Die Verwendung der Duration bei der Bewertung und

Henry Prigge, München
Die Verwendung
der Duration bei
der Bewertung
und Bilanzierung
von Leistungen
an Arbeitnehmer
nach IFRS
I. Einleitung
Die International Financial Reporting Standards (IFRS) sind
internationale Bilanzierungsvorschriften für Unternehmen,
die von zahlreichen Ländern zumindest für kapitalmarktorientierte Unternehmen für den Konzernabschluss vorgeschrieben werden1. Die IFRS bestehen aus einer Sammlung
von verschiedenen Standards. Die Bilanzierung von Leistungen an Arbeitnehmer, hierunter fallen insbesondere Pensionsverpflichtungen, ist in dem International Accounting
Standard 19 (IAS 19) geregelt.
Der IAS 19 wurde 2011 weitgehend überarbeitet. Der überarbeitete Standard (IAS 19R) sieht u.a. für sogenannte leistungsorientierte Pläne erweiterte Angabepflichten bezüglich der
mit ihnen verbundenen Risiken vor. So ist nach IAS 19R.147
erstmals die sogenannte Weighted average Duration of the
DBO zu ermitteln und im Anhang zum Konzernabschluss
anzugeben. Die Regelungen des IAS 19R sind verpflichtend
für Geschäftsjahre anzuwenden, die am oder nach dem
1. Januar 2013 beginnen. Damit müssen viele Unternehmen
erstmals zum Bilanzstichtag 31.12.2013 eine Duration in
ihrem Anhang zum Konzernabschluss ausweisen.
Im Folgenden wird der Begriff der Duration näher beleuchtet
und ein Weg aufgezeigt, wie die Duration für die Zwecke
der Bilanzierung nach IAS 19 pragmatisch und hinreichend
genau ermittelt werden kann. Dabei wird vorausgesetzt, dass
der Verpflichtungsumfang, die sogenannte Defined Benefit
Obligation (DBO), für den aktuellen Rechnungszins und zwei
weitere Sensitivitäten (z.B. für Zinssensitivitäten von ± 1%)
vorliegt (vgl. IAS 19R.145). Der erwartete zukünftige Cashflow der Verpflichtung wird hierfür nicht benötigt.
Darüber hinaus wird eine Methode vorgestellt, mit der die
DBO mit Hilfe einer variablen Duration auf einen anderen
Rechnungszins umgerechnet werden kann. Dies ist z.B.
regelmäßig im Rahmen der Zwischenberichterstattung nach
IAS 34 erforderlich.
sogenannte Macaulay-Duration wurde dabei ursprünglich als
eine Sensitivitätskennzahl, die die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer einer Geldanlage in einem festverzinslichen
Wertpapier beschreibt, entwickelt. Die Macaulay-Duration
wird in der Einheit Jahre gemessen.
sogenannte
Modified Duration
wurde
aus der
EsDie
existieren
verschiedene
Definitionen
undspäter
Interpretationsmöglichkeiten
für d
Macaulay-Duration
abgeleitet.
Siewurde
gibt an,
um wieimviel
ProBegriff
der Duration. Die
Duration
erstmals
Jahr
1938 durch Frederick
zent sichfür
einden
Anleihekurs
ändert, wenn sich
das
Macaulay
Bereich ungefähr
der Finanzmathematik
eingeführt.
Die sogenan
Marktzinsniveau wurde
um einen
verändert.
Die
Macaulay-Duration
dabeiProzentpunkt
ursprünglich als
eine Sensitivitätskennzahl,
die
Modified Duration
ermöglicht damit eine
über die
durchschnittliche
Kapitalbindungsdauer
einerAussage
Geldanlage
in einem festverzinslich
relative Veränderung
eines Anleihekurses
in Abhängigkeit
Wertpapier
beschreibt, entwickelt.
Die Macaulay-Duration
wird in der Einheit Ja
einer Veränderung des Marktzinsniveaus.
gemessen.
auf die Modified-Duration
„Defined Benefit Obligation“
(DBO),
DieBezogen
sogenannte
wurde später
ausdieder Macaulay-Durat
den Verpflichtungsumfang
einer
Leistung
nach
IASein
19 Anleihekurs
misst,
abgeleitet.
Sie gibt an, um wie
viel
Prozent
sich
ungefähr änd
kannsich
die Macaulay-Duration
interpretiert
als die zahwenn
das Marktzinsniveau
um einenwerden
Prozentpunkt
verändert. Die Modifi
lungs- und
zinsgewichtete
Restlaufzeit
der
Duration
ermöglicht
damit durchschnittliche
eine Aussage über
die relative
Veränderung ein
Verpflichtung.
Die Modified einer
Duration
gibt hier des
an, um
wie
Anleihekurses
in Abhängigkeit
Veränderung
Marktzinsniveaus.
viel Prozent sich die DBO in etwa verändert, wenn sich der
Rechnungszins
um einenBenefit
Prozentpunkt
ändert.
Bezogen
auf die „Defined
Obligation“
(DBO), die den Verpflichtungsumfa
einer Leistung nach IAS 19 misst, kann die Macaulay-Duration interpretiert werd
19R.147 ist und
die sogenannte
Weighted
average DuraalsNach
dieIASzahlungszinsgewichtete
durchschnittliche
Restlaufzeit
tion of the Die
DBOModified-Duration
zu ermitteln. Zunächst
sichProzent sich die DBO
Verpflichtung.
gibt hiereinmal
an, umstellt
wie viel
dabei
die Frage,
ob sich
hiermit
Macaulay-Duration
oder
die
etwa
verändert,
wenn
der die
Rechnungszins
um einen
Prozentpunkt
ändert.
Modified Duration gemeint ist. Ein diesbezüglich einheitli-
chesIAS
Meinungsbild
zeichnet
sich derzeitWeighted
noch nicht
ab. Beide
Nach
19R.147 ist
die sogenannte
average
Duration of the DBO
Durations-Begriffe
werden stellt
für die
Zwecke
19R.147
ermitteln.
Zunächst einmal
sich
dabeides
dieIAS
Frage,
ob hiermit die Macaul
parallel oder
verwendet.
Dem strengen Wortlaut
nach
Duration
die Modified-Duration
gemeint
ist.entspricht
Ein diesbezüglich einheitlich
die „Weighted
average
Duration
the DBO“
eherBeide
der DefiMeinungsbild
zeichnet
sich
derzeitofnoch
nicht ab.
Durations-Begriffe werd
der Macaulay-Duration.
gibt verwendet.
als absolute Dem
Größestrengen Wortlaut na
fürnition
die Zwecke
des IAS 19R.147Diese
parallel
die zahlungsund zinsgewichtete
entspricht
die „Weighted
average durchschnittliche
Duration of the RestlaufDBO“ eher der Definition
zeit der Verpflichtung
und
damit
die die
geforderte
Macaulay-Duration.
Diesean
gibt
als liefert
absolute
Größe
zahlungs- und zinsgewicht
2.
Information über
das Fälligkeitsprofil
der Verpflichtung
durchschnittliche
Restlaufzeit
der Verpflichtung
an und liefert
damit die geforde
2
Nach Auffassung
des
Autors ist daher
Macaulay-Duration
. Nach Auffassung des Aut
Information
über das
Fälligkeitsprofil
derdie
Verpflichtung
für die Angabe nach
IAS 19R.147 für
vorzuziehen.
ist grundsätzlich
daher die Macaulay-Duration
grundsätzlich
die Angabe nach IAS 19R.1
In jedem FallInsollte
ein entsprechender
Hinweis
im Anhang Hinweis im Anha
vorzuziehen.
jedem
Fall sollte ein
entsprechender
aufgenommenwerden,
werden, falls statt
Macaulay-Duration
die die Modified-Durat
aufgenommen
stattder
der
Macaulay-Duration
Modified wird.
Duration angegeben wird.
angegeben
1. 1.Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
Bezogenauf
aufdiedieDBO
DBOwird
wirddiedieMacaulay-Duration
Macaulay-Duration
Bezogen
���dMCüblicherweise wie fo
üb­
licherweise wie folgt definiert:
definiert:
��� �� � � ��� � � � � �� � � � � ��� � � �� �
���
���
Hierbei
bezeichnet
erwartetenCashflow
Cashflowininderder
Periode t (t ≥ 1) und
� t den
Hierbei
bezeichnet��
CF
den erwarteten
Perio1 +deZins
Aufzinsungsfaktor.
t (t i≥ den
1) und
r = 1 + Zins i den Aufzinsungsfaktor.
Beispiel:
2
Für einen Mischbestand3 beträgt die für eine Pensionsver-
Vgl.
auch IAS19R.BC243.
pflichtung
auf Basis eines Rechnungszinses von 3,5% ermit-
telte DBO 1.000.000 €. Die DBO berücksichtigt hierbei eine
unterjährig gleichverteilte Auszahlung der Pensionen.
II. Begriff der Duration
Es existieren verschiedene Definitionen und Interpretationsmöglichkeiten für den Begriff der Duration. Die Duration
wurde erstmals im Jahr 1938 durch Frederick R. Macaulay
für den Bereich der Finanzmathematik eingeführt. Die
1 Vgl. z.B. Verordnung (EG) Nr. 1606/2002 des Europäischen Parlaments und
des Rates vom 19.7.2002.
596
Betriebliche Altersversorgung 7/2013
2 Vgl. auch IAS19R.BC243.
3 Mischbestand aus aktiven und mit einer unverfallbaren Anwartschaft ausgeschiedenen Mitarbeitern sowie Leistungsempfängern
Abhandlungen
Beispiel:
Beispiel:
Für einen Mischbestand3 beträgt die für eine Pensionsverpflichtung auf Basis
eineseinen
Rechnungszinses
von 3,5%
ermittelte
DBO 1.000.000 €.aufDie
DBO
Für
Mischbestand3 beträgt
die für
eine Pensionsverpflichtung
Basis
berücksichtigt
hierbei einevon
unterjährig
gleichverteilte
der Die
Pensionen.
eines Rechnungszinses
3,5% ermittelte
DBO Auszahlung
1.000.000 €.
DBO
berücksichtigt hierbei eine unterjährig gleichverteilte Auszahlung der Pensionen.
Weiter gilt:
Weiter
Für die Modified Duration dM gilt die folgende Beziehung:
Weiter gilt:
gilt:
25.200
r-tt
CF
CFt
0,9662
25.200
25.200
27.720
0,9335
27.720
CFt x t xrr-t-t
…
CFt
…
t
t
1 1
12
2
2
t
r
-t
24.348
0,9662
CFt xCF
r-t t x t x r-t d = (–1)
CFt×xDBO‘(i)
r-t
/ DBO(i)
M
CFt x t x r-t
24.348 24.348
CFt x r-t
24.348
����
������ �
� ���
���
�����������
��
������
�
…
…
…
…
…
…
……
……
…
…
…
Hierbei bezeichnet DBO‘(i) die erste Ableitung der Funktion
0,9662
24.348
0,9335 25.87724.348
51.753 DBO(i)
6.25.877
Die Modified Duration entspricht damit – mathe27.720
51.753
0,9335
51.753
25.877
matisch
gesprochen – einer Taylorreihenentwicklung der
4
die nach dem ersten linearen Glied abge∑
17.464.724 Wertänderung,
982.948
4
∑
17.464.724
982.948
schnitten
wird. Für kleine Zinsänderungen ∆ gilt damit
∑
17.464.724
982.9484
Die Macaulay-Duration ��� berechnet sich dann aus dem Quotienten der beiden
DBO(i+∆)
~ DBO(i) + ∆ × DBO‘(i) = DBO(i) × (1−∆×d M) <F2>
der beiden
Die
Macaulay-Duration
��� berechnet sich dann aus dem Quotienten
Summanden,
d.h.
Die
Macaulay-Duration
dMC berechnet sich dann aus dem
Summanden,
d.h.
4
Für kleine Zinsänderungen ∆ ändert sich die DBO also um
Quotienten
der beiden Summanden,
⁄ ������� � d.h.
����� �����
��� � ����������
−∆×dM Prozent. Für ∆ = 1% erhält man damit die gewünschte
��� � ���������� ⁄ ������� � ����� �����
Aussage, dass die Modified Duration angibt, um wie viel
dMC = 17.464.724 / 982.948 = 17,77 Jahre
Prozent sich die DBO in etwa erhöht bzw. reduziert, wenn
Die Macaulay-Duration ��� hat die Eigenschaft, dass näherungsweise
die folgende
der Rechnungszins
Macaulay-Duration
dMChat
hatdie
dieEigenschaft,
Eigenschaft, dass
dass näherungsweise
näheDieDie
Macaulay-Duration
���
die folgende um einen Prozentpunkt sinkt bzw. steigt.
5
Beziehung gilt5 :
rungsweise
: folgende Beziehung gilt5:
Beziehung
giltdie
Beispiel (Fortsetzung 2):
Verwendet man die Formel <F2>, so ergibt sich für einen
Zins von 3,0% der folgende Wert:
���
���
Diesdrückt
drücktformelmäßig
formelmäßig aus,
aus, dass
diedie
VerpflichtungsDies
dasssich
sich
Verpflichtungshöhe,
DBO,
durch
Dies
drückt formelmäßig
aus, dass
sich
die Verpflichtungshöhe,
diedie
DBO,
durch
DBO
höhe, die DBO, durch Abzinsung des gesamten Cashflows
3,0% ~ 1.000.000 × (1−(−0,5%) × 17,17) = 1.085.850
Abzinsung
des
gesamten
Cashflows
mit
derdurchschnittlichen
durchschnittlichen
Restlaufzeit
der
Abzinsung
des
gesamten
Cashflows
mit
der
Restlaufzeit
der
mit der durchschnittlichen Restlaufzeit der Verpflichtung
Verpflichtung
näherungsweiseberechnen
berechnenlässt.
lässt.
Verpflichtung näherungsweise
mit 17,17 = 1,035–1 x 17,77.
näherungsweise berechnen lässt.
Beispiel (Fortsetzung 2):
Beispiel
Beispiel
Beispiel
(Fortsetzung
(Fortsetzung
(Fortsetzung
2):
2):
2): hat gegenüber der Macaulay-Duration
FürFür
kleine
Zinsänderungen
∆ lässt
lässtsich
sichsomit
somitder
der
Effekt
DBO
wie
folgt
kleine
Zinsänderungen
der
Effekt
aufauf
diedie
DBO
wie
folgt
gut gut
Die
Modified
Duration
kleine
Zinsänderungen∆∆lässt
sich somit
Effekt
auf
abschätzen:
abschätzen:
den
Vorteil,
dass
sich
aus ihr einfacher weitere Beziehungen
die DBO wie folgt gut abschätzen:
��
���
���
�����
����� �
� ��
���� ������
������������� � �
Beispiel
(Fortsetzung
1):
Beispiel
(Fortsetzung
Beispiel
(Fortsetzung
1):1):
���
<F1>
Verwendet man die Formel <F2>, so ergibt sich für ein Zins von 3,0% der folgend
Verwendet
Verwendet
Verwendetlassen.
man
man
mandie
die
die
Formel
Formel
Formel
<F2>,
<F2>,so
so
soergibt
ergibt
ergibtsich
sich
sichDBO
für
für
fürein
ein
ein
Zins
Zins
Zins
von
von
von3,0%
3,0%
3,0%der
der
derfolgende
folgende
folgende
ableiten
Für
eine <F2>,
Umschätzung
der
auf
einen
Wert:
Wert:
Wert:
Wert:
anderen
Rechnungszins
liefert aber die Macaulay-Duration
<F1>
<F1>
grundsätzlich
Ergebnisse,
wie in �
Abschnitt
noch
������� �bessere
���������
� �� � �������
������ �IV.
���������
��
��
��
�������
�������
�������
���
���
���
���������
���������
���������
���
���
���
������
������
������������������
���������
���������
����
����
�������
gezeigt
wird.
III.
Näherung€fürhat
die
Macaulay-Duration
Die auf
Rechnungszinses
von von
3,5%3,5%
ermittelte
DBO DBODie
Modified-Duration
hat
gegenüber
der
Macaulay-Duration
den
Vorteil,
dass
Die
auf Basis
Basiseines
eines
Rechnungszinses
ermittelte
von
1.000.000
Die
Die
Modified-Duration
Modified-Duration
Modified-Duration
hat
hat
gegenüber
gegenüber
gegenüber
der
der
der
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
den
den
den
Vorteil,
Vorteil,
Vorteil,
dass
dass
dass
sich
sich
sichs
Die
auf1.000.000
Basis eines
Rechnungszinses
von 3,5% ermittelte
DBODie
von
1.000.000
€ weitere
von
€ lässt
sich mitFormel
vorstehender
<F1>
aus
ihr
einfacher
Beziehungen
ableiten
lassen.
Für
eine
Umschätzung
lässt
sich mit vorstehender
<F1> Formel
wie folgt
aufwie
einenaus
anderen
Zins von
aus
aus
ihr
ihr
ihr
einfacher
einfacher
einfacher
weitere
weitere
weitere
Beziehungen
Beziehungen
Beziehungen
ableiten
ableiten
ableiten
lassen.
lassen.
lassen.
Für
Für
Für
eine
eine
eine
Umschätzung
Umschätzung
Umschätzung
der
der
de
lässt
vorstehender
folgt auf einen anderen
Zins einen
von II.
Dieauf
in
angegebenen
Definitionen
der aber
Macaulayfolgtsich
auf mit
einen
anderen ZinsFormel
von z.B.<F1>
3,0%wie
umschätzen:
DBO
auf
anderen
Rechnungszins
liefert
aber
Macaulay-Dura
z.B.
3,0%
umschätzen:
DBO
DBO
DBO
auf
aufAbschnitt
einen
einen
einen anderen
anderen
anderen
Rechnungszins
Rechnungszins
Rechnungszins
liefert
liefert
liefert
aber
aber
die
die
diedie
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
z.B. 3,0% umschätzen:
Duration bessere
benötigen
für die wie
Berechnung
den
��,��
grundsätzlich
bessere
Ergebnisse,
wie
in
Abschnitt
III.
noch
gezeigt
wird.
grundsätzlich
grundsätzlich
grundsätzlich
bessere
bessere
Ergebnisse,
Ergebnisse,
Ergebnisse,
wie
wie
inininAbschnitt
Abschnitt
Abschnitt
III.
III.
III.erwarteten
noch
noch
noch
gezeigt
gezeigt
gezeigt
wird.
wird.
wird.
1,035��,��
1,035
zukünftigen Cashflow CFt über die gesamte Laufzeit der
���
�
1�000�000
�
�
1�0�����5
�
�
3
�,��
aktiven und
einer
Anwartschaft ausgeschiedenen Mitarbeitern
3 Mischbestand
����,�� �aus
1�000�000
� �mit
� 1�0�����5
� unverfallbaren
1,030
Mischbestand
aus
aktiven und
mit
einer
unverfallbaren
Anwartschaft ausgeschiedenen
Mitarbeitern
Verpflichtung.
Dieser
wird im Rahmen einer Bewertung nach
III.
Näherung
für
die
Macaulay-Duration
1,030
III.
III.
III.Näherung
Näherung
Näherungfür
für
für
die
die
die
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
sowie Leistungsempfängern.
sowie Leistungsempfängern.
nicht zwingend
berechnet oder liegt gegebenenfalls
Die Summe ∑��� ��� � � ����berücksichtigt nicht die unterjährige Zahlungsweise IAS
der 19
Pensionen
und
∑��� ��� � � berücksichtigt nicht die unterjährige Zahlungsweise der Pensionen und
Die
erst
zu
einemII.späteren
Zeitpunkt
vor.
Um etwaige
zusätzliche
weicht
daher
von
der
DBO ab. der DBO(i) ist allerdings zu beachBeiSumme
der
obigen
Definition
Die
inAbschnitt
Abschnitt
II.angegebenen
angegebenen
Definitionen
der
Macaulay-Duration
benötigen
Die
Die
Die
in
in
Abschnitt
Abschnitt
II.
II.
angegebenen
angegebenen
Definitionen
Definitionen
Definitionen
der
der
der
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
benötigen
benötigen
benötigen
für
für
fü
weicht
daher
von
der
DBO
ab.
Bei
der
obigen
Definitionunterstellt
der DBO(i)
ist die
allerdings
zu beachten,
dass
5
7, wäre es daher
zeitaufwendige
Berechnungen
zu vermeiden
ten,
dass
(näherungsweise)
wird,
dass
AuszahBei
der
obigen
der nur
DBO(i)
ist
allerdings
zudie
beachten,
dass
die
Berechnung
den
erwarteten
zukünftigen
Cashflow
��
über
die
gesamte
Lauf
Beziehung
gilt Definition
genau genommen
bei
einer
jährlich
nachschüssigen
Zahlungsweise
der
über
über
über
die
die
die
gesamte
gesamte
gesamte
Laufzeit
Laufzeit
Laufzei
die
die
Berechnung
Berechnung
Berechnung
den
den
den
erwarteten
erwarteten
erwarteten
zukünftigen
zukünftigen
zukünftigen
Cashflow
Cashflow
Cashflow
��
��
��
Beispiel
(Fortsetzung
1):
Beispiel
(Fortsetzung
1):
�
5 Die
� ��
(näherungsweise)
unterstellt
wird,
dass
die
Auszahlung
der
Leistungen
erst
am
Ende
Die
Beziehung
gilt
genau
genommen
nur
bei
einer
jährlich
nachschüssigen
Zahlungsweise
der
für
diewird
Ermittlung
der Macaulay-Duration
lung der d.h.
Leistungen
erst
Ende
der
jeweiligen Periode,
(näherungsweise)
unterstellt
dass
Auszahlung
der Leistungen
erst
am EndeDieser
der
Verpflichtung.
Dieser
wird
im
Rahmen
einer
Bewertung
nach
19
n
der
der
derwünschenswert,
Verpflichtung.
Verpflichtung.
Verpflichtung.
Dieser
Dieser
wird
wird
im
im
im
Rahmen
Rahmen
Rahmen
einer
einer
einer
Bewertung
Bewertung
Bewertung
nach
nach
nach
IAS
IAS
IASIAS
19
19
19nicht
nicht
nich
∑am
� ��die
. Ende
Leistungen,
bei
������
� wird,
��� ��� �am
der
jeweiligenam
Periode,
d.h.
des Jahres,
erfolgt. Bei
einer
üblichen
��
∑i.d.R.
� �Ende
. Bei
beiEnde
������
nur
auf
solche Werte
zurückzugreifen,
die erst
bereits
vorliegen.
d.h. i.d.R.d.h.
des�i.d.R.
Jahres,
üblichen
�erfolgt.
��� ��
zwingend
zwingend
berechnet
berechnet
berechnet
oder
oder
oder
liegt
liegt
liegt
gegebenenfalls
gegebenenfalls
gegebenenfalls
erst
erst
zu
zu
zueinem
einem
einem
späteren
späteren
späteren
Zeitpunkt
Zeitpunkt
Zeitpunkt
vor.
vor.
vor
derLeistungen,
jeweiligen
Periode,
d.h.
am
deseiner
Jahres,
erfolgt. zwingend
Bei
einer
üblichen
zwingend
berechnet
oder
liegt
gegebenenfalls
erst
zu
einem
späteren
Zeitpunkt
4
4
unterjährig
gleichverteilten
Auszahlung
der Leistungen
Leistungen ist dieIAS19R.145
herkömmliche
777 7von 1.000.0
Die
auf
Basis
eines
Rechnungszinses
Die
auf
von
Basis
3,5%
eines
ermittelte
Rechnungszinses
DBO
von
3,5
fordert
für
die
wesentlichen
versicherungsmatheunterjährig
gleichverteilten
Auszahlungder
der
, ,wäre
,wäre
wäre
es
es
es
daher
daher
dahe
Um
Umetwaige
etwaige
etwaige
zusätzliche
zusätzliche
zusätzliche
zeitaufwendige
zeitaufwendige
zeitaufwendige
Berechnungen
Berechnungen
Berechnungen
zu
zu
zu
vermeiden
vermeiden
vermeiden
unterjährig
gleichverteilten
Auszahlung
Leistungen istist Um
die
herkömmliche
Um
etwaige
zusätzliche
zeitaufwendige
Berechnungen
zu
vermeiden
, wäre
es
da
Definition
der
Macaulay-Duration
daher
ungenau
und
sollte
wie
folgt
angepasst
lässt
sich
mit
vorstehender
Formel
lässt
<F1>
sich
mit
wie
vorstehender
folgt
auf
einen
Formel
anderen
<F1>
Zins
wie
matischen
Annahmen
–Ermittlung
und hierzu
zählt
insbesondere der
die herkömmliche
Definition der
Macaulay-Duration
wünschenswert,
wünschenswert,
wünschenswert,
für
für
für
die
die
Ermittlung
Ermittlung
der
der
der
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
nur
nur
nurnur
auf
auf
aufauf
solche
solche
solche
Werte
Werte
Werte
Definition
der Macaulay-Duration
daher
ungenau und daher
sollte wie
folgt
angepasst
wünschenswert,
fürdie
dieErmittlung
der
Macaulay-Duration
solche
W
werden:
z.B. 3,0% umschätzen:
z.B.IAS19R.145
3,0%
umschätzen:
Rechnungszins
–die
sogenannte
Sensitivitätsanalysen.
Auf
Basis
ungenau und sollte wie folgt angepasst werden:
zurückzugreifen,
zurückzugreifen,
zurückzugreifen,
die
die
die
bereits
bereits
bereits
vorliegen.
vorliegen.
IAS19R.145
IAS19R.145
fordert
fordert
fordert
für
für
fürfür
die
die
diedie
wesentlichen
wesentlichen
wesentlichen
werden:
zurückzugreifen,
bereitsvorliegen.
vorliegen.
IAS19R.145
fordert
wesentlic
��,��
��,��
versicherungsmathematischen
versicherungsmathematischen
versicherungsmathematischen
Annahmen
Annahmen
Annahmen
–und
und
hierzu
hierzu
hierzu
zählt
zählt
zählt
insbesondere
insbesondere
insbesondere
der
der
de
1,035
1,035
dieser Sensitivitäten lässt sich
nun die––Macaulay-Duration
versicherungsmathematischen
Annahmen
–und
und
hierzu
zählt
insbesondere
���
���
�
1�000�000
�
�
1�0�����5
�
1�000�000
�
� 1�0�
�
�
�
�
�,��
�,��
Rechnungszins
Rechnungszins
Rechnungszins
––
––sogenannte
sogenannte
sogenannte
Sensitivitätsanalysen.
Sensitivitätsanalysen.
Sensitivitätsanalysen.
Auf
Auf
Auf
Basis
Basis
Basis
dieser
dieser
dieser
Sensitivitäten
Sensitivitäten
Sensitivitäten
hinreichend
genau
ermitteln.
Rechnungszins
sogenannte
Sensitivitätsanalysen.
Auf
Basis
dieser
Sensitivitä
1,030
1,030
��� �� � � ��� � �� � �� �������
� ������ � � � � ��� �������
� ������ �
��� �� � � ��� � �� � �� � �
� � � � ��� � �
�
lässt
lässt
lässtsich
sich
sichnun
nun
nun
die
die
die
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
hinreichend
hinreichend
hinreichend
genau
genau
genau
ermitteln.
ermitteln.
ermitteln.
lässt
sich
nun
die
Macaulay-Duration
hinreichend
genau
ermitteln.
���
���
���
���
Hierzu wird für zwei Zinssätze i und ı̃ (z.B. ı̃ = i−1%) die fol-
Hierzu
Hierzu
Hierzu
wird
wird
wird
für
für
für
zwei
zwei
zwei
Zinssätze
Zinssätze
� � �und
und
�̃ �̃der
�̃(z.B.
(z.B.
�̃ �̃�
�̃��
��
�
���
��)
��)
die
die
diedie
folgende
folgende
folgende
„Duration“
„Duration“
„Duration
gende
„Duration“
definiert:
verfeinerteDefinition
Definitionder
derMacaulay-Duration
Macaulay-Duration zur
zur Berücksichtigung
Bei
der
obigen
Definition
Bei
der
DBO(i)
obigen
Definition
allerdings
der
zu beachten,
DBO(i)
is
DieDie
so soverfeinerte
einer
Hierzu
wird
für
zweiZinssätze
Zinssätze
�und
und
�̃(z.B.
(z.B.
�̃�ist
� ��)
�
��)
folgende
„Durat
Die Berücksichtigung
so verfeinerte Definition
der Macaulay-Duration
zur
Berücksichtigung
einer
definiert:
definiert:
definiert:
einer
unterjährigen
Auszahlung
der
Leis(näherungsweise)
(näherungsweise)
dass die Auszahlung
unterstellt
der Leistungen
wird, dass die
erstAusz
am
definiert:
unterjährigen Auszahlung der Leistungen ist um ein halbes Jahr
kleiner als die unterstellt wird,
unterjährigen
der Leistungen
ist
ein
halbes Jahr der
kleiner
als
diePeriode,
:=
ln[DBO(ı̃)
/ DBO(i)]
/ der
ln[r/r̃]
tungen istAuszahlung
um ein
Jahr
als um
die
Macaulayjeweiligen
d.h. i.d.R.
jeweiligen
am Ende des
Periode,
Jahres,
d.h.erfolgt.
i.d.R. am
Bei Ende
einer de
üb
Macaulay-Duration,
diehalbes
sich aus
derkleiner
originären
Definition
berechnet. dln(i,ı̃)
Macaulay-Duration,
dieaus
sich
der originären
Definition
berechnet. �unterjährig
� �Auszahlung
�unterjährig
⁄
⁄⁄���
��⁄�⁄������
⁄������
���
���
��⁄�⁄�̃⁄�̃��̃� � gleichverteilten
���������
���
�̃��̃��̃���
��
�����
���
���
�����̃
�����̃
�����̃
������
Duration, die sich
deraus
originären
Definition
berechnet.
�����
gleichverteilten
Leistungen Auszahlung
ist die herkömm
der
� ⁄ ��� � ⁄ �̃ � der
��� ��� �̃� �� ���
�����̃� ⁄ ������
Die Funktion
bezeichnet hierbei
den
natürlichen
LogarithDefinition
derlnMacaulay-Duration
Definition
daher
der
ungenau
Macaulay-Duration
und sollte wie
daher
folgt ungen
ange
2. Modified-Duration
2. Modified-Duration
Die
Die
Die
Funktion
Funktion
Funktion
lnlnbezeichnet
bezeichnet
bezeichnet
hierbei
hierbei
den
den
den
natürlichen
natürlichen
natürlichen
Logarithmus.
Logarithmus.
Die
DieDefinition
Definition
Definitionder
der
de
mus.
Die ln
Definition
derhierbei
Duration
dln
(i,ı̃)
erhält Logarithmus.
man
durch Die
2.Modified Duration
werden:
werden:
Die
Funktion
ln
bezeichnet
hierbei
den
natürlichen
Logarithmus.
Die
Definition
888
8
Duration
Duration
Duration
����
������
���
�̃der
��̃��̃erhält
�eine
erhält
erhält
man
man
man
durch
durch
durchAuflösung
Auflösung
Auflösung
der
der
derbeiden
beiden
beidenGleichungen
Gleichungen
Gleichungen
Auflösung
beiden
Gleichungen
�����
8
Die Modified-Duration �� bestimmt sich aus der Macaulay-Duration
�
durch
Duration
��� ���eine
�̃� erhält man durch Auflösung der beiden Gleichungen
Die Modified-Duration
� bestimmt
sich aus der Macaulay-Duration
�����durch
Die Modified
Duration
M bestimmt sich aus der Macaulayeinfache
Abzinsung
mit�r, dd.h.
��
������
einfache
Abzinsung
mit
r,
d.h.
��
∑���
∑���
�
�
∑
�
∑���
���
������
���
und
und
und
�����̃
�����̃
�������∑
��
��
������
������
������
�
�
�
��
��
��
�
����
���
�������
�
�̃�̃��
�̃��
�
��� �� �∑���
�
��
��
�����
� ������̃
���������
�
��
��
�
���� � ������ � � � � �
Duration dMC durch eine einfache Abzinsung mit r, d.h.
���
���
� ���
���
���
���
� �� � ���
� �� ��
� x�
���
�d�M���
: = r–1
dMC
� ∑ ��� � � �̃ ��
∑��� ��� � � � �� und �����̃� ����
������ � � ���
��� ���
���
Für
Für
Fürdie
die
diezwei
zwei
zweiZinssätze
Zinssätze
Zinssätze� �und
�und
und�̃ �̃gilt
�̃gilt
giltdamit
damit
damitdefinitionsgemäß
definitionsgemäß
definitionsgemäßdie
die
dieGleichung
Gleichung
Gleichung
Für
zwei
Zinssätze
i und
gilt damit
definitionsgemäß
Für
diedie
zwei
Zinssätze
� und
�̃ giltı̃ Die
damit
definitionsgemäß
die
Die
so
verfeinerte
Definition
der so
Macaulay-Duration
verfeinerte Definition
zurGleichung
Berücksichtigung
der Macaulay-D
die Gleichung
Für die Modified-Duration � gilt die folgende Beziehung:
������̃
����̃
���
��������������̃
unterjährigen
Auszahlung
der unterjährigen
Leistungen ist
Auszahlung
um ein halbes
der Leistungen
Jahr kleiner
ist au
Für die Modified-Duration �� �gilt die folgende Beziehung:
������������
��� ���� ��� ����̃
�����̃
�����̃
�����̃
������
������
���
�
�̃��̃�̃ sich
Macaulay-Duration,
die
aus
Macaulay-Duration,
der originären Definition
die sich
berechnet.
aus der originären D
�
�
�����̃
�
������
�
� � ��1� � ���� ��� ⁄ ������
�̃
�� �� ��1� � ���� ��� ⁄ ������
Die
Die
Dieso
so
sodefinierte
definierte
definierteDuration
Duration
Durationhat
hat
hatdie
die
dieEigenschaft,
Eigenschaft,
Eigenschaft,dass
dass
dasssie
sie
siefür
für
fürzwei
zwei
zweiZinssätze
Zinssätze
Zinssätzei iund
iund
und(i(i(i+++
2. Modified-Duration
2. Modified-Duration
6∆∆
Die
so
definierte
Duration
hat die
Eigenschaft,
dass sieinfür
zwei Zinssätze
konvergiert,
konvergiert,
konvergiert,
ininanderen
anderen
anderen
Worten
Worten
Worten i und
∆)
∆)
∆)für
für
für
∆→
→
→
00Modified0gegen
gegen
gegen
die
die
dieMacaulay-Duration
Macaulay-Duration
Macaulay-Duration
����
�Veränderungsintensität
6
Die
Ableitung
der
Funktion
DBO(i)
beschreibt
die
der
��
��
Die
Hierbei
bezeichnet
DBO‘(i)
die
erste
Ableitung
der
Funktion
DBO(i).
6
–t
4 Die
Summe ∑t≥1 CF
berücksichtigt
nicht
die unterjährige
DBOModifiedin Abhängigkeit vom Zins i.
t × r
Die
Hierbei
bezeichnet
DBO‘(i)
die erste
Ableitung
der Zahlungsweise
Funktion DBO(i).
∆) für
∆→
die Macaulay-Duration
��� konvergiert,
in anderen Worten
Duration
entspricht
damit
– ab.mathematisch
gesprochen
– 0 gegen
einer
der Pensionen
und weicht daher
von der DBO
7 Die
zeitnahe
Erstellung des
im Rahmen
Die
Modified-Duration
��Konzernabschlusses
Die Modified-Duration
�� des
bestimmt
sichgewinnt
aus der
Macaulay-Duration
bestimmt sich
���aus
durch
de
Duration
entspricht
damit
– bei einer
mathematisch
gesprochen
–
einer
5
Die
Beziehung
gilt
genau
genommen
nur
jährlich
nachschüssigen
sogenannten
„Fast Close“ immer mehr an Bedeutung.
Taylorreihenentwicklung der Wertänderung, die–t nach dem ersten
linearen
Glied
7 7 7 einfache
Abzinsung
mit
r,
d.h.
einfache
Abzinsung
mit
r,
d.h.
.
CF
und Auflösen nach d.
Zahlungsweise der Leistungen,
bei DBO(i) = ∑ t≥1 CF
8
Eliminieren
von (∑des
Die
Die
Die
zeitnahe
zeitnahe
zeitnahe
Erstellung
Erstellung
Erstellung
des
des
Konzernabschlusses
Konzernabschlusses
gewinnt
gewinnt
gewinnt
im
im
im
Rahmen
Rahmen
Rahmen
des
des
des
sogenannten
sogenannten
sogenannten
„Fast
„Fast
„Fast
Close“
Close“
Close
Taylorreihenentwicklung
der d.h.
Wertänderung,
die
dem ersten
linearen
Glied
t × r nach
t≥1
t)Konzernabschlusses
abgeschnitten wird. Für kleine Zinsänderungen ∆ gilt damit
7
immer
immer
immer
mehr
mehr
mehr
an
an
an
Bedeutung.
Bedeutung.
Bedeutung.
abgeschnitten wird. Für kleine Zinsänderungen ∆ gilt damit
Die
zeitnahe
Erstellung
des Konzernabschlusses gewinnt
im Rahmen des sogenannten „Fast Cl
��
��
888
��
���
���
� ���
��mehr
�und
� ��
∑�∑
∑���
und
Auflösen
Auflösen
Auflösen
nach
nach
nach
d.d.d.�� �� �
Eleminieren
Eleminieren
Eleminieren
von
von
von
��
��
immer
an
Bedeutung.
���
���
� �� �
�und
� ���
����� � ∆� � ������ � ∆ � ���
� ������ � �1 � ∆ � � �
<F2>
8
Eleminieren <F2>
von � ∑��� ��� � und Auflösen nach d.
����� � ∆� � ������ � ∆ � ���� ��� � ������ � �1 � ∆ � �� ��
Für die Modified-Duration �� gilt
Für
diedie
folgende
Modified-Duration
Beziehung:�� gilt die folgende Be
FürAbhandlungen
kleine Zinsänderungen ∆ ändert sich die DBO also um �∆ � � Prozent. Für ∆ =
Betriebliche Altersversorgung 7/2013
597
Für kleine Zinsänderungen ∆ ändert sich die DBO also um �∆ � �� �Prozent. Für ∆ =
� ��� ⁄
� ��� ⁄
1% erhält man damit die gewünschte Aussage, dass die Modified-Duration
angibt,
��1�
��1�
�
�
�
���
�
�
�
���
������
������
�
�
1% erhält man damit die gewünschte Aussage, dass die Modified-Duration angibt,
um wie viel Prozent sich die DBO in etwa erhöht bzw. reduziert, wenn der
um wie viel Prozent sich die DBO in etwa erhöht bzw. reduziert, wenn der
6
Rechnungszins um einen Prozentpunkt sinkt bzw. steigt.
Die Mo
Hierbei bezeichnet DBO‘(i) dieHierbei
erste Ableitung
bezeichnet
derDBO‘(i)
Funktion
die DBO(i).
erste Ableitung
Rechnungszins um einen Prozentpunkt sinkt bzw. steigt.
Duration
entspricht
damitDuration
–
mathematisch
entspricht
damit
gesprochen
–
mathem
–
6
Die Ab
bbildung 1 veranscha
aulicht die Konvergen
K
nz.
ulicht die Konvergen
K
nz.
Die so definierte Duration hat die Eigenschaft, dass sie für
zwei Zinssätze i und (i + ∆) für ∆ → 0 gegen die MacaulayDuration dMC konvergiert, in anderen Worten
���
� ��� ��� � � ∆�
∆ � ���
∆��
Die Abbildung 1 veranschaulicht die Konvergenz.
Die Ab
bbildung 1 veranscha
aulicht die Konvergen
K
nz.
lässt sich dann der Verpflichtungsumfang sehr genau von
einem Zins i auf einen Zins ı̃ umrechnen.
Beispiel (Fortsetzung 3):
Für die Anwendung der Formel <F3> benötigt man zwei
Beispiel
(Fortsetzung
Sensitivitäten.
Diese 3):
sollen in dem obigen Beispiel für einen
Zins von 2,5% und 4,5% vorliegen, d.h. für ∆ = 1,0%. Hier-
fürdie
ergeben
sich folgende,
mit einem
Für
Anwendung
der Formel
<F3> Bewertungsprogramm
benötigt man zwei Sensitivitäten. Diese
exakt
berechnete
Werte:
sollen in dem obigen Beispiel für einen Zins von 2,5% und 4,5% vorliegen, d.h
für ∆ = 1,0%. Hierfür ergeben sich folgende, mit einem Bewertungsprogramm
DBOberechnete
€ und DBO4,5% = 851.550 €
2,5% = 1.189.216
exakt
Werte:
Auf
Basis dieser
Sensitivitäten lassen sich dann d und d + wie
���
�,�� � 1.189.216 � ��� ����,�� � 851.550 −�
folgt ermitteln:
Auf Basis dieser Sensitivitäten lassen sich dann �� und �� wie folgt ermitteln:
d− = ln(1.189.216 / 1.000.000) / ln (1,035 / 1,025) = 17,85
d�+ �= �
ln(  851.550
/ 1.000.000)
(1,035 / ⁄
1,045)
16,71
⁄ 1.000.000�/ ln
⁄ ���1,035
���1.189.216
1,025�= �
1�,85
�� � ���0.851.550 ⁄ 1.000.000� ⁄ ���1,035 ⁄ 1,045� � 16,�1
Die vom Zins 3,0% abhängige variable Duration
dvarvom
(3,5%
, 3,0%)
hier variable Duration ��� �3,5� , 3,0�� beträgt hier
Die
Zins
3,0%beträgt
abhängige
�3,0�−�3,5%))
�var���
�3,5�
3,0�� =�17,85
1�,85
�1�
3,5���/ ⁄ �2
(3,5%
3,0%)
−�(1%
+�(3,0%
Die Du
uration ���� ��� ��� in Abhängigke
A
eit von Zin
ns �� entspdricht
im , ,W
Wesentliche
en
einer
�3,5�
, 3,0��
� −1�,565
����
Die
Duration
d
(i,
˜
ı
)
in
Abhängigkeit
von
Zins
˜
ı
entspricht
(2
×1%)
×
(17,85
16,71)
=
17,565
ln
Gerad
en.
Ermittricht
elt man
daher die en
D einer ��� sowohll für eine Zinssensittivität -∆
Duration
bhängigke
eit von
Zin
ns
�� entsp
W
Wesentliche
im
Wesentlichen
einerim
Geraden.
Ermittelt man
daher die
s
auch
fü
ür
eine
Z
Zinssensitiv
vität +∆ MitMit
en<F3>
(z.B.
für
f man
eine
nach
unten
als
nach
obe
derder
Formel
erhält
nun
aher die Duration
D
��� sowohl
l fürfüreine
tivität
-∆ unten
Duration
dln sowohl
eine Zinssensit
Zinssensitivität
-∆ nach
Formel
<F3>
erhält
man
nun
�
Zinsse
ensitivität
±
1%),
so
l
liefert
der
Mittelwert
eine
sehr
gute
e
Näherung
g
für
die
als
auch
für
eine
Zinssensitivität
+∆
nach
oben
(z.B.
für
eine
��
r eine Zinssensitiv
Z
vität +∆ nach obe
en (z.B. für
f
eine
1,035 ��,���
Zinssensitivität
1%),�so
liefert
der Mittelwert
Macau
ulay-Durati
on
, ed..h.
��
efert der Mittelwert
gute
Näherung
g fürdMW
dieeine sehr
��� eine± sehr
�
����,�� � 1.000.000 � �
� 1.088.�83
gute Näherung für die Macaulay-Duration dMC , d.h.
1,030
h.
� 1�� � �1�,85 � 16,�1�
��� �Wie
���� � ��� ���
� ��� ��
� ��� � �� � ⁄ 2 � �� �� ���Wie
�
∆�genau
� die
��die
��vorstehend
��� ��� � �
∆�
beschriebeneUmrechnungsmethode
Umrechnungsgenau
vorstehend
beschriebene
ist, zeigt d
methode
ist, zeigt
diefolgende
Abbildung
2. Hier wurden folgende
Abbildung
2. Hier
wurden
Umrechnungsmethoden
beispielhaft mit der exa
��� � �� � ⁄ 2 � �� �� ��� ��� � � ∆� � �� �� ��� ��� � � ∆�
Umrechnungsmethoden
beispielhaft mit der exakt ermittelDuration ��������
Duration
berüc
h Zin
hierbei
etw
waige
erjährige
Die
ermittelten
DBO
verglichen:
� ��� in
��
Die Du
A ksichtigt
Abhängigke
eit von
ns au
��utomatisch
entspricht
imeine
W
Wesentliche
en unte
einer
Die Duration dMW berücksichtigt hierbei automatisch eine
ten DBO verglichen:
Zahlun
ngsweise
deine
der
Leistun
ngen.
Ein
Unterschie
ed zwische
Du
urationen
��� und
Gerad
en. Ermitt
elt
man
daher
dieunte
Dder
Duration
��� sowohl
l für en
eineden
Zinssensit
tivität -∆
ksichtigt hierbei
h
au
utomatisch
etw
waige
erjährige
etwaige
unterjährige
Zahlungsweise
Leistungen.
Ein M1: Umrechnung
9
mit
Hilfe
der
dM nach der Formel <F2>
nach
unten
als
s
auch
fü
ür
eine
Z
Zinssensitiv
vität
+∆
nach
obe
en
(z.B.
für
f
eine
�
ze
eigt
sich
in
der
Regel
l
erst
in
de
r
zweiten
Nachkomm
N
mastelle
(v
vgl.
Tabelle
e 1Modified-Duration
fürModified
3
��
gen. Ein Unterschie
ed zwische
en denden
Du
urationen
und
Unterschied
zwischen
Durationen �
d��
M1:
Umrechnung
mitmit
Hilfe
der
Duration
dM nach
MW und d MC zeigt
M2:
Lineare
Interpolation
Hilfe
der
Sensitivitäten
�����
� �� bzw. ����� � ��
9 liefert
±mastelle
1%),
l(v
der
Mittelwert
eine sehr gute
eder
Näherung
g für die
Zinsse
Muster
).
sichensitivität
in der Regel
erst inso
der
zweiten
Nachkommastelle
Formel
<F2>
erst in der zweiten
Nachkomm
Nrbestände)
vgl. Tabelle
e 1 für 3���9 (vgl.
M3: Umrechnung
mit
Hilfe der Macaulay-Duration ��� nach der Formel <F1>
Macau
ulay-Durati
on ��� , d..h.
Tabelle
1 für 3 Musterbestände).
Lineare Interpolation
Sensitivitätenvariablen, vorstehen
M4: M2:
Umrechnung
mit Hilfe dermitvonHilfe
Zinsder�� abhängigen
DBO(i + ∆) bzw. DBO(i − ∆)
definierten
Duration ��� ��, ��� nach der Formel <F3>
Tabelle
1:
A
pproximation
der
Macaulay-Duration
d
M3:
mrechnung mit Hilfe der Macaulay-Duration dMC
MC
���� � ��� ���
� ��� ��
� ��� � �� � ⁄ 2 � �� �� ��� ��� � � ∆� � �U
� �� ��� ��� � � ∆�
durch die Duration dMW
nach der Formel <F1>
M4:Umrechnung mit Hilfe der von Zins ı̃ abhängigen variaDie Musterbestand
D
Duration
���
berüc
h
utomatisch
eine etw
waige
unte
erjährige
�
dMC
d–ksichtigt
d+ hierbei
dMW au
blen, vorstehend definierten Duration dvar (i,ı̃) nach der
Zahlun
ngsweise der
d Leistun
ngen. Ein Unterschie
ed zwische
en den Du
urationen
�
Formel <F3> �� und
Anwärterbestand
25,53
24,93 Nachkomm
��� 1.
ze
eigt
sich in der Regel
l erst 24,33
in der zweiten
N 24,92 mastelle9 (vvgl. Tabelle
e 1 für 3
2. rbestände)
Mischbestand
17,85
16,71
17,28
17,27
M1: Formel <F2> (Modified‐Duration)
M2: Lineare Interpolation
Muster
).
Abweichung
3. Rentnerbestand
11,49
10,78
11,14
11,13
M3: Formel <F1> (Macaulay‐Duration)
M4: Formel <F3> (variable Duration)
25%
d+
d MW
d MCDBO“
dMusterbestand
Für die Angabe der „Weighted
average
Duration
of the
20%
d+
d MW
d MC
dMusterbestand
verwendet 24,92
werden.
nach
IAS 19 kann daher
dMW24,93
1.
Anwärterbestand
25,53 die Duration
24,33
Anwärterbestand
25,53
24,33
24,93
24,92
2. 1.
Mischbestand
17,85
16,71
17,28
17,27
15%
9
Mischbestand
17,85
16,71
17,28 eine 11,13
17,27
Voraus
sgesetzt die Macaulay-Dura
M 11,49
ation
berücksic
chtigt
etw
waige unterjährrige Zahlungsweise.
3. 2.
Rentnerbestand
10,78
11,14
IV.
M
ethode
zur
Umrechnung
der
DBO
auf
einen
3. Rentnerbestand
11,49
10,78
11,14
11,13
10%
ion berücksicchtigt eineTab.
etw
waige
unterjähr
rige
Zahlungsweise.
anderen
Rechnungszins
D MC durch die Duration D MW
1:
Approximation
der
Macaulay-Duration
Tab. 1: Approximation der Macaulay-Duration D MC durch die Duration D MW
5%
FürIm
die vorherigen
Angabe der „Weighted
average
Duration
of thedass
DBO“mit
nachHilfe
IAS 19
kann
Abschnitt
wurde
gezeigt,
der
0%
Für die
die Duration
Angabe �der
average Duration of the DBO“ nach IAS 19 kann
verwendet werden.
daher
�� „Weighted
Duration
d
(i,ı̃)
auf
einfache
Weise
der
Verpflichtungsum1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
3,5%
4,0%
4,5%
5,0%
5,5%
6,0%
6,5%
daher die Duration
ln ��� verwendet werden.
i‐∆
i
i+∆
Zins i ̃
IV.fang
Methode
Umrechnung
auf einen
Rechnungszins
vonzureinem
Zins i der
aufDBO
einen
Zins anderen
ı̃ umgerechnet
werden
IV.
Methode
Umrechnung
der DBO
einen anderen
Rechnungszins
kann.
Diezur
Duration
dln (i,ı̃)
liegtauf
allerdings
in der
Regel nicht
Abb. 2: Genauigkeit verschiedener DBO‐Umrechnungsmethoden auf einen anderen Zins
Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass mit Hilfe der Duration ��� ��� �̃� auf
9
fürvorherigen
jeden
ı̃wurde
vor. gezeigt,
Sie
relativ
leicht
durch
Voraus
sgesetzt
die
MVerpflichtungsumfang
Macaulay-Dura
ationkann
berücksic
chtigt
eine
waige
unterjähr
Zahlungsweise.
Im
Abschnitt
dass
mit
Hilfe
der�etw
Duration
���Zins
��� �̃� rige
auf
einfache
WeiseZinssatz
der
vonaber
einem
Zins
auf
einen
�̃
Die Abbildung 2 veranschaulicht, dass die einfach handhabbare Umrechnung nach
einfache
Weise
der
Zinsin indem
� auf
einen
die Durationen
dVerpflichtungsumfang
d + approximiert
werden,
man
umgerechnet
werden
kann.
Die Duration
��� ��� �̃�von
liegt einem
allerdings
der
Regel
nichtZins
für �̃
− und
der Formel
<F2> mit 2
Hilfe
der Modified-Duration dass
dM diedie
ungenausten
umgerechnet
kann.
Dieaber
Duration
��� �̃� liegt
in der Regel
nicht
��für
jeden
Zinssatz
�̃werden
vor.dSie
kann
relativ���
leicht
durchallerdings
die Durationen
�� und
Die
Abbildung
veranschaulicht,
einfachErgebnisse
handdurch
d− und
+ eine Gerade legt (vgl. Abbildung 1). Matheliefert. Diese Umrechnungsmethode ist für größere Zinsänderungen nur bedingt
jeden Zinssatz
�̃ vor.
Sie kann
aber relativ
durch
die Durationen
�� und ��
approximiert
werden,
indem
man durch
�� undleicht
�� eine
Gerade
legt (vgl. Abbildung
habbare
Umrechnung
nach
dereine
Formel
<F2>
mit mit
Hilfe
der
matisch
lässt
sich
dies
wie
folgt
ausdrücken:
geeignet.
Selbst
die
Umrechnung
durch
lineare
Interpolation
Hilfe
der
werden,
indem
�� und �� eine Gerade legt (vgl. Abbildung
1).approximiert
Mathematisch
lässt sich
diesman
wie durch
folgt ausdrücken:
Sensitivitäten Duration
liefert hier bessere
Die Umrechnung
nach der
Formel
Modified
dM dieErgebnisse.
ungenauesten
Ergebnisse
liefert.
1). Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:
<F1> mit Hilfe der Macaulay-Duration ��� liefert grundsätzlich schon deutlich
Diese
Umrechnungsmethode ist für größere Zinsänderungen
��� ��� �̃� � ���� ��� �̃� ��� ���� ��� �̃� �� �� � �� � ��̃ � ��� � �� � �� � ��� � �� �
bessere Ergebnisse als die ersten beiden Umrechnungsmethoden. Dies gilt
��� ��� �̃� � ���� ��� �̃� ��� ���� ��� �̃� �� �� � �� � ��̃ � ��� � �� � �� � ��� � �� �
nur
bedingtfür geeignet.
Selbst die Umrechnung
durch
insbesondere
kleinere Zinsänderungen.
Je weiter man sich
abereine
vom
Mit Hilfe der Formel
ursprünglichen
Rechnungszins
entfernt,
umsoSensitivitäten
ungenauer wirdliefert
auch hier
diese
lineare
Interpolation
mit
Hilfe
der
Mit
Hilfe
der
Formel
Mit Hilfe der Formel
Umrechnungsmethode.
bessere Ergebnisse. Die Umrechnung nach der Formel <F1>
� ���� ����̃ �
�����̃� � ������ � � � ���� ����̃�
<F3>
�̃ �
Mit Abstand
Umrechnungsergebnisse
vonliefert
den hiergrundsätzlich
untersuchten vier
mit
Hilfe die
derbesten
Macaulay-Duration
dMC
�����̃� � ������ � � �
<F3>
<F3>
�̃
Methoden liefert die Umrechnung nach der Formel <F3> mit Hilfe der von Zins ��
schon
deutlich bessere Ergebnisse als die ersten beiden
lässt sich dann der Verpflichtungsumfang sehr genau von einem Zins � auf einen
abhängigen variablen Duration ��� ��� ���. Die Umrechnungsungenauigkeit liegt hier
lässt
sich dann der Verpflichtungsumfang sehr genau von einem Zins � auf einen
Zins
�̃ umrechnen.
Umrechnungsmethoden.
für kleinere
selbst für größere ZinsänderungenDies
immergilt
nochinsbesondere
im niedrigen Promillebereich.
Die
9 Vorausgesetzt
Zins
�̃ umrechnen. die Macaulay-Duration berücksichtigt eine etwaige unterjähriUmrechnungsmethode hat
Vorteil,
dassaber
sie invom
der Umsetzung
nicht
Zinsänderungen.
Je zudem
weiterdenman
sich
ursprünglige Zahlungsweise.
aufwendiger ist als die anderen drei beschriebenen Methoden. Sie lässt sich in Excel
– ohne dass man ein Programmier-Experte sein muss – problemlos in einer Zelle
umsetzen.
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Betriebliche Altersversorgung 7/2013
Die Umrechnung nach der Formel <F3> mit Hilfe der vom Zins �� abhängigen
variablen Duration ��� ��� ��� liefert damit eine mit wenig Aufwand umsetzbare
Umrechnungsmethode, die für viele Zwecke, z.B. für Zinsumrechnungen
im Rahmen
Abhandlungen
der Zwischenberichterstattung nach IAS 34, sehr gute und hinreichend genaue
Ergebnisse liefert.
Der Vollständigkeit halber sei darauf hingewiesen, dass es weitere
Umrechnungsmethoden gibt, die teilweise ebenso genaue Umrechnungsergebnisse
chen Rechnungszins entfernt, umso ungenauer wird auch
diese Umrechnungsmethode.
Mit Abstand die besten Umrechnungsergebnisse von den
hier untersuchten vier Methoden liefert die Umrechnung
nach der Formel <F3> mit Hilfe der von Zins ı̃ abhängigen
variablen Duration dvar (i,ı̃). Die Umrechnungsungenauigkeit
liegt hier selbst für größere Zinsänderungen immer noch im
niedrigen Promillebereich. Die Umrechnungsmethode hat
zudem den Vorteil, dass sie in der Umsetzung nicht aufwendiger ist als die anderen drei beschriebenen Methoden. Sie
lässt sich in Excel – ohne dass man ein Programmier-Experte
sein muss – problemlos in einer Zelle umsetzen.
Die Umrechnung nach der Formel <F3> mit Hilfe der vom
Zins ı̃ abhängigen variablen Duration dvar (i,ı̃) liefert damit
eine mit wenig Aufwand umsetzbare Umrechnungsmethode,
die für viele Zwecke, z.B. für Zinsumrechnungen im Rahmen
der Zwischenberichterstattung nach IAS 34, sehr gute und
hinreichend genaue Ergebnisse liefert.
Der Vollständigkeit halber sei darauf hingewiesen, dass es
weitere Umrechnungsmethoden gibt, die teilweise ebenso
genaue Umrechnungsergebnisse liefern10. Welche Methoden in der Praxis vorteilhafter sind, hängt vom jeweiligen
Einzelfall ab und lässt sich nicht pauschal beantworten. Bei
der Wahl der geeigneten Methode sollte zunächst geprüft
werden, inwieweit es einfacher ist, vorab den erwarteten
zukünftigen Cashflow der Verpflichtung oder die DBO für
den aktuellen Rechnungszins sowie zwei weitere Sensitivitäten zu berechnen.
V. Zusammenfassung
In dem vorliegenden Beitrag wird der Begriff der Duration
näher beleuchtet und ein Weg aufgezeigt, wie die Duration
für die Zwecke der Bilanzierung nach IAS 19 pragmatisch
und hinreichend genau ermittelt werden kann. Der erwartete
zukünftige Cashflow der Verpflichtung wird hierfür nicht
benötigt. Allerdings wird vorausgesetzt, dass der Verpflichtungsumfang, die sogenannte Defined Benefit Obligation
(DBO), für den aktuellen Rechnungszins und zwei weitere
Sensitivitäten (z.B. für Zinssensitivitäten von ± 1%) vorliegt.
Darüber hinaus wird eine Methode vorgestellt, mit der sich
der Verpflichtungsumfang, die DBO, sehr gut auf einen anderen als den in dem Anhang zum Konzernabschluss angegebenen Rechnungszins umrechnen lässt.
Dabei ist grundsätzlich festzuhalten, dass
– für
die nach IAS 19R.147 zu ermittelnde „Weighted
average Duration of the DBO“ die sogenannte MacaulayDuration der Modified Duration vorzuziehen ist,
– auf
Basis der nach IAS 19R.145 geforderten Sensitivitätsanalysen für den Rechnungszins sich die MacaulayDuration für die Zwecke des IAS 19R.147 hinreichend
genau ermitteln lässt und zusätzliche zeitaufwendige
Berechnungen des erwarteten zukünftigen Cashflows der
Verpflichtung hierfür nicht erforderlich sind,
– der
Verpflichtungsumfang, die DBO, mit wenig Aufwand
mit Hilfe einer vom Zins abhängigen variablen Duration
sehr genau auf einen anderen Rechnungszins umgerechnet werden kann.
10 Vgl. z.B. Fodor, BetrAV 2011 S. 686.
Abhandlungen / Aus der Gesetzgebung
Betriebliche Altersversorgung 7/2013
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