שימוש בכלל המקבילית לפתרון משוואת הגלים ברבע מישור

‫שימוש בכלל המקבילית לפתרון משוואת הגלים‬
‫ברבע מישור‬
‫טענה‪) :‬כלל המקבילית(‬
‫יהי ‪ u‬פתרון של משוואת הגלים ההומוגנית בתחום כלשהו‪ .‬לכל מקבילית אופיינית )כלומר‪,‬‬
‫מקבלית במישור ‪ xt‬שצלעותיה הן קווים אופייניים( בתחום מתקיים‬
‫)‪u (A) + u (D) = u (B) + u (E‬‬
‫כאשר ‪ A, D‬הם קודקודים נגדיים של המקבילית‪ ,‬וגם ‪.B, E‬‬
‫הערה‪ :‬פונקציה ‪ C 2‬אשר מקיימת את כלל המקבילית היא פתרון של משוואת‬
‫גלים הומוגנית‪.‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫היעזרו בכלל המקבילית כדי לפתור את בעיית הגלים ההומוגנית עבור מיתר חצי אינסופי‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪t>0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0<x‬‬
‫‪utt − c2 uxx = 0‬‬
‫‪0≤x‬‬
‫)‪u (x, 0) = f (x‬‬
‫‪0≤x‬‬
‫)‪ut (x, 0) = g (x‬‬
‫‪0≤t‬‬
‫)‪u (0, t) = h (t‬‬
‫מתי הפתרון אמיתי?‬
‫פתרון‬
‫כדי להשתמש בכלל המקבילית צריך לחלק למקרים‪:‬‬
‫מקרה ראשון ‪:x − ct ≥ 0‬‬
‫במקרה זה המשולש האופייני מוכל בתחום שלנו ולכן אין צורך בכלל המקבילית‪ ,‬במקרה זה‬
‫וניתן לחשב את הפתרון ע"פ נוסחת דלמבר‪:‬‬
‫‪ˆ x+ct‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u (x, t) = (f (x + ct) + f (x − ct)) +‬‬
‫‪g (s) ds‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c x−ct‬‬
‫‪1‬‬
‫איור ‪:1‬‬
‫מקרה שני ‪:x − ct < 0‬‬
‫במקרה זה המשולש האופייני אינו מוכל בתחום שלנו‪ ,‬ולכן צריך להשתמש בכלל המקבילית‪.‬‬
‫ניקח נקודה כלשהי ) ‪ (x0 , t0‬בתחום‪ .‬נמצא את המקבילית האופיינית אשר קודקוד אחד‬
‫שלה הוא הנקודה‪ ,‬ובשאר הנקודות ידוע לנו ערך הפונקציה‪ .‬באיור ‪ 1‬משורטטת מקבילית‬
‫זו עם ערכים ‪ c = 2‬ו־ )‪ .(x0 , t0 ) = (1, 1‬נמצא את משוואות הקווים של צלעות המקבילית‬
‫ואת הקואורדינטות של קודקודיהּ כתלות ב־ ) ‪ .(x0 , t0‬נקבל כי ארבעת קודקודיה הם‬
‫‬
‫‬
‫‪x0‬‬
‫ ‪x0‬‬
‫‪, 0, − + t0‬‬
‫‪(x0 , t0 ) , (−x0 + ct0 , 0) , ct0 ,‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫וכעת מכלל המקבילית‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪u (x0 , t0 ) + u (−x0 + ct0 , 0) = u ct0 ,‬‬
‫‪+ u 0, − + t0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫כאשר מתנאי שפה והתחלה‪:‬‬
‫‪ x‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪= h − + t0‬‬
‫‪c‬‬
‫‬
‫‪x0‬‬
‫‪+ t0‬‬
‫‪c‬‬
‫‬
‫‪u 0, −‬‬
‫) ‪u (−x0 + ct0 , 0) = f (−x0 + ct0‬‬
‫‪2‬‬
(‫ומנוסחת דלמבר )מכיוון שנקודה זו בתחום בו נוסחת דלמבר תקפה‬
ˆ ct0 +x0
x0 1
1
u ct0 ,
= (f (ct0 + x0 ) + f (ct0 − x0 )) +
g (s) ds
c
2
2c ct0 −x0
‫ולכן בסך הכל‬
u (x0 , t0 )
u ct0 , xc0 + u 0, − xc0 + t0 − u (−x0 + ct0 , 0)
´ ct0 +x0
x0
1
1
2 (f (ct0 + x0 ) + f (ct0 − x0 )) + 2c ct0 −x0 g (s) ds + h − c + t0 − f (−x0 + ct0 )
´ ct0 +x0
x0
1
1
2 (f (ct0 + x0 ) − f (ct0 − x0 )) + 2c ct0 −x0 g (s) ds + h − c + t0
=
=
=
‫ולכן הנוסחה הכללית הינה‬
u (x, t) =

 1 (f (x + ct) + f (x − ct)) +
1
2c
 1 (f (ct + x) − f (ct − x)) +
1
2c
2
2
´ x+ct
x−ct
´ ct+x
ct−x
: x − ct ≥ 0
g (s) ds
g (s) ds + h t −
x
c
: x − ct < 0
‫ וכאשר מתקיימים‬f, h ∈ C 2 [0, ∞) , g ∈ C 1 [0, ∞) ‫ניתן לבדוק שהפתרון אמיתי כאשר‬
00
(0) ‫ ו־‬g (0) = h0+ (0) ,h (0) = f (0) ‫תנאי התואמות‬
‫ )התנאי האחרון‬h00+ (0) = c2 f+
.(‫מתקבל מן המשוואה‬
:‫תרגיל‬
:‫היעזרו בכלל המקבילית כדי לפתור את הבעיה‬
utt − uxx = 0
0<x
2
u (x, 0) = sin x
0≤x
ut (x, 0) = sin x
0≤x
u (0, t) = 0
0≤t
,
t>0
‫פתרון נציב בנוסחה ונקבל‬

 1 sin2 (x + t) + sin2 (x − t) +
u (x, t) = 2
 1 sin2 (t + x) − sin2 (t − x) +
2
3
1
2
1
2
´ x+t
x−t
sin (s) ds : x − t ≥ 0
t−x
sin (s) ds : x − t < 0
´ t+x
‫תרגיל‪:‬‬
‫היעזרו בכלל המקבילית כדי לפתור את בעיית הגלים ההומוגנית עבור מיתר חצי אינסופי‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪t>0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0<x‬‬
‫‪utt − uxx = 0‬‬
‫‪0≤x‬‬
‫‪u (x, 0) = sin2 x‬‬
‫‪0≤x‬‬
‫‪ut (x, 0) = sin x‬‬
‫‪0≤t‬‬
‫‪u (0, t) = t‬‬
‫פתרון נציב בנוסחה ונקבל‬
‫‪´ x+t‬‬
‫‪:x−t≥0‬‬
‫‪sin (s) ds‬‬
‫‪x−t‬‬
‫‪:x−t<0‬‬
‫)‪sin (s) ds + (t − x‬‬
‫‪t−x‬‬
‫‪´ t+x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 sin2 (x + t) + sin2 (x − t) +‬‬
‫‪u (x, t) = 2‬‬
‫‪ 1 sin2 (t + x) − sin2 (t − x) +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬