תירגול – מבוא לאלקטרואופטיקה

‫מבוא לאלקטרואופטיקה – תירגול‬
‫מתרגל‪ :‬אסף שחמון‪.‬‬
‫מייל‪[email protected] :‬‬
‫ספרים מומלצים‪:‬‬
‫‪Hecet .1‬‬
‫‪photonic .2‬‬
‫‪.forier optics/Goodman .3‬‬
‫‪|1‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪:1‬‬
‫השיעור נדבר על חוק סנל‪.‬‬
‫מגדירים את מקדם השבירה כהָיחס בין מהירות האור בריק לבין מהירות האור בחומר‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪vp‬‬
‫‪.n ‬‬
‫חוק סנל מדבר על היחס בין הסינוסים של זוויות השבירה ומקדמי השבירה של החומרים‪.‬‬
‫איור ‪ -1‬תיאור הגדלים של חוק סנל‬
‫חוק סנל‪. n1  sin  1  n 2  sin  2 :‬‬
‫זווית קריטית‪:‬‬
‫בתהליך שקורה במעבר אלומת אור מתווך צפוף לדליל‪ , n1  n 2 :‬נגדיר‪  2  90  :‬ונקבל‪:‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪. sin  c ‬‬
‫המשמעות היא שמעבר לזווית ‪  c‬נקבל החזרה גמורה‪.‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫נתון סיב אופטי מסוג‪ Step index :‬כמתואר באיור הסמוך‪:‬‬
‫הסיב בנוי משכבה מרכזית )‪ (core‬המצופה בשכבה נוספת )‪.(cladding‬‬
‫מקדם השבירה של הליבה )‪ (N1‬גדול משל השכבה המצפה כפי שניתן לראות‪.‬‬
‫נזריק אלומת אור לליבה של הסיב‪.‬‬
‫כאשר נעשה חתך באמצע הסיב נקבל את המתואר באיור ‪.3‬‬
‫איור ‪ -2‬תיאור ליבה של סיב ‪.Step index‬‬
‫מהי הזווית המקסימלית ‪  m‬עבורה האור שנכנס יישאר בסיב?‬
‫כדי למצוא את הזווית הנ"ל נדרוש כי בפגיעה הראשונה הזווית פגיעה תהיה שווה ל‪  c -‬כמתואר באיור הסמוך (‪:)3‬‬
‫נקבל את המשוואה הראשונה בכניסה לסיב‪:‬‬
‫‪. n 0  sin  m  n co  sin  t‬‬
‫‪cladding‬‬
‫המשוואה השנייה תהיה בהתנגשות בתוך הסיב‪:‬‬
‫‪core‬‬
‫‪n cl‬‬
‫‪n co‬‬
‫‪n cl‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪. n co  sin  c  n cl  sin 90  sin  c ‬‬
‫‪n0‬‬
‫‪‬‬
‫‪n co‬‬
‫‪cladding‬‬
‫מהגיאומטריה ניתן לקבל את הקשר‪:‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  t ‬וכאשר נציב נקבל‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin    c   n co  cos  c  n co 1  sin  c  n co 1  cl2 ‬‬
‫‪n co‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫איור ‪ -3‬תיאור חתך ליבה ואלומות האור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n co  n cl‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n 0  sin  m  n co  sin  t  n co‬‬
‫ניקח מקרה שבו‪ n cl  1.45 , n co  1.5 :‬ונקבל‪. n 0  sin  m  n co2  n cl2  0.38 :‬‬
‫מקובל להתייחס ל‪ n 0  1 -‬ולכן‪ sin  m  0.38 :‬ויש לנו את הזווית ‪.  m‬‬
‫‪|2‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫שאלה – עומק מדומה‪:‬‬
‫נתבונן בגוף הנמצא בתווך אחר‪ .‬אנו רוצים למצוא את העומק המדומה ' ‪. h‬‬
‫מחוק סנל נקבל‪. n 2  sin   n1  sin  :‬‬
‫נעזר בקצת מתמטיקה בסיסית‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪, tan  ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫'‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪ tan  ‬נקבל‪. h ' tan   h tan  :‬‬
‫‪h‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נניח זוויות קטנות ואז‪ tan  sin :‬ונוכל לכתוב‪. h ' sin   h sin  :‬‬
‫נחלק משוואות ונקבל‪:‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪‬‬
‫‪h ‬‬
‫'‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪h‬‬
‫'‬
‫‪‬‬
‫'‬
‫‪h‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ n 2  sin   n1  sin ‬‬
‫‪.: ‬‬
‫‪ h sin   h sin ‬‬
‫'‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫איור ‪ -4‬תיאור המקרה של השאלה‪.‬‬
‫כעת נניח כי‪ n 2  1.5 :‬ויש לנו מטבע בקרקעית‪ .‬אם גובה הבריכה הוא מטר אז באיזה גובה המטבע יראה?‬
‫נציב בביטוי שקיבלנו‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. h' ‬‬
‫‪1 .5‬‬
‫‪n0  1‬‬
‫כעת נוסיף שכבה נוספת של נוזל עם ‪ n1‬לא ידוע לגבוה של ‪ 20‬ס"מ כמתואר באיור ‪:5‬‬
‫הגוף נראה בגובה של ‪ 37‬ס"מ מהקרקעית ויש למצוא את ‪. n1‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪‬‬
‫ממה שקיבלנו מקודם נוכל לרשום‪:‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪1 .5‬‬
‫‪. h1 ‬‬
‫‪‬‬
‫לכן נקבל‪:‬‬
‫‪  h1  0.2 ‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪h1‬‬
‫‪‬‬
‫נשים לב כי בשלב הבא ה‪"-‬גובה" החדש של הבריכה הוא‪. h1  0.2 m :‬‬
‫‪n0‬‬
‫? ‪n1 ‬‬
‫‪0 .2 m‬‬
‫‪1m‬‬
‫‪. h2 ‬‬
‫מהנתון של ‪ 37‬ס"מ אנו יודעים כי‪. h2  1.2  0.37  0.93 m :‬‬
‫נציב ונקבל בסוף‪. n1  1.22 :‬‬
‫איור ‪ -5‬תיאור המקרה שבו קיים נוזל נוסף‪.‬‬
‫תירגול ‪:2‬‬
‫הוכחה לחוק סנל‪:‬‬
‫נניח שיש לנו איזשהו טווח המחולק ל‪ n1 -‬ו‪ n 2 -‬ונניח‪. n 2  n1 :‬‬
‫יש לנו את חזית הגל אשר מאונכת לקרן הפוגעת והמרחק בין משטחים שווי אנרגיה‪. 1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C‬‬
‫מההנחה‪ n 2  n1 :‬נקבל גם‪ .  2   1 :‬נקרב את החלק של מישור הפגיעה‪.‬‬
‫מהגיאומטריה ניתן לקבל‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n1‬‬
‫נחלק משוואות ונקבל‪:‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1  A B  sin  1 ‬ו‪-‬‬
‫‪sin  1‬‬
‫‪sin  2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪.  2  A B  sin  2 ‬‬
‫או‪. n1  sin  1  n 2  sin  2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫איור ‪ -6‬גיאומטריה של הוכחת חוק סנל‪.‬‬
‫דיספרסיה כרומטית‪:‬‬
‫נדון במקרה שבו מקדם השבירה הוא פונקציה של אורך הגל ‪. n   ‬‬
‫בתחום זה נראה שככל שאורך הגל קצר יותר ה‪ n -‬גדול יותר‪.‬‬
‫בעמוד הקודם דּנו על החזרה פנימית‪ .‬כשאנו מסתכלים לטווח מסוים אנו יכולים‬
‫לראות תחום מסוים של גלים המגיע לעין שלנו‪ ,‬מעבר לתחום זה נקבל החזרה‪.‬‬
‫‪|3‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫איור ‪ -7‬תיאור מצב בו מקדם השבירה תלוי באורך‬
‫הגל והתוצאה היא שבירה של צבעים שונים‪.‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫נתון מקור אור נקודתי המונח בקרקעית בריכה כמתואר באיור‪.‬‬
‫מהו רדיוס המעגל של הפנס על פני ‪. n 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪n3  1‬‬
‫‪0 .4 m n  1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫נדרוש החזרה פנימית מלאה בין ‪ n 2‬ל‪. n 2 sin  c  n 3 : n 3 -‬‬
‫נקבל‪.  c  0.729 rad :‬‬
‫מגיאומטריה בסיסית נקבל‪. R1  0.4  tan  c  0.35 m :‬‬
‫נמשיך עם חוק סנל‪. n1  sin   n 2 sin  c    0.848 :‬‬
‫מגיאומטריה נקבל פעם נוספת‪. R 2  0.4  tan   0.45 m :‬‬
‫לכן הרדיוס של המעגל הוא‪. R  R1  R 2  0.8 m :‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n1 ‬‬
‫‪0 .4 m‬‬
‫איור ‪ -8‬תיאור השאלה‪.‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫יש לנו קרן שמש הנכנסת בזווית ‪ ‬ונשברת בזווית‪  ' :‬כמתואר‪.‬‬
‫מהגיאומטריה נקבל‪.  '  2   4 ' :‬‬
‫ע"י השלמת זוויות נקבל‪.   2   2  4 '   2 :‬‬
‫'‪‬‬
‫‪‬‬
‫' ‪‬‬
‫כאשר ‪ ‬היא הזווית בין הקרן שפוגעת (השמש) לבין הקרן היוצאת‪.‬‬
‫'‪‬‬
‫'‪‬‬
‫הקרן יכולה להגיע או בזווית של אפס מעלות לנורמל או ב‪ 90-‬מעלות‪.‬‬
‫נמצא נקודת קיצון לפונקציה‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪0‬‬
‫‪d‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫' ‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫המשוואה השנייה שתקשר בין ' ‪  , ‬היא חוק סנל‪:‬‬
‫נגזור לפי ‪ ‬ונקבל‪:‬‬
‫‪1  sin ‬‬
‫' ‪ co s  d   n  co s  ' d ‬‬
‫‪1  sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫נבצע‪:‬‬
‫‪n  sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫' ‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫' ‪n  1  sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  sin ‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪‬‬
‫' ‪n  cos ‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב חזרה במשוואה הראשונה ונקבל‪ 2 :‬‬
‫עבור צבע אדום‪:‬‬
‫עבור צבע כחול‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n  sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫איור ‪ -9‬תיאור השאלה‪.‬‬
‫' ‪. co s   n  co s ‬‬
‫‪2‬‬
‫' ‪n  n sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫' ‪. 1  sin   n  sin ‬‬
‫‪1  sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4‬‬
‫'‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4‬ובסוף‪:‬‬
‫‪4n‬‬
‫‪‬‬
‫' ‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ .‬מכיוון ש‪. sin   n sin  ' :‬‬
‫‪. sin 2  ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ n ‬ולכן‪   5 9 .5 8    '  4 0 .4 2  :‬ואז‪.   42  :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n  1.343‬‬
‫ולכן‪   59.83    '  39.57  :‬ואז‪.   4 0 .6  :‬‬
‫קרן שניונית‪:‬‬
‫איור ‪ -10‬איור מגניב מגוגל שמתאר‬
‫בדיוק את המצב האמור בסמוך‪.‬‬
‫קרן שניונית היא "עוד קשת" שנוצרת כתוצאה משתי החזרות שבתוך הטיפה‪.‬‬
‫ברמת העיקרון ישנן קרניים נוספות אלא שאנו לא רואים אותן בגלל העוצמה הקטנה שלהן‪.‬‬
‫נחשב פעם נוספת את זווית היציאה כאשר‪  :‬היא הזווית בין הקרן שפוגעת ולבין הקרן היוצאת‪.‬‬
‫מהגיאומטריה ניתן לקבל‪ .   2  6 ' 2 :‬נבצע את אותו התהליך‪:‬‬
‫עבור צבע אדום‪:‬‬
‫עבור צבע כחול‪:‬‬
‫‪|4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ n ‬ואז‪.   50.89  :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n  1.343‬‬
‫ואז‪.   53.47  :‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪0‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪9n‬‬
‫‪8‬‬
‫‪. sin 2  ‬‬
‫תירגול ‪:3‬‬
‫מקדמי פרנל וסוגי קיטובים‪:‬‬
‫יש לנו שני קיטובים‪ ,‬קיטוב אנכי וקיטוב מקביל (למישור הפגיעה) מתייחסים בטרמיניאולוגיה לשדה החשמלי‪.‬‬
‫מגדירים את מקדמי ההחזרה וההעברה‪:‬‬
‫‪pr‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪pt‬‬
‫‪ R  ‬ו‪-‬‬
‫‪pi‬‬
‫‪‬‬
‫‪pi‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ n1 cos  t ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪n‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  ‬‬
‫מקרים פרטיים‪:‬‬
‫‪ .1‬עבור‪  i  0 :‬נקבל‪  t  0 :‬ואז‪:‬‬
‫‪n 2  n1‬‬
‫‪n 2  n1‬‬
‫‪. r , p     ‬‬
‫עבור‪ n 2  1.5 , n1  1 :‬נקבל‪       0.2 :‬ו‪ . R    0.04 -‬ז"א ‪ 96%‬מהאור עובר מזכוכית לאוויר‪.‬‬
‫‪ 2‬בקיטוב מקבילי‪ ,  i   t  0.5 :‬נקבל‪ -    0 :‬אין גל מוחזר‪.‬‬
‫במקרה זה ראינו כי זווית ברוסטר היא‪:‬‬
‫‪ n2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n1 ‬‬
‫‪. n1 sin  B  n 2 sin  t  n 2 cos  t   B  arctan ‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬נקבל ישירות‪.  B  arctan 1.5   56.3  :‬‬
‫עפ"י סנל‪( sin  B  1.5 sin  t   t  33.6  :‬וזה גם מתקבל מהשלמה לזווית ישרה)‪.‬‬
‫נציב את הזוויות במקדמים שבדף העזר ונקבל‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪13‬‬
‫‪, t ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ - t  ‬יחסי השדות‪ ,‬וכן‪ -    1 ,    0.85 :‬במובנים של הספקים‪.‬‬
‫קיבלנו כי בקיטוב המקבילי ‪ 15%‬חוזר ו‪ 85%-‬עובר‪.‬‬
‫ב‪ .‬ב‪ 5 -‬לוחות‪ ,‬לכל לוח יש ‪ 2‬פאות וראינו כי‪ -     0.85   0.726 :‬עבור לוח בודד‪ .‬ואז‪     0.726   0.201 :‬לכולם‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫נפתח בהסבר קצר על חוק מאלוס‪:‬‬
‫כאשר אלומת אור עוברת דרך מקטב‪ ,‬נטיל את האלומה לפי זווית המקטב ונמצא את עוצמת האור העוברת‪.‬‬
‫מקרה פרטי הוא כאשר מדובר באלומה לא מקוטבת (שזה מקוטבת בכל הכיוונים) ואז תמיד נקבל כי עובר חצי מעוצמת האור‪.‬‬
‫אצלנו אכן מדובר באלומת אור לא מקוטבת ולכן‪:‬‬
‫‪I0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . I 1 ‬אנו מקוטבים כעת‬
‫ב‪1 5  -‬‬
‫למישור הפגיעה (נתון)‪.‬‬
‫נרצה להשתמש בפרנל כדי לדעת את המקדמים ולכן נבצע‪ I 1  50W  E  50 :‬בזווית של ‪ 1 5  -‬למישור הפגיעה‪.‬‬
‫נפרק את השדה לרכיב מקביל ואנכי‪. E p ,  E cos 15  6.8 V / m , E S ,   E sin 15  1.8 V / m :‬‬
‫נצטרך גם לדעת את ‪  t‬וזאת נעשה עם חוק סנל‪. 1  sin 45  1.6 sin  t   t  26.22  :‬‬
‫נקבל‪ 0.34 :‬‬
‫‪sin   i   t ‬‬
‫‪sin   i   t ‬‬
‫‪ 0.115 ,  S ,  ‬‬
‫‪tan   i   t ‬‬
‫‪tan   i   t ‬‬
‫‪.  p , ‬‬
‫השדות עבור הקרן המוחזרת הם‪. E r , p  E p   p  6.8  0.115  0.782 V / m , E r , S  E S   S  1.8  0.34  0.612 V / m :‬‬
‫זווית הקיטוב‪:‬‬
‫‪   38‬‬
‫‪0 .6 1 2‬‬
‫‪0 .7 8 2‬‬
‫‪. tan  ‬‬
‫כדי לדעת את העוצמה‪. I 2  E r2, S  E r2, p  0.98 :‬‬
‫בסוף נקבל את העוצמה מחוץ למקטב‪ :‬קיטוב מקבילי‪ I 3  I 2 cos 2   I 2 cos 2 38 :‬אנכי‪. I 3  I 2 sin 2   I 2 sin 2 3 8 :‬‬
‫‪|5‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪:4‬‬
‫מהודים ‪:interferometer -‬‬
‫הרעיון מתואר באיור הסמוך‪ ,‬כאשר יש לנו שכבה בעובי‪. l :‬‬
‫יש לנו קרן שנכנסת לשכבה וחוזרת הרבה פעמים‪ ,‬חלק מהקרניים יוצאות וחלק מוחזרות‪.‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪B3‬‬
‫‪B1‬‬
‫'‪n‬‬
‫' ‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪C‬‬
‫'‪n‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪A3‬‬
‫נקבל את הנוסחא‪:‬‬
‫‪/ 2‬‬
‫‪/ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הנוסחה השנייה‪:‬‬
‫היחס‪:‬‬
‫‪It‬‬
‫‪‬‬
‫‪/ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 R sin‬‬
‫‪ 4 R sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  R ‬‬
‫‪1  R ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4 R sin‬‬
‫הוא מקסימלי כאשר‪:‬‬
‫‪1  R ‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪Ir‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר‪  :‬הוא הפרש העוצמה בין מישורי שווי פאזה‪.‬‬
‫‪Ii‬‬
‫‪It‬‬
‫‪ .‬נקבל בכללי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ii‬‬
‫‪Ir‬‬
‫‪Ii‬‬
‫‪Ii‬‬
‫הערך המירבי של‬
‫‪It‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ii‬‬
‫ואז מקבלים‪:‬‬
‫‪ .‬היחס‪:‬‬
‫‪Ii‬‬
‫‪v  m  1 / 2 ‬‬
‫‪It‬‬
‫‪Ii‬‬
‫‪ .‬הנוסחה למציאת ‪ ‬היא‪:‬‬
‫‪Ii‬‬
‫‪ , ‬כאשר נציב בביטוי ל‪  -‬נקבל‪:‬‬
‫‪ 2 m‬‬
‫‪It‬‬
‫‪‬‬
‫‪It‬‬
‫‪4  nl cos ‬‬
‫‪m v‬‬
‫‪2 n co s ‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪.l‬‬
‫הוא מינימלי כאשר‪.  / 2    m  1 / 2   sin 2   / 2   1 :‬‬
‫‪. l m in ‬‬
‫‪2 n cos ‬‬
‫‪It‬‬
‫‪Ii‬‬
‫במונחים של תדר נקבל את הגרף הבא‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫נזכור כי‪ :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪mc‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪2 n l co s ‬‬
‫המחזור המקובל לסימון הוא‪:‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2 nl cos ‬‬
‫‪ -‬התדר בו מתקיימת העברה מקסימלית‪.‬‬
‫מגדירים גם‪:‬‬
‫‪|6‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1/ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1/ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. F SR   m  1   m ‬‬
‫מגדירים גם מידה נוספת והיא מחצית מרוחב הפס‪:‬‬
‫‪F SR‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 R‬‬
‫‪ F ‬כאשר‪:‬‬
‫‪F SR‬‬
‫‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪It‬‬
‫‪Ii‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2  nl cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 m 2   m   2   m 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m 1‬‬
‫‪. F W H M    1/ 2 ‬‬
‫קשור ל‪   1/ 2 -‬והוא קובע עד כמה ה‪"-‬פיקים" חדים‪.‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪m‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫על פלטת זכוכית מפזרים שכבה דקה בעלת מקדם שבירה ‪. n  1 .3 6‬‬
‫מאירים את הפיסה באור לבן ב‪   0 -‬ההחזר הינו ירוק בלבד ‪.  500 nm ‬‬
‫מהו עובי הפיסה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫חישבנו את ‪ l‬שבו יש העברה מקסימלית ומינימאלית – אותנו מעניינת העברה מינימלית‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1 / 2‬‬
‫לכן נוכל לחבר את המשוואה‪ 9.2  m :‬‬
‫‪500  10‬‬
‫‪2  1.36‬‬
‫‪v  m  1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 n cos ‬‬
‫‪. l m in ‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫תכנן מהוד פברי‪-‬פרו (שתי מראות ובניהם תווך בעל מקדם ‪ ) n‬כך שיסנן ערוץ בודד ‪ WDM‬של תקשורת אופטית באורך‬
‫גל של ‪ , 1 5 5 0 n m‬רוחב סרט‪ 0 .0 8 n m :‬כאשר תחום העבודה הספקטראלי הוא ‪. 1 0 0 n m‬‬
‫מצא את המרחק בין המראות ואת הרפלקטיביות‪ .‬כמו כן דורשים שערוץ ‪ WDM‬השכן הנמצא במרחק ‪ 0 .8 n m‬יהיה‬
‫מונחת פי ‪.10000‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫יש לנו את הנתונים בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫היות והמשוואות הן באורכי גל ואותנו מעניין תדר נעבור לפי‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪ 1.248  10 H z‬‬
‫‪13‬‬
‫‪8‬‬
‫וכן‪ 8.01  m :‬‬
‫‪13‬‬
‫‪3  10  100  10‬‬
‫‪c‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1550  10 ‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3  10‬‬
‫‪2  1.5  1.248  10‬‬
‫הרוחב של כל פיק הוא‪ 9.98  10 H z :‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 R‬‬
‫עכשיו נעבור לחדות של הפיק‪.‬‬
‫כעת‪/ 2   0.99 :‬‬
‫‪|7‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10000‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2 nl‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 12500 ‬‬
‫‪/ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1550  10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. FSR ‬‬
‫‪3  10  0.08  10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪. F SR    ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2 n  FSR‬‬
‫‪9‬‬
‫הרפלקטיביות היא‪ R  0.997 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪  ‬לפי גזירה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1/ 2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1550  0.8   10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4  nl‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.   1/ 2 ‬‬
‫‪.F ‬‬
‫‪1  R ‬‬
‫‪ 4 R sin‬‬
‫‪4   1.5  8.01  10‬‬
‫‪c  1/ 2‬‬
‫‪1  R ‬‬
‫‪‬‬
‫‪It‬‬
‫‪Ii‬‬
‫‪.‬‬
‫‪  ‬קיבלנו תנאי שהוא הרבה יותר מחמיר מכיוון‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫ש‪. R  0 .9 8 -‬‬
:5 ‫תירגול‬
.
 
r 
n r 
 n r 

s 
 s 
:‫משוואת האקונל‬
x
:1 ‫שאלה‬
n0


. n  z   az  b :‫לפי‬
in
d
:‫נתון הסיב הבא‬
-‫מקדם השבירה משתנה עד ל‬
. n  z  d   2 :‫מקדם השבירה הוא‬
0
tan  B  tan  in 
z
d 10 m
n2

n  z  0
n1
‫לאחר‬
d
:‫ נכנסים בזווית ברוסטר ולכן‬.‫א‬
n1
. n  z  0   3  b :‫ ולכן ניתן למצוא‬ B  60  :‫נתון‬
. a  10  b  2  a 
S x
2
3
:‫ נדרוש רציפות של מקדם השבירה‬a ‫כדי למצוא את‬
10
:‫ נמצא את מסלול הקרן בסיב‬.‫ב‬
z
. sin  
z
.
 
x 
n
z
0


 S 
 S 
:‫ואז‬
n
x
x
S
, co s  
 0 :‫מקבלים‬
z
S
, tan  
x
z
n 0 sin  0

n  z    n 0 sin  0 
2
z
xz 

0
.
n 0 sin  0
a
:‫ ונקבל‬. sin  
nz
2
n 0 sin  0
:‫ נציב‬. tan  
z
n  z    n 0 sin  0 
2
n 0 sin  0
2
dz  n 0 sin  0 
0
 az  b az  b 2  n sin  2

  0
0 
ln 
2

2
b  b   n 0 sin  0 

x
dz
n  z    n 0 sin  0 
2
x
S
sin 

z
:‫נקבל‬
z
‫במשוואה הקרטזית הראשונה‬
. n  z  sin   n 0 sin  0 :‫ או‬. n  z 
.
x
 co n st. -‫ש‬
1  sin 
2
‫ז"א‬
:‫כעת נכתוב‬

2
:‫לכן‬




. n 0 sin  0  n  z  d  sin  out  1  sin 60  2  sin  out   out  25.67  :  in :‫ נעשה חוק סנל עם‬.‫ג‬
:2 ‫שאלה‬
x
n
nc

. n 2  n c2 1   2 x 2  :‫כעת‬
0

. x ‫ ביחס לציר‬ 0 ‫ והזווית‬z ‫ היא ביחס לציר‬ 0 ‫הזווית‬
:‫נקבל את המשולש הבא‬
0
z
. xz 
x
z
0
cos  0

S
.
z
x
 tan  0 
  z  sin  0
 z 
sin 
sin 



 sin  0 
 cos  0 
sin  0
1  sin  0
:‫ז"א‬
2
:‫לאחר שנפתור ונציב נקבל‬
:‫ כיוון ההתקדמות של הקרן בתוך הסיב הוא‬.  0  90   0 :‫כאשר‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה‬
|8
‫תירגול ‪:6‬‬
‫להלן מתוארות המידות המקובלות‪:‬‬
‫כאשר‪ .O-Object I-Image :‬ו‪  R1 -‬רדיוס העקמומיות‪ .‬הנוסחא‪:‬‬
‫‪n 2  n1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪I‬‬
‫‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪n1‬‬
‫כאשר‪ R1   :‬מקבל נוסחה של עומק מדומה (עיין עמוד ‪.)3‬‬
‫במקרה השני נקבל‪:‬‬
‫‪n2  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n  n1‬‬
‫‪R2‬‬
‫עבור‪ n 2  n1  1 :‬נקבל‪:‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪1 n‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫סימנים‪:‬‬
‫מניחים שהקרן מגיעה משמאל לימין תמיד‪.‬‬
‫מבחינת הרדיוסים‪ R1  0 :‬במצב‪ R1  0 . ( :‬במצב‪ . ) :‬הרדיוס חיובי כאשר העדשה קמורה ביחס לקרן הפוגעת ושלילי אחרת‪.‬‬
‫עבור ‪ : u‬אם הוא משמאל למשטח אז הוא חיובי ושלילי אם הוא מימין‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫‪v‬‬
‫‪.‬‬
‫למשטח‬
‫עבור ‪ : v‬אם הוא מימין למשטח אז הוא חיובי ושלילי אם הוא משמאל‬
‫ימין ‪- +‬‬
‫שמאל ‪+ -‬‬
‫עדשה נקראת מרכזת אם מרכזה עבה יותר מקצותיה ומפזרת אחרת‪:‬‬
‫מרכזת‬
‫מפזרת‬
‫שאלת חימום‪:‬‬
‫יש לנו ‪ 2‬דשות בעלות אורך מוקד של ‪ 20‬ס"מ ונמצאות במרחק של מטר אחד אחת מהשנייה‪.‬‬
‫עצם נמצא במרחק ‪ 60‬ס"מ משמאל לעדשה‪.‬‬
‫מצא את מיקום הדמות‪.‬‬
‫‪f  20‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫אנו יודעים ש‪-‬‬
‫‪ 70‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫עדשה שמאלית‪:‬‬
‫עדשה ימנית‪:‬‬
‫‪f  20‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ . ‬נפתור בסופרפוזיציה עבור כל עדשה‪.‬‬
‫‪ v1  30 cm‬‬
‫‪ v 2  28 cm‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪70‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v1  3 0‬‬
‫‪ .‬מנתון המרחק אנו יודעים‪. v1  30 cm  u 2  70 cm :‬‬
‫‪ .‬מש"ל‪ .‬ההגדלה הכללית היא‪:‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪ v1  v 2‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪.MT  M1 M 2 ‬‬
‫טלסקופ‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪L‬‬
‫יש לנו גוף מרוחק מאוד ואני רוצים לראות מה קורה לדמות בסופו של דבר‪.‬‬
‫נסרטט קרן אחת (סגול) ונקבל דמות שנמצאת בתחום‪. 2 f ob  u1   :‬‬
‫מכאן מקבלים כי‪ . f ob  v1  2 f ob :‬בשלב השני מכיוון ש‪ u 2  f oc -‬נקבל ‪ v 2‬מדומה‪.‬‬
‫אנו יודעים‪ v1  u 2  L :‬וכן‪:‬‬
‫‪u1  6 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ob‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f oc‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪u‬‬
‫‪1‬‬
‫'‬
‫‪i‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ob‬‬
‫‪v‬‬
‫‪f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪oc‬‬
‫‪f‬‬
‫‪0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪H‬‬
‫‪H‬‬
‫‪u2‬‬
‫כשמתכננים טלסקופ יש לדאוג ש‪ v 2 -‬יהיה גדול ממרחק הראייה המינימלי‪ ,‬אחרת לא נראה אותו בבירור (מדובר על ‪ 25‬ס"מ)‪.‬‬
‫לא איכפת לנו ש‪ u 2 -‬יהיה קטן מ‪ 25-‬ס"מ כל עוד התנאי שלנו מתקיים‪.‬‬
‫‪|9‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪ v  v ‬‬
‫כאשר נסתכל על ההגדלה הקווית‪   2    1  :‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ u 2   u1 ‬‬
‫'‬
‫‪Hi Hi‬‬
‫'‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ho‬‬
‫‪Hi‬‬
‫‪Ho‬‬
‫‪.MT ‬‬
‫'‬
‫‪i‬‬
‫נגדיר זוויות ‪  0 ,  u‬כמתואר באיור‪ .‬ההגדלה הזוויתית היא‪M T :‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪‬‬
‫'‬
‫‪i‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪u‬‬
‫‪. M P hase  M P ‬‬
‫‪v1‬‬
‫(קיצורים‪.)ob=object oc=ocular u=unable :‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫נתון טלסקופ אשר מסתכלים על עצם של ‪ 1‬ק"מ‪ .‬נרצה‪ . v 2  25 cm :‬אורך הטלסקופ הוא ‪. l  55 cm‬‬
‫נדרשת הגדלה ‪ . M P   10‬מצא את‪. v1 , u 2 , f ob . f oc :‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נכתוב את הנוסחאות‪, v1  u 2  0.55 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ob‬‬
‫‪‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f oc‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪.  10  ‬‬
‫‪u2‬‬
‫נקבל את המידות הבאות‪. f ob  0.499 m , f oc  0.0625 m , u 2  0.05 m :‬‬
‫כעת‪ M T   2.5  10  3 :‬ז"א קיבלנו משהו קטן‪.‬‬
‫תירגול ‪:7‬‬
‫מטריצת ‪:ABCD‬‬
‫מטריצה המאפשרת מעקב אחר זוג קרניים בכל מיני מצבים‪.‬‬
‫בתווך הומוגני‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬כאשר ‪ d‬הוא המרחק האופקי של השטח החופשי‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫במעבר בין שני תווכים המטריצה היא‪:‬‬
‫תמיד מתקיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫'‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n / n '‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . ‬בעדשה דקה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪. 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫במשטח כדורי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. n ' n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n'R‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n '‬‬
‫‪. d et  A B C D  ‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪n 1‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪:‬‬
‫נמצא את המטריצה ‪ ABCD‬המתאימה למערכת‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪d‬‬
‫ראינו בהרצאה כי מערכות משורשרות עם ‪ M i‬נותנות הגדלה של‪. M T   M i :‬‬
‫‪i‬‬
‫נקבל‪. M  M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7  M inter M f . s M R M f . s M R M f . s M inter :‬‬
‫כאשר‪ :‬תווך ‪ .f.s=free space , inter – interface -‬נכתוב לפי המטריצות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪| 10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪  -R ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪nR‬‬
‫‪‬‬
‫‪01‬‬
‫‪‬‬
‫‪n0‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪1‬‬
‫‪.M  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪M‬‬
‫‪6‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪M‬‬
‫‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪M‬‬
‫‪d‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪M‬‬
‫הערת אגב‪:‬‬
‫אם‪   0 :‬נקבל שהמטריצות‪:‬‬
‫ז"א‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  2  n  1‬‬
‫‪n  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪nR‬‬
‫‪ ‬‬
‫לכן ניתן לקבל‪:‬‬
‫‪nR‬‬
‫‪2  n  1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪ -R ‬‬
‫‪0  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  1 n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n   -R ‬‬
‫‪ f ‬‬
‫‪ 2  n  1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪. n 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪nR‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪nR‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪nR‬‬
‫‪‬‬
‫מתקזזות למטריצת יחידה‪.‬‬
‫התוצאה דומה למטריצה של עדשה דקה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫קיבלנו מרחק מוקד חיובי בעדשה מפזרת בסתירה למה שאמרנו בתירגול קודם‪.‬‬
‫הפתרון הוא שמקדמי השבירה כאן שונים ובתוך ה‪"-‬מראה" השקולה הנ"ל מקדם השבירה קטן יותר מאשר "בחוץ" ואז למעשה‬
‫תפקיד העדשות מתחלף‪.‬‬
‫המטריצה הכללית יוצאת‪:‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪2  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪.M  ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f‬‬
‫בתירגול הבא נדבר על התכונות של מטריצה של מערכת‪.‬‬
‫נמשיך את הדוגמא ונוסיף סעיפים בתירגול הבא‪:‬‬
‫תירגול ‪:8‬‬
‫נמשיך את התרגיל הקודם ונדבר על מישורים עיקריים‪.‬‬
‫מישורים עיקריים הם שני מישורים בנמצאים במרחקים ' ‪ l , l‬מהמערכת שמאופיינית ע"י מטריצת ‪ ABCD‬והמאפיין שלהם הוא‬
‫שיש בניהם יחס הדמאה ויחס ההגדלה הוא ‪.1‬‬
‫כדי למצוא את המישורים נבצע‪:‬‬
‫‪B '‬‬
‫‪‬‬
‫‪D '‬‬
‫' ‪l '  A‬‬
‫‪‬‬
‫' ‪1  C‬‬
‫‪B 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪D 0‬‬
‫‪l A‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫'‪l‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫שתי המטריצות שבקצוות הן של ‪.Free Space‬‬
‫‪D‬‬
‫נדרוש‪ B '  0 :‬ו‪ A '  1 -‬וכן נוכל למצוא את מרחקי המישורים‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪n‬‬
‫' ‪ l  n‬ו‪-‬‬
‫‪1 A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.l ' ‬‬
‫‪n‬‬
‫הגדלים ' ‪ l , l‬מוגדרים בחיוביים מחוץ למערכת‪ .‬בד"כ מגדירים את ‪ h , h‬באופן הבא‪n ' :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪, h1   l ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1 A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. h2  l ' ‬‬
‫(הגדלים הם חיובים ‪ h1 , h 2‬ימינה)‪.‬‬
‫‪h ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫כעת נמצא את המישורים העיקריים‪:‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪1  1  ‬‬
‫‪f  d‬‬
‫‪‬‬
‫‪, h1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪1  1  ‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪. h2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫באיור הסמוך‪ ,‬החצים השחורים מתארים את הכיוון החיובי של כל גודל‪.‬‬
‫‪| 11‬‬
‫‪h ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪l '‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪h1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪‬‬
‫המשך הדוגמא‪:‬‬
‫עצם נמצא במרחק ‪ l‬משמאל למישור הכניסה‪ .‬מהו המרחק ‪ l‬שבו יש להציב את העצם על מנת לקבל דמות ממשית?‬
‫נתון כי‪. n  1.5 , d  0.25 m , R  1m :‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪l   A  l ' C Al  B  l '  C l  D  ‬‬
‫נחבר את מכפלת המטריצות הבאה‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Cl  D‬‬
‫‪‬‬
‫כדי לקבל דמות (המערכת צריכה להיות הדמאתית) נדרוש‪. B '  0 :‬‬
‫נקבל‪ Al  B  l '  C l  D   0 :‬או‪:‬‬
‫‪ Al  B ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Cl  D ‬‬
‫‪ l '   ‬ונדרוש‪:‬‬
‫‪275 ‬‬
‫‪9 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 ‬‬
‫עבור‪ n  1.5 , d  0.25 m , R  1m :‬נקבל‪:‬‬
‫‪B 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪D 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪l '  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ Al  B ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ Cl  D ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪.M   6‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100‬‬
‫‪1‬‬
‫ואז‪. l  8 3 cm :‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלה מבחינה‪:‬‬
‫עצם ממוקם על גבי ציר אופטי הראשי במרחק ‪ 40‬ס"מ לפני עדשה מפזרת‪ .‬מראה קעורה בעלת רדיוס של ‪ 50‬ס"מ‬
‫ממוקמת במרחק של ‪ 40‬ס"מ מאחורי העדשה‪ .‬תמונת העצם והדמות מתלכדות אך תמונת הדמות הפוכה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את מטריצת ‪ ABCD‬בין הכניסה ליציאה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו המקוד של העדשה?‬
‫‪d -v‬‬
‫‪v‬‬
‫ג‪ .‬מצא מישורים עיקריים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪40 cm‬‬
‫א‪ .‬המטריצה תהיה‪. M T  M m irror M F . S M R M F . S M m irror :‬‬
‫זה כך מכיוון שמישור הכניסה הוא גם מישור היציאה כמתואר‪.‬‬
‫כאשר כותבים את המטריצה יש ללכת אחורנית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪16‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.6 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫ב‪ .‬לפי נוסחת מלטשי העדשות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪40‬‬
‫ג‪ .‬נציב בנוסחאות‪:‬‬
‫‪| 12‬‬
‫‪R  50 cm‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪40  40‬‬
‫‪ 0.6 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪40  40   1  ‬‬
‫‪40  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪   0.6 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪     1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪f  f  ‬‬
‫‪f  25‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪16‬‬
‫‪1‬‬
‫‪40  v 2‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪40‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪ABCD‬‬
‫‪.MT‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f m irror‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪ .‬נקבל בסוף‪. v 2  50 cm , v1   10 cm , f   13.3 cm :‬‬
‫‪1 D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ h1  ‬ו‪ 1 0 -‬‬
‫‪1 A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪40 cm‬‬
‫‪. h2  ‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪40  v1‬‬
‫‪.‬‬
‫תירגול ‪:9‬‬
‫מערכות מחזוריות‪:‬‬
‫אנו עוסקים במערכת אופטית המורכבת ממספר תאי יחידה‪.‬‬
‫מגדירים כל תא יחידה ע"י מטריצה ‪.ABCD‬‬
‫נכנס למטריצה‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y m , m‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪  ... ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y1 , 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  y, ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ Ay m  B m‬‬
‫‪ y   A B   y0 ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.  m 1‬‬
‫‪  m   ‬או‪:‬‬
‫מכיוון שכל המטריצות זהות ניתן לכתוב‪   :‬‬
‫‪ m   C D   0 ‬‬
‫‪ m  1  C y m  D  m‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ A y m 1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ Aym‬‬
‫‪.  m 1  m  2‬‬
‫‪ ,  m  m  1‬נקדם ב‪:1-‬‬
‫נבודד מהמשוואה הראשונה‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y m  2  A y m 1‬‬
‫‪ Aym ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ C y m  D m  C y m  D  m 1‬‬
‫נשווה למשוואה השנייה‪ :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AD‬‬
‫‪ . y m  2  2‬נגדיר‪ A D  B C :‬‬
‫נאחד ונקבל‪y m  1   A D  B C  y m :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F‬‬
‫‪.  m 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪, d et  M‬‬
‫‪AD‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.b ‬‬
‫נקבל כעת‪ . y m  2  2 by m 1  F 2 y m :‬קיבלנו כי ‪ y m‬תלוי בשני ערכיו הקודמים ללא תלות בזווית‪.‬‬
‫ננחש פתרון מהצורה‪ , y m  y 0 h m :‬נציב ונקבל‪ y 0 h m  2  2 by 0 h m  1  F 2 y 0 h m :‬או‪( h 2  2 bh  F 2  0 :‬משוואה ריבועית)‪.‬‬
‫הפתרון הוא‪ . h  b  j F 2  b 2 :‬נגדיר משתנה עזר‪:‬‬
‫‪ b ‬‬
‫‪  b  F cos ‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪.   arccos ‬‬
‫כעת הפתרון הוא‪ . h  F  cos   j sin    F  e  j :‬נציב זאת חזרה בניחוש‪. y m  y 0 h m  y 0 F m  e  j :‬‬
‫נפתח להרמוניות ונקבל בסוף‪. y m  y m ax F m sin  m    0  :‬‬
‫בעיקרון כשנרשום עבור תאי יחידה נתחיל ממקום אחד ונסיים במקום אחר‪ .‬ראינו כי‪:‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪det  M‬‬
‫ולכן‪  1 :‬‬
‫‪det  M‬‬
‫כי יוצאים וחוזרים לאותו התווך (מדובר בד"כ האוסף עדשות ולכן קרן מגיע מהאוויר וחוזרת אליו וכו')‪.‬‬
‫על מנת לקבל פתרון הרמוני נדרוש‪  :‬ממשי‪:‬‬
‫בגלל הקוסינוס נדרוש ‪:-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪AD‬‬
‫‪ b ‬‬
‫‪  arccos  b ‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪.   arccos ‬‬
‫‪.b ‬‬
‫‪2‬‬
‫כדי שמסלול יהיה מחזורי צריך להתקיים‪ y m  s  y m :‬ולכן‪. S   2 q :‬‬
‫הפונקציה מחזורית אם קיים מספר שלם‬
‫‪S‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪S‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪q‬‬
‫‪S‬‬
‫צריך להיות ספר רציונאלי כלשהו)‪.‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫נתונה מערכת עדשות‪:‬‬
‫נתחיל לנתח‪M  M lence M F . S :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪d‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫התנאי הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪ f‬‬
‫‪AD‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪.M   1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b  1 ‬או‪:‬‬
‫‪d  4F‬‬
‫‪.0 ‬‬
‫‪2F‬‬
‫עבור תנאי זה המערכת תהיה יציבה (קרן הנכנסת לא תתבדר ביציאה)‪.‬‬
‫‪| 13‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪d  2F‬‬
‫נבדוק מחזוריות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪S‬‬
‫‪.   arcco s  b   arcco s  0  ‬‬
‫‪0 .5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ -‬המערכת מחזורית כל ‪ 4‬תאי יחידה‪.‬‬
‫תיאור ציורי של מערכת ‪ 4‬מחזורים להמחשת המחזור‪:‬‬
‫עבור‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪d  F‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  ‬ולכן‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ -‬מחזורי ב‪ 6-‬תאי יחידה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫‪R 0‬‬
‫יש לנו שתי מראות כמתואר‪:‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2d  ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d4‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪2d‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫נבדוק יציבות‪:‬‬
‫‪1 d  R‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪AD‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪. M  M R M F . S M R M F . S  M R .2 d M F . S .2 d‬‬
‫‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫עבור ‪ 2‬סיבובים נקבל‪:‬‬
‫‪R  2d‬‬
‫את‪:‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ . M   2‬כעת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ - M‬הקרן התהפכה גם בזווית וגם בסיבוב‪.‬‬
‫תירגול ‪:10‬‬
‫קרן גאוסית‪:‬‬
‫קרן גאוסית מתארת בצורה טובה יותר את ההתפלגות של כל גל בתוך חומר‪.‬‬
‫ˆ‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫הפרמטרים של קרן גאוסית הם‪:‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 1  ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ w0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z  ‬‬
‫‪-  z   0 1    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z R  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2w z‬‬
‫מרחק ריילי‪:‬‬
‫רדיוס העקמומיות‪:‬‬
‫זווית הפתיחה‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫ˆ‪z‬‬
‫‪z=0‬‬
‫רוחב הקרן‪.‬‬
‫ככל שנתרחק נקבל במישור ‪xy‬‬
‫מעגל מפולג עם פילוג גאוסי‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪x‬‬
‫‪2w‬‬
‫‪. z0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  02  ‬‬
‫‪ z0  ‬‬
‫‪. R  z   z 1      z 1  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪. 0 ‬‬
‫ניתן לראות כי יש ‪ Trade-off‬בין ‪ .  0 ,  0‬ככל ש‪  0 -‬גדול יותר כך ‪  0‬קטנה יותר אך ‪   z ‬גדול ככל שמתרחקים מהראשית‪.‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נתבונן ב ִמ ְפתָח של מצלמה‪:‬‬
‫המטרה היא לקבוע את גודלו המינימלי של החריר כך שבמרחק‬
‫‪0‬‬
‫‪d‬‬
‫יתקבל כתם מינימלי‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪| 14‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫עלינו לגזור את הביטוי‪:‬‬
‫‪ z ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪  0 ‬‬
‫‪( .   z    0‬נעלה בריבוע לפני הגזירה כי זה לא משנה את נקודת הקיצון)‪.‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪ 2  2z2 ‬‬
‫‪ 2    2 z 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0   ‬‬
‫נאפס‪:‬‬
‫‪ 2    2 z 2 ‬‬
‫‪  0  0 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  z  ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0    d  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . 2 0  ‬עבור‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫המפתח צריך להיות‪:‬‬
‫‪z  d‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪  02‬‬
‫‪‬‬
‫‪d0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪d z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.0 ‬‬
‫‪. 2 0  2‬‬
‫‪‬‬
‫מעבר של גל גאוסי במטריצת ‪:ABCD‬‬
‫נגדיר פרמטר מרוכב ‪ q  z ‬שמכיל בתוכו את כל הפרמטרים של האלומה‪.‬‬
‫ה‪ q  z  -‬מוגדר להיות‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪w‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪R z‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪qz‬‬
‫הפרמטר ‪ q  z ‬לאחר מעבר במטריצת ‪ ABCD‬הוא‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫למשל ב‪F.S-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪Aq  B‬‬
‫‪Cq  D‬‬
‫‪A  B 1 / q ‬‬
‫‪ . q ' ‬בד"כ נוח להסתכל על הביטוי‪:‬‬
‫‪C  D 1 / q ‬‬
‫‪.q ' ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬מקבלים‪. q '  q  d :‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪ z , R z‬‬
‫אלומת גאוסית יוצאת ממותניה במרחק ‪ f‬מהעדשה ופוגעת בעדשה‪.‬‬
‫חשב את רוחב האלומה ורדיוס העקמומיות במרחק ‪ d‬מהעדשה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫נעזר בפישוט שהּוכח בהרצאה‪:‬‬
‫נשארנו עם‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ 0 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪qz‬‬
‫‪d  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   1 / f‬‬
‫‪01‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪i‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪w‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R2  z ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪qz‬‬
‫‪F .S‬‬
‫‪M‬‬
‫‪f  lens ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪. M  M F .S M‬‬
‫‪ .‬בגלל שהאלומה נמצאת במותניה אז‪ 0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R z‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬כאשר‪  01 :‬הוא רוחב הקרן לפני העדשה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫נדרוש‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪  i ‬‬
‫‪‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪1    f ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  01 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q ' z ‬‬
‫‪ .‬כאשר חיברנו את הגודל‬
‫‪1‬‬
‫‪q ' z ‬‬
‫מהנוסחה‪:‬‬
‫‪A  B 1 / q ‬‬
‫‪C  D 1 / q ‬‬
‫‪q'‬‬
‫המתייחסת למעבר במטריצת ‪ .ABCD‬מעצם הדרישה אנו נמצא את הפרמטרים הרלוונטים למרחק של האלומה ביציאה מהמערכת‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  f 2    01‬‬
‫‪1 f  ‬‬
‫‪‬‬
‫נשווה חלקים ממשיים ומדומים‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪, R2  z  d    d  f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪d  f   01  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  01   f‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 15‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  2  z  d    d  f‬‬
‫‪‬‬
‫תירגול ‪:11‬‬
‫אופטיקת פורייה‪:‬‬
‫על סמך השדה בכניסה ‪ E  x ', y ', 0 ‬נרצה לדעת את השדה ‪ E  x , y , z ‬בכל מקום במרחב‪.‬‬
‫השדה יחושב לפי הקונבולוציה‪  h  x  x ', y  y ', z  E  x ', y ', 0  :‬‬
‫‪. E  x, y, z  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪jkr‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 e‬‬
‫‪ jk 0   z 2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪r r‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫נוסחת ריילי‪:‬‬
‫‪ h  x  x ', y  y ', z   ‬כאשר‪. r 2   x  x '    y  y '   z 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ik r‬‬
‫‪ e 0‬‬
‫‪‬‬
‫' ‪E  x ', y ', 0  d x ' d y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ jk 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2     ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. E  x, y, z   ‬‬
‫נציג ‪ 2‬הנחות‪/‬הזנחות אשר מפשטות את נוסחת ריילי לשתי הנוסחאות הבאות‪:‬‬
‫נוסחת הויגנס‪ :‬עבור ‪    r‬מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫נוסחת פרנל‪ :‬נבצע הנחה על המרחק ‪: r0‬‬
‫' ‪ dx ' dy‬‬
‫‪ k 0  ‬ואז מקבלים‪:‬‬
‫‪  y  y '‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  x '‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ z‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  x ', y ', 0‬‬
‫‪  y  y '‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ jk 0 r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ x  x '‬‬
‫‪jn‬‬
‫‪0‬‬
‫‪. E  x, y, z   ‬‬
‫‪. r0  z 1 ‬‬
‫‪z‬‬
‫עבור ‪ r‬במכנה ניקח‪ . r 2  z 2 :‬עבור ‪ r‬האקספוננט ניקח את הביטוי המלא‪.‬‬
‫‪jk ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  x '   y  y ' ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e 2z‬‬
‫נקבל‪dx ' dy ' :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  x ', y ', 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪jk 0 z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ jne‬‬
‫‪0 z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. E  x, y, z  ‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן לכתוב את הביטוי שבתוך האינטגרל כקונבולוציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫' ‪  E  x ', y ', 0  h  x  x ', y  y '  dx ' dy‬‬
‫‪. E  x, y  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪ x '2  y '2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪F  E  x ', y ', 0  e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪e 2z‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪jk 0 z‬‬
‫‪0 z‬‬
‫‪jk 0 z‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ jne‬‬
‫‪ jne‬‬
‫‪0 z‬‬
‫‪ . h  x , y  ‬כאשר נציב את הקירובים באינטגרל הראשון נקבל את הקשר‪:‬‬
‫‪dx ' dy ' ‬‬
‫‪ x  x '  y  y '‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪  E  x ', y ', 0  e‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0 z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪ x '2  y '2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2z ‬‬
‫‪F  E  x ', y ', 0  e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל בסוף‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪ x '2  y '2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪jk 0 z‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪jk 0 z‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ jne‬‬
‫‪0 z‬‬
‫‪ jne‬‬
‫‪E  x, y, z  ‬‬
‫‪ . E  x , y , z  ‬כדי למצוא את השדה במרחב‬
‫לפי פרנל יש לקחת את השדה בכניסה‪ ,‬להכפיל אותו באקספוננט‪ ,‬לבצע התמרת פורייה ובסוף לכפול בקבוע‪.‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫נתון גל כדורי מתכנס בעל רדיוס עקמומיות ‪ R‬הפגוע בניצב לסדק עגול בעל רדיוס יחידה‪.‬‬
‫חשב את תמונת עקיפת פרנל במרחק ‪ R‬מהסדק‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫המרחק הוא‪:‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ z‬‬
‫‪x  y‬‬
‫השדה הרחוק הוא‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪| 16‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ z 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z x  y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪ jk‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪e‬‬
‫‪z‬‬
‫‪jkz‬‬
‫‪e‬‬
‫‪. E  x, y, z   E0‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪2‬‬
‫השדה בכניסה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫'‪x'  y‬‬
‫‪ jkR‬‬
‫‪ jk‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪E‬‬
‫‪( E  x ', y ', 0‬נתון‪.) r  R :‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫השדה לאחר הכניסה הוא‪. E  x ', y ', 0    E  x ', y ', 0   circ   :‬‬
‫‪1‬‬
‫'‪x'  y‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪ jkR‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x '2  y '2 ‬‬
‫‪ jk‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪F  E0‬‬
‫‪e‬‬
‫‪circ   e 2 R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫השדה במרחב הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לאחר צמצום נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫‪F  0 circ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ R‬‬
‫ההתמרה של עיגול היא‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪J 1 2‬‬
‫‪fx  fy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪fx  fy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪e 2R‬‬
‫‪ jn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪jk 0 R‬‬
‫‪e 2R‬‬
‫‪ jne‬‬
‫‪0 R‬‬
‫‪E  x, y, z  R  ‬‬
‫‪. E  x, y, z  R  ‬‬
‫‪0 R‬‬
‫‪. F  circ  r  ‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪x‬‬
‫נתון משטח ובו פוגע גל מישורי בניצב אליו ויוצר תבנית עוצמה ‪. I  x , z ‬‬
‫‪k‬‬
‫מהו האפקט על העוצמה אם נוצרת זווית קטנה ‪ ‬ביחס לגל המקורי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫עבור זוויות קטנות‪. E 0  E 0 e jk  sin   x  E 0 e jk x :‬‬
‫פירוט החישוב‪:‬‬
‫‪jk  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪I0 e‬‬
‫‪j  k sin  x ‬‬
‫‪ sm all‬‬
‫נקבל את היטל השדה על ציר ה‪ : z -‬‬
‫‪I0 e‬‬
‫‪‬‬
‫‪z0‬‬
‫‪dx  fˆ  k  k ‬‬
‫‪j k sin  x  k cos  z ‬‬
‫‪. I0 e ‬‬
‫‪ jk  x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪j  k  k  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f xe‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪ jkx‬‬
‫‪e‬‬
‫‪jk  x‬‬
‫‪f xe‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. F  f  x  e jk x  ‬‬
‫‪‬‬
‫קיבלנו הזזה של פורייה לפי הזווית‪.‬‬
‫תירגול ‪:12‬‬
‫שדה רחוק (פרנהופר)‪:‬‬
‫הפאזה הכדורית היא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫'‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫'‪x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪j‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪2‬‬
‫למעשה ניתן לכתוב את התנאי‪:‬‬
‫‪ . e‬עבור שדה רחוק‪:‬‬
‫‪/ 2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪m ax‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫'‪x'  y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪2‬‬
‫ואז יש לנו רק התמרת פורייה על ה ִמפְתח‪.‬‬
‫‪ z  ‬כאשר‪ - d  2 x '  y ' :‬קוטר ה ִמפְתח‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה ‪ 2‬מתוך מבחן ‪ 2005‬מועד א'‪:‬‬
‫א‪ .‬הביטוי לשדה‪ . E  x , y , 0   e jk sin  x  e  jk sin  x :‬העוצמה היא ריבוע מהשדה‪:‬‬
‫‪ k sin  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  1  co s  2 k sin  x    4 co s‬‬
‫נסמן‪ 2  f 0  2 k sin  :‬ואז‪:‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 jk sin  x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2 jk sin  x‬‬
‫‪ 2e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ jk sin  x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪jk sin  x‬‬
‫‪I  x, y, 0    e‬‬
‫‪ . f 0 ‬להלן תיאור גרפי של תבנית ההשחרה על לוח הצילום‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪z‬‬
‫‪L‬‬
‫‪| 17‬‬
‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
. 1m m  1m m ‫ וכי גודל הסריג הוא‬  0.488  m -‫ כעת מניחים כי מאירים את לוח הצילום שנוצר ב‬.‫ב‬
.1 ‫ נתון כי מאירים את התבנית בגל מישור בעל אמפליטודה‬. d  3 m ‫יש לתאר את תבנית העקיפה בפרנהופר עבור‬
 x 
 y 
 rect 

W 
W 
. T  x , y   2 1  cos  2  f 0 x   rect 
:‫פונקצית השקיפות היא‬
2
 0.5 d 
 /   0.512 m :‫התנאי לשדה רחוק הוא‬
 2 
.‫ אשר מתקיים‬z  
E  x , y , z  3 m   F 1  T  x , y   

 f   2   f  
y

x
1
2

 fx 
f0  
1

2
 fx 

f 0   * sinc  W f x  sinc W f y 

:‫נקבל‬
:‫השדה הכולל הוא‬
. E  x, y, z  d  
f
2W
jk
2
j0 d
e
jkd
e
2d
x
2
y
2

1

 sinc  W f y   sinc  W f y   sinc  W
2

 fx 
f0  
1
2
sinc  W
x
‫ים בשני‬-sinc ‫ ניתן לראות כי הציור של‬.‫ להלן התיאור הגרפי‬. f x 
y
f
x
, fy 
z

f0 

 fx 
y
z
:‫כאשר‬
.‫הצירים שמוכפלים זה בזה יוצרים עיגולים של עוצמה ההולכת ודועכת עם המרחק‬
. zf 0   2  1  
1 z
2W
  2  1  :‫ התנאי לשדה הרחוק הוא‬.‫ג‬
:'‫ מועד ב‬2006 ‫ מתוך מבחן‬2 ‫שאלה‬
 x  x0 
 y  y0 
 x 
 y 
 rect 
  rect 
 rect 

 2a 
 2a 
 a 
 a 
. t  x , y   rect 
:‫נקבל את פונקצית השקיפות‬
. F T  x , y   4 a 2 sin c  2 af x  sin c  2 af y   a 2 sin c  af x  sin c  af y  e
. E  x, y   
je
jkz
z
j
e
k
2
x
2
y
2


 2  j x0 f x  y 0 f y

:‫נבצע התמרה‬
F T  x , y  :‫השדה הרחוק הוא‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תירגול מבוא לאלקטרואופטיקה‬
| 18