierdzenie 18.1.2 Je·zeli M jest hiperpowierzchnia¾zorientowana¾klasy C 1 z brzegiem @M i U jest atlasem f'a ; U g parametryzacji zgodnyvh z orientacja,¾ wówczas atlas obcie¾´c ' jU \ @Rn+ ; U \ @Rn+ jest atlasem orientujacym ¾ brzeg @M: 102 Dowód. Niech ' i ' bed ¾ a¾ dwoma parametryzacjami z zadanego atlasu orientujacego. ¾ 1 Wtedy funkcja przejścia : ' ' jest dyfeomor…zmem zachowujacym ¾ orientacje¾ [czyli n o jakobianie dodatnim] miedzy ¾ podzbiorami otwartymi w R+ : Poniewaz· ' U \ @Rn+ @M to 1 ' 1 ' U \ @Rn+ = ' jU (' jU ) U \ @Rn+ @Rn+ : 1 ' jU \ @Rn+ dla atlasu na brzegu Stad ¾ funkcje przejścia 0 = ' jU \ @Rn+ @M i funkcje przejścia = ' 1 ' na M sa¾ zwiazane ¾ zalez·nościa¾ 0i (x1 ; :::; xn 1 ) = 1 oraz i (x1 ; :::; xn 1 ; 0) ; dla i = 1; 2; :::; n ( 0 (x1 ; :::; xn 1 ) ; 0) = (x1 ; :::; xn 1 ; 0) = ( 1 (x1 ; :::; xn 1 ; 0) ; :::; Zatem macierze Jacobiego dla funkcji przejścia iazane ¾ zalez·nościa¾ 2 0 @ i @xj 6 6 6 6 =6 6 6 4 @ 01 @xn 1 0 n 1 @ 0n @xn 3 .. . @x1 @ n @x1 (x1 ; :::; xn 1 ; 0) ; 0) : sa¾ w punktach z brzegu @Rn+ pow- @ 1 @x1 .. . @ 0 i n 1 1 1 @ n @xn 1 7 7 7 0 7 7 0 7 7 0 5 @ n @xn Ca÷ y wyznacznik jest dodatni przy czym z w÷ asności wyznacznika wynika, z·e jest to iloczyn @ 01 @x1 @ 01 @xn 1 0 n 1 @ 0n @xn .. . det @ .. . @x1 1 @ n @xn 1 Zatem ostatnia liczba @@xnn = 6 0: Wiemy, z·e n (x1 ; :::; xn 1 ; xn ) 0 oraz, z·e @ n @ n ¾ nie moz·e być @xn < 0: Zatem @xn > 0: Implikuje to n (x1 ; :::; xn 1 ; 0) = 0: Stad @ 01 @x1 @ 01 @xn 1 0 n 1 @ 0n @xn .. . z·e det @ @x1 .. . > 0 co znaczy z·e parametryzacje obciete ¾ do brzegu sa¾ tez· 1 1 zgodne. De…nicja 18.1.2 Orientacje¾ brzegu zadana tym obcietem atlasem nazywamy dodatnia¾ gdy n parzyste, R a ujemn R a¾ gdy n nieparzyste. R R (uzasadnienie poprzez wzów Stokesa: aby zawsze by÷o @M ! = M d! a nie @M ! = d!). M De…nicja 18.1.3 Niech M bedzie ¾ hiperpowierzchnia¾zorientowana¾z brzegiem @M: Je·zeli rozwa·zymy orientacje przestrzeni wektorowej Tp M zgodna¾z atlasem orientujacym to gdy p 2 @M wówczas orientacja w Tp (@M ) dana reperem (v1 ; :::; vn 1 ) jest dodatnia je·zeli, dla wektora w 2 Tp M skierowanego do wewnatrz ¾ M [tzn. w = 0 (0) dla ÷uku : [0; a) ! M takiego, ·ze [(0; a)] M n@M; (0) = p] baza ( w; v1 ; :::; vn 1 ) jest dodatnia. 103 Przyk÷ ad 18.1.1 (1) Orientacja pó÷p÷aszczyzny @Rn+ za pomoca¾ wersorów (e1 ; :::; en 1 ) jest ( 1)n - zgodna, t.j. gdy n jest parzyste wtedy baza (e1 ; :::; en 1 ) jest dodatnia a gdy nieparzyste - ujemna. Mianowicie dodatnia¾ baza¾ Rn w punkcie (x1 ; :::; xn 1 ; 0) ma by´c ( en ; v1 ; :::; vn 1 ) : Biorac ¾ ( en ; e1 ; :::; en 1 ) widzimy, ·ze jest to zgodne z (e1 ; :::; en 1 ; ( 1)n en ) skad ¾ teza. (2) Niech M R2 bedzie ¾ obszarem domknietym ¾ [domkniecie ¾ zbioru otwartego U , M = U ] którego brzeg @M sk÷ada sie¾ z krzywych klasy C 1 . Orientacja na U jest dodatnia. Orientacja brzegu @M jest dodatnia gdy: idac ¾ wzd÷u·z brzegu mamy obszar U po lewej rece. ¾ Uzasadnienie. W punkcie p 2 @M wektor v styczny do brzegu, v 2 Tp @M nale·zy do dodatniej orientacji krzywej @M gdy dla wektora w skierowanego do wewnatrz ¾ U para ( w; v) jest dodatnia, czyli para (v; w) jest dodatnia, czyli zgodna z wersorami osi wspó÷rzednych. ¾ ¾ punktem dla (3) Rozpatrzmy powierzchnie¾ zamkniet ¾ a¾ M w R3 i niech p0 2 M bedzie którego wspó÷rzedna ¾ z bedzie ¾ najwieksz ¾ a¾warto´scia¾dla punktów p z M: Wokó÷p0 powierzchnia jest zadana jako wykres z = f (x; y) : Parametryzacja (x; y) = (x; y; f (x; y)) : jx i jy sa baza¾ Tp M: W punkcie p0 sa to wersory osi OX i OY: We´zmy wersor ez osi OZ. Baza (ex ; ey ) by÷aby dodatnia gdy (ez ; ex ; ey ) jest dodatnia, ale (ez ; ex ; ey ) jest równowa·zna (ex ; ey ; ez ) czyli jest OK. orientacja dodatnia na @M to orientacja zadana na zewnatrz. ¾ n n Ogólniej dla M R kowymiaru 1 jest dodatnia przez ( 1) V dla pola na zewnatrz, ¾ t,j. dla n nieparzystego (n-1 jest parzyste i przestawienie en na koniec nie zmienia orientacji) orientacja dodatnia jest dla pola na zewnatrz ¾ a dla n parzystego dodatnia jest do wewnatrz. ¾ (4) M dwuwymiarowa w R3 o brzegu L zorientowana przez pole V : Wtedy dodatnia na L to taka: idac ¾ po L z g÷owa¾ w kierunku V mamy mie´c M po lewej rece. ¾ Zrozumie´c dlaczego. Przyk÷ ad 18.1.2 Okre´sli´c dodatnie orientacje brzegów nastepuj ¾ acych ¾ hiperpowierzchni z brzegiem (a) M1 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x1 0g ; (b) M2 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x1 0g ; (c) M3 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x2 0g ; (d) M4 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x2 0g : (e) M5 = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ; x4 0g 1. Czy parametryzacja : R2 ! @M1 ; (x2 ; x3 ) = (0; x2 ; x3 ) jest zgodna czy nie? 2. Czy parametryzacja : R2 ! @M2 ; (x2 ; x3 ) = (0; x2 ; x3 ) jest zgodna czy nie? 3. Czy parametryzacja : R2 ! @M3 ; (x1 ; x3 ) = (x1 ; 0; x3 ) jest zgodna czy nie? 4. Czy parametryzacja : R2 ! @M4 ; (x1 ; x3 ) = (x1 ; 0; x3 ) jest zgodna czy nie? 5. Czy parametryzacja : R3 ! @M5 ; (x; y; z) = (x; y; z; 0) jest zgodna czy nie? Np. orientacja @M3 zadana przez sk÷ada sie¾ z bazy (e1 ; e3 ) : Wektorem skierowanym do wewnatrz ¾ @M3 jest e2 : Rozwa·zmy zatem baze¾ w dowolnym punkcie (x1 ; 0; x3 ) brzegu @M3 równa¾ (e2 ; e1 ; e3 ) : Jest ona niezgodna z (e1 ; e2 ; e3 ) : Ale ta ostatnia jest dodatnia, zatem nasza parametryzacja jest niezgodna. Dowód Tw. Stokesa zostawimy na potem, a teraz przejdziemy do jego szczególnych przypadków oraz najprostszych zastosowań oraz podamy uogólnienie na przypadek brzegu z osobliwościami (np. brzeg prostokata ¾ to 4 odcinki po÷ aczone ¾ wierzcho÷ kami, brzeg sześcianu to nie jedna powierzchnia a 6 po÷ aczonych ¾ kraw¾ edziami). 104 18.2 Twierdzenie Stokesa dla podzbiorów z osobliwościami Poniz·sze tw. zwane Tw Greena dla prostokata wskazuje, z·e nalez·y oczekiwać uogólnienia na przypadek gdy brzeg ma osobliwości. Twierdzenie 18.2.1 Twierdzenie Greena dla prostokata. ¾ Niech R R2 bedzie ¾ 1 prostokatem ¾ o dodatnio zorientowanym brzegu @R i ! 2 (U ) niech bedzie ¾ 1 forma¾ okre´slona¾na zbiorze otwartym U R2 zawierajacym ¾ prostokat ¾ R; R U: Wtedy ZZ Z != d!: @R R Je´sli wyrazi´c ! we wspó÷rzednych ¾ ! = P dx + Qdy wtedy d! = d (P dx + Qdy) = dP ^ dx + dQ ^ dy @P @P @Q @Q = dx + dy ^ dx + dx + dy ^ dy @x @y @x @y @P @Q @Q @P dx ^ dx + dy ^ dx + dx ^ dy + dy ^ dy = @x @y @x @y @P @Q = 0 dx ^ dy + dx ^ dy + 0 @y @x @Q @P = dx ^ dy @x @y i wzór Stokesa dla prostokata ¾ staje sie¾ tzw.wzorem Greena Z ZZ @Q @P (P dx + Qdy) = dxdy: @x @y @R R Dowód. Dowód tego szczególnego przypadku tw. Stokesa. Niech R = [a; b] [c; d] ; Na mocy Tw. Fubiniego i zasadniczego Tw. rachunku róz·niczkowego i ca÷ kowego ZZ @Q @P dxdy @x @y R ZZ ZZ @Q @P = dxdy dxdy R @x R @y Z d Z b Z b Z d @Q @P = dx dy dy dx c a @x a c @y Z d Z b = (Q (b; y) Q (a; y)) dy (P (x; d) P (x; c)) dx c a Z = (P dx + Qdy) @R (@R sk÷ ada sie¾ z czterech odcinków odpowiednio zorientowanych) ). Np odcinek ÷ acz ¾ acy ¾ (a; c) i (a; d) o parametryzacji c (y) = (a; y) ; y 2 [c; d] ma ujemna¾ orientacje¾ stad ¾ R Rd (P dx + Qdy) = Q (a; y) dy itd. (a;c);(a;d) c 105 Niech A bedzie ¾ zwartym podzbiorem n wymiarowej hiperpowierzchni M Rm (bez brzegu). Niech IntA oznacza wnetrze ¾ zbioru A w przestrzeni topologicznej M i rozwaz·my brzeg zbioru A F rA = AnIntA: Punkt p 2 F rA nazywamy regularnym jesli cześć ¾ wspólna zbioru F rA i pewnego otoczenia punktu p w M jest podhiperpowierzchnia¾ g÷ adka¾ n 1-wymiarowa. ¾ Pozosta÷ e punkty z brzegu F rA nazywamy punktami osobliwymi. Oznaczmy podzbiór punktów regularnych przez F rr A a osobliwych przez F rs A (osobliwy = singularny, stad ¾ indeks s ). Podzbiór A M nazywamy regularny jez·eli kaz·dy punkt p 2 F rr A nalez·y do IntA: (Rysunek c) ze str 424 w ksia¾z·ce domkniecia ¾ wnetrza ¾ zbioru A; IntA; F rr A Birkholca jest przyk÷ adem zbioru nieregularnego). Twierdzenie 18.2.2 Ogólne Tw Stokesa dla podzbiorów regularnych w hiperpowierzchniach. (Birkholc, "Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych", Tw 8.1) Niech M Rm bedzie ¾ g÷adka¾ n wymiarowa¾ hiperpowierzchnia i A M regularnym zwartym podzbiorem M , oraz ! - g÷adka¾n 1-forma¾ró·zniczkowa¾na M: Zak÷adamy, ·ze — brzeg osobliwy F rs A zbioru A zawiera sie¾ w przeliczalnej rodzinie podhiperpowierzchni o wymiarach mniejszych od n 1: Wtedy zachodzi wzór Stokesa Z Z !: d! = A F rr A 18.3 Szczególne przypadki ogólnego wzoru Stokesa dla hiperpowierzchni z brzegiem 18.3.1 Twierdzenie Greena Twierdzenie 18.3.1 (Twierdzenie Greena) Niech D R2 bȩdzie ograniczonym p÷askim obszarem którego brzeg @D tworzy jedna lub kilka krzywych C 1 zorientowanych dodatnio wzgledem ¾ D: (Dodatnia orientacja ka·zdej krzywej z brzegu @D jest dana przez obieg punktów w takim kierunku, ·ze obszar D mamy po lewej stronie). Dla 1-formy ró·zniczkowej ! = P dx + Q dy okre´slonej w obszarze D zachodzi wzór Z Z ZZ ZZ @Q @P dx ^ dy ! = P dx + Q dy = d! = @x @y @D @D D D ZZ @Q @P dx dy: = @x @y D UWAGA: Tw. jest prawdziwe przy os÷ abieniu za÷ oz·eń: wystarcza z·adać, ¾ aby brzeg 1 @D sk÷ ada÷sie¾ z krzywych przedzia÷ ami kl C [Ko÷ odziej, str. 442-443 - jest to szczególny przypadek Tw. Stokesa po podzbiorze z osobliwościami]. 106 18.3.2 Twierdzenie Stokesa dla powierzchni 2-wymiarowej w R3 Twierdzenie 18.3.2 (Twierdzenie Stokesa dla powierzchni z brzegiem, 2 wymiarowej w R3 ) Niech S R3 bȩdzie ograniczona̧ powierzchnia̧ zorientowana̧ o brzegu @S sk÷adajacym ¾ sie¾ z jednej lub kilku krzywych kl. C 1 zorientowanym dodatnio wzgledem ¾ orientacji S (równowaznie: ida̧c wzd÷u·z takiej krzywej z g÷owa̧ zwrócona̧ w stronȩ pola wektorowego n orientuja̧cego S bȩdziemy mieli powierzchniȩ po lewej stronie. Wówczas, dla 1-formy ró·zniczkowej ! = P dx + Qdy + Rdz zachodzi wzór Z Z Z Z ! = (P dx + Qdy + Rdz) = d! = d (P dx + Qdy + Rdz) = ::: @S @S S S Z @R @Q @P @R @Q @P = dy ^ dz dx ^ dz + dx ^ dy: dy @z @z @x @x @y S UWAGA: z 1-forma¾ ! = P dx + Qdy + Rdz wia¾z·emy pole wektorowe F = [P; Q; R] a z nim rotacje¾ pola rot F = @R @y @Q @P ; @z @z 107 @R @Q ; @x @x @P : @y Strumień tego nowego pola rot F przez powierzchnie¾ S to w÷ aśnie Z ZZ @R @Q @P @R rot F dS = dy ^ dz dx ^ dz + dy @z @z @x S S @Q @x @P @y dx ^ dy: Zatem w terminach pola wektorowego wzór Stokesa w tym przypadku oznacza ZZ Z F ds = rot F dS: @S S UWAGA: Tw jest prawdziwe dla powierzchni S kl. C 2 której brzeg jest suma¾ krzywych przedzia÷ ami kl. C 1 : Wniosek 18.3.1 Je·zeli powierzchnia S to ZZ R3 jest zamknieta (t.j. nie ma brzegu @S = ;) rot F dS = 0: S 18.3.3 Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego Twierdzenie 18.3.3 (Tw. Gaussa-Ostrogradskiego) Niech W bȩdzie domkniȩtym i ograniczonym obszarem w R3 którego brzeg @W jest suma̧ sko´nczonej ilo´sci powierzchni S1 ; :::; Sk kl. C 1 : Orientujemy brzeg @W = S1 [ ::: [ Sk za pomoca̧ pola wektorowego normalnego jednostkowego n skierowanego na zewna̧trz obszaru W: Wówczas, dla dowolnej 2 formy ! postaci ! = P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy zachodzi wzór ZZ P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy Z Z@W Z d (P dy ^ dz Qdx ^ dz + Rdx ^ dy) = W ZZZ @Q @R @P = + + dx ^ dy ^ dz @x @y @z W ZZZ @P @Q @R = + + dxdydz: @x @y @z W UWAGA: Z polem F = [P; Q; R] wia¾z·emy funkcje¾ zwana¾ dywergencja¾ pola div F = @P + @Q + @R : Dlatego w terminach pola wektorowego wzór Stokesa w tym przy@x @y @z padku ma postać ZZ ZZZ F dS = (div F) dV: @W W Twierdzenie jest prawdziwe gdy brzeg @W jest suma̧ skończonej ilości domknietych ¾ p÷ atów poierzchniowych S1 ; :::; Sk przecinaja̧cych siȩ wzd÷ uz· conajwyz·ej skończonej ilości krzywych przedzia÷ ami kl. C 1 : 108 19 DOWÓD TWIERDZENIA STOKESA Twierdzenie 19.0.4 (Tw Stokes) Je·zeli M jest hiperpowierzchnia¾ zorientowana¾ z brzegiem @M i na brzegu mamy orientacje dodatnia¾ to dla dowolnej n 1 formy na M o zwartym no´sniku zachodzi wzór Z Z d! = !: M @M Dowód. KROK I. M = Rk : W tym przypadku @M = ;:R Niech ! bedzie ¾ dowolna¾ k 1 forma¾ o zwartym nośniku. Potrzeba udowodnić równość Rk d! = 0: Forma ! jest suma¾ sk÷ adników postaci ! i = f dx1 ^ ::: ^ dxi 1 ^ dxi+1 ^ ::: ^ dxk : Dla krótkości piszemy daszek nad opuszczonym wyrazem, zatem Stad ¾ ci ^ ::: ^ dxk : ! i = f dx1 ^ ::: ^ dx ci ^ ::: ^ dxk d! i = df ^ dx1 ^ ::: ^ dx @f @f @f ci ^ ::: ^ dxk dx1 + ::: + dxi + ::: + dxk ^ dx1 ^ ::: ^ dx = @x1 @xi @xk @f ci ^ ::: ^ dxk dxi ^ dx1 ^ ::: ^ dx = @xi @f dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk : = ( 1)i 1 @xi R Równość Rk d! = 0 bedzie ¾ wykazana, jez·eli pokaz·emy ja¾ dla kaz·dego sk÷ adnika: R @f dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk = 0: Niech Rk @xi supp f Yk j=1 [aj ; bj ] : Wtedy z Tw. Fubiniego (ustawiajac ¾ odpowiednio kolejność ca÷ kowania) Z @f dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk Rk @xi Z @f = dx1 :::dxi :::dxk Rk @xi Z b1 Z bi 1 Z bi+1 Z bk Z bi @f = ::: ::: dxi ^ ::: ^ ^{ ^ ::: ^ dxk : a1 ai 1 ai+1 ak ai @xi Do wykazania kroku I wystarcza pokazać, z·e R bi f x01 ; :::; xi ; :::; x0k = 0 109 @f dxi ai @xi = 0: Poniewaz· dla xi 2 = [ai ; bi ] to z ciag÷ ¾ ości f takz·e sa¾ zera na końcu przedzia÷ u. Stad ¾ z zasadniczego Tw. rachunku róz·niczkowego i ca÷ kowego Z bi @f x01 ; :::; xi ; :::; x0k dxi = f x01 ; :::; bi ; :::; x0k f x01 ; :::; ai ; :::; x0k = 0: @x i ai KROK II. M = Rk+ : Wtedy @M = Rk 1 f0g : Niech ! bedzie ¾ dowolna¾ k o zwartym nośniku na M: Forma ! jest suma¾ sk÷ adników postaci ! = f dx1 ^ ::: ^ dxk 1+ k 1 X i=1 Obliczamy d! = df ^ dx1 ^ ::: ^ dxk 1 + k 1 X i=1 @f dxk ^ dx1 ^ ::: ^ dxk = @xk k 1 = ( 1) P = = Z ci ^ ::: ^ dxk : qi dx1 ^ ::: ^ dx ci ^ ::: ^ dxk dqi ^ dx1 ^ ::: ^ dx k 1 X @qi ci ^ ::: ^ dxk dxi ^ dx1 ^ ::: ^ dx 1+ @x i i=1 @f dx1 ^ ::: ^ dxk @xk 1 ^ dxk + k 1 X ( 1)i i=1 1 @qi dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk : @xi ! Rk 1 Rk 1 Z 1 forma¾ f0g f0g f dx1 ^ ::: ^ dxk 1 + k 1Z X i=1 Weźmy parametryzacje¾ hiperpowierzchni Rk ' : Rk 1 ! Rk 1 1 Rk 1 f0g f0g ci ^ ::: ^ dxk qi dx1 ^ ::: ^ dx f0g ; (x1 ; :::; xk 1 ) 7 ! (x1 ; :::; xk 1 ; 0) : Jest ona ( 1)k -zgodna z dodatnia¾ orientacja¾ brzegu @ Rk+ = Rk 1 f0g (pokazać szczegó÷ owo). Stad ¾ skoro ' (dxk ) = d (0) = 0; to Z ci ^ ::: ^ dxk qi dx1 ^ ::: ^ dx k 1 R Zf0g ci ^ ::: ^ dxk = ( 1)k ' qi dx1 ^ ::: ^ dx k 1 ZR = ( 1)k qi (x1 ; :::; xk 1 ; 0) ' (dx1 ) ^ ::: ^ ^{ ^ ::: ^ ' (dxk ) | {z } Rk 1 =0 = 0: 110 Zatem P = Z Rk 1 k = ( 1) = ( 1)k f0g Z k ZR Rk Z drugiej strony Z d! L = f dx1 ^ ::: ^ dxk 1 1 ' (f dx1 ^ ::: ^ dxk 1 ) 1 f (x1 ; :::; xk 1 ; 0) dx1 ^ ::: ^ dxk 1 : Rk+ = Z X @f dx1 ^ ::: ^ dxk + ( 1)i @xk i=1 k 1 k 1 ( 1) Rk+ k 1 = ( 1) Z X @f dx1 ^ ::: ^ dxk + ( 1)i @xk i=1 k 1 Rk+ 1 1 Z @qi dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk @xi Rk+ ! @qi dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk : @xi Poniewaz· dla i < k otrzymujemy z Tw. Fubiniego (ustawiajac ¾ odpowiednio kolejność ca÷ kowania) Z @qi dx1 ^ ::: ^ dxi ^ ::: ^ dxk Rk+ @xi Z @qi dx1 :::dxi :::dxk = Rk+ @xi Z 1 Z 1 Z 1Z 1 @qi ::: = dxi ^ dxk dx1 ^ :::^{::: ^ dxk 1 1 0 1 @xi 1 {z } | =0 = 0 (co zauwaz·amy analogicznie jak poprzednio na mocy argumentu nośnika ... ). Zatem Z L = d! Rk+ k 1 = ( 1) Z Rk+ Z @f dx1 ^ ::: ^ dxk @xk @f dx1 :::dxk Rk+ @xk Z 1 Z 1 Z 1 @f k 1 = ( 1) ::: dxk dx1 :::dxk @xk 1 1 0 = ( 1)k 1 (*) = 111 1 Z powodu zwartości nośnika f (x1 ; :::; xk 1 ; xk ) = 0 gdy xk > b dla pewnej b > 0 skad ¾ R 1 @f R b @f @f takz·e @xk (x1 ; :::; xk 1 ; xk ) = 0 dla xk > b co implikuje 0 @xk dxk = 0 @xk dxk i dalej (*) = ( 1) = ( = ( = ( = ( Rk = P: Z Z Z b @f ::: dxk dx1 :::dxk 1 1 1 0 @xk Z 1 Z 1 k 1 f (x1 ; :::; xk 1 ; xk ) jxxkk =b ::: 1) =0 dx1 :::dxk 1 1 1 0 1 Z 1 Z 1 @f (x1 ; :::; xk 1 ; b) f (x1 ; :::; xk 1 ; 0)A dx1 :::dxk ::: 1)k 1 | {z } 1 1 =0 Z 1 Z 1 k 1) ::: f (x1 ; :::; xk 1 ; 0) dx1 :::dxk 1 1 1 Z k 1) f (x1 ; :::; xk 1 ; 0) dx1 :::dxk 1 k 1 1 1 1 1 KROK III. M jest dowolna¾ zorientowana¾ hiperpowierzchnia¾ z brzegiem @M . Za÷ óz·my, z·e nośnik formy ! jest zawarty w dziedzinie jednej mapy U 0 M: W tej sytuacji nośnik d! takz·e jest zawarty w U 0 skad ¾ Z Z d! = d!; M U0 Z Z ! = !: @M \U 0 @M Wystarczy zatem pokazać Z d! = Z !: @M \U 0 U0 Niech ' : U ! U 0 bedzie ¾ parametryzacja¾ zgodna¾ z orientacja¾ M (U jest otwarty w Rk+ ). Z Z Z L= d! = ' (d!) = d (' !) : U0 U U Nośnik ' ! jest zawarty w U moz·na wiec ¾ rozszerzyć form¾ e ' ! do g÷ adkiej formy k określonej na ca÷ ej przestrzeni R+ k÷ adac ¾ 0 poza U (pokazać szczegó÷ owo). Wtedy na mocy kroku 2 Z Z Z Z d (' !) = d = = ' !: U Rk+ @Rk+ @Rk+ \U Z drugiej strony ' : U ! U 0 po obcieciu ¾ do brzegów ' : U \ @Rk+ ! U 0 \ @M jest parametryzacja¾ @M przy czym rozwaz·ajac ¾ na U \ @Rk+ Rk 1 f0g orientacje¾ dodatnia wzgledem ¾ Rk+ (czyli ( 1)k zgodna¾ z naturalna orientacja Rk 1 ) mapa obcieta ¾ 112 jest zgodna z orientacja¾ @M: Stad ¾ Z P = != Z ' ! = L: U \@Rk+ @M \U 0 KROK IV. Przypadek ogólny. M jest dowolna¾ zorientowana¾ hiperpowierzchnia¾ z brzegiem @M . Za÷ óz·my, z·e nośnik formy ! jest zwarty. Rozwaz·my dowolny atlas f' ; U g parametryzacji zgodnych z orientacja¾ M i wybierzmy skończony ciag ¾ indeksów 1 ; :::; n takich, z·e supp ! U 1 [ ::: [ U n : Wpiszmy adki Pn w pokrycie fU 1 ; :::; U n ; M n supp !g g÷ rozk÷ ad jedności ; : Wtedy ! = ! (bo ! = 0 wi ec ¾ ! = ! 1 = ! i=1 Pn Pin (( i=1 ) + ) = i=1 !: ! Z Z n n Z X X ! = ! d! = d d / supp i ! U i i i M M = XZ i i=1 @M i != M i=1 Z @M X != i Z !: @M Zauwaz·my, z·e dla dowodu tw. Stokesa dla form o zwartych nośnikach wystarcza mieć istnienie g÷ adkich rozk÷ adów jedności wpisanych dla rodzin skończonych co jest znacznie ÷ atwiejsze do wykazania. 20 Element objetości ¾ i Tensor Riemanna Niech na k wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej V bedzie ¾ dany iloczyn skalarny h ; i : V V ! R, t.j. dwuliniowe odwzorowanie symetryczne niezdegenerowane. Pokazuje sie, ¾ z·e istnieje baza (e1 ; :::; ek ) która jest ortonormalna (w skrócie ON), czyli taka, z·e wektory tej bazy maja¾ d÷ ugości 1 i sa¾ prostopad÷ e do siebie hei ; ej i = ij : Jez·eli weźmiemy inna¾ baze¾ ON (e1 ; :::; ek ) to macierz przejścia a := aji od jednej bazy do drugiej ei = j aji ej jest ortogonalna, tzn. wiersze macierzy sa¾ d÷ ugości 1 i sa prostopad÷ e (co powinno być znane z algebry). Istotnie, ij = hei ; ej i = h r r = r ai aj : r r ai er ; s s aj es i = r s r;s ai aj her ; es i Inaczej ten fakt moz·na zapisać w postaci r r ai aT j r = który oznacza, z·e a aT = Id: 113 ij = r s r;s ai aj rs Z w÷ asności macierzy (Tw. Cauchy’ego) 1 = det Id = det a aT = det a det aT = det a det a = (det a)2 otrzymujemy, z·e macierz przejścia a ma wyznacznik det a = 1: W konkluzji, jez·eli obie bazy orientuja¾ V jednakowo (czyli macierz przejścia ma wyznacznik dodatni) to musi być: det a = +1: Zak÷ adajac, ¾ z·e na V dana jest orientacja, i biorac ¾ bazy ei oraz ej ON i dodatnie (czyli orientujace ¾ zgodnie z zadana¾ orientacja), ¾ stwierdzamy z powyz·szego, z·e macierz przejścia a ma wyznacznik +1: Rozwaz·my bazy dualne ei i ej w przestrzeni kowektorów V : Zwia¾z·emy z tymi bazami (ei ) oraz (ej ) tensory skośnie symetryczne stopnia k postaci ! = e1 ^ ::: ^ ek ; ! = e1 ^ ::: ^ ek : Oczywiście ! (e1 ; :::; ek ) = 1; ! (e1 ; :::; ek ) = 1: Pokaz·emy, z·e ! = ! co bedzie ¾ oznacza÷ o, z·e tensor ! określony dla dowolnej bazy ON dodatniej nie zalez·y od wyboru tej bazy. Otóz·, skoro ! = r ! dla pewnej liczby rzeczywistej r to 1 = ! (e1 ; :::; ek ) = r ! (e1 ; :::; ek ) = r det a ! (e1 ; :::; ek ) /Spivak Tw. 4.6 str 76 = r 1 1=r (co moz·na tez· ÷ atwo zobaczyć z de…nicji 1 = = = = ! (e1 ; :::; ek ) = r ! (e1 ; :::; ek ) r e1 ^ ::: ^ ek (e1 ; :::; ek ) r det [ei (ej )] r det ei r arj er = r det r r aj ei = r det r r aj ir (er ) = r det aij = r Tensor ! równy ! = e1 ^ ::: ^ ek dla dowolnej bazy ON dodatniej nazywa sie¾ tensorem objetości ¾ zorientowanej przestrzeni wektorowej k-wymiarowej V: Z powyz·szego jest takz·e jasne, z·e jest to jedyny tensor stopnia k na V skośnie symetryczny taki, z·e ! (e1 ; :::; ek ) = 1 dla pewnej (dowolnej) bazie ON dodatniej. Niech teraz M Rn bedzie ¾ dowolna¾ hiperpowierzchnia¾ k wymiarowa¾ w Rn : Weźmy kanoniczny iloczyn skalarny w Rn h; i : Rn R n ! R i (v; w) 7 ! wj : iv 114 Dla p 2 M rozwaz·my przestrzeń styczna¾ Tp M Rn : Skoro Tp M jest podprzestrzenia¾ n wektorowa¾w R to iloczyn skalarny obcina sie¾ do tej przestrzeni dajac ¾ tensor symetryczny dwuliniowy i takz·e niezdegenerowany G (p) = h ; ijTp M Tp M : Tp M Tp M ! R: Tensor G na hiperpowierzchni M nazywamy tensorem Riemanna. Niech M bedzie ¾ zorientowana. Tak jak przed chwila¾ rozwaz·ajac ¾ dowolna baze¾ ei (p) ON dodatnia na przestrzeni wektorowej zorientowanej Tp M wprowadzamy na M k-form¾ e rózniczkowa¾ ! która w punkcie p równa jest elementowi objetości ¾ tej przestrzeni stycznej, ! (p) = e1 (p)^ ¾ hiperpowierzchni M i bywa oznaczana ::: ^ ek (p) : Nazywa sie¾ ona forma¾ objetości symbolem dV: ¾ ´sci dV (p) : Tp M ::: Tp M ! R na wektorach Ćwiczenie 20.0.1 Element objeto (v1 ; :::; vk ) jest równy znakowanej objeto´sci równoleg÷o´scianu rozpietego ¾ na tych wektorach (znak + gdy wektory orientuja¾Tp M dodatnio i gdy ujemnie (oczywi´scie gdy wektory sa¾ liniowo zale·zne to objeto ¾ ´s´c jest 0). Twierdzenie 20.0.5 Dla zwartej zorientowanej hiperpowierzchni M Z dV M jest równa (M ) - mierze k-wymiarowej M - czyli objeto ¾ ´sci M: W szczególno´sci dV jest niedok÷adna. M o parametryzacji ' : U ! U 0 zgodnej i Dowód. Szkic dowodu. Dla p÷ ata U 0 formy objetości ¾ dV mamy równość (do dowodu wykorzystujemy ćwiczenie) ' (dV ) = j'0 j dx1 ^ ::: ^ dxk skad ¾ 0 jU j = Z U0 1= Z U 0 j' j dx1 :::dxk = Z U 0 j' j dx1 ^ ::: ^ dxk = Z ' (dV ) = U0 U W dowolnym przypadku wykorzystujemy rozk÷ ad jedności aby wykazać, z·e R Z M 1= dV: R M dV: UWAGA: uzasadnia k¾ e z funkcji skalarnej f po hiperR R to stary symbol na ca÷ powierzchni M : M f = f dV: Poniz·sze tw uogólnia Tw. 5.6 z ksia¾z·ki Spivaka "Analiza na rozmaitościach", PWN.2005. Twierdzenie 20.0.6 Je·zeli M jest zorientowana hiperopowierzchnia kowymiaru 1; M Rn+1 ; dim M = n; i N = [N1 ; :::; Nn+1 ] jest jednostkowym polem wektorowym ciag÷ ¾ ym normalnym do M to forma objeto ¾ ´sci dV jest równa dV = n+1 X i=1 Ni dx1 ^ :::^{::: ^ dxn+1 : 115 Przyk÷ ad 20.0.1 We´zmy sfere¾S n Rn+1 : Polem normalnym jest pole punktu wodzacego ¾ N = [x 1 ; :::; xn+1 ] stad ¾ forma objeto ¾ ´sci na S n jest równa n dS = n+1 X i=1 xi dx1 ^ :::^{::: ^ dxn+1 : Skoro jest to forma objeto ¾ ´sci, to Z Sn n dS n 6= 0 bo to jest objeto ¾ ´sc sfery S : W szczególno´sci forma ta jest niedok÷adna, czyli nie istnieje n na S ·zadna forma dtopnia n 1 taka, ·ze d = dS n : Podamy teraz pewne ciekawe zastosowania Tw. Stokesa w topologii. 21 Zastosowania Tw. Stokesa w topologii Oznaczmy przez K n+1 kule¾ w Rn+1 o promieniu 1 i środku w 0; zatem @K n+1 = S n : Twierdzenie 21.0.7 Nie istnieje g÷adkie odwzorowanie r : K n+1 ! S n które jest identyczno´scia¾na sferze S n : Dowód.R Przypuśćmy, z·e takie odwzorowanie r istnieje. Weźmy dowolna¾ n-form¾ e na S n taka, ¾ z·e S n ! 6= 0: Forma taka istnieje (np. forma objetości ¾ - lub nawet dowolna n forma nigdzie nie równa zeru - patrz Tw 16.5.1). Wtedy (skoro rjS n = id ) Z Z Z Z Z Tw. Stokesa r (d!) r!= r! = d (r !) = != 0 6= n+1 n+1 n+1 n n K K @K S S Z = r (0) = 0 K n+1 bo d! jest n + 1 forma¾ na S n a taka forma musi być zerowa. Twierdzenie 21.0.8 Tw. Brouwera o punkcie sta÷ ym. Niech f : K n ! K n bedzie ¾ n g÷adkim odwzorowaniem kuli w kule. ¾ Wtedy istnieje punkt x 2 K taki, ·ze f (x) = x (t.j. f posiada punkt sta÷y). Dowód. Przypuśćmy, z·e f nie ma punktów sta÷ ych. Tzn. dla wszystkich x 2 K n punkty x i f (x) sa¾ róz·ne. Zde…niujemy odwzorowanie r : K n ! S n 1 nastepuj ¾ aco: ¾ r (x) jest to punkt jaki promień startujacy ¾ z f (x) i przechodzacy ¾ przez x przetnie sfere. ¾ Trzeba sprawdzić liczac ¾ wspó÷ rzedne ¾ z·e jest to odwzorowanie g÷ adkie. Z konstrukcji r n mamy r (x) = x dla punktów x 2 S . Istnienie takiego odwzorowania jest sprzeczne z poprzednim twierdzeniem. 116 22 22.1 Zastosowania ca÷ ki towanej w Fizyce powierzchniowej zorien- Strumień cieczy Niech S bȩdzie powierzchnia̧ zorientowana̧ i V (x; y; z) ; (x; y; z) 2 S; polem wektorowym predkości ¾ przep÷ ywu cieczy przez powierzchniȩ S: Wtedy ZZ F dS S jest objȩtościa̧ cieczy przep÷ ywaja̧cej przez powierzchniȩ S w jednostce czasu w kierunku dodatniej strony powierzchni. Jeśli ca÷ ka ta jest liczba̧ ujemna̧, oznacza to, z·e wiȩcej cieczy p÷ ynie w przeciwnym kierunku. 22.2 Pole cienia Za÷ óz·my, z·ȩ świat÷ o pada promieniami równoleg÷ ymi do siebie w kierunku wektora jednostkowego G na p÷ aszczyznȩ P prostopad÷ a̧ do G: Za÷ óz·my tez·, z·e powierzchnia zorientowana S o parametryzacji :D ! S jest tak u÷ oz·ona miȩdzy świat÷ em i p÷ aszczyzna̧ P; z·e kaz·dy promień świat÷ a przecina ja̧ w conajwyz·ej jednym punkcie. Wówczas, pole A cienia powierzchni S na p÷ aszczyznȩ P dane jest wzorem ZZ @ @ A= G du dv: @u @v D Jeśli świat÷ o pada od strony ujemnej powierzchni S to modu÷w tym wzorze moz·na pomina̧ć i ca÷ ka wówczas równa siȩ ZZ A= G dS: S 22.3 Strumień ciep÷ a Wcześniej stwierdziliśmy, z·e przep÷ yw ciep÷ a w ciele o temeraturze T (x; y; z) opisuje pole wektorowe J = k rT: Sta̧d ca÷ ka ZZ ZZ J dS = k rT dS S S wyraz·a globalna̧ ilość ciep÷ a przep÷ ywaja̧ca̧ przez zorientowana̧ powierzchniȩ S: 22.4 Prawo Gaussa Za÷ óz·my, z·e pole elektryczne E jest wytworzone przez ÷ adunek elektryczny Q punktowy, liniowy, powierzchniowy lub przestrzenny: Prawo Gaussa wia̧z·e strumień pola 117 elektrycznego E przez zamknieta̧ powierzchniȩ S z ca÷ kowitym ÷ adunkiem Q zawartym wewna̧trz S za pomoca̧ ca÷ ki pola E przez powierzchni¸e S zorientowana̧ na zewna̧trz ZZ 1 E dS = 4 "Q; = Q (22.4.1) "o S gdzie " jest wspó÷ czynnikiem wystȩpuja̧cym w prawie Coulomba a "o jest wspó÷czynnikiem przenikalno´sci elektrycznej danego ośrodka w którym umieszczony jest ÷ adunek Q: Bȩdzie ono uzasadnione dla ÷ a̧dunku punktowego w rozdziale dotycza̧cym wzorów ca÷ kowych. 22.5 Zadania Zadanie RR Oblicz S rot F dS, gdzie S jest zorientowana̧ do wewna̧trz powierzchnia̧ boczna̧ bry÷ y ograniczonej od góry p÷ aszczyzna̧ z = 0 a od do÷ u elipsoida̧ x2 + y 2 + 3z 2 = 1 dla pola F =yi xj + zx3 y 2 k: Zadanie h i RR 2 Oblicz S F n dS gdzie F = 1; 1; z (x2 + y 2 ) i S jest powierzchnia̧ ca÷ kowita̧ walca x2 + y 2 1; 0 z 1; zaś n jest polem jednostkowym normalnym skierowanym do wewna̧trz cylindra. Zadanie Za÷ óz·my, z·e funkcja temperatury jest dana wzorem T (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 i niech S bȩdzie sfera̧ jednostkowa̧ x2 +y 2 +z 2 = 1 zorientowana̧ na zewna̧trz. Obliczyć bez uz·ywania parametryzacji sfery strumień ciep÷ a przez powierzchniȩ S jez·eli k = 1: Zinterpretować znak wyniku. Odp. -8 : Zadanie p Niech pole prȩdkości przep÷ ywu cieczy bȩdzie dane wzorem V = xj (mierzone w m=s). Obliczyć ile m3 cieczy p÷ ynie na sekundȩ przez powierzchniȩ x = y 2 +z 2 ; 0 x 1; zorientowana̧ przez pole dla którego cos > 0: Zadanie Niech temperatura T w przestrzeni R3 dana bȩdzie wzorem T (x; y; z) = 3x2 + 3z 2 : Obliczyć strumień ciep÷ a wp÷ ywaja̧cy do środka walca x2 + y 2 = 2; 0 x 2; przez jego powierzchniȩ boczna̧ (dla k = 1). Zadanie Niech S bȩdzie zamknieta̧ powierzchnia̧ która sk÷ ada siȩ z górnej pó÷ sfery x2 +y 2 +z 2 = 2 2 1; z 0; i ko÷ a x +y 1; z = 0: Niech E bȩdzie polem elektrycznym zde…niowanym wzorem E = 2xi + 2yj + 2zk: Obliczyć ÷ adunek elektryczny zamkniȩty przez powierzchniȩ S: Zadanie Świat÷ o pada z góry na dó÷w kierunku prostopad÷ ym do p÷ aszczyzny x + 2y + 3z = 1: 3 : Obliczyć pole cienia rzucanego przez dysk x2 + y 2 14 ; z = 0: Odp. 4p 14 Zadanie Niech S bȩdzie górna̧ po÷ ówka̧ sfery x2 + y 2 + z 2 = 1; z 0; zorientowana̧ przez pole normalne skierowane na zewna̧trz. Weźmy pola wektorowe F = xi + yj; 118 F = yi + xj: Obliczyć dla tych pól ZZ rot F dS i S Z F ds; C gdzie C jest brzegiem powierzchni pó÷ sfery S – okrȩgiem jednostkowym w p÷ aszczyźnie OXY przebieganym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara patrza̧c z dodatniej czȩści osi OZ (zak÷ a̧damy prawoskrȩtny uk÷ ad wspó÷ rzȩdnych). Zauwaz·yć fenomen równości tych ca÷ ek. Bȩdzie on wyjaśniony w nastȩpnym rozdziale za pomoca̧ wzoru Stokesa. Zadanie Pokazać, z·e jez·eli pole wektorowe F jest styczne do powierzchni S to strumień tego pola przez powierzchniȩ S jest zerowy. 22.6 Zadania teoretyczne Zadanie Jeśli poniz·sze zdanie jest prawdziwe, udowodnij je, jez·eli jest fa÷ szywe daj kontrprzyk÷ ad: — je´sli f (x; y; z) jest funkcja̧ ró·zniczkowalna̧, to strumie´n pola rf przez powierzchniȩ sfery x2 + y 2 + z 2 = 1 jest równy zero. 23 Wykorzystanie wzoru Greena Przyk÷ ad 23.0.1 Niech C bedzie ¾ brzegiem kwadratu D = [0; 1] [0; 1] zorientowanego przeciwko ruchowi wskazówek zegara. Ca÷ ka po ÷ uku C musi rozpaść sie¾ na sum¾ e ca÷ ek po czterech odcinkach. Twierdzenie Greena pozwala wykonać to jedna¾ ca÷ ka¾ (o ile wspó÷ rzedne ¾ pola [formy róz·niczkowej] sa¾określone i róz·niczkowalne wewnatrz ¾ kwadratu). Np. Z ZZ @ @ 4 3 6 2x6 y 4 + x3 dx dy = 1: y + x dx + 2x dy = @x @y C D Twierdzenie 23.0.1 (Pole obszaru p÷ askiego) Je·zeli krzywa C jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru p÷askiego D [C mo·ze sk÷ada´c sie¾z kilku cze¾´sci] to pole D równa sie¾ Z Z Z 1 jDj = x dy y dx = x dy = y dx: 2 C C C Dowód. 1 2 Z C x dy 1 y dx = 2 ZZ D @ (x) @x @ ( y) @y Pozosta÷ e wzory dowodzimy identycznie. 119 dx dy = ZZ D dx dy = jDj : Twierdzenie 23.0.2 (Twierdzenie Greena w terminach pola wektorowego) Niech F = P i + Qj = [P; Q] bedzie ¾ polem wektorowym kl. C 1 okre´slonym w obszarze p÷askim D ograniczonym dodatnio zorientowana¾zamkniet ¾ a¾krzywa¾@D: Wówczas ZZ Z F ds = rot F k dx dy: @D D Dowód. Zgodnie z def. rotacji rot F = @Q @x @P @y k: Stad ¾ rot F k = @Q @x @P : @y Twierdzenie 23.0.3 (Twierdzenie Gaussa o dywergencji na p÷ aszczy´znie) Niech D bedzie ¾ obszarem p÷askim i n – jednostkowym normalnym polem wektorowym wzd÷u·z brzegu @D skierowanym na zewnatrz ¾ obszaru D: Dla dowolnego pola wektorowego F kl. 1 C na D zachodzi wzór Z ZZ (F n) ds = div F dx dy: @D D Dowód. Niech T bedzie ¾ ciag÷ ¾ ym jednostkowym i stycznym polem wzd÷ uz· brzegu @D zgodnym z jego dodatnia¾ orientacja¾ (t.j. (n; T) dodatnio orientuje p÷ aszczyzne, ¾ zatem (n; T; k) dodatnio orientuje przestrzeń skad ¾ - co wynika z w÷ asności iloczynu wektorowego z poczatku ¾ wyk÷ adu - w ciagu ¾ (n; T; k;n; T; k; :::) iloczyn wektorowy dwu sasiednich ¾ wektorów jest wektorem nastepnym). ¾ Implikuje to T = k n; a takz·e n = k T i Z Z Z F (k T) ds: F ( k T) ds = (F n) ds = @D @D @D Z drugiej strony, z w÷ asności iloczynu mieszanego F (k T) = T (F k) = (F k) T = (k F) T; i zamiany ca÷ ki zorientowanej na ca÷ k¾ e niezorientowana¾ z funkcji skalarnej Z Z Z (k F) ds: ((k F) T) ds = (F n) ds = @D @D @D Niech F =Ai + Bj; wtedy k F = Ak i + Bk j = Aj Bi: Stosujac ¾ Twierdzenie Greena do ca÷ ki krzywoliniowej (dla P = B i Q = A) otrzymujemy Z Z Z (k F) ds = (Aj Bi) ds = (P i + Qj) ds @D @D @D ZZ ZZ @Q @P @A @B = dx dy = + dx dy @x @y @x @y D ZZ = (div F) dx dy: D Uwaga 23.0.1 Fizycznie, lewa strona p÷ askiego Twierdzenia Gaussa o dywergencji wyraz·a strumień pola wektorowego wyp÷ ywajacy ¾ z wnetrza ¾ obszaru D przez jego brzeg @D: Jez·eli zatem pole F reprezentuje p÷ askie pole przep÷ ywu cieczy, twierdzenie orzeka, z·e strumień cieczy wyp÷ ywajacy ¾ z D przez jego brzeg @D w jednostce czasu równa sie¾ ca÷ ce po D z dywergencji pola F: W szczególności, jez·eli dywergencja znika, to strumień jest zerowy. 120 23.1 Zadania praktyczne Zadanie Sprawdzić Tw.Greena dla pola F = [x; xy] i ko÷ a jednostkowego D : x2 + y 2 Zadanie Stosujac ¾ ca÷ ki zorientowane obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywa: ¾ 2 (a) elipsa¾ xa2 + y2 b2 1: = 1; 2 2 2 (b) hipocykloida¾ x 3 + y 3 = a 3 ; (c) krzywa¾ Steinera x (t) = 23 R cos t + 31 R cos (2t) ; y (t) = 23 R sin t 31 R sin (2t) ; t 2 (0; 2 ) : Zadanie Obliczyć strumień pola wektorowego F = y 3 i + x3 j wyp÷ ywajacy ¾ z wnetrza ¾ kwadratu [0; 1] [0; 1] : 24 24.1 Wykorzystanie wzoru Stokesa dla powierzchni Zadania praktyczne Zadanie Znalez·ć cyrkulacje¾ pola wektorowego F = [z; x; y] wzd÷ uz· brzegu trójkata ¾ zorientowanego tak, aby kolejnymi wierzcho÷ kami by÷ y (0; 0; 0) ; (0; 2; 0) ; (0; 0; 2) : Zadanie p 2 3 = 4; z 0; zorientowana¾ przez pole Niech S bedzie ¾ cześci ¾ a¾ sfery x2 RR + y2 + z skierowane na zewnatrz. ¾ Obliczyć S rot F dS dla F = [y; x; exz ] : (Odp. -2 ) Zadanie Rozwaz·yć pole grawitacyjne F = GMr3mr : Pokazać, z·e div F = 0; istnieje zamnknieta ¾ powierzchnia przez która¾ strumień jest niezerowy (rozwaz·yć sfere¾ jednostkowa¾ o środku w poczatku ¾ uk÷ adu wspó÷ rzednych) ¾ pole F nie RR ma potencja÷ u wektorowego ! (Gdyby mia÷ o, F = rot G; to zgodnie z RR wnioskiem S F dS = S rot G dS = 0 dla kaz·dej powierzchni zamknietej ¾ S ale jest to sprzeczne z poprzednim punktem.) Zadanie Wykorzystujac ¾ Tw. Stokesa obliczyć ca÷ k¾ e krzywoliniowa¾ Z y 3 dx + x3 dy z 3 dz C 121 gdzie C jest przecieciem ¾ cylindra x2 + y 2 = 1 z p÷ aszczyzna¾ x + y + z = 1; orientacja C odpowiada ruchowi przeciw wskazówkom zegara (w/g obserwatora umieszczonego wysoko na osi OZ). (Odp. 32 ). Zadanie Korzystajac ¾ z uwagi 24.2.1 obliczyć ca÷ k¾ e krzywoliniowa¾ niezorientowana¾ ZZ (rot F n) dS; S gdzie S jest cześci ¾ a¾ sfery x2 + y 2 + z 2 = 1; x + y + z 1; n jest polem normalnym jednostkowym ¾ sfery zaś F = r (i + j + k) ; r = xi + yj + zk: p zwróconym na zewnatrz 4 (Odp. 3 3 ). Zadanie Rozwaz·my pole wektorowe F= x2 y i + y2 x2 x j + k: + y2 R Sprawdzić, z·e rot F = 0 oraz C F ds 6= 0 dla jednostkowego okregu ¾ lez·acego ¾ w p÷ aszczyźnie OXY bed ¾ acego ¾ brzegiem ko÷ a: Dlaczego nie jest to sprzeczne z Tw. Stokesa ? Zadanie RR Obliczyć S rot F dS dla pola wektorowego F = [3y; xz; yz 2 ] po cześci ¾ powierzchni S o równaniu 2z = x2 + y 2 ; 0 z 2; (a) bezpośrednio, (b) przez zastosowanie Tw.Stokesa. Za÷ oz·yć, z·e powierzchnia S jest zorientowana za pomoca¾ pola wektorowego normalnego dla którego cos > 0: 24.2 Zadania teoretyczne Zadanie Udowodnić równość Z @D r n ds = ZZ r2 + r D r dx dy: Zadanie Wykazać, z·e jeśli f jest funkcja¾ harmoniczna¾ w obszarze D to Z @f @f dx dy = 0: @x @D @y Zadanie h Weźmy pole wektorowe F = dyskiem x2 + y 2 padku. i x ; x2 +y : Zak÷ adajac, ¾ z·e D jest jednostkowym 2 1 wyjaśnić dlaczego Twierdzenie Greena nie zachodzi w tym przyy x2 +y 2 Przyk÷ ad 24.2.1 Rozwaz·my pole wektorowe F = yez i+xez j+xyez k: Wykaz·emy (korzystajac ¾ z Tw.Stokesa), z·e ca÷ ka po dowolnej krzywej zamknietej ¾ bed ¾ acej ¾ brzegiem pewnej powierzchni znika. 122 I-sposób. Sprawdzamy bezpośrednio zwiazek ¾ rot F = 0 i stosujemy Tw. Stokesa. II-sposób. Zauwaz·amy, z·e pole F jest gradientem F = r (xyez ) i stosujemy Lemat mówiacy, ¾ z·e rotacja gradientu znika. Uwaga 24.2.1 Z Tw. Stokesa wynika, z·e jez·eli dwie zorientowane powierzchnie maja¾ten sam zorientowany brzeg, wtedy ca÷ ki z rotacji pola wektorowego przez te dwie powierzchnie sa¾ równe. Zadanie Niech C bedzie ¾ krzywa¾zamkniet ¾ a¾która jest brzegiem powierzchni S i niech f i g bed ¾ a¾ 2 funkcjami kl. C określonymi w dziedzinie zawierajacej ¾ S: Pokazać równości R RR f rg ds = S (rf rg) dS: C R (f rg + grf ) ds = 0: C Zadanie Pokazać dla zamknietej ¾ powierzchni S i sta÷ ego pola F (x; y; z) = v wzór Z ZZ (v r) ds; v n dS = 2 @S S gdzie jak zwykle r jest polem wektorowym punktu wodzacego. ¾ Przyk÷ ad 24.2.2 H2 (R3 n f0; 0; 0g) 6= 0: Zbiór R3 n f0; 0; 0g jest jednospójny. We´zmy 2 forme¾ 1 (xdy ^ dz ydx ^ dz + zdx ^ dy) : !=p 2 x + y2 + z2 Jest to 2-forma odpowiadajaca ¾ polu wektorowemu grawitacyjnemu. ×atwo sprawdzamy, ·ze (1) d! = 0; skad ¾ forma ! wyznacza klase¾ kohomologii [!] 2 H2 (R3 n f0; 0; 0g) : 2 (2) dla sfery S (mo·ze by´c dowolny promie´n) Z ! 6= 0: S2 R Wiemy z wniosku z tw. Stokesa ·ze gdyby ! = d to S 2 d = 0: Zatem forma ! 2 2 (R3 n f0; 0; 0g) nie jest dok÷adna! Oznacza, to ·ze klasa kohomlogii [!] nie jest "zerowa! czyli H2 (R3 n f0; 0; 0g) 6= 0:# Oznacza to tak·ze, ·ze pole wektorowe F= p x x2 +y 2 +z 2 3 ; p y x2 +y 2 +z 2 3 ; p z x2 +y 2 +z 2 3 chocia·z w R3 n f0; 0; 0g ma zerowa¾ dyw- ergencje¾ to nie posiada globalnie potencja÷u wektorowego. 123 24.3 Wykorzystanie wzoru Gaussa-Ostrogradskiego 24.4 Zadania praktyczne Zadanie RR Obliczyć ca÷ k¾ e powierzchniowa¾ zorientowana¾ S (2xi + y 2 j + z 2 k) dS, gdzie S jest sfera¾ x2 + y 2 + z 2 = 1 zorientowana¾ na zewnatrz. ¾ Odp. 83 : Zadanie Obliczyć strumień pola wektorowego F = xy 2 i+x2 yj+yk przez powierzchnie¾ ca÷ kowita¾ 2 2 walca x + y 1; 1 z 1; zorientowana¾ na zewnatrz. ¾ Odp. Zadanie Obliczyć strumień pola wektorowego V = [x3 ; y 3 ; z 3 ] przenikajacy ¾ na zewnatrz ¾ sfery 12 2 2 2 x + y + z = 1: Odp. 5 : Zadanie Znaleźć strumień pola wektorowego F = [x; y; z] przenikajacy ¾ przez na zewnatrz ¾ sfery jednostkowej x2 + y 2 + z 2 = 1 (a) bezpośrednio, (b) za pomoca¾ Tw.G-0. Zadanie RR Niech F = yi + zj + xzk: Obliczyć @W F dS dla kaz·dego obszaru ograniczonego poniz·szymi powierzchniami (a) x2 + y 2 z 1; (b) x2 + y 2 z 1; x 0; (c) x2 + y 2 z 1; x 0: Zadanie RR Obliczyć M xyzi dS; gdzie M jest powierzchnia¾ ca÷ kowita¾ walca x2 + z 2 y 10; zorientowana¾ do wewnatrz. ¾ 24.5 Zadania teoretyczne Zadanie Wykazać równość ZZZ ZZ (rf ) F dV = W f (F n) dS @W ZZZ W Zadanie Wykazać identyczności Greena: RR RRR (a) @W f rg n dS = f r2 g + rf rg dV; W RR RRR (b) @W (f rg grf ) n dS = f r2 g gr2 f dV: W Zadanie 124 f div F dV: 1; 0 Ustalmy k wektorów v1 ; :::; vk i rozwaz·my k ÷ adunków elektrycznych q1 ; :::; qk umieszczonych odpowiednio w v1 ; :::; vk : Weźmy funkcje¾ (x; y; z) = k X l=1 qi ; 4 kr vi k gdzie r = [x; y; z] : Pokazać, z·e dla zamknietej ¾ powierzchni S na której nie lez·y z·aden ÷ adunek i pola E = r zachodzi ZZ E dS = Q; S gdzie Q jest suma¾ ÷ adunków lez·acych ¾ wewnatrz ¾ S: 25 25.1 ZASTOSOWANIA CA×KOWYCH TWIERDZEŃ Cyrkulacja a rotacja W teorii pola wektorowego wspomnieliśmy, z·e rot F ma zwiazek ¾ z efektami obrotowymi pola F: Oto wyjaśnienie dok÷ adne tego zwiazku ¾ bed ¾ ace ¾ konsekwencja¾ Tw. Stokesa. Twierdzenie 25.1.1 Niech C" bedzie ¾ okregiem ¾ o promieniu " i ´srodku w punkcie xo prostopad÷ym do wektora jednostkowego n: Orientujemy C" w/g rysunku: [zrobi´c sobie prosze¾ samemu] Niech F bedzie ¾ polem wektorowym okre´slonym w obszarze zawierajacym ¾ xo : Wtedy Z 1 F ds: (25.1.1) (rot F) (xo ) n = lim 2 "!0 " C" Oznacza to, ·ze rzut rotacji (rot F) (xo ) na kierunek n mo·ze by´c interpretowany jako cyrkulacja pola F po brzegu jednostkowego obszaru le·zacego ¾ w p÷aszczy´znie normalnej do n (we 2 wzorze powy·zszym " jest polem ko÷a ograniczonego przez okrag ¾ C" ). Dowód. Oznaczmy przez S" dysk (tzn. ko÷ o) o środku w xo i promieniu " lez·acy ¾ w p÷ aszczyźnie prostopad÷ ej do n: Oczywiście C" = @S" : Z Tw. Stokesa ZZ ZZ Z rot F dS = (rot F n) dS = F ds: S" S" C" Z Tw. o wartości średniej dla ca÷ ki podwójnej wynika istnienie punktu x" 2 S" takiego, z·e ZZ (rot F n) dS = ((rot F) (x" ) n) jS" j : S" Stad ¾ 1 (rot F) (x" ) n = jS" j Z 1 F ds = 2 " C" 125 Z C" F ds: Dla " ! 0 zachodzi x" ! xo . Zatem 1 (rot F) (xo ) n = lim 2 "!0 " Z F ds: C" Wniosek 25.1.1 Z wzoru (25.1.1) wynika, z·e je´sli cyrkulacja pola wzd÷u·z ka·zdego ÷uku zamknietego ¾ jest zerowa, to pole wektorowe jest bezwirowe. Na odwrót wiemy, z·e nie zachodzi. Pole wektorowe bezwirowe moz·e mieć niezerowa¾ y x cyrkulacje¾ (np. F = x2 +y ·e jest określone w obszarze jednospójnym ! 2 i + x2 +y 2 j, chyba, z Zadanie Sprawdzić prawdziwość powyz·szego wzoru dla pola wektorowego opisujacego ¾ ruch obrotowy. 25.2 Dywergencja a strumień Wykorzystamy Tw. Gaussa-Ostrogradskiego do podania …zyczneji geometrycznej interpretacji dywergencji. Twierdzenie 25.2.1 Je´sli Br jest kula¾o promieniu r i ´srodku w punkcie xo oraz brzegu Sr = @Br zorientowanym na zewnatrz, ¾ to dla dowolnego pola F okre´slonego w otoczeniu punktu xo dywergencja pola F w xo jest dana wzorem ZZ 1 F dS: (25.2.1) (div F) (xo ) = lim r!0 jBr j Sr Dowód tego twierdzenia przebiega podobnie do dowodu Tw. (25.1.1). Wykorzystuje sie¾ tu Tw. G-O i twierdzenie o wartości średniej dla ca÷ ki potrójnej. Uwaga 25.2.1 Wzór (25.2.1) orzeka,z·e dywergencja (div F) (xo ) pola F w punkcie xo moz·e być interpretowana jako strumień pola F wyp÷ ywajacy ¾ z zamknietej ¾ jednostkowej objetości ¾ zawierajacej ¾ xo : W przypadku interpretacji hydromechanicznej i pola F opisujacego ¾ predkość ¾ przep÷ ywu cieczy wyjaśnia to nazwy punktów ”źród÷ o”i ”ujście”. Wniosek 25.2.1 Z wzoru (25.2.1) wynika, z·e pole wektorowe dla którego strumie´n przez ka·zda¾powierzchnie¾ zamknieta¾jest zerowy ma znikajac ¾ a¾dywergencje, ¾ Na odwrót wiemy, z·e nie zachodzi. Pole wektorowe bezz·ród÷ owe moz·e mieć niezeG rowy strumień przez zamkniet ¾ a¾powierzchnie¾ (np. pole grawitacyjne F = mM r) r3 chyba, z·e jest określone w obszarze gwiaździstym. Zauwaz·my dodatkowo, z·e jednospójność obszaru nie wystarcza do równowaz·ności bezźród÷ owości ze znikaniem strumienia, np. ww wspomnianym zadaniu dziedzina¾ pola jest przestrzeń R3 z usunietym ¾ punktem a ten zbiór jest jednospójny! 126 26 Zastosowania Tw. Stokesa w elektromagnetyźmie Rachunek wektorowy gra istotna¾ role¾ w teorii elektromagnetyzmu. 26.1 Równanie Maxwella W zamknietym ¾ obwodzie C zbudowanym z przewodnika pojawiaja¾ sie prady ¾ elektryczne (zwane indukcyjnymi), jez·eli przez powierzchnie¾ S ograniczona¾ obwodem przenika zmienny strumień magnetyczny. Nate¾z·enie pradu ¾ indukowanego zalez·y jedynie od szybkości zmian strumienia magnetycznego (jest to tzw. zjawisko indukcji elektromagnetycznej Faradaya). Przyk÷ adowo, zjawisko to ma miejsce gdy do obwodu zbliz·amy i oddalamy sta÷ y magnes. Zmienne w czasie nate¾z·enie pola elektrycznego E (t) i pole wektorowe indukcji magnetycznej B (t) zwiazane ¾ sa¾ ze soba¾ jednym z równań Maxwella: @B : @t rot E = 26.2 (26.1.1) Prawo Faradaya Zwiazek ¾ miedzy ¾ cyrkulacja¾ nate¾z·enia pola elektrycznego wzd÷ uz· obwodu C (nazywane tez· “spadkiem napiecia ¾ wzd÷ uz·”) a strumieniem indukcji pola magnnetycznego przez powierzhnie¾ S ogra-niczona¾ obwodem C wyraz·a równanie zwane prawem Faradaya: ZZ Z @ B dS: E ds = @t C C ×atwo jest uzasdnić to prawo korzystajac ¾ z równania Maxwella (26.1.1) i Tw. Stokesa. Z Tw. Stokesa dostajemy Z ZZ E ds = C rot E dS: S Korzystajac ¾ z równania Maxwella (26.1.1) i zak÷ adajac, ¾ z·e znamy prawo matematyczne wchodzenia z róz·niczkowaniem pod znak ca÷ ki otrzymujemy Z ZZ ZZ ZZ @B @ E ds = rot E dS = dS = B dS: @t @t S C S S 26.3 Prawo Gaussa c.d. Podstawa¾ wykazania Prawa Gaussa jest poniz·sze twierdzenie. Twierdzenie 26.3.1 Niech W bedzie ¾ obszarem w R3 dla którego poczatek ¾ uk÷adu wspó÷rzednych ¾ (0; 0; 0) nie le·zy na brzegu @W: Wtedy ZZ rn 4 je´sli (0; 0; 0) 2 W dS = 3 0 je = W; ´sli (0; 0; 0) 2 r @W gdzie r (x; y; z)p= xi + yj + zk jest wektorem wodzacym ¾ punktu (x; y; z) a r (x; y; z) = 2 2 2 kr (x; y; z)k = x + y + z : 127 Dowód. Jeśli (0; 0; 0) 2 = W to powyz·szy wzór wynika bezpośrednio z Tw. GaussaOstrogradskiego o dywergencji ZZ ZZ ZZZ rn r r div 3 dV = 0 dS = dS = 3 3 r @W r @W r W bo pole r r3 ma zerowa¾ dywergencje. ¾ Istotnie 1 div (r) + r r3 3 3 = 3 r r r r5 =0 div r r3 @ @y 1 r3 = 1 r3 r gdyz· r r = r2 oraz r 1 r3 = " @ @x 1 r3 ; @ 1 = @x (x2 + y 2 + z 2 ) 32 h x y zi = 3 5; 3 5; 3 5 r r r r = 3 5: r @ ; @z ! 1 r3 # " 3 ; ::::; :::: = 2 1 5 (x2 + y 2 + z 2 ) 2 ! # 2x; ::::; ::: Jeśli (0; 0; 0) 2 W to argumentacja powyz·sza jest fa÷ szywa, bo pole rr3 nie jest określone w punkcie (0; 0; 0) : W tym przypadku weźmy ma÷ a¾kulk¾ e B ośrodku w (0; 0; 0) i promieniu ro ~ obszar przestrzenny zawarty ca÷ kowicie zawarta¾wewnatrz ¾ obszaru W i oznaczmy przez W ~ : Orientujemy brzeg @B kulki B standardowo miedzy ¾ @W i @B: Oczywiście (0; 0; 0) 2 =W przez pole wektorowe skierowane na zewnatrz ¾ kulki, jednakz·e wtedy –jako cześć ¾ brzegu ~ obszaru W –jest to powierzchnia zorientowana ujemnie (gdyz· kulka B lez·y na zewnatrz ¾ ~ ~ obszaru W ). Stosujemy pierwsza¾ cześć ¾ dowodu dla obszaru W = W ZZ ZZ ZZ rn rn rn dS = dS dS: 0= 3 3 3 ~ r @W r @B r @W Stad ¾ ZZ @W rn dS = r3 ZZ @B rn dS = 4 r3 gdyz· na brzegu @B sfery B o promieniu ro zachodzi n = xi+yj+zk r(x;y;z) i dlatego rn x2 + y 2 + z 2 1 = = 2 3 4 r r r oraz ZZ @B rn dS = r3 ZZ @B 1 1 1 dS = 2 j@Bj = 2 4 ro2 = 4 : 2 r ro ro 128 26.4 Dowód Prawa Gaussa Potencja÷ em w punkcie (x; y; z) pola elektrycznego indukowanego przez ÷ adunek elektryczny Q umieszczony w środku uk÷ adu wspó÷ rzednych ¾ jest (patrz prawo Coulomba V = Q Q p = : 4 "o r 4 "o x2 + y 2 + z 2 Pole elektryczne E wyznaczone jest swoim potencja÷ em V jednoznacznie jako pole skierowane w strone¾ najwiekszego ¾ spadku potencja÷ uV E= rV = Q r 4 "o 1 r = Q r : 4 "o r 3 Z Tw (26.3.1) wnosimy, z·e strumień pola elektrycznego E wyp÷ ywajacy ¾ z powierzchni zamknietej ¾ @W nie przechodzacej ¾ przez (0; 0; 0) wynosi ZZ ZZ ZZ Q r n dS E ndS = E dS = r3 @W 4 "o @W @W ZZ Q Q r n jeśli (0; 0; 0) 2 W " o = dS = 3 0 jeśli (0; 0; 0) 2 = W: r @W 4 "o Jest to treść prawa Gaussa. 26.5 Ciag÷ ¾ e pole ÷ adunków elektrycznych i równanie Maxwella Rozwaz·my teraz ciag÷ ¾ e pole ÷ adunków elektrycznych o gestości ¾ (x; y; z) : Jedno z równań Maxwella dla takiego pola ustanawia zwiazek ¾ nate¾z·enia pola elektrycznego E wywo÷ anego ciag÷ ¾ ym polem ÷ adunków z jego gestości ¾ a¾ div E = (x; y; z) : "o Stosujac ¾ Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego dostajemy ZZ ZZZ ZZZ 1 E dS = div E dV = (x; y; z) dV: "o @W W W RRR Liczba Q = (x; y; z) dV wyraz·a ca÷ kowity ÷ adunek elektryczny objety ¾ powierzchnia¾ W @W: 26.6 Objetość ¾ obszaru przestrzennego Tw. G-O moz·e równiez· s÷ uz·yć do obliczania objetości ¾ obszaru przestrzennego W; analogicznie jak Tw. Greena moz·e s÷ uz·yć do obliczania pola powierzchni p÷ askiej. Mianowicie, objetość ¾ jW j obszaru przestrzennego ograniczonego zamkniet ¾ a¾ powierzchnia¾ @W dodatnio zorientowana¾ jest równa ca÷ ce powierzchniowej pola wektorowego F = P i + Qj + Rk @P + @R jest toz·samościowa równa 1 : którego dywergencja div F = @x + @Q @y @z 129 Twierdzenie 26.6.1 (Objeto ¾ ´s´c obszaru przestrzennego) Je´sli div F = 1 to ZZZ ZZZ ZZ jW j = dV = div F dV = F dS: W W @W Na przyk÷ ad polami wektorowymi F o dywergencji równej 1 sa¾ F =xi; F =yj; F = zk; 1 F = 2 (xi + yj) ; ..., F = 13 (xi + yj + zk) ; itp. Dlatego zachodzi poniz·sze twierdzenie. Twierdzenie 26.6.2 (Objeto ¾ ´s´c obszaru przestrzennego, wzory konkretne) Je´sli zamknieta ¾ po-wierzchnia S jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru przestrzennego W [S mo·ze sk÷ada´c sie¾ z kilku ”cze¾´sci”] to objeto ¾ ´s´c jW j obszaru W równa sie¾ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ 1 1 jW j = xi dS = yj dS = zk::: = (xi + yj) dS = (xi + yj + zk) dS: 2 S 3 S S S S Przyk÷ ad 26.6.1 Za÷ó·zmy, ·ze parametryzacja¾ dodatnia¾ powierzchni zamknietej ¾ S jest 2 (t; u) = (x (t; u) ; y (t; u) ; z (t; u)) ; (t; u) 2 D R : Wtedy x (t; u) i @ = x (t; u) @u @ @t @y @t @y @u @z @t @z @u : Stad, ¾ objeto ¾ ´s´c obszaru W ograniczonego powierzchnia¾S równa sie¾ ZZ ZZ ZZZ @y @z @t @t x (t; u) xi dS = dV = jW j = @y @z D S W @u dt du: @u Analogicznie mo·zemy wyprodukowa´c inne wzory wyra·zajace ¾ objeto ¾ ´s´c obszaru W wychodzac ¾ od innego pola F o dywergencji 1; np. F =yj lub F = zk : ZZZ ZZ ZZ @x @z @t @t jW j = dV = yj dS = y (t; u) dt du; @x @z W S D @u @u ZZZ ZZ ZZ @y @x @t @t jW j = dV = zk dS = z (t; u) dt du: @y @x W 26.7 S D @u @u Zadania praktyczne Zadanie Powtarzajac ¾ rozumowanie z przyk÷ adu (26.6.1) (aby utrwalić teorie¾ ca÷ ki krzywoliniowej i wzór G-O) obliczyć objetość ¾ torusa o duz·ym promieniu R i ma÷ ym r: Odp. 2 2 Rr2 - tyle samo ile wynosi objetość ¾ walca powsta÷ ego z przeciecia ¾ torusa wzd÷ uz· ma÷ ego okregu ¾ i jego ”wyprostowania”. Zadanie RRR (Wykorzystanie wzoru G-O w druga¾ strone) ¾ Obliczyć x2 dx dy dz po obW 2 szarze ogra-niczonym paraboloida¾ eliptyczna¾ z = x2 + y4 i p÷ aszczyzna¾ z = 1: (Znaleźć pole F którego dywergencja¾ jest funkcja x2 i zastosować wzór G-O). Odp. 6 : 130 26.8 Zadania teoretyczne Zadanie Wykorzystujac ¾ ostatni z napisanych wyz·ej wzorów rozwiazać ¾ nastepuj ¾ ace ¾ zadanie: Dana jest zamknieta ¾ krzywa w p÷ aszczyźnie OY Z o równaniu parametrycznym y = y (t) > 0; z = z (t) ; t 2 [ ; ]: Obracamy ja¾ dooko÷ a osi OZ otrzymujac ¾ powierzchnie¾ obrotowa¾ o parametryzacji (t; u) = (y (t) sin u; y (t) cos u; z (t)) ; u 2 [0; 2 ] ; t 2 [ ; ] : Obliczyć objetość ¾ otrzymanej bry÷ y obrotowej W: Odp. jW j = 131 2 R z (t) y 0 (t) y (t) dt: