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Kapitel 1: Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
1. Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit
Startenwww.park-koerner.de
wir in die Stochastik
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der Oberstufe
zunächst mit zwei Fragen:
Copyright www.park-koerner.de
Frage 1:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem handelsüblichen Würfel bei drei Würfen
mindestens einmal eine Sechs zu werfen?
https://pixabay.com/de/brettspiel-mensch-%C3%A4rgere-dich-nicht-874825/ (cc0), 28.11.15
https://pixabay.com/de/fu%C3%9Fballstadion-fu%C3%9Fball-stadion-227561/
(cc0),
28.11.15 www.park-koerner.de
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Frage 2:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Deutschland
Fußballweltmeisterschaft 2018 in Russland erneut den Titel holt?
bei
der
nächsten
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wirCopyright
natürlich
davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit,
eine
Sechs zu würfeln, beträgt, da bei einem nicht manipulierten Würfel jede Augenzahl die
6
gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt.
Copyright
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Bei der
ersten Frage gehen
1
Ein Zufallsexperiment, bei dem jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt,
heißt Laplace-Experiment.
Bei drei Würfen handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment. Um die Rechnung
übersichtlicher zu gestalten, führen wir folgende Ereignisse ein.
6 = Würfeln der Augenzahl Sechs
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6̅ = Würfeln
der Augenzahl 1, 2, 3, 4 oderCopyright
5
Bei drei Würfen mindestens eine Sechs zu würfeln, bedeutet, genau eine, genau zwei oder
drei Sechsen zu würfeln.
Kopierrechte (gedruckt und digital) für alle eigenen Schüler bei Erwerb Privatlizenz, für
alle Schüler und Lehrer der Schule bei Erwerb Schüler-Lehrer-Lizenz
Genau eine Sechs zu würfeln ist möglich durch die Ergebnisse 66̅6̅, 6̅66̅ oder 6̅6̅6 mit der
1
5
5
jeweiligen Wahrscheinlichkeit ⋅ ⋅ .
6
6
6
Genau zwei Sechsen zu würfeln ist möglich durch die Ergebnisse 666̅, 66̅6 oder 6̅66 mit
1
1
5
der jeweiligen Wahrscheinlichkeit ⋅ ⋅ .
6
6
6
1 3
666 mit der Wahrscheinlichkeit ( ) ist das einzige Ergebnis für das Ereignis „drei Sechser“.
6
Somit können wir die Antwort zu Frage 1 liefern:
𝑃(„mindestens eine Sechs“) = 3 ⋅
𝟒𝟐, 𝟏 %
1
6
⋅
5
6
⋅
5
6
+ 3⋅
1
6
⋅
1
6
⋅
5
6
+
1
6
⋅
1
6
⋅
1
6
=
91
216
≈
Wir werden noch in diesem Abschnitt auf einen wesentlich kürzeren Lösungsweg
hinweisen.
Bei diesem, wie auch bei vielen anderen Zufallsexperimenten, ist es problemlos möglich,
jedem Ergebnis und Ereignis die zugehörige Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.
Wie sieht es mit der Antwort zu Frage 2 aus?
Nun, eine Berechnung wie bei Frage 1 ist hier natürlich nicht möglich. Meine persönliche
Meinung lautet: Die Wahrscheinlichkeit, dass Deutschland 2018 erneut Weltmeister wird,
beträgt 20 %. Wettbüros müssen sich über derartige Fragen sehr viele Gedanken machen,
um Wettquoten zu erstellen, die einerseits Fußballfans dazu verleiten, eine Wette
abzuschließen, aber andererseits dem Wettbüro einen möglichst hohen Gewinn
einbringen. Bei der Quotenerstellung fließt nicht nur Fußballsachverstand mit ein, sondern
hauptsächlich eine gründliche Analyse von Statistiken.
Auch wenn eine Berechnung der Wahrscheinlichkeit zu Frage 2 nicht möglich ist, haben
derartige Fragestellungen, wie z. B. bei den erwähnten Wettbüros, eine große Bedeutung.
Mathematiker haben den Wahrscheinlichkeitsbegriff
über sehr viele Jahre untersucht. Der russische
Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorov
(1903 – 1987) stellte im Jahr 1933 einen Ansatz des
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Wahrscheinlichkeitsbegriffs
vor, auf
demwww.park-koerner.de
die heutige
Wahrscheinlichkeitstheorie beruht.
Kolmogorov versuchte Axiome anzugeben, auf
deren Basis man sämtliche Aussagen der
Wahrscheinlichkeitstheorie herleiten kann.
https://cv.wikipedia.org/wiki/%D3%B2%D0%BA%D0%
Unter www.park-koerner.de
einem Axiom versteht
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Copyright
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man
eine Aussage,
die B5%D1%80%D1%87%C4%95%D0%BA:Kolm_complexit
y_lect.jpg (CC By 2.5), Autor: Terrence L. Fine, 28.11.15
man als wahr annimmt, aber nicht beweisen kann.
Beispiele von Axiomen:
 Aus dem Alltag: Jeder Mensch muss einmal sterben.
 Aus der Mathematik: ZuCopyright
jeder www.park-koerner.de
natürlichen Zahl n gibt Copyright
es einewww.park-koerner.de
noch größere
natürliche Zahl n+1.
Die Axiome des Wahrscheinlichkeitsbegriffs nach Kolmogorov lauten:
Axiom I:
𝑃 (𝐴 ) ≥ 0
Axiom
II:
𝑃(Ω) =
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Axiom III:
1
Wenn 𝐴 ∩ 𝐵 = { } , dann muss gelten: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
wobei 𝐴 und 𝐵 Ereignisse eines Zufallsexperiments mit der Ergebnismenge Ω sind.
Mit diesen Axiomen findet man zwar keine Antwort auf die anfangs dieses Kapitels
gestellte Frage 2, aber es lassen sich sehr viele interessante Gesetzmäßigkeiten daraus
ableiten.
Copyright
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Ein Beispiel einer Aussage, die sich mit diesen Axiomen recht schnell herleiten lässt, ist
folgende:
𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴̅)
Mit 𝐴̅ ist hier das Gegenereignis von 𝐴 gemeint.
Beweis dieser Aussage:
Da 𝐴̅ das Gegenereignis von 𝐴 ist, gilt:
̅
𝐴∩𝐴 ={}
Nun ergibt Axiom III:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐴̅ ) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴̅ )
Da 𝐴 ∪ 𝐴̅ = Ω gilt folglich:
1 = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴̅ )
Und somit
ergibt diese GleichungCopyright
umgestellt:
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𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴̅ )
Mit dieser Formel lässt sich Frage 1 am Anfang des Abschnitts sehr viel schneller
beantworten:
Das Gegenteil von „mindestens eine Sechs“ ist „keine Sechs“. Somit gilt:
𝑃(„𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑆𝑒𝑐ℎ𝑠“) = 1 − 𝑃(„𝑘𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑆𝑒𝑐ℎ𝑠“) = 1 −
≈ 𝟒𝟐, 𝟏 %
5 5 5
91
⋅ ⋅ =
6 6 6
216
Zusammenfassung:
Der heutige Wahrscheinlichkeitsbegriff basiert auf Axiomen des russischen
Mathematikers Kolmogorov, aus denen sämtliche Gesetzmäßigkeiten abgeleitet
werden können.

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