docמכללת סמי שמעון 1 , רס פיסיקה ו חוברת עזר לק
download 
Report Transcription
מכללת סמי שמעון 1 , רס פיסיקה ו חוברת עזר לק
חוברת עזר לקורס פיסיקה ,1מכללת סמי שמעון
פרק א' :וקטורים
מאפיינים של ווקטור
-
גודל וכיוון
-
חוק החיבור
חיבור ווקטורים
נתונים שני ווקטורים Aו . B -הווקטורים מיוצגים גרפית על ידי חץ שאורכו פרופורציוני לגודל הווקטור
וכיוונו הוא כיוון הווקטור.
A
B
על מנת לחבר את הווקטור Bלווקטור , Aניקח את הווקטור Bונצמיד את ראשו לזנב של הווקטור . A
מתקבל ווקטור חדש ) A Bהווקטור האדום(.
B
A
מינוס של ווקטור
נתון הווקטור A
A
הווקטור ) (- Aהוא ווקטור שכאשר נחבר אותו ל Aנקבל אפס .על פי חוק החיבור הווקטור ) ( - Aהוא,
אם כן ,ווקטור שגודלו זהה לזה של הווקטור Aוכיוונו הפוך:
A
1
חיסור של שני ווקטורים
נתונים שני ווקטורים AוB -
נחבר את הווקטור ) ,( - Bלווקטור A
)( A B A (B
B
A
)כלומר:
B
A
AB
אפשר לקבל את הווקטור A Bגם על ידי שרטוט הווקטורים כאשר שניהם יוצאים מאותה נקודה,
וחיבור זנבם:
AB
A
B
קיבלנו בשתי הדרכים ווקטור זהה בגודלו ובכיוונו.
הערה :ווקטורים יוצרים משולש אם סכום )או הפרש( ווקטורי של שניים מהם שווה לשלישי.
כפל בסקלר
כפל של ווקטור Aבסקלר חיובי aשומר על כיוון הווקטור ומשנה את אורך הווקטור פי .a
אם למשל a=2אז מתקיים , a A 2 A A A
A
2A
A
מתקבל ווקטור חדש בכיוון זהה של הווקטור , Aואורכו כפול.
2
אם הסקלר שלילי אז בנוסף לשינוי הגודל ,הווקטור גם הופך את כיוונו:
( 2) A
A
A
הצגה של ווקטור
הצגה פולרית )גודל וכיוון בשני מימדים(
כדי לתאר ווקטור בשני מימדים )למשל מישור הדף( ניתן לציין את גודלו ואת כיוונו ביחס לציר שבחרנו
)נהוג לבחור את ציר .(x
A
גודל הווקטור מסומן Aאו פשוט ) Aבלי חץ
α
x
למעלה( .והכיוון במקרה זה נקבע על ידי הזווית .α
הצגה קרטזית -פירוק לרכיבים
כתוצאה מחוק החיבור ניתן להחליף את הווקטור Aבשני ווקטורים מאונכים זה לזה ,בכיוון המסומנים xו-
,yווקטורים אלו נקראים רכיבי xו y-של הווקטור
A
y
Ay
A
Ax
x
מתקיים , A A x A yניתן גם לרשום ) . A (A x , A y
הקשר בין ההצגות )שני מימדים(
כאשר ידועה הצגה אחת ניתן בעזרת פונקציות טריגונומריות sin, cos, tgלקבל את ההצגה האחרת.
אם ידועים Aו , α-הגודל והכיוון של הוקטור Aאז הרכיבים מתקבלים על ידי:
3
A x A cos
A y A sin
)מעבר מהצגה פולרית לקרטזית(
אם ידועים הרכיבים של הווקטור אז גודלו וכיוונו מתקבלים על ידי:
2
2
A2 Ax Ay
Ay
Ax
tg
)מעבר מהצגה קרטזית לפולרית(
המשואה הראשונה ידועה בשם "משפט פיתגורס".
הצגה קרטזית בשלושה מימדים
z
את הרעיון של פירוק ווקטור לרכיביו ניתן ליישם גם
לשלושה מימדים .בתרשים מוראה הווקטור Aשרכיביו
) ( Ax , Ay , Azהם בהתאמה ) – (2,4,5כל חץ אדום
הוא באורך יחידה.
y
x
ווקטור יחידה
ווקטור יחידה הוא ווקטור שגודלו שווה ל .1-בהינתן ווקטור Aניתן להגדיר ווקטור יחידה ̂" A) Aכובע"(,
שהוא ווקטור שכוונו זהה לכיוון הווקטור Aוגודלו שווה ל .1-פשוט מחלקים את הווקטור Aבגודל שלו
A
. Â
עצמו:
A
ווקטורי יחידה מיוחדים הם הווקטורים ̂) î, ĵ , kהנקראים גם ̂ ( x̂ , ŷ , zשהם ווקטורי יחידה בכיוון x,y,z
בהתאמה.
בעזרת ווקטורי היחידה ניתן לרשום כל ווקטור ב 3-מימדים בצורה ̂. A A x î A y ĵ A z k
הווקטור שהוזכר בדוגמה לעיל ייכתב בסימון זה ̂. 2 î 4 ĵ 5 k
4
חיבור ,חיסור וכפל בסקלר בעזרת פירוק ווקטור לרכיביו
בעזרת הפירוק לרכיבים חיבור וחיסור ווקטורי נעשה פשוט :כל רכיב מתחבר )או מתחסר( באופן רגיל .אם
נתונים הווקטורים ˆ A A x ˆi A y ˆj A z kו , B Bx î By ĵ Bz k̂ -אז
̂A B (A x Bx ) î ( A y By ) ĵ ( A z Bz ) k
ובאופן דומה
̂. A B (A x Bx ) î ( A y By ) ĵ ( A z Bz ) k
בהכפלה של סקלר sבווקטור , Aכל רכיב של הווקטור מוכפל בסקלר:
̂s A s A x î s A y ĵ s A z k
מכפלה סקלרית
מכפלה סקלרית היא פעולה בין שני ווקטורים שתוצאתה סקלר )לא מדובר בכפל בסקלר!(.
מסמנים את המכפלה ("A dot B") A B
יש שתי דרכים לחישוב מכפלה סקלרית.
דרך א' -כשידועים רכיבי הווקטורA B A x Bx A y By A z Bz :
דרך ב' -כשידועים גדלי הווקטורים A ,ו ,B-והזווית ביניהם A B A B cos :
אחד מהשימושים במכפלה סקלרית הוא למציאת זווית בין שני ווקטורים שרכיביהם ידועים:
, A B A x Bx A y By A z Bz A B cos
2
כאשר , A A x 2 A y 2 A z
2
. B B x 2 B y 2 Bz
5
מכפלה ווקטורית
מכפלה וקטורית היא פעולה בין שני ווקטורים שתוצאתה ווקטור .מסמנים את המכפלה (A cross B) A B
יש שתי דרכים לחישוב מכפלה ווקטורית.
̂k
דרך א' -כשידועים רכיבי הווקטורA z :
Bz
̂j
Ay
By
̂i
A B Ax
Bx
דרך ב' -כשידועים גדלי הווקטורים A ,ו ,B-והזווית ביניהם :
הגודל של המכפלה הוקטורית ניתן על ידי A B A B sin
B
A
והכיוון הוא ניצב למישור שיוצרים שני הווקטורים ,ומקיים את כלל יד ימין:
AB
תרגילים
)(1.1
נתון ווקטור דו ממדי
̂A 2 î 2 3 j
א .הצג/י את הווקטור בצורה פולארית )גודל +כיוון(.
ב .מצאו את ווקטור היחידה ̂. A
)(1.2
נתון ווקטור דו ממדי ̂. B 8 î 6 j
א .הצג/י את הווקטור בצורה פולארית )גודל +כיוון(..
ב .מהו וקטור היחידה ̂? B
)(1.3
הוכח :אם סכום של שני ווקטורים מאונך להפרשם אזי אורכם שווה .רמז :מהי המכפלה הסקלרית
של שני ווקטורים מאונכים?
)(1.4
נתונים שני ווקטורים ̂ V1 6î 2kו . V2 î 4 ĵ 3k̂ -מצא/י את גודלו של
א .ווקטור V3המקיים [ 90 ] . V1 V2 V3 0 :
ב .ווקטור V4המקיים [ 42 ] V1 V2 V4 0 :
6
) (1.5נתונים שני ווקטורים )A (3, 4) , B (6, 8
א .חשב/י את המכפלה הסקלרית . A Bמהי הזווית בין הווקטורים? ][106.30
ב .חשב/י את המכפלה הווקטורית A Bבשתי דרכים[ 48 ẑ ] .
)(1.6
נתונים שני ווקטורים . B (Bx , B y ,0) , A (3,1,4) :מצא/י רכיבים Bxו By -כך ש B -יהיה
ניצב ל Aואורכו יהיה 90
)(1.7
)(1.8
)(1.9
יחידות[ (3 î 9 ˆj) ] .
נתונים שני ווקטורים ̂ . B x̂ ŷ ẑ , A 3x̂ ŷ 4zמצא/י ווקטור שאורכו 10יחידות אשר
ניצב למישור המוגדר על ידי Aו[ 2 / 7 (15 î 5 ĵ 10 k̂ ) ] . B -
נתון. B ˆi 3 ˆj 2 kˆ , A ˆj 4 kˆ :
א .רשמו את הווקטור [ ˆi 4 ˆj 6 kˆ ] . C A B
ב .רשמו את הווקטור [ ˆi - 2 ˆj 2 kˆ ] . D A B
ג .רשמו את הווקטור [ -iˆ 2 ˆj-2 kˆ ] . K B A
נתון . B 6 ˆi 5 ˆj kˆ , A 2 ˆi 3 ˆj 4 kˆ :מצא/י את:
א.
ב.
ג.
ד.
אורכו של כל אחד מהווקטורים.
אורכו של סכומם. A B ,
אורכו של הפרשם. A B ,
הזווית בין Aו. B -
) (1.10נתון . B 6 ˆi 4 ˆj kˆ , A 2 ˆi 3 ˆj 8 kˆ :מצא/י את:
א .אורכו של כל אחד מהווקטורים.
ב .המכפלה הסקלארית A Bוהמכפלה הוקטורית . A B
ג .הזווית בין Aו. B -
7
) (1.11מצאו aו bכך שהוקטורים B a ˆi 3 ˆj :ו C 2 ˆi b ˆjיהיו מאונכים לווקטור
. A 5 ˆi 6 ˆjהוכיחו כי Bו Cמקבילים.
) (1.12הראו כי שלושת הוקטורים B 6 ˆi 12 ˆj 4 kˆ , A 2 ˆi 13 ˆj 7 kˆ :ו, C 4 ˆi ˆj 3kˆ -
יוצרים צלעות של משולש ישר זווית .מהן זוויות המשולש? חשבו את אורך היתר.
) (1.13נתונים:
א.
ב.
ג.
ד.
ˆ . B ˆi 3 ˆj 5kˆ , A - ˆi 2 ˆj kמצא/י את:
אורכו של כל אחד מהווקטורים.
המכפלה הסקלארית. A B ,
המכפלה הוקטורית. A B ,
הזווית בין Aו . B
ה .ווקטורי היחידה ̂ Aו. B̂ -
) (1.14על גוף נקודתי פועלים שני כוחות:
ˆ . F2 ˆi 2 ˆj 3kˆ , F 1 - ˆi 2 ˆj kמצאו את:
א .הכוח השקול )כלומר הסכום הווקטורי של שני וקטורי הכוחות(.
ב .גודל הכוח השקול.
ג .הזווית בין הכוח השקול וכל אחד מהצירים .x, y, z
8
פרק ב' :קינמטיקה
ווקטור מיקום
ווקטור המתאר את מיקומו של גוף )נקודתי( ביחס לראשית הצירים .סימון מקובל. r :
כאשר הגוף זז ווקטור המיקום משתנה ,כלומר ,ווקטור המיקום תלוי בזמן .tהקצה של ווקטור המיקום
"מצייר" את מסלול התנועה של הגוף.
מיקום הגוף בזמן t1
מיקום הגוף בזמן t2
r2
r1
מסלול התנועה
ראשית הצירים
משוואת המסלול היא
משוואה המתארת את הקשר בין xו) y-ובשלושה מימדים גם .(z
ווקטור העתק
ווקטור העתק rהוא ווקטור המתאר את התזוזה של הגוף מנקודה אחת לאחרת .הווקטור מצביע מהנקודה
הראשונה לנקודה השנייה .מתקיים:
) (1
)(2.1
. r r2 r1
נתון וקטור מיקום של גוף )ביחידות SIועבור r(t) 10 t ˆi (20 15t 4.9t 2 ) ˆj ( t 0
א .חשב את ווקטור המיקום של הגוף בזמנים t=1secו-
r (3) 30 ˆi 20.9 ˆj, r (1) 10 ˆi 30.1 ˆj [m] .t=3sec
ב .חשב את ווקטור ההעתק בין הזמנים t=1secועד .t=3sec
] r 20 ˆi 9.2 ˆj [m
ג .מה מרחק הגוף מהראשית לאחר 3שניות? ] 36.56מ'[ כמה התרחק מנקודת המוצא לאחר 3שניות?
] 30.01מ'[
ד .מתי הגוף מגיע ל 4.07] ?y=0-שניות[
ה .מתי ,בין זמן ההתחלה לזמן ,t=3secנמצא הגוף הכי רחוק מהראשית? )רמז :מציאת מקסימום של
פונקציה ,שימו לב :אמורים לקבל משוואה מסדר שלישי אותה אפשר לפתור אנליטית אבל גם נומרית,
אפילו בעזרת מחשבון(
] 2.435שניות ,מרחקו מהראשית 36.71מ'[
ו .האם יש בעיה המוכרת לך מקורס מבוא )אם למדת אותו( המתאימה לבעיה זו?
ז.
מהי משוואת המסלול של הגוף? ] , y 20 1.5x 0.049x 2משוואת פרבולה[
9
ווקטור מהירות
מהירות ממוצעת של גוף היא היחס בין ההעתק של הגוף )כמה הגוף זז( לזמן שעבר:
r
) (2
v average
t
המהירות היא ווקטור! כיוון המהירות הוא כיוון ווקטור ההעתק .יחידות מדידה.m/s :
המהירות של גוף ברגע ספציפי נקראת מהירות רגעית ומתקבלת על ידי הסתכלות על פרק זמן tקצר
מאוד .כאן נכנסת לתמונה הגדרת הנגזרת.
)(3
dr
v
dt
כיוון ווקטור המהירות בכל רגע -משיק למסלול התנועה של הגוף.
המהירות היא קצב השינוי )נגזרת( של ווקטור המיקום.
ווקטור תאוצה
תאוצה ממוצעת של גוף בין שתי נקודות היא היחס בין שינוי המהירות של הגוף לזמן שעבר:
v
) (4
a average
t
התאוצה היא ווקטור! יחידות מדידה.m/s2 :
התאוצה של גוף ברגע ספציפי נקראת תאוצה רגעית ומתקבלת על ידי הסתכלות על שינוי המהירות בפרק זמן
tקצר מאוד .שוב נכנסת לתמונה הנגזרת:
dv
a
dt
)(5
התאוצה היא קצב השינוי )נגזרת( של ווקטור המהירות.
)(2.2
נתון ווקטור מיקום של גוףr ( t ) A t 3 î B e t ĵ :
א .מהן היחידות של ? A, B, α
] [ A m / s 3 , B m, 1 / s
נתון כי) A 1, B 1000, 1 :ביחידות המתאימות ב(SI-
ב .מהו מיקום הגוף ברגע ההתחלתי ?t=0מהו מיקומו ב?t=3sec-
]r (0) 1000 ˆj, r (3) 27 iˆ 49.79 ˆj [m
ג .מהי מהירותו ההתחלתית של הגוף? מהי מהירות הגוף ברגע ?t=3sec
] v (0) 1000 ˆj , v (3) 27 iˆ 49.79 ˆj [m / s
10
ד .מהי תאוצת הגוף ברגע
a (3) 18 iˆ 49.79 ˆj [ m / s 2 ] ?t=3sec
ה .מהי הזווית בין ווקטור המהירות ווקטור התאוצה בזמן ?t=3secהאם מהירות בזמן זה גדֵ לה או
ק ֵטנה? ] ,1320ק ֵטנה[
ו .מצא את a vברגע .t=3sec
ˆ-2240.55 k
] [m2 / s 3
ז .מהי המהירות הממוצעת של הגוף בין הזמנים t=1secו?t=3sec-
][m / s
vavrage 13 iˆ 159 ˆj
קבלת המהירות והמיקום על ידי אינטגרציה
) (6
)(7
v0
t
d r v dt
t0
תאוצתו של גוף נתונה בנוסחהm / s :
2
בנקודה
א.
m
)r(t
t
r ( t ) r0 v dt
t
dv a dt
t0
)(2.3
) v(t
t
v( t ) v 0 a dt
r0
t0
t0
̂ . a ( t ) (4 t 2 ) iבזמן ההתחלתי ,t=0 ,הגוף נמצא
̂ . r0 5 iמהירותו של הגוף באותו רגע הייתה. v0 = (10 iˆ + 2 ˆj ) [ m / s ] :
מהו ווקטור המהירות של הגוף כפונקציה של הזמן? m / s
ב .מהו ווקטור המיקום של הגוף כפונקציה של הזמן? m
v (t ) (10 4t t 3 / 3) iˆ 2 ˆj
r (t ) (5 10 t 2t 2 t 4 /12) iˆ 2t ˆj
ג .מתי גודל מהירות הגוף מקסימאלי? מהו גודל זה? )מקסימום מקומי בזמן ,t=2secגודל המהירות אז
.15.46m/sמ t=4.3475sec-המהירות הולכת וגדלה ושואפת לאינסוף(.
חישוב אורך מסלול של גוף נקודתי
אם ידוע ווקטור המהירות של גוף אזי
t
2
2
t1
1
1
2
. L dr dx 2 dy 2 dz 2 vx 2 v y 2 vz 2 dt
נקודות 1ו 2-הן שתי נקודות זמן שונות כלשהן.
בבעיות בהן ידועה משוואת המסלול נוח לחשב את אורך המסלול באופן הבא :נניח שנתון ) y(xאזי
dy y ' dxולכן:
1 y ' dx
2
x2
2
2
x1
1
1
L dr dx 2 dy 2
11
תיאור תנועה ביחס למערכות ייחוס שונות
כאשר מתארים מיקום של גוף ,התיאור תמיד נעשה ביחס למערכת מסוימת .גוף נמצא על פי כדור הארץ במנוחה ,הוא
במנוחה ביחס לנקודה נייחת על כדור הארץ .אבל יחסית לצופה הנמצא על הירח גוף זה נמצא בתנועה .בכל בעיה שבה
רוצים לתאר מיקום של גוף ,צריך לבחור ביחס לאיזו נקודה )או בתיאור קרטזי ביחס לאיזו מערכת צירים( מתוארת
התנועה.
דוגמה
איש נמצא על רכבת והולך בתוכה במהירות 10קמ"ש בכיוון ימין .מהירות זו היא ביחס לרכבת .נסמנה
= relative) vrelativeיחסי( .הרכבת נוסעת ימינה במהירות 100קמ"ש )יחסית לקרקע( .מהי המהירות של
האיש ביחס לקרקע? ההיגיון אומר 110קמ"ש.
v1 v2 vrelative 100 10 110 km / hour
מיקום ,מהירות ותאוצה יחסיים
נתונים וקטורי המיקום של שני גופים 1 ,ו ,2-ביחס למערכת צירים מסוימת:
ווקטור המיקום של גוף 2ביחס לגוף ,1הוא ווקטור היוצא
מגוף 1לגוף .2לפי מה שלמדנו בחשבון ווקטורי זהו בדיוק
הווקטור . r2 r1כלומר ניתן לרשום
)(18
גוף 1
גוף 2
r relative r2 r1
r2
כמובן שהמיקום של גוף 1ביחס לגוף 2הוא הווקטור
, r1 r2שגודלו זהה וכיוונו הפוך.
מווקטור המיקום היחסי בין הגופים ניתן לקבל את ווקטור המהירות היחסית )של גוף 2ביחס לגוף ,(1פשוט
גוזרים:
)(19
vrelative v2 v1
וגם את ווקטור התאוצה היחסית )עוד גזירה(
)(20
a relative a 2 a1
12
r1
ראשית צירים
איך כל זה קשור לרכבת ולאדם מההקדמה? ַבּדוגמה ,גוף 1זו הרכבת ,שמהירותה ביחס לקרקע
. v 2 100 km / hמהירות האדם ביחס לקרקע איננה ידועה ) ? .( v1 המהירות היחסית של גוף 2ביחס
לגוף ) 1האדם ביחס לרכבת( ,נתונה vrelative 10 km / hומכאן
v1 v2 v relative v1 110km / h
)(2.4
v relative v2 v1
מטוס טס בכיוון דרום-מזרח במהירות שגודלה 360קמ"ש .רכבת נוסעת בכיוון צפון במהירות
שגודלה 90קמ"ש .המהירויות נתונות ביחס לקרקע .מהי מהירות המטוס ביחס לצופה נייח היושב
ברכבת?
)(2.5
נתונים ווקטורי המיקום של שני גופים )ביחס לאותה מערכת צירים(, r1 ( t ) 3 î 4 t ĵ 5t 2 k̂ :
̂. r2 ( t ) 2 t 3 î (2 t ) ĵ k
א .מהי מהירות גוף 2ביחס לגוף ?1
ב .מהי תאוצת גוף 1ביחס לגוף ?2
תנועה מעגלית
מיקום :מתואר על ידי זווית )") (tמיקום זוויתי"( .נהוג למדוד את הזווית ברדיאנים.
מהירות זוויתית :קצב שינוי הזווית – כמה זווית )ברדיאנים( הגוף עובר בזמן )בשנייה( .סימון :
d
dt
)(8
תאוצה זוויתית :קצב שינוי המהירות הזוויתית .יחידות :רדיאנים\שניה .2סימוןα :
d
dt
)(9
קשר בין גדלים זוויתיים וגדלים משיקיים בתנועה מעגלית◌ׁ)רדיוס Rקבוע(
) Tמסמן משיקי(tangential ,
)(10
, x T Rמסומן גם באות ) sקשר זה נובע מהגדרת הרדיאן(.
dx T d
)R (11
dt
dt
v vT
dv T d
)R (12
dt
dt
aT
13
v R
aT R
תיאור קרטזי של תנועה מעגלית
נבחר את ראשית הצירים במרכז המעגל ונסמן ב (t) -את המיקום הזוויתי של הגוף ,כאשר הזווית נמדדת
מציר ) xוגדלה נגד כיוון השעון ,כמו באיור(.
y
גודלו של ווקטור המיקום של הגוף שווה לרדיוס המעגל .R
הגוף
הווקטור עצמו )כתלות בזמן( נתון על ידי
)(13
̂. r ( t ) R cos î R sin j
r
x
על מנת לקבל את מהירות הגוף נגזור את ווקטור המיקום:
d
d
. v( t ) R sin
î R cos
̂j
dt
dt
d
שימו לב לנגזרת הפנימית
dt
שהיא בעצם המהירות הזוויתית של הגוף.
)(14
̂. v( t ) R sin î R cos j
תרגילון :הראו שגודל ווקטור המהירות נתון ,כצפוי ,על ידי.v = R :
כדי לקבל את התאוצה צריך לגזור את ווקטור המהירות .זה לא נורא אבל צריך לקחת בחשבון שבמקרה
הכללי גם וגם תלויים בזמן ולכן בגזירה צריך לגזור את שניהם )נגזרת של מכפלה(.
לשם פשטות נסתכל על המקרה הפרטי של תנועה קצובה :תנועה במהירות זוויתית קבועה )כלומר .(α=0
במקרה זה גודל מהירות הגוף נשמר )כמו אוטו הנוסע בסיבוב כאשר הספידומטר מראה כל הזמן על אותו
מספר( .מגזירה של נוסחה ) (14מקבלים את התאוצה . a ( t ) R cos 2 î R sin 2 ˆj
שימו לב לנגזרת הפנימית .ניתן לרשום נוסחה זו באופן קומפקטי יותר על ידי שימוש בנוסחה )(13
). a ( t ) 2 (R cos î R sin ĵ) 2 r (15
מכאן רואים מיד שגודל התאוצה הוא ,2Rוכיוונה מנוגד לכיוון ווקטור המיקום ,כלומר ,כלפי מרכז המעגל.
קיבלנו את התאוצה הרדיאלית )או מרכזית ,או צנטריפטלית( המתארת את שינוי כיוון המהירות.
14
בבעיה כללית יותר גם גודל המהירות משתנה ,קיימת בנוסף לתאוצה הרדיאלית גם תאוצה משיקית הקשורה
לשינוי גודל המהירות :מסמנים את הרכיב המשיקי של התאוצה ) aTכאמור :התאוצה המשיקית קשורה
dv
לשינוי גודל המהירות( .כבר ראינו שמתקיים R
dt
. aT
התאוצה הרדיאלית מכוונת כלפי מרכז המעגל .התאוצה המשיקית מכוונת לאורך קו המשיק למעגל )ולכן
מאונכת לתאוצה הרדיאלית( .אם רוצים לקבל את התאוצה השקולה של הגוף משתמשים בחשבון ווקטורי:
)(16
2
2
, a aR aT
והזווית בין וקטור התאוצה השקולה aוהכיוון המשיקי נתונה ע"י
)(17
aR
.
aT
aR
tg
היא בעצם הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור התאוצה.
)(2.6
a
aT
המהירות הזוויתית של גלגל בעל רדיוס 0.5mנתונה במשוואה ) ( t ) 4 e 0.2 tהזווית נמדדת
ברדיאנים והזמן בשניות( .בתחילת התנועה ) (t = 0הזווית שווה ל 15-רדיאנים.
א .מצא/י את משוואת התנועה של הגלגל ) . ( tמהי הזווית לאחר 3שניות?
ב .מהי המהירות המשיקית של נקודה הנמצאת על היקף הגלגל כתלות בזמן וכן לאחר 3שניות?
ג .מהן התאוצה הרדיאלית והתאוצה המשיקית של אותה נקודה כתלות בזמן?
ד .מהי גודל התאוצה השקולה של הנקודה הנ"ל לאחר 5שניות?
ה .מהי הזווית בין ווקטור התאוצה השקולה לבין ווקטור המהירות של הגוף לאחר 5שניות?
)(2.7
נתון ווקטור המיקום של גוף שמסתו , r ( t ) 10 cos( 2t 2 ) î 10 sin( 2t 2 ) ˆj :m=1kg
3
3
כאשר המרחק נמדד במטרים והזמן בשניות.
א .מהי משוואת המסלול של הגוף? ] [ x2 y 2 102
ב .תוך כמה זמן )מרגע (t=0ישלים הגוף הקפה מלאה? ] 1שניה[
ג .מהי מהירותו ברגע שבו השלים הקפה מלאה?
] 3 iˆ 20 ˆj
[ v 20
ד .מצא/י את הגדלים של התאוצות – המשיקית ,הרדיאלית והשקולה ,ברגע בו משלים הגוף הקפה
מלאה .מהי הזווית בין ווקטור התאוצה השקולה של הגוף לבין ווקטור מהירותו ברגע זה? ]
[ 40 m / s 2 , 160 2 m / s 2 , 1584 m / s 2 , 85.450
15
תרגילים נוספים
) (2.8חלקיק נע במישור xyבמהירות v (t ) v x (t )iˆ v y (t ) ˆjובתאוצה ̂. a ( t ) a x ( t )î a y ( t ) j
הראה כי גודל המהירות קבוע רק אם מתקיים הקשר . a x v x a y v y 0מה המשמעות של תנאי
זה?
)(2.9
הדרכה :גזור את גודלה של המהירות.
מסוק ממריא משדה התעופה ברגע . t 0מיקומו ביחס למגדל הפיקוח נתון על ידי וקטור המיקום
הבא . r (t ) (50 0.02t 3 )iˆ (70 2.5t ) ˆj 0.08t 2 kˆ :כל הגדלים במשוואה זו הם במערכת
.[mks]SI
א .בכמה יתרחק המסוק מנקודת ההמראה תוך 10שניות ? ) 33מ'(
ב .מה תהיה מהירות המסוק לאחר 10שניות ? ) ˆ( 6 iˆ 2.5 ˆj 1.6 k
ג .מה תהיה הזווית בין מהירות המסוק לבין תאוצתו לאחר 10שניות? ) (23.060מהי
התאוצה המשיקית של המסוק? ) (1.114 m/s2הערה :התאוצה המשיקית של המטוס היא
הרכיב של התאוצה שכיוונו ככיוון המהירות ,כלומר .aT = a cos :
) (2.10חלקיק נקודתי נע במישור לפי המשוואות הפרמטריות הבאות:
x R sin(t ) Rt
y R cos(t ) R
,
כאשר
, Rהם קבועים .המסלול המתואר ע"י שתי המשוואות נקרא ציקלואידה והוא מתאר את תנועתה
של נקודה על היקפו של גלגל המתגלגל ללא החלקה כשמרכזו נע במהירות קבועה.
א .צייר את מסלול התנועה )בחר .( R 1m, 1rad / s
v ( R cos(t ) R) iˆ R sin(t ) ˆj
ב .מצא את הביטויים למהירות ולתאוצה.
a 2 R sin(t ) iˆ 2 R cos(t ) ˆj
ג .חשב את המהירות והתאוצה כאשר החלקיק נמצא בנקודה הנמוכה ביותר והגבוהה ביותר.
v 0
ˆv 2 R i
.(
, ובנמוכה ביותר
)בגבוהה ביותר ,y=2Rואז:
a 2 R ˆj
a 2 R ˆj
16
) (2.11ברגע t 0נמצאת מכונית Bבצומת ונעה במהירות
vB 40m / sמזרחה .מכונית Aהנמצאת 100mדרומית
לצומת נעה במהירות vA 30m / sצפונה.
B
א .כעבור כמה זמן יהיה המרחק בין המכוניות מינימלי?
מהו המרחק המינימלי? ] 1.2שניה 80 ,מ'[ הדרכה:
vB
קבל ביטוי למרחק כתלות בזמן ומצא אקסטרימום.
vA
ב .רשום את ווקטור המיקום של מכונית Bביחס למכונית
) Aכתלות בזמן( .מהי המהירות היחסית של גוף B
ביחס ל? A-
ג .הראה שבזמן שמצאת בסעיף א' )הוא הזמן בו המרחק
בין הגופים מינימלי( ווקטור המיקום היחסי מאונך
לווקטור המהירות היחסית .נסו להבין למה זה כך .נסו להוכיח כי כאשר גוף נמצא במרחק
אקסטרימלי מגוף אחר אז ווקטור המיקום והמהירות היחסי מאונכים זה לזה.
) (2.12טורבינה שמסתובבת בתדירות של 180סל"ד )סיבובים לדקה( ,מתחילה להאט בתאוטה זוויתית קבועה
2
של . 3rad sec
א .מהי מהירותה הזוויתית ההתחלתית ? מהי המהירות הזוויתית כתלות בזמן?
ב .לאחר כמה זמן תעצור הטורבינה?
ג .כמה סיבובים תעשה עד לעצירתה?
) (2.13גלגל בעל רדיוס של 50ס"מ ,מסתובב בתדר של 4סיבובים לשניה .הגלגל מתחיל להאט בתאוצה
זוויתית. α 4t :
א .לאחר כמה זמן נעצר הגלגל?
ב .כמה סיבובים משלים הגלגל עד לעצירה?
) (2.14חשבו פי כמה גדולה תאוצה רדיאלית של נקודת הקצה של גלגל מסתובב מתאוצתה המשיקית ,אם ידוע
שהזווית בין התאוצה השקולה לבין המהירות הקווית שווה ל. 30 -
) (2.15גוף נע בתנועה מעגלית לפי משוואת התנועה .(SI) r 4cos 3πt ˆi 4sin 3πt ˆj
א .חשב/י את וקטור המהירות כפונקציה של הזמן] v 12 sin 3πt ˆi 12 cos 3πt ˆj [ .
17
100m
ב .חשב/י את וקטור התאוצה כפונקציה של הזמן] a 36 2 cos 3πt ˆi 36 2 sin 3πt ˆj [.
[ y 2 16
ג .תאר/י את תנועת הגוף .מהי משוואת המסלול?
ד .הראה/י שווקטור המהירות מאונך לווקטור rבכל .t
2
]x
החל מרגע מסוים )אפשר לקחת רגע זה כ ,(t=0-מתחיל הגוף להאיץ בתאוצה זוויתית קבועה .ידוע כי
מהירותו הזוויתית גדלה פי 2תוך 3שניות.
ה .חשב/י את התאוצה הזוויתית של הגוף.
] rad / s 2
[
ו .מהו גודל התאוצה השקולה של הגוף 2 ,שניות לאחר תחילת ההאצה? ][987m/s2
ז .חשב/י את , aוקטור התאוצה השקולה של הגוף 2 ,שניות לאחר תחילת ההאצה,אם ידוע שהגוף
החל האיץ מהנקודה ˆ[ a 4(5 )2 ˆi 4 ˆj ] . r 4i
) (2.16מיקום הגוף נתון לפי המשוואה ) r 5sin t ˆi+4 cos t ˆj :מרחק במטרים ,זמן בשניות(.
א.
מהו מסלול התנועה של הגוף 5).נקודות(.
ב.
מצא את רגעי הזמן שבהם המהירות ורדיוס-ווקטור מאונכים 7).נקודות(.
ג.
מצא את תאוצת התנועה והראה שהיא מכוונת כלפי ראשית הצירים ומצא באיזה רגעי זמן גודלה
2
הוא 7). v r -נקודות(.
ד.
חשבו את המרחק המינימאלי של הגוף מראשית הצירים .כמה פעמים במשך מחזור תנועה אחד
מגיעה הנקודה למרחק המינימאלי מהראשית ) 6נקודות(.
ה.
מצא את וקטור היחידה ̂. r
ו.
רשום את הווקטור בהצגה פולרית )בעזרת הוקטורים ̂ rו( ˆ -
) (2.17גלגל מסתובב לפי משוואת התנועה ) A t t 2 t 3הזווית נמדדת ברדיאנים ,הזמן בשניותA ,
קבוע( .ידוע שבזמן t 2secהתאוצה הרדיאלית של נקודה הנמצאת בקצה הגלגל שווה ל.346m/s2 -
א .מה המשמעות של הקבוע ) ?Aזווית התחלתית(
ב .מהו רדיוס הגלגל? ] 1.197מ'[
ג .חשב/י את גודל התאוצה )השקולה( בזמן 346.4] . t 2secמ\ש[2
) (2.18נקודה מסתובבת במסלול בעל רדיוס 2ס"מ .המרחק שהנקודה עוברת במסלול זה )על קשת המעגל( נתון
ע"י . s 0.1t 3מצאו את התאוצה המשיקית ,את התאוצה הרדיאלית ואת התאוצה השקולה של הנקודה,
ברגע בו מהירות הנקודה שווה ל. 0.3 m / s -
18
) (2.19מיקום של גוף נתון לפי) r 6(cos 2 t )iˆ 4(cos t ) ˆj :המרחק נמדד במטרים ,הזמן בשניות(.
א .מצא את מסלול התנועה של הגוף.
ב .מצא את הביטוי למהירות הגוף .באיזה רגעי זמן המהירות היא בכיוון ציר ? y
ג .מצא את תאוצת הגוף .מהו גודלה ברגעים בהם המהירות מתאפסת ?
) (2.20נתון מיקומו של גוף) r (4t 2t 2 )iˆ (3t 1.5t 2 ) ˆj :המרחק-במטרים ,הזמן-בשניות(.
א .מצא את משוואת התנועה של הגוף.
ב .מצא את מהירות הגוף .מהו גודל המהירות בזמן ? t 2sec
ג .מצא את תאוצת הגוף.
) (2.21מהירות הגוף בעל מסה 2 kgנתונה לפי המשוואה) v 3e 3t iˆ 30t 2 ˆj -מרחק נמדד במטרים וזמן
בשניות( .בתחילת התנועה ) ( t 0הגוף נמצא בנקודה . r0 iˆ 3 ˆj
א .מצא את משוואת התנועה של הגוף )כלומר מיקומו כתלות בזמן(r e3t iˆ (3 10t 3 ) ˆj .
10
ב .מצא את משוואת המסלול(ln x )3 ] .
9
y 3 אפשר גם:
( y 30)/10
3
*3
[xe
ג .מצא את תאוצת הגוף כפונקציה של הזמן ואת גודלה בתום השנייה הראשונה ) ] .( t 1sec
ˆ[ a (1sec) 18.77 iˆ 60 ˆj [m / s 2 ] , a (t ) 9e3t iˆ 60tj
) (2.22המיקום של חלקיק לאורך ציר ה x-תלוי בזמן לפי המשוואה הבאה x) x At 2 Bt 3 :במטרים וt -
בשניות( .תחילת התנועה הוא הרגע . t 0
א .מהן היחידות של Aו ?B
עבור הסעיפים הבאים הערכים המספריים של Aו B-הם 3ו 1-בהתאם )ביחידות המתאימות ב.(SI-
ב .באיזה זמן מגיע החלקיק למיקומו המקסימלי לאורך ציר ה? x-
ג .מה אורך המסלול שהחלקיק עושה ב 4-השניות הראשונות?
ד .מהו העתק הגוף ב 4-שניות אלו?
ה .מהי מהירות החלקיק ותאוצתו בסוף 4השניות הראשונות?
ו .מהי המהירות הממוצעת של החלקיק בין t=2לבין ? t=4
19
) (2.23פגז נורה מתותח העומד למרגלות הר בעל שיפוע קבוע ) β = 450יחסית לאופק( .הפגז נע בנפילה
חופשית )כלומר תאוצתו gכלפי מטה( .מהירותו ההתחלתית של הפגז . v0
א .רשום את ווקטור המיקום של הפגז )בחר את ראשית הצירים בנקודת היציאה שלו( ,כתלות בזמן,
בזווית αובפרמטרים האחרים בבעיה.
ב .מצא ביטוי למרחק של נקודת הפגיעה מנקודת המוצא של הפגז )בהנחה שגודל המהירות אינו מספיק
כדי לעקוף את ההר( ,כתלות בזווית αובפרמטרים האחרים בבעיה.
רמז :אם בחרתם מערכת צירים xyכמוראה
y
באיור ,בנקודת הפגיעה מתקיים tg
x
y
.
מכאן מקבלים גם שהמרחק המקסימלי נתון ע"י
v0
. L x 2 y 2 x 2 ( x tg ) 2 x / cos 2
ג .באיזו זווית ) αיחסית לאופק( יש לירות את
הפגז כדי שפגיעתו בהר תהיה הרחוקה ביותר?
β
x
הדרכה :מצאו את המינימום של הפונקציה שמצאתם בסעיף הקודם .ניתן להיעזר בזהות:
. cos(2 ) cos 2 sin 2 תשובה. 67.5 0 :
הערה :במקרה של βכלשהי התשובה תהיה . (β 90 0 ) / 2
) (2.24שתי סירות יוצאות מנמל משתי נקודות שונות שהמרחק ביניהן הוא 500מטרים .סירה Aמתחילה
מתנועה במהירות קבועה בקו ישר ,כמשורטט .וגם סירה Bמתחילה מתנועה בקו ישר ,כמשורטט.
נתונים. v B = 2 m / s , v A 15 m sec :
א .רשום את וקטור מיקום הגופים ביחס למערכת צירים xyסטנדרטית הנמצאת במיקום ההתחלתי של
סירה .B
ö
ˆ 15 2
t ÷÷÷ ⋅ iˆ +
] t j [m
÷ø
2
æ
15 2
rB (t ) = 3 t iˆ + t ˆj [ m ] rA (t ) = ççç500çè
2
ב .מתי המרחק בין שתי הסירות מינימאלי ? t = 25.2 sec
vA
ג .מהו המרחק המינימאלי בין שתי הסירות ? 285.7 m
ד .מהי המהירות היחסית בין שתי הסירות כפונקציה של הזמן ?
(12.3 iˆ - 9.6 ˆj ) m / s
ה .הראו שהמהירות היחסית ניצבת לווקטור המיקום היחסי בין
שתי הסירות ברגע בו המרחק ביניהן מינימאלי.
20
45
vB
30
פרק ג' :חוקי ניוטון
חוק :Iחוק ההתמדה )שנוסח לראשונה על ידי גליליאו( .גוף שעליו לא פועלים כוחות )או שהכוח השקול
עליו שווה לאפס( יתמיד במצבו :אם נייח יישאר נח )הגיוני!( ואם נע במהירות ימשיך לנוע באותה
מהירות כווקטור )בתוספת הזו לחוק מתחילה המהפכה המחשבתית בהבנת תנועת גופים(.
חוק :IIסכום הכוחות על גוף פרופורציוני לתאוצת הגוף .מקדם הפרופורציה הוא מסת הגוף ,המתארת
כמה קשה לשנות את מצבו של הגוף )כלומר להאיצו( .ובנוסחה. F m a :
חוק :IIIחוק הפעולה והתגובה ,חוק ה"קונטרה" ,כוחות באים בצמדים שווי גודל והפוכי סימן :אם גוף
א' מפעיל כוח Fעל גוף ב' ,אז גוף ב' מפעיל על גוף א' כוח השווה בגודלו ומנוגד לכיוונו ).(-F
טיפול בבעיות עם כוחות
מקרה א' :כוח התלוי בזמן .במקרה זה נקבל מהחוק השני של ניוטון כי התאוצה תלויה בזמן .מווקטור
התאוצה ניתן לקבל את וקטור המהירות על ידי אינטגרציה .ע"י אינטגרציה נוספת נקבל את ווקטור המיקום
של הגוף.
דוגמאות:
)(3.1
זריקה עם כוח נוסף :גוף בעל מסה של 0.2 kgנזרק בכיוון אופקי במהירות 10 m sמנקודה
הנמצאת בגובה 60 mמהקרקע .בזמן תנועתו הרוח מפעילה על הגוף כוח Fאשר תלוי בזמן לפי
המשוואה . F 1.2t î - 0.4 ˆjבתשובות נלקחה תאוצת כובד .g=10m/s2מצא/י את:
א .משוואת התנועה של הגוף ,כלומר ,וקטור המיקום שלוr t t 3 10t î 6 t 2 60 ĵ .
ב .משוואת המסלול של תנועת הגוף.
12
y
10 10
6
32
( x 10 y
6
ג .מתי הגוף יפגע בקרקע ובאיזה מרחק מהמצב ההתחלתי? ) ( t 10 sec , 87.2 m
)(3.2
גוף הנע על מישור :גוף שמסתו 2kgנע על מישור אופקי ) xyהמישור אופקי משמע שכוח הכובד
מאונך למישור ומאוזן על ידי הכוח הנורמל( .נתונים מהירות הגוף ומיקומו בזמן , v 0 5 î : t=0
21
̂ . r0 î 3 jנתון גם הכוח השקול הפועל על הגוף ̂) 2 e t î 6t 2 jהזמן ב sec -והכוח ב.(N -
מצא/י את:
מהירות הגוף כתלות זמן( v t e t 4î t 3 ĵ ) .
א.
ב.
וקטור המיקום של הגוף כתלות בזמן.
4
)
̂ 4 3 j
) 4 4 4y 12
( r t e t 4t î t
ג.
משוואת המסלול של הגוף?
ד.
הזווית בין וקטור המהירות של הגוף לבין ווקטור התאוצה שלו ב. t=3sec-
)(3.3
גוף הנע לאורך קו ישר עם כוח נטוי בזווית התלוי בזמן :הגוף שבציור ,מסתו 300grוהוא מונח על
4y 12
4
(x e
הרצפה .בזמן t = 0מתחיל לפעול על הגוף כוח שגודלו ) F 2tהזמן בשניות והכוח בניוטונים(.
הכוח פועל בזווית α=370יחסית לציר התנועה )ציר .(x
1
נתון כי מקדם החיכוך )הסטטי והקינטי( בין הגוף והרצפה הוא
3
.
F
לפשטות החישוב קחו. g = 10m/s2, sinα = 0.6, cosα = 0.8:
א .מתי יתחיל הגוף לנוע? ][0.5 sec
α
ב .מהי מהירות הגוף לאחר 2שניות? ] [ 7.5 m / s
x
ג .מה המרחק שהתקדם הגוף עד לניתוקו מהקרקע ? ] 80 / 9 8.9מטרים[
)(3.4
גופים התלויים על חוט עם גלגלת :שני גופים Aו– Bשמסותיהם mA=3kg, mB=2kgקשורים זה
לזה באמצעות חוט הכרוך סביב גלגלת .ניתן להזניח את מסת החוט ואת כל כוחות
החיכוך.
החל מרגע t=0ועד לרגע t=2sאדם מחזיק בגוף ,Bכך ששני הגופים נמצאים במנוחה
בגובה 3.5mמעל לרצפה.
א .מהי המתיחות בחוט במצב שבו שני הגופים נמצאים במנוחה ? מהו הכוח )גודל
וכיוון( שמפעילה יד האדם על הגוף Bבמקרה המתואר בסעיף קודם ?
] 30 N
A
[ 10 N ,
מרגע t=2sואילך האדם מפעיל על גוף Bכוח שכיוונו כלפי מטה וגודלו משתנה לפי ) F 10 tהכוח
בניוטון והזמן בשניות(.
ב .מהו גודל תאוצת הגופים מרגע ?t=2sמהי המתיחות בחוט )כתלות בזמן( בפרק זמן זה ?
] [ a t / 5, T 3t / 5 30
22
B
ג .מהי מהירות הגופים כתלות בזמן )כל עוד הבעיה אפשרית ,כלומר החוטים לא מסתבכים
בגלגלת(?
] / 10 0.4
2
[t
מקרה ב' :כוח התלוי במהירות .כאשר הכוח השקול תלוי במהירות הגוף ,התאוצה תהיה אף היא תלויה
במהירות )החוק השני( .אי אפשר לקבל את המהירות על ידי אינטרציה של התאוצה לפי הזמן )כי לא יודעים
את התלות הישירה של התאוצה בזמן( .במקרה זה משתמשים בשיטה לפתרון הנקראת "הפרדת משתנים".
F( v) ma
dv
dt
F( v ) m
dv
)F( v
) dt mלא משנה באיזה צד של המשוואה
נרשום את .(mהפרדנו את כל מה שתלוי ב) v-בעצם הכל( ,ממה שתלוי בזמן .ועכשיו ניתן לבצע
אינטגרציה על שני אגפי המשוואה:
) v(t
dv
)F( v
m
v0
t
dt
t0
ממשוואה זו אפשר לחלץ את מהירת הגוף .לאחר שיש בידינו את המהירות כתלות בזמן ,ניתן לקבל את
מיקום הגוף כתלות בזמן )על ידי אינטגרציה( ואת תאוצתו כתלות בזמן )על ידי גזירה או ,לחילופין,
שימוש בחוק השני של ניוטון עם הצבת המהירות שמצאנו(.
תרגילים לדוגמה
)(3.5
צנחן שמסתו mצונח ממנוחה ממסוק המרחף באוויר )כלומר מהירותו ההתחלתית (0ומגובה .Hעל
הצנחן פועל כוח ריסון הגדל לינארית עם מהירותו , f bv vˆ :כאשר bהינו מקדם ריסון קבוע.
bt
א .מהי מהירות הצנחן כתלות בזמן? ) mg 1 e m כלפי מטה(
b
ב .באיזה גובה מעל הקרקע נמצא הצנחן )כתלות בזמן(?
bt
bt
mg
bt m e m 1
2
b
H
ג .מהי תאוצת הצנחן כתלות בזמן? ] ge mכלפי מטה[
ד .מי יגיע קודם לקרקע ,צנחן קל או צנחן כבד? הניחו שמקדם הריסון bזהה עבור שני
הצנחנים .נמק/י את תשובתך] .כבד[
23
)(3.6
זריקת גוף עם חיכוך הפרופורציוני למהירות :גוף נזרק באוויר בזווית αיחסית לאופק ובמהירות
התחלתית .v0בנוסף לכוח הכובד פועל על הגוף כוח ההתנגדות של האוויר )כוח גרר( הנתון על ידי
הקשר . f bvכאשר bהוא קבוע חיובי.
א .חשב/י את ) x(tו. x(t ) mV0 cos 1 e m t , y (t ) m Vo sin mg 1 e m t mg t 2 .y(t)-
b
b
ב .מצא/י את משוואת המסלול ).y(t
b
b
b
b
mg
x
m2 g
b
2 ln 1
y ( x) V0 sin
x
b
V
cos
b
mV
cos
0
0
ג .הראה/י כי בגבול בו כוח החיכוך ניתן להזנחה ביחס לכוח הכובד מתקבלת משוואת המסלול
g
x2
2
2 v 0 cos 2
השני( כאשר הפרמטר הקטן
)(3.7
2
. y x tg הדרכה :השתמש בקירוב ) ln(1 z) z zטור מקלורן עד הסדר
2
bx
m v 0 cos
z ניתן להזנחה ביחס ל .1
סירה שמסתה 100ק"ג החלה את תנועתה במהירות 3מ\ש ומואטת על ידי כוח חיכוך )הוא הכוח
השקול( הנתון בנוסחה) F 2 e0.4v vˆ :יחידות המדידה = v .(mks :מהירות הגוף.
א .כמה זמן יעבור עד לעצירת הסירה? ] 87.35שניות[
ב .מהי מהירות הגוף בחצי מהזמן הנ"ל? ][1.075m/s
מקרה ג' :כוח שתלוי במיקום )כמו למשל כוח קפיץ( .נרחיב על מקרה זה כאשר נדבר על עבודה ואנרגיה וכן
בפרק על תנועה הרמונית.
תרגילים נוספים
)(3.8
גוף בעל מסה של 0.2kgנזרק באופן אופקי במהירות 10 m / sמנקודה הנמצאת בגובה 60m
מעל הקרקע .בזמן תנועתו רוח מפעילה על הגוף כוח המשתנה עם זמן לפי המשוואה
) f 1.2tiˆ 0.4 ˆjהזמן נמדד בשניות והכוח בניוטונים(.
א .מהו ווקטור המיקום של הגוף?
ב .מהי משוואת המסלול שלאורכו הגוף נע ?
ג .מתי הגוף יפגע בקרקע ובאיזה מרחק מהמצב ההתחלתי ?
24
)(3.9
כוח חיכוך :כוח אופקי שגודלו ) F=2tכאשר הזמן tנתון בשניות והכוח Fבניוטונים( פועל על גוף
שמסתו 2kgהנמצא במנוחה על משטח אופקי .מקדמי החיכוך בין הגוף למשטח , k 0.15
. s 0.2מצא/י את
א.
זמן תחילת התנועה.
ב.
כוח החיכוך בזמן .t=0.5 sec
ג.
תאוצת הגוף כפונקציה של זמן.
ד.
מהירות הגוף כתלות לאחר 4שניות.
ה.
מיקום הגוף לאחר 4שניות.
) (3.10צוללת שמסתה 30טון שטה בכיוון אופקי במהירות 10מ\ש .ברגע מסוים הצוללת מכבה את מנועה.
מרגע זה פועל על הצוללת כוח עצירה הנתון בביטוי ˆ . F = -(b v 2 ) vזהו הכוח היחידי הפועל על
הצוללת )הניחו כי בכיוון האנכי אין תנועה( .נתון כי 5דקות לאחר כיבוי המנוע מהירות הצוללת
קטנה פי .4
1
א .מהי מהירות הצוללת כפונקציה של הזמן? ]
0.1 0.001t
[ v (t )
ב .חשב/י את הקבוע [ 30 kg / m ] b .b
ג.
מהו המרחק שעברה הצוללת בחמש הדקות מרגע כיבוי המנוע? ] 1386.2מ'[
) (3.11כדור שמסתו 10ק"ג נזרק אנכית כלפי מעלה מהקרקע במהירות התחלתית .100 m/sבמהלך
העלייה ,בנוסף לכוח כבידה ,משפיע על הגוף כוח התנגדות האוויר) F = -(b v 2 ) vˆ :המהירות
dx
1
x
נמדדת ב m/s-והכוח בניוטונים( arctan , tan x dx ln cos x , g 10m / s 2 .
a2 a
a
2
x
א .מהו הכוח השקול שפעל על הכדור מיד אחרי הזריקה? ] 2100ניוטון כלפי מטה[
5
ב .כמה זמן נמשכת עליית הכדור? ] arctan(100 / 500) 3.02sec
5
ג .מהי מהירות הגוף כתלות בזמן?
[
v(t ) 500 tan arctan(100 / 500 ) 5 t / 5 22.36*tan 1.35 0.447 t
ד .מהו הגובה המקסימלי אליו מגיע הכדור? ] 76מ'[
ה .מהי תאוצתו בנקודה זו? ] gכלפי מטה[
ו .אם על הכדור לא ישפיע כוח התנגדות האוויר ,עד לאיזה גובה מקסימלי הוא יגיע? ] 500מ'[
25
) (3.12גוף שמסתו 1ק"ג נזרק מהקרקע במהירות תחילית של 50מטר לשנייה ,בזווית של 30 מעל
האופק .נתון כי שקול הכוחות על הגוף במהלך שהותו באוויר הוא. Ft 3t î 10 ĵ :
א .מהי משוואת התנועה של הגוף?
ב .מתי הגוף יפגע חזרה בקרקע?
ג .באיזה מרחק ביחס לנקודת המוצא שלו יפגע הגוף בקרקע?
) (3.13גוף בעל מסה של 5ק"ג מונח על פני רצפה חסרת חיכוך בראשית הצירים .הרצפה היא המישור
.z=0ברגע מסוים מפעילים על הגוף שני כוחות אופקיים F1 3i cos(2t ) j :ו-
) F2 2t 2 i 2sin 2 (t ) jהכוחות נמדדים בניוטונים והזמן בשניות( .כל הסעיפים הבאים
מתייחסים לזמן של 2שניות לאחר הפעלת הכוחות .זהויות טריגונומטריות עשויות לעזור.
א .מהי תאוצת הגוף )גודל וכיוון(? ][2.2 m/s2
ב .מהי מהירות הגוף )גודל וכיוון(?
ג .באיזה מרחק מראשית הצירים יהיה הגוף?
ד .מהי הזווית בין שני הכוחות?
) (3.14גוף שמסתו mנמצא במנוחה על מישור אופקי .ברגע t = 0מתחיל לפעול על הגוף כוח
אופקי ) b) F=2bsin(tהינו קבוע = t ,זמן בשניות ,הארגומנט של ה sin -ברדיאנים(.
מקדם החיכוך הסטטי והקינטי בין הגוף והמישור הוא ).μ=b/(mg
א .באיזה רגע הגוף מתחיל את תנועתו?
ב .מה תהיה מהירות הגוף tשניות לאחר רגע ?t=0
ג .מהו מיקום הגוף )ביחס לנקודת מוצאו( שנייה אחת לאחר תחילת תנועתו?
) (3.15כוח Fמושך גלגלת חסרת מסה .על הגלגלת תלויות )חוט חסר מסה וללא
חיכוך( שתי מסות כמוראה בציור .לפני תחילת פעולת הכוח המסות מונחות
F
על הרצפה .m1=2kg, m2=3kg .הכוח משתנה לפי ) F = t^2הכוח בניוטון
והזמן בשניות ,תחילת התרגיל .(t=0
א .באיזה זמן הגוף הקל מתחיל לזוז? נסמן זמן זה ב .t1-מהם הכוחות
הנורמאליים הפועלים על כל גוף כתלות בזמן ,עד ל? t1 -
ב .באיזה זמן מתחילים שני הגופים לזוז? נסמן זמן זה ב.t2-
ג .מהי מהירות כל גוף ברגע ? t1+t2
26
m2
m1
) (3.16גוף שמסתו , m 1 kgנמצא על קו ישר .ברגע , t 0מתחיל לפעול על הגוף כוח
, F 10 sin t בכיוון הקו הישר .מקדם החיכוך ) הסטטי והקינטי( בין הגוף והקו הוא . μ 0.5
א .מתי מתחיל הגוף לנוע?
ב .הראו כי הגוף עוצר לאחר 3.8168שניות )בקירוב( מרגע הפעלת הכוח.
) (3.17בלוק בעל מסה mמונח על מישור משופע החופשי לנוע על משטח אופקי חסר חיכוך .מסת המישור
המשופע היא Mוזווית השיפוע .
א .איזה תאוצה aצריכה להיות ל M-יחסית לרצפה על מנת שהבלוק יישאר במנוחה יחסית למישור.
הניחו כי אין חיכוך בין הבלוק ומישור.
ב .איזה כוח Fצריך להפעיל על המערכת כדי לקבל
F
m
תאוצה כזו?
ג* .הנח שהכוח Fאינו מופעל על המערכת ושאין
M
חיכוך בין הגופים .תאר את התנועה.
) (3.18מטוס אשר טס במהירות אופקית קבועה v0 = 100 m/sמטיל פצצה .הפצצה מגיעה לקרקע כעבור
8שניות .במהלך הנפילה משפיע על הפצצה כוח התנגדות האוויר . F 10Vמסת הפצצה היא
) .80 kgפתור בנפרד את משוואות התנועה עבור שני צירים xו(y-
א .מצא את הגובה שממנו שוחררה הפצצה.
ב .מצא את המרחק האופקי אשר עוברת הפצצה במהלך הנפילה יחסית למקום שחרורה.
ג .מצא את מהירות הפצצה )גודל וכיוון( בעת פגיעתה בקרקע.
A
) (3.19גוף Aשמסתו 4 kgנמצא במנוחה על מישור אופקי חלק.
הגוף קשור לקצה חוט העובר דרך גלגלת חסרת חיכוך
למשקולת Bבת 3 kgשתלויה בקצה השני של החוט .מרגע
t=0מופעל על גוף Aכוח אופקי Fהמשתנה כתלות בזמן לפי
) F t 20 tבמערכת יחידות .(SI
B
א .חשבו את תאוצת המערכת כפונקציה של הזמן (30-20t)/7] .ביחידות ,SIכיוון חיובי -ימין[
ב .מהו המרחק המקסימאלי ימינה שאליו יגיע גוף Aיחסית למיקומו ההתחלתי? ] 45/7מ'[
ג .כמה זמן יחסית לזמן תחילת פעולת הכוח עובר עד שגוף Aחוזר למיקומו ההתחלתי? ][4.5sec
27
F
) (3.20גוף שמסתו mהקשור בחוט אופקי שאורכו , Lמסתובב סביב נקודה קבועה על משטח אופקי בעל
מקדם חיכוך קינטי ) kכמוראה בתרשים( .מהירותו ההתחלתית של הגוף ) v 0ב .(t=0-הביעו
תשובותיכם ע"י. g , v 0 , k , L , m :
m
א .מצאו את גודל מהירות הגוף כפונקציה של הזמן.
ב .מצאו את המתיחות בחוט כפונקציה של הזמן.
ג .מצאו את גודל תאוצת הגוף כפונקציה של הזמן.
ד .נתונים . v0 10 m s , k 0.15 , L 1.5 m , m 2 kg :כמה סיבובים יעבור הגוף עד
לעצירה?
) (3.21נתונה המערכת שבשרטוט ,המסות הן . m 2 5 kg , m1 3 kgעל מסה m 2פועל כוח אופקי
)כמשורטט( התלוי בזמן . F 0.25t 2בין שתי המסות קיים כוח חיכוך בעל מקדמי החיכוך הבאים:
. s 0.3 , k 0.2המשטח עליו מונחת מסה m 2חסר חיכוך.
א .מתי מתחילה מסה m 2לנוע?
ב .מהי המתיחות בחוט המחבר את מסה m1לקיר כפונקציה של הזמן?
m1
F t
ג .מהו מיקום מסה m 2כפונקציה של הזמן?
הניחו כי המסה m1נשארת על m 2בלי ליפול.
28
m2
פרק ד' :עבודה ואנרגיה
אנרגיה
קשה להגיד מה היא אנרגיה ,אבל קל לתאר בעיות רבות בעזרת המושג.
ניתן לומר כי אנרגיה היא גודל הנשמר במערכת סגורה ,כלומר בתהליך הקורה במערכת סגורה האנרגיה
הכוללת נשמרת .זהו "חוק שימור האנרגיה" .ברקטה הנעה בחלל ,למשל ,האנרגיה הכימית האצורה בחומר
הדלק הופכת לאנרגיה של תנועה ,ולאנרגיית חום .בקורס נתמקד באנרגיה קינטית ובאנרגיה פוטנציאלית של
כוח משמר )יוסבר להלן(.
לפני כן נגדיר עבודה של כוח .נדבר על חוק שימור האנרגיה המכנית והקשר שלו למשפט עבודה-אנרגיה
קינטית.
עבודה
עבודה של כוח קבוע :עבודה של כוח שווה למכפלת הכוח בהעתק .מדובר רק על רכיב הכוח המשפיע ישירות
על תנועת הגוף .אם הכוח עוזר לגוף להתקדם לאורך מסלולו נקבל כי עבודת הכוח חיובית ,ולהיפך – אם
הכוח מפריע לגוף להתקדם לאורך מסלולו העבודה של הכוח היא שלילית .זה נכון גם כאשר הכוח איננו
קבוע.
בקורס מבוא לומדים את הנוסחה , W F x cos כאשר Fהוא גודל הכוח x ,הוא ההעתק של הגוף
)כאשר הוא נע לאורך ציר ,(xו -היא זווית בין הכוח לבין כיוון ההתקדמות של הגוף.
ניתן לרשום את הנוסחה לחישוב עבודה של כוח קבוע ברישום קומפקטי יותר ,שגם נותן לנו דרך נוספת
לחישוב:
, W F r
כאשר Fהוא הכוח r ,הוא ווקטור ההעתק .והעבודה היא המכפלה הסקלרית בין שני הוקטורים הללו.
מעצם הגדרתה העבודה היא גודל סקלרי ,חסר כיוון )אבל יכול להיות חיובי או שלילי( ,שאינו תלוי בבחירת
מערכת הצירים.
באופן מפורש:
W F r F r cos Fx x Fy y Fz z
)זוכרים את שתי אופני החישוב למכפלה סקלרית?!(
29
F
חישוב עבודה של כוח כללי לאורך מסלול כללי:
dr
2
2
)W F d r (1
1
1
העבודה תמיד מחושבת בין שתי נקודות בהן נמצא הגוף )באיור ,נקודות 1ו dr .(2-הוא אלמנט אורך
דיפרנציאלי המכוון לאורך מסלול התנועה של הגוף בין שתי הנקודות .העבודה מחושבת עבור מסלול ספציפי
ויכולה להשתנות ממסלול אחד לאחר )אפילו אם נקודות הקצה נשארות זהות( .למשל ,כאשר גוררים גוף בין
שתי נקודות )גוררים מקרר מהמטבח לסלון( אז כוח החיכוך עושה עבודה )שלילית ,כיוון שהוא מפריע
לתנועה( .אם נעביר את הגוף במסלול ארוך יותר כוח החיכוך יפריע יותר ונקבל עבודה שונה .קיימים כוחות
מיוחדים שעבורם העבודה אינה תלויה במסלול .כוחות אלו נקראים כוחות משמרים ,וביניהם כוח הכובד ,כוח
אלסטי )קפיץ( והכוח החשמלי )האלקטרו-סטטי(.
במקרה של כוח קבוע נוסחה ) (1תיתן . W F r
עבודה כוללת ואנרגיה קינטית
מהחוק השני של ניוטון מתקבל קשר בין = Wtotalהעבודה הכוללת הנעשית על גוף לבין השינוי באנרגיה
הקינטית של הגוף:
(2) Wtotal Ek
mv2
כאשר
2
. Ek
תרגילים
)(4.1
תרגיל מבוא :גוף בעל מסה mנמצא על משטח אופקי .על הגוף פועל כוח Fבזווית αביחס למישור.
מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף והמשטח הוא .
א .מהי עבודת כל הכוחות בבעיה זו כאשר הגוף מתקדם מרחק ?D
ב .מצא משיקולי עבודה ואנרגיה את מהירות הגוף אם נתון שהתחיל את תנועתו ממהירות .v0
)(4.2
תנועה מעגלית :גוף בעל מסה mקשור לתקרה בחוט חסר מסה בעל אורך .Lמפעילים על הגוף כוח
0
אופקי קבוע שגודלו Fוהוא מגיע לנקודה Aבה החוט יוצר זווית של 60עם האנך.
30
א .מהי עבודת הכוח האופקי מהמצב ההתחלתי ועד שהגיע הגוף לנקודה [ 3 FL / 2 ] ?A
ב .מהי העבודה שעושה כוח הכובד לאורך אותו המסלול? ][-mgL/2
( 3 F mg ) L
ג .מהי מהירות הגוף בנקודה ? Aהגוף התחיל ממנוחה! ]
m
,שימו לב שע"מ
שהגוף אכן יגיע לנקודה הרלוונטית חייב להתקיים [ F mg / 3
)(4.3
מסתו של קליע של רובה היא .5grהקליע נע בתוך קנה הרובה מנקודה x=0ועד לנקודה x=1m
)=אורך הקנה( .במשך תנועתו בקנה פועל על הקליע כוח שקול הנתון בנוסחה .F(x) = 3 - 2 x2
א .מהי העבודה של הכוח השקול הפועל על הקליע בתנועתו ברובה? ] 2ושליש ג'אול[
ב .מהי מהירות הקליע ביציאתו מהקנה? ] 30.55מ\ש[
)(4.4
כדור קטן שמסתו m=0.5kgנע בתוך מסילה חסרת חיכוך בצורת ר' הפוכה מנקודה ,Aדרך ,B
לנקודה ) Cראה/י איור( .המסילה נתונה בשדה הכובד F mg ˆjביחד עם שדה כוח הנתון
בנוסחה .(MKS) F 2x ˆi 6xy ˆj
א .חשב את עבודת הכוח הנתון בתנועת הגוף
C
מ A-ל[WF=24J] .C-
B
Y
y=2
ב .חשב את עבודת כוח הכובד בתנועת הגוף
מ A-ל[Wmg= -5 J] .C-
g
ג .מהי מהירות הגוף בנקודות Bו] ?C-
76 m / s , 4 m / s
A
[
ד .חשב את עבודת הכוח הנתון בתנועת גוף
מנקודה Aלנקודה Bבמסלול ישיר )קו
X
x=4
x=1
ישר המחבר את הנקודות( 39] .ג'אול ,משמע – הכוח לא משמר )ראה/י להלן([
כוח משמר
כאשר מחשבים עבודה בין שתי נקודות ,התוצאה עשויה להיות תלויה במסלול הספציפי שלאורכו הגוף
התקדם בין הנקודות .כוחות שהעבודה שהם עושים בין שתי נקודות כלשהן אינה תלויה במסלו נקראים כוחות
משמרים.
31
y=1
הגדרות שקולות לכוח משמר
א.
כוח משמר הוא כוח העבודה שהוא עושה בין שתי נקודות כלשהן איננה תלויה במסלול הספציפי של
הגוף )אלא רק בנקודות הקצה – ההתחלה והסוף(.
ב .כוח משמר הוא כוח שהעבודה שהוא עושה לאורך כל מסלול סגור היא אפס.
ˆk
ג .אם כוח משמר אזי מתקיים , F 0כאשר
z
Fy
)(4.5
ˆi
. F rotF
x
Fx
ˆj
y
Fy
גוף נע לאורך היקפו של ריבוע בעל אורך צלע 2מ' ואשר מרכזו בראשית הצירים מן הקודקוד
הימני העליון )הנקודה ) ,((1,1נגד כיוון השעון ,ובחזרה לאותה נקודה .בזמן תנועתו פועל על הגוף
כוח הנתון ע"י) F x, y x ˆi y ˆj :ביחידות .(SI
א .מהי העבודה המתבצעת ע"י הכוח בזמן תנועת הגוף לאורך היקף הריבוע? ]אפס[
ב .האם הכוח משמר? נמק/י] .זה שבסעיף א' יצא אפס לא בהכרח אומר שהכוח משמר .כוח משמר הוא כזה שהעבודה שהוא
עושה לאורך כל מסלול סגור היא אפס .כדי לבדוק אם כוח משמר ניתן לחשב את . rotFאם זה יוצא אפס ,אזי הכוח משמר .זה
המקרה כאן[
ג .חזור על סעיפים א' ו-ב' עבור הכוח ) F x, y xy2ˆi yx ˆjאותו מסלול( ]העבודה יוצאת אפס ,אבל
הכוח אינו משמר כי rotFשונה מאפס[
כוח משמר ואנרגיה פוטנציאלית
אם העבודה של כוח איננה תלויה במסלול אז ניתן לרשום
)W12 U (3
נוסחה זו למעשה מגדירה את האנרגיה הפוטנציאלית הקשורה לכוח המשמר הנידון.
מנוסחה זו ניתן לקבל נוסחה לאנרגיה הפוטנציאלית על ידי בחירת נקודת ייחוס לאנרגיה הפוטנציאלית ,היא
נקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס )והיא נקודה הניתנת לבחירה!(
r
)F dr (4
refference point
32
U(r)
דוגמאות
א .כוח הכובד .נקודת הייחוס נבחרת ב) y=0 -ציר yמכוון כלפי מעלה( ועל סמך נוסחה ):(4
y
(mg) dy mgy
F dr
y
Fy dy
y 0
y 0
y
U(y)
refference point
ב .כוח אלסטי .נקודת הייחוס נבחרת בנקודת הרפיון של הקפיץ ,x=0
kx 2
2
y
( kx) dy
x
Fx dy
y 0
F dr
x 0
x
U(x)
refference point
ג .כוח קולון .נקודת הייחוס נבחרת באינסוף )כאשר המטענים רחוקים זה מזה ולא מרגישים זה את
זה(.
kq1q 2
r
r
r
r
r
kq q
kq q
r Fr dr r ( r12 2 ) dr r1 2
F dr
r
U(r)
refference point
שימו לב :התוצאות הסופיות אמורות להיות מוכרות מקורסי המבוא.
חוק שימור האנרגיה
כאשר משלבים את נוסחאות ) (2ו) (3מקבלים כי כאשר הכוח היחיד הפועל על הגוף הוא כוח משמר אז
האנרגיה הכוללת )פוטנציאלית וקינטית ביחד( נשמרתU Wconservative force Wtotal E k :
ומכאן , Ek U 0כלומר
.(5) E k U 0
במקרה שיש כוחות נוספים לכוחות המשמרים שעבורם חישבנו אנרגיה פוטנציאלית ,נוסיף את השפעת
הכוחות האחרים דרך חישוב עבודתם : Wother
.(6) E k U Wother
ניתן לרשום את הנוסחה הזו גם בצורה
')E2 E1 Wother (6
כאשר E Ek Uהיא האנרגיה הכוללת )קינטית+פוטנציאלית( של הגוף ,ומחושבת בהתחלה ) ( E1
ובסוף ) .( E2
33
)(4.5
גוף שמסתו m=10 kgמתחיל לנוע במעלה מישור משופע ששיפועו ) 300כלומר π/6
רדיאנים( ,מהנקודה x = 0שבה מהירות הגוף 10מ'\ש' .על הגוף פועל כוח שגודלו
קבוע , F 100 3 Nאך זווית נטייתו יחסית למישור המשופע משתנה בהתאם
לנוסחה ) α = π x / 12הזווית כאן נתונה ברדיאנים( .החיכוך בין הגוף והמישור
המשופע -זניח.
א .באיזה xיתנתק הגוף מהמישור? ] 2מ'[
ב .מהי העבודה שנעשתה על ידי הכוח Fעד לנקודת ההתנתקות? ] 330.8ג'[
ג .מהי מהירות הגוף ברגע ההתנתקות? ] 12.09מ\ש[
חישוב עבודה של כוח התלוי בזמן ,הספק
t2
W F dr F v dt
2
)( 7
1
t1
ההספק ממוצע בפרק זמן נתון ,tמוגדר כעבודה הנעשית בזמן זה ) ,(wליחידת זמן .כלומר .w/tהספק
רגעי מוגדר כקצב עשיית עבודה ,כלומר,
) (8
dW
dt
.P
ממשואה ) (7רואים שהספק של כוח מכני ניתן לחישוב על ידי
)P F v (9
)(4.6
כוח אופקי של ) F=2tכאשר הזמן tנתון בשניות והכוח Fבניוטונים( פועל על גוף שמסתו 2kg
הנמצא במנוחה על משטח אופקי .מקדמי החיכוך בין הגוף למשטח . s 0.2 , k 0.15
א .מצא את הזמן שבו הגוף מתחיל לנוע? ] 2שניות[
ב .מצא את תאוצת הגוף כפונקציה של זמן[a = t-3/2 or 0] .
ג.
חשב את עבודת הכוח החיצוני במשך 5השניות הראשונות[56.25J] .
ד .חשב את ההספק הממוצע* של הכוח החיצוני במשך 5השניות הראשונות[11.25W] .
ה .מהי עבודת כוח החיכוך במשך 5השניות הנ"ל )חיכוך קינטי וסטטי( ][-20.25J
34
F
α
300
גרדיאנט
הקשר ההפוך למשוואה ):(4
U ˆ U ˆ U ˆ
F U(r)
i
j
k
y
z
x
)(5
שיווי משקל יציב/רופף/אדיש
נהוג להבדיל בין 3מצבים של שיווי משקל :יציב ,רופף ואדיש .כאשר גוף נמצא בהשפעת כוח משמר ,בכל
dU
המקרים של שיווי משקל )בבעיה חד ממדית( מתקיים 0
dx
)וכמובן הכוח שווה לאפס(.
שיווי משקל יציב – כאשר בהסטה קטנה משיווי המשקל מופעל כוח שמכוון חזרה אל נקודת שיווי המשקל.
למשל גולה הנמצאת בקערה .מדובר בנקודת מינימום של האנרגיה הפוטנציאלית.
שיווי משקל רופף -כאשר בהסטה קטנה משיווי משקל מופעל כוח שמרחיק את הגוף מנקודת שיווי המשקל.
למשל גולה בקערה הפוכה .מדובר בנקודת מקסימום של האנרגיה הפוטנציאלית.
שיווי משקל אדיש – כאשר הסטה קטנה משיווי משקל משאירה את הגוף בשיווי משקל חדש .למשל גולה על
מישור אופקי נייח .במקרה זה האנרגיה הפוטנציאלית קבועה.
תרגילים נוספים
)(4.7
גוף קטן שמסתו mמונח על ריצפה חסרת חיכוך ,וקשור לקפיץ בעל קבוע קפיץ ) kכמוראה בציור(.
במצב ההתחלתי הגוף נמצא במנוחה בנקודת שיווי המשקל .x = 0מפעילים על הגוף כוח המשתנה
לפי החוק:
) A , Fx 5 k ( A 2 xהינו קבוע חיובי.
מצא/י את:
F
k
א .המרחק המקסימלי xmaxאליו מגיע הגוף[ 10 A /11 ].
ב .מהירות הגוף ב [ A 50k / (22m) ] .xmax/2 -
x
ג .העבודה שעושה הקפיץ על הגוף מהמצב ההתחלתי ועד שהגוף הגיע ל[ 50kA2 / 121 ] . xmax-
)(4.8
אחד מהכוחות הפועלים על גוף נקודתי שמסתו 1ק"ג ,הנע על מישור אופקי xyמשתנה לפי
̂) F e y î 6x sin(x 2 ) jהמרחק במטרים והכוח בניוטון(.
א .מהי עבודת הכוח כאשר הגוף נע לאורך קו ישר מנקודה ) (0,0לנקודה ) ? (1,1האם הכוח משמר?
35
ב .וקטור המיקום של הגוף הינו ̂) r t î t cos(t ) jהמרחק במטרים והזמן בשניות( .מהו הכוח
השקול הפועל על הגוף?
ג .מהי האנרגיה הקינטית של הגוף בנקודה )[1J] ?(2,-2
)(4.9
גוף שמסתו m1 2 kgמונח במצב שיווי משקל )נקודה (Aעל מישור משופע חסר חיכוך ששיפועו
. a = 35oהגוף מחובר על ידי חוט אידיאלי העובר על גלגלת וקשור בקצהו האחר אל גוף שמסתו
. m 2 3 kgהגוף m2מחובר בצידו השני לקפיץ בעל
קבוע קפיץ . k 150 N/mמנקודת שיווי המשקל
מופעל על הגוף m1כוח שגודלו 30Nוכיוונו מקביל
למישור המשופע כלפי מטה .הגוף יורד ועובר בנקודה
m1
A
F
m2
Bהנמצאת במרחק של 0.3mמנקודה .A
B
א .מהי מהירות הגוף בנקודה ?B
ב .מהי תאוצת הגוף בנקודה ?B
α
) (4.10מטוס מואץ לאורך מסלול ההמראה ע"י כוח Fשגודלו משתנה כפונקצית מיקום המטוס ביחס
2
לתחילת המסלול בהתאם למשוואה F kxוכיוונו יוצר זווית αעם האופק .מסת המטוס היא . m
א .איזה מרחק עבר המטוס עד לניתוק מפני הקרקע?
ב .מה תהיה מהירותו בעת ההמראה?
ג .חזרו על הסעיפים א' ו-ב' בהנחה כי במהלך התנועה המטוס מושפע גם ע"י כוח ההתנגדות
, μNכאשר Nהוא הכוח הנורמלי.
) (4.11אחד הכוחות הפועלים על גוף נקודתי שמסתו 1ק"ג ,אשר נע במישור אופקי ,משתנה לפי:
t
. Fy 2 e t , Fx t 3 6tמשוואת התנועה של הגוף היא. x t, y e :
א .מהי עבודת הכוח במשך 5השניות הראשונות?
ב .מהו שקול הכוחות הפועלים על הגוף?
ג .מהי האנרגיה הקינטית של הגוף כאשר הוא נמצא במרחק e 2 1
)הדרכה לסעיף ג' :כדאי להשתמש בנוסחה של מרחק הגוף מהראשית בזמן x 2 t y 2 t :t
את הזמן שבו המרחק מהראשית הוא המרחק הנתון(
36
מראשית הצירים?
. r t ולחפש ע"י ניחוש
) (4.12סירת מנוע שמסתה 800 kgשטה במים שקטים במהירות 15 m / sבהשפעת כוח מנועה F1וכוח
התנגדות המים , F2אשר תלוי במהירות הסירה לפי) F2 200V :הכוחות נמדדים בניוטונים,
המהירות ב-מ'\ש'( .מנוע הסירה מסוגל לפתח הספק מכסימלי של . 80 kW
א .מהו כוח המנוע F1ואיזה הספק הוא מפתח ,כאשר הסירה שטה במהירות קבועה של ? 15 m / s
] 3000ניוטון[45KW ,
ב .לאיזו מהירות מכסימלית יכולה הסירה להגיע ,ואיזה כוח F1צריך לשם זה? ]4000 ,20m/s
ניוטון[
ברגע מסוים ) (t 0נהג הסירה פתאום מגדיל את הספק מנועה עד 80 kW
ג .איך תשתנה עם הזמן tמהירות הסירה? ][ 2 100 43.75 e t / 2 SI units
ד .איך ישתנה עם הזמן tמיקום הסירה יחסית לנקודה בה הייתה ברגע ? t 0
][ 17.8364 8 100. 43.75 e 0.5t 80 ArcTanh[0.1 100. 43.75 e 0.5t ] SI units
ה .מה תהיה מהירות הסירה כעבר , 10 secואיזה מרחק היא תעבור בזמן זה? ] 19.97 m / s
190.7 ,מ'[
ו .תוך כמה זמן מהירות הסירה תגיע ל , 19 .97 m / s -ואיזה מרחק היא תעבור בזמן זה? ]ראה
סעיף ה'[
N
) (4.13בלוק בעל מסה m 263 kgנופל על קפיץ אֲ נָכִי בעל קבוע
cm
. k 2.52הבלוק נדבק
לקפיץ ,וההתכווצות המקסימלית של הקפיץ היא .11.8cm
א .מהי העבודה שנעשית ע"י כוח הכובד והקפיץ במהלך ההתכווצות?
ב .מה הייתה מהירות הבלוק בדיוק ממש לפני פגיעתו בקפיץ?
ג .אם המהירות ההתחלתית של הבלוק מוכפלת פי ,2מהו הכיווץ המקסימאלי של הקפיץ?
הזנח חיכוך.
) (4.14מיקומו של חלקיק בעל מסה m 2.80 kgנתון ע"י x) x 3t 4t 2 t 3 :במטרים ו t-בשניות(.
א .מהי עבודת הכוח השקול הפועל על החלקיק ב 4-השניות הראשונות?
ב .מהו הספק הכוח בזמן ? t 3.0s
37
) (4.15גוף נע לאורך מעגל שמסלולו שרדיוסו 1מ' ומרכזו בראשית הצירים מן הנקודה 1, 0 נגד כיוון
השעון ובחזרה לאותה נקודה .בזמן תנועתו פועל על הגוף כוח הנתון ע"י. F x, y x ˆi y ˆj :
מהי העבודה המתבצעת ע"י הכוח בזמן תנועת הגוף לאורך המעגל?
1
3xP 3
, v
) (4.16הראה שהמהירות vשאליה מגיעה מכונית הנוסעת בהספק קבוע Pנתונה ע"י :
m
כאשר xהוא מרחק הנסיעה ממנוחה.
) (4.17אבן שמשקלה wנזרקת באוויר כלפי מעלה במהירות התחלתית . v0על האבן פועל כוח החיכוך
קבוע עם האוויר שגודלו .f
v0 2
א .הראה שהגובה המקסימאלי שאליו מגיעה האבן הוא:
f
2 g 1
w
.h
1
w f 2
. v v 0
ב .הראה שמהירות האבן בזמן פגיעתה ברצפה היא :
w f
) (4.18אחד הכוחות הפועלים על גוף נקודתי שמסתו 1ק"ג ,משתנה לפי .Fy = sin(t) , Fx e t :הגוף נע
על מישור ,xyמיקומו הינו) .y(t)=cos(t) , x(t) 5t :הקואוורדינטה נמדדת במטרים ,הזמן
בשניות(.
א .מהו שקול הכוחות הפועלים על הגוף?
ב .מהי האנרגיה הקינטית של הגוף כעבור 4השניות הראשונות?
ג .מהי עבודת הכוח הנתון במשך 4השניות הראשונות?
ד .מהי עבודת שקול הכוחות במשך 4השניות הראשונות?
) (4.19חשב את העבודה שמבצע הכוח ˆ F 3xy ˆi 5z ˆj 10x kכאשר הוא מניע גוף שמסתו mעל
המסילה x = t2 + 1; y = 2t2 ; z = t3 :מהנקודה ) A(1,0,0לנקודה ).B(2,2,1
) (4.20חשב את העבודה שמבצע הכוח F xz ˆi 3x ˆj 2 y kˆ :כאשר הוא מניע גוף שמסתו mעל
המסלול, x = t3; y = 2t2 + 1; z = t2 :מנקודה ) A(0,1,0לנקודה ). B(1,3,1
38
פרק ה' :מתקף ותנע ,כולל מסה משתנה
מתקף של כוח ,בין זמנים
t1
ו: t 2 -
t
2
. J F t dt
)(1
t1
תנע קווי של גוף נקודתי:
)(2
p mv
משפט מתקף -תנע קווי )צורה אינטגרלית לחוק השני של ניוטון(:
)Jtotal P (4
כאשר = J total J F Jשקול המומנטים הפועלים על הגוף p p final pinitial ,הוא השינוי בתנע
של הגוף.
תרגילים
)(5.1
גוף שמסתו 1.6ק"ג נע על מישור אופקי .ברגע t 0הוא עובר דרך ראשית צירים במהירות
̂ (m/s) v 0 2 iומתחיל לפעול עליו כוח המשתנה עם הזמן לפי .(SI) F 5t ˆi :הכוח פועל
על הגוף במשך 8שניות .מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף והמישור הוא ,0.2ותאוצת הכובד
] . g 10 ˆj [m / s 2
א .מהו המתקף שמפעיל הכוח במשך 8השניות של פעולת הכוח? ]160 ˆi [Ns
ב .מהו המתקף שמפעיל כוח החיכוך במשך 8השניות של פעולת הכוח? ]25.6 ˆi [Ns
ג .מהו המתקף הכולל הפועל על הגוף? ]134.4 ˆi [Ns
ד .מהי מהירות הגוף לאחר 8השניות? השתמש/י במשפט מתקף-תנע86 ˆi [m/s] .
)(5.2
כדור בייסבול שמסתו 150גרם נע לעבר חובט .מהירות הכדור לפני המכה היא v 0 5 ˆi - ˆj
) .(m/sהמתקף שפעל על הכדור מצד המחבט הוא .(Ns) J 3.6 ˆi 4.2 ˆj
א .בהנחה כי המתקף שהמחבט הפעיל על הכדור הוא המתקף היחיד ,מה תהיה מהירות הכדור vלאחר
המכה? ) ]( v 19 ˆi + 27 ˆj [m/s
39
y
ב .מה המתקף שהפעיל הכדור על המחבט במשך החבטה? ) ( J 3.6 ˆi 4.2 ˆj
ג .ידוע כי זמן החבטה הוא 0.01שניה .מהו המתקף שפעל על הכדור במשך זמן
החבטה על ידי כוח הכובד? האם ההנחה של סעיף א' מוצדקת? ) , Jmg 0.015 ˆj
v0
מוצדקת למדי(
x
) (5.3גוף שמסתו 1ק"ג עובר את הנקודה 0,7 במהירות ̂ . v 0 3 î 15 jברגע זה מתחיל לפעול על
הגוף כוח ̂) F 12t î 60t jהוא הכוח היחיד הפועל על הגוף(.
א .מהו מתקף הכוח על הגוף במשך 2שניות פעולתו? ) ]( J F 24 ˆi 120 ˆj [Ns
ב .מהי מהירות הגוף 2שניות מרגע הפעלת הכוח? פתרו בשתי דרכים( v 27 ˆi 135 ˆj [m/s] ) .
ג .מהי עבודת הכוח בשתי שניות פעולתו ? ) ( 9360 J
ד .מהו מסלול התנועה של הגוף? ) ( yx 5 x 7
חוק שימור התנע הקווי
מתוך ) (4והחוק השלישי של ניוטון מקבלים עבור מערכת של גופים שמתקיים
)(5
P
J F
ext
כאשר = Fextשקול הכוחות החיצוניים הפועלים על המערכת )כל הכוחות ,ללא הכוחות פועלים בין גופים
במערכת( P p ,הוא התנע הכולל של הגופים המרכיבים את המערכת.
אם שקול הכוחות החיצוניים על מערכת של גופים שווה לאפס ,אזי התנע הכולל של המערכת נשמר.
התנגשויות
כאשר שני גופים )או יותר( מתנגשים ,הכוחות המשמעותיים )ובבעיות מסוימות ,הכוחות היחידים( הפועלים
על הגופים הם כוחות פנימיים – שגוף אחד מפעיל על האחר והאחר מחזיר )בהתאמה לחוק השלישי של
ניוטון( .השפעת הכוחות החיצוניים ,אם קיימים ,זניחה לגמרי במשך זמן ההתנגשות הקצר .מכאן שבבעיה
של התנגשות התנע של המערכת יישמר.
התנגשות אלסטית ,אי-אלסטית ופלסטית :בהתנגשות אלסטית )לחלוטין( בנוסף לחוק שימור התנע מתקיים
גם שימור האנרגיה הקינטית של המערכת .התנגשות בין אטומים היא דוגמה להתנגשות אלסטית .התנגשות
אי-אלסטית היא כזו שבה האנרגיה הקינטית של הגופים המתנגשים אינה נשמרת )ובעצם האנרגיה עוברת
40
לצורת אנרגיה אחרת( .כאשר שני גופים מתנגשים הם בד"כ מתחממים )אנרגיה תרמית( ומשמיעים קול
)אנרגית קול( ומכאן שסכום האנרגיות הקינטיות שלהם קטן כתוצאה מההתנגשות.
מקרה מיוחד של התנגשות אי-אלסטית הוא מקרה של התנגשות פלסטית ,התנגשות שלאחריה הגופים
נשארים צמודים זה לזה )"נדבקים"(.
תרגילים
קליע שמסתו m 0.01kgנע במהירות 300מ\ש ונתקע בגוף Mשמסתו 4ק"ג .הגוף Mקשור לקפיץ
)(5.4
שקבועו 100ניוטון\מטר ונמצא במצב ההתחלתי במנוחה בנקודת הרפיון של הקפיץ .Oמקדם החיכוך
בין הגוף Mוהשולחן .μk=0.3מהו הכיווץ המכסימלי של הקפיץ? ] 0.073מ'[
v
M
m
O
כדור Mשמסתו 1kgנע במהירות v1 = 30m/sבכיוון ) α1 = 250ראה איור( .קליע mשמסתו
)(5.5
0
0.01kgנע במהירות v2 = 700m/sבכיוון .α2=40הקליע פוגע בכדור ויוצא ממנו ,בלי לשנות את
הכיוון ,במהירות .v2' = 300m/s
0
א.
מהם גודל וכיוון מהירות הכדור לאחר ההתנגשות? ] 28.5 ,32.3מ\ש[
ב.
מהו איבוד האנרגיה הקינטית בהתנגשות? ] 2044ג'אול[
ג.
מהו המתקף שהפעיל הקליע על הכדור? ] [ (-3.06, 2.57) N sec
'
v2
v1
250
M
v2
400
m
)(5.6
y
מסה 10=Mק"ג הנמצאת במנוחה מתפוצצת לשלושה חלקים הנעים כולם על מישור
: xyהמסה 2=m1ק"ג נעה במהירות 4מ\ש= v1בכיוון ציר ,xמסה 3ק"ג= m2הנעה
במהירות 3 = v2מ\ש בזווית של 300יחסית לציר xומסה שלישית שיש למצוא את
x
v2
0
30
v1
מהירותה )גודל וכיוון( 3.29 ,195.90] .מ\ש[
41
)(5.7
על קרונית שמסתה 10ק"ג ואורכה 12מטר מונח במרכז גוף .מרכז המסה של כל המערכת נמצא במרכז
הקרונית .כל כוחות החיכוך זניחים .ברגע מסוים מתפוצץ הגוף לשני גופים בעלי מסות של 1ק"ג ו 4
ק"ג .לאחר שתי שניות הגוף המהיר יותר מתנגש בדופן הקרונית התנגשות אלסטית לחלוטין.
א .מצא את המהירות של כל גוף ואת מהירות הקרונית מיד לאחר ההתפוצצות[0 ,-0.75m/s ,3m/s] .
ב .מה תהיה מהירות הקרונית מיד לאחר ההתנגשות האלסטית ? ] 60/11מ/ש[
ג .לאחר כמה זמן מתנגש הגוף השני בקרונית? ] 0.725שניות מרגע ההתנגשות[
)(5.8
קוביה קטנה שמסתה m 2מונחת על עגלה שמסתה m1היכולה לנוע ללא חיכוך על משטח אופקי
)ראה/י שרטוט( .מעניקים לקוביה מהירות . v 0נתונים. m1 , m 2 ,v0 :
א.
m1 vo 2
מהו הגובה המינימלי hשל העגלה שימנע את מעבר הקוביה לצידה השני?]
2 g m1 m2
ב.
אם גובה העגלה גדול מ hשחושב בסעיף א' ,מהן מהירויות העגלה והקוביה כאשר הקוביה חוזרת
2m2 v0 ( m2 m1 )v0
לתחתית העגלה? ]
,
m1 m2
m1 m2
[
[
h
v0
)(5.9
מסה m1של 2ק"ג נעה במהירות 6מ' לשנייה ופוגעת בגוף שני הנמצא המנוחה שמסתו m 2היא 4
ק"ג .ההתנגשות מתווכת ע"י קפיץ בעל קבוע של 100ניוטון למטר .ידוע כי אין חיכוך בין הגופים
והמשטח עליו הם נמצאים.
א .מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? ] 0.693מ'[
ב .מהי מהירות הגופים ברגע זה? ] 2מ\ש[
ג .מהי מהירות הגופים לאחר שנפרדו )והקפיץ שוב רפוי(? ] [ 2m / s, 4m / s
ד.
42
מרכז מסה
מרכז מסה של מערכת גופים הוא הממוצע המשוקלל של מיקומי הגופים המרכיבים את המערכת
m1r1 m2 r2
)(8
. rcm
m1 m2
מהירות מרכז המסה מתקבלת ע"י גזירת משוואה ):(8
m1v1 m2 v2
. vcm
)(9
m1 m2
ניתן לראות שבבעיה בה התנע נשמר )למשל בהתנגשות( ,מהירות מרכז המסה אינה משתנה.
תאוצת מרכז המסה מתקבלת מגזירת משוואה ):(9
m a m2 a2
)(10
. acm 1 1
m1 m2
) (5.10איש בעל מסה Mעומד על סירה שמסתה mואורכה .Lהאיש עומד בקצה השמאלי ומתחיל לנוע לקצה
הימני .הזניחו את חיכוך הסירה והמים ואת הגלים )בקיצור –אין כוחות חיצוניים(.
א .ברגע שמהירות האיש vלימין ,מהי מהירות הסירה?
ב .בכמה זזה הסירה כאשר האיש נעמד בקצה הימני של הסירה?
) (5.11מצא/י את מרכז המסה של הגופים הבאים:
א .חצי כדור מלא ואחיד ,בעל רדיוס Rוצפיפות מסה נפחית .
R
ב .דיסקה בעלת רדיוס 2Rובה חור מעגלי בעל רדיוס . R
2R
מרכז החור נמצא במרחק Rממרכז הדיסקה .צפיפות המסה
המשטחית של הדיסקה המחוררת אחידה.
43
R
) (5.12בול שמסתו m2מונח על רצפה אופקית חלקה ועליו בול שני שמסתו . m1בין הבולים קיים
חיכוך .מקדם הקינטי הוא . kמעניקים לבול העליון מהירות התחלתית .V0בהנחה שמקדם
החיכוך הסטטי בין הגופים מספיק גדול )או שהגוף התחתון ארוך מספיק( ,החל מרגע מסוים
ואילך הגוף העליון נעצר ביחס לתחתון ,ובמילים אחרות :הגופים נעים ביחד .נסמן את הזמן
מתחילת התנועה ועד לרגע בו הגופים נעים יחד ב.T-
א .מהי המהירות המשותפת של שני הגופים?
ב .נסו למצוא משיקולי מתקף ותנע – מהו ?Tשימו לב כי כוח החיכוך הקינטי הוא כוח קבוע .זה עוזר.
ג .בכמה זז מרכז המסה מרגע ההתחלה ועד ל?T-
ד* .איזו דרך Sיעבור הבול m1ביחס ל ,m2 -עד לזמן ?T
v0
m2
m1
) (5.13קרון אטום מונח על משקל תקין .המשקל מראה "."100
א .מהי מסת הקרון? ) 100ק"ג(
ב .בתוך הקרון יש חסידה שמסתה .m=10kgהחסידה עומדת על רצפת הקרון .מה יראה
המשקל? )(110
ג .לאחר כמה דקות החסידה מרחפת )נמצאת מעל אותה נקודה ביחס לרצפת הקרון( .מה
יראה המשקל? )(110
ד .תוך כדי מעופה ,החסידה נרדמת .מה יראה המשקל בזמן נפילתה בתאוצה ) gכלפי
מטה(? )(100
ה .קצת לפני שהחסידה נמחצה היא מתעוררת ,וכדי לא לפגוע ברצפת הקרון מאיצה
בתאוצה 3gכלפי מעלה .מה יראה המשקל כעת? )(140
תרגילים נוספים
) (5.14גוף שמסתו mמאוזן על השפיץ של הצורה המתוארת באיור )מעין כובע קשיח סמטרי( .מסת הכובע ,M
גובהו ,Hרוחב בסיסו ,2Lוהוא נמצא במנוחה .השוליים של הכובע אופקיים )ללא שיפוע( .בין הכובע
לגוף ובינו לרצפה אין חיכוך .ברגע מסויים שיווי המשקל מופר והגוף mמחליק ממנוחה ימינה.
א .מהם חוקי השימור בבעיה?
ב .מהו ההעתק האופקי של הכובע כאשר הגוף mהגיעה לתחתיתו?
ג .מהי מהירותם של הגוף ושל הכובע במצב זה?
44
נקודת
התחלה
m
g
H
M
2L
) (5.15גוף שמסתו mקשור לחוט שאורכו Lהגוף משוחרר ממנוחה
כאשר החוט מתוח ויוצר זווית בת 60מעלות עם האנך.
60o
בנקודה התחתונה של המסלול הגוף מתנגש אלסטית לחלוטין
L
עם גוף בעל מסה כפולה המונח על שולחן חסר חיכוך .עקב
ההתנגשות ,הגוף השני ניתז ממקומו במהירות . V0
m
V0
א .מהי מהירות הגוף רגע לפני ההתנגשות? ] [ gL
2m
2m
ב .מה גודלה של המהירות V0ומה גודלה של מהירות הגוף
הפוגע מייד לאחר ההתנגשות?
2 gL
gL
]
,
3
3
F
[
Fmax
מדדו את גודלו של הכוח שהפעיל הגוף הראשון על השני
בזמן ההתנגשות כפונקציה של הזמן .צורתה של עקומת הכוח
היא משולש שווה שוקיים )ראה גרף( .רוחב הבסיס הוא .T
ג .על פי עקומת הכוח קבע את הגודל המקסימאלי של הכוח
שפעל בין הגופים בזמן ההתנגשות? הדרכה :השתמשו
t
T
בקשר בין מתקף והשינוי בתנע ,ובכך שהמתקף שפעל
t0 T
על הגוף בכיוון התנועה )ימין( הוא F dt
t0
8m gL
]
3T
[
45
,כמשמעותו הגרפית ---השטח מתחת לגרף.
g
) (5.16חלקיק שמסתו 10גרם נע במהירות ˆ) v1 10iמהירות נמדדת במ'\ש'( .חלקיק שני ,בעל אותה מסה,
נע במהירות ˆ . v 2 10iלאחר ההתנגשות מהירות החלקיק הראשון היא ˆ. u 1 5i
א.
מהי מהירות החלקיק השני לאחר ההתנגשות?
ב.
האם ההתנגשות היא אלסטית לחלוטין? אם לא ,מהו איבוד האנרגיה במהלך ההתנגשות?
) (5.17אב ובנו עומדים יחדיו בקצה סירה שאורכה Lהעומדת במים שקטים .הם מתחילים לנוע האחד לעבר
השני .הבן מגיע לאמצע הסירה ונעצר בעוד האב ממשיך עד לקצה השני .נתון כי מסת הסירה היא M
2m1 m2
מסת האב m1ומסת הבן היא . m2מצא איזה מרחק נעה הסירהL ) .
) 2(m1 m2 M
(x
) (5.18ילד שמסתו 20kgעומד על רפסודה שמסתה 12kgהצפה במנוחה באגם .הילד זורק אבן בכיוון מקביל
לאגם במהירות ,8m/secכתוצאה מכך נעה הרפסודה והילד עליה .עוצמת כוח התנגדות של המים
לרפסודה היא , F=0.6vכאשר vהיא מהירות הרפסודה .מה צריכה להיות המסה mשל האבן הנזרקת על
מנת שמהירות הרפסודה )והילד עליה( לא תעלה על 1m/secלאחר .(m≤4.82kg) ? 10sec
) (5.19גוף בעל מסה של 5ק"ג נע על משטח "מחוספס" לאורך ציר xועובר בראשית הצירים )(x=0
כשמהירותו 2מ\ש )בכיוון החיובי( .במשך זמן קצר מאוד מופעל על הגוף כוח אופקי אשר מספק לו
מתקף J 10 N secבכיוון ציר .xלאחר מכן הגוף נע בהשפעת כוח Fx xעד לעצירה .מקדם
החיכוך הקינטי בין הגוף למישור הינו .0.2
א .מהי מהירות הגוף לאחר פעולת הכוח הקצר?
ב .מצאו את המרחק שעבר הגוף עד לעצירה.
) (5.20ילד שמסתו 30ק"ג נמצא בתוך עגלה אשר נוסעת בקו ישר במהירות קבועה של 10מ'\ש' .מסת העגלה
גדולה פי 2ממסת הילד .לפני העגלה הנ"ל נוסעת עוד עגלה ריקה ,באותה מהירות ובאותו כיוון .בשלב
מסוים קופץ הילד מעגלה הראשונה לשנייה במהירות 5מ'\ש' ביחס לעגלה בה הוא נמצא.
א .מהי מהירות העגלה הראשונה לאחר שהילד עזב אותה?
ב .מהי מהירות העגלה השנייה לאחר שהילד נחת בה?
ג .מהו השינוי באנרגיה הקינטית של המערכת )שתי עגלות+ילד( לפני ואחרי קפיצת הילד? מה גרם
לשינוי הזה?
46
בעיות עם מסה משתנה
כאשר מסה של גוף משתנה באפן רציף )למשל טיל הפולט גזים בקצב ידוע ,או קרונית המתמלאת בגשם(
כניתן לעבוד עם החוק השני של ניוטון הישן והטוב רק שצריך להוסיף עוד כוח :הוא הכוח הפועל על הגוף
כתוצאה משינוי מסתו )במקרה של הטיל הכוח הפועל על ידי גזי הפליטה ,במקרה של הקרונית – הכוח הפועל
dm
על הקרונית על ידי המים הנכנסים אליה( .כוח זה שווה ל-
dt
, vכאשר vמתאר את השינוי במהירות
ה"טיפות" ביחס לגוף )המרכאות כאן מסמנות שזה לא חייב להיות טיפות – זה יכול להיות גם גזים הנפלטים
מהטיל ,או חול הנשפך על מסוע(.
dm
dv
אפשר לרשום את החוק השני מחדש
m
dt
dt
. Fregular v
לא לשכוח שהמסה mשמופיעה בנוסחה זו היא ).m(t
t
m
0
m0
ניתן לקבל את המסה כתלות בזמן על ידי אינטגרציה. dm dt dm dt :
לפעמים ניתן לעקוף סיבוכים אם משתמשים בחוקי שימור ,כמו חוק שימור התנע.
להלן נוסחה המתאימה לבעיות עם מסה המשתנה באופן רציף בדומה לבעיה הנ"ל:
dm
vrel
ma
dt
F
regular
כאשר
vrelהיא מהירות חלקיקי המסה המשתנה )המים הנכנסים לקרונית ,או גזים הנפלטים מטיל( ביחס לגוף
המתואר בבעיה )הקרונית ,הטיל וכדומה(.
) , m m(tהיא מסת הגוף .שימו לב שבנוסחה יש להציב את המסה עם התלות שלה בזמן.
dm
dt
מתאר את קצב שינוי המסה .קצב זה הוא חיובי כאשר המסה של הגוף גדלה )כמו במקרה של קרונית
המתמלאת במים( או שלילי )כמו במקרה של טיל הפולט גזים .במקרה כזה המסה קטנה עם הזמן ולכן קצת
השינוי הוא שלילי.
dm
" vrelכוח הדחף" ,זהו הכוח הפועל על הגוף כתוצאה מפליטת/קליטת המסה )ושינוי התנע שלה(.
dt
תרגילים
47
) (5.21אוטו שמסתו 1000ק"ג )כולל הנהג( נוסע על משטח חסר חיכוך במהירות קבועה 20מ'\שנ' .ברגע
dm
t 0מתחיל לרדת גשם אנכי והאוטו מתחיל להתמלא במים בקצב קבוע 0.5kg / sec
dt
2 .דקות
אחרי שהגשם התחיל לרדת נהג האוטו סוגר את הגג
והגשם מפסיק להיכנס פנימה.
א .מהי מסת הגשם שנכנסה לאוטו עד שנסגר הגג?
ב .מהי מהירות האוטו כתלות בזמן?
ג .איזה מרחק עבר האוטו במשך 2הדקות?
ד .באיזה כוח צריך היה למשוך את המכונית על
מנת לשמור את מהירותה קבועה?
) (5.22מכלית מים שמסתה הכוללת 2000kgומסתה ריקה 800kgעומדת במנוחה על משטח אופקי וחלק.
משאבה מותקנת על המיכלית וברגע מסוים היא מתחילה לפלוט מים אחורה בכיוון אופקי במהירות
200m/secיחסית למיכלית ובקצב של .50 kg/sec
א .חשב את התאוצה של המיכלית כפונקציה של הזמן.
ב .חשב את תאוצתה המכסימלית.
ג .חשב את המהירות המכסימלית של המיכלית.
) (5.23טיל שמסתו ללא דלק 200ק"ג נושא 200ק"ג נוספים של דלק .ב t = 0 -הטיל משוגר אנכית ממנוחה
מפני הקרקע ) .(y = 0קצב בעירת הדלק הינו 25ק"ג לשניה .מהירות הפליטה של הגזים ביחס לטיל היא
300מטר\שניה כלפי מטה.
א .מהי מהירות הטיל כפונקציה של הזמן כאשר הדלק בוער?
ב .מהי מהירותו בתום בעירת הדלק?
ג .מהי התאוצה המקסימאלית של הטיל?
) (5.24טיל מרחף באוויר בגובה מסוים קרוב לפני כדור הארץ )הוא לא יורד ולא עולה( .הדבר אפשרי ע"י
פליטת גזים כלפי מטה .מהירות הגזים יחסית לטיל קבועה ,וגודלה .uהמסה הסופית של הטיל )כאשר
הדלק נגמר( היא , M 0כאשר M 0היא מסתו ההתחלתית ,ברגע .( 1 ) t=0נתונים,u, g , :
. M0
א .מהי מסת הטיל כתלות בזמן? ] [ M 0e gt / u
48
ב .כמה זמן נשאר הטיל במצב הריחוף? ] ) [ (u / g ) ln(
ג .נתון u=600m/sוכן שהמסה הסופית של הטיל היא 5%ממסתו ההחלתית .כמה זמן נשאר הטיל
במצב הריחוף? ] 178שניות[
dm
) (5.25חול נשפך ממשפך קבוע ,בקצב kt 2
dt
על סרט נע שמהירותו ביחס למשפך היא . v
א.
איזה כוח Fצריך להפעיל על הסרט הנע כדי לשמור על מהירותו הקבועה ?v
ב.
מהי עבודה הנעשתה על-ידי
v
כוח Fבין t=0וt=T -
ומהו שינוי באנרגיה קינטית
F
של הסרט בזמן הזה ?
) (5.26רקטה פולטת בכל שניה שני אחוזים ממסתה ההתחלתית במהירות יחסית של .1.2 Km/secהרקטה
מתחילה לנוע ממנוחה.
א .מהי התאוצה ההתחלתית של הרקטה?
ב.
מהי מהירות הרקטה ומהי תאוצתה כעבור ?20 sec
ג .מהי מהירות של גזי הפליטה יחסית לארץ כעבור 20 secההתחלה?
) (5.27מתקן ניקיון מורכב ממיכל ובו 500ק"ג מים .מסת המתקן כאשר המיכל ריק היא 2,000ק"ג .המים
נפלטים אחורה בקצב 300ק"ג לדקה ובמהירות 12מ'\שנ' יחסית למתקן ,והמתקן נע אך ורק בהשפעת
כוח הדחף הנוצר מפליטת המים .אין חיכוך בין
המתקן למשטח.
א .מהי תאוצת המתקן בתחילת פליטת המים ,ומהי
בתום פליטת המים?
ב .איזה כוח )גודל וכיוון( יפעל על המתקן תוך כדי
פליטת סילון המים?
ג .מהי מהירות המתקן כפונקציה של הזמן ,אם מהירותו ההתחלתית ,ברגע הוא התחיל לפלוט מים10 ,
מ\שניה?
ד .לאיזו מהירות יגיע המתקן בתום פליטת המים ,וכעבור כמה זמן זה יקרה?
49
) (5.28קרונית בעלת מסה Mנוסעת על פסים אופקיים ישרים וחלקים .מהירותה בנקודה Aהיא .VA
הקרונית עוברת בנקודה Bכעבור Tשניות .במשך כל זמן הנסיעה ירד גשם בקצב קבוע ומי-גשם
שמסתם mנקוו בתוך קרונית .חשב את:
א .מהירות הקרונית tשניות אחרי שעזבה את נקודה .(0<t<T) A
ב .תאוצת הקרונית tשניות אחרי שעזבה את נקודה .A
ג .המרחק בין הנקודות Aו.B-
50
פרק ו' :גוף קשיח
גודל פיסיקלי
תנועה קווית )מימד אחד(
מיקום || מיקום זוויתי
תנועה סיבובית )ציר קבוע(
x
or
מהירות || מהירות זוויתית
dx
dt
v
d
dt
תאוצה || תאוצה זוויתית
dv
dt
a
d
dt
החוק השני
סטטיקה
F ma
I
F 0
0
m
I
m v2
2
I 2
2
מסה || מומנט התמד
אנרגיה קינטית
עבודה
P=mv
חוק שני כללי
dP
dt
מתקף || מתקף זוויתי
חוק שימור התנע || חשת"ז
x1
1
d
Fx dx
תנע || תנע זוויתי )ת"ז(
מתקף ותנע
x2
2
dL
dt
F
t2
t2
t1
t1
dt
F dt
המתקף הכולל הפועל על גוף =
המתקף הזוויתי הכולל = שינוי
שינוי התנע הקווי של הגוף
בת"ז
אם סכום הכוחות החיצוניים על
אם סכום המונטים החיצוניים על
מערכת מתאפס אז התנע הקווי
מערכת מתאפס אז התנע הזוויתי
נשמר
נשמר
קבוע = m1v1 m 2 v 2
חישוב מומנט כוח r F sin :
L= I ω
,
קבוע = L1 L 2
כוח כפול זרוע
חישוב תנע זוויתיL r P sin r m v sin :
תנע כפול זרוע = L
,
51
למעשה ,גם מומנט כוח וגם תנע זוויתי הם גדלים ווקטוריים , L r P , r F .קיימים מקרים
שחייבים לקחת בחשבון את האופי הווקטורי של גדלים אלו ,למשל ,בתיאור תנועה של סביבון .בקורס אנחנו
נסתפק בהסתכלות על גודל הווקטור ,ואת הכיוון נגדיר בהתאם לכיוון הסיבוב – עם או נגד כיוון השעון.
מומנט התמד:
מומנט התמד
גוף
)הציר עובר במרכז המסה של
הגוף(
חישוב מומט התמד כללי , I m i ri
2
גליל מלא )דיסקה(
MR 2 / 2
חלול דק )חישוק ,טבעת(
MR 2
כדור מלא
(2 / 5)MR2
מוט ישר דק
ML2 / 12
משפט שטיינר I I CM Md 2
תרגילים
)(6.1
המערכת הבאה מורכבת מגלגלת )מלאה ואחידה( שרדיוסה ,Rמסתה 4=Mק"ג,
ומ 2 -מסות m2=2kg ,m1=1kgהקשורות בחוט .החוט לא מחליק על הגלגלת
ואין חיכוך בציר הסיבוב .מהי מהירות m1ו m2 -לאחר תזוזה של 2מ' ממנוחה?
m2
מומנט התמד של הגלגלת נתון בנוסחה [ 8 m / s ] . MR 2 / 2
כדאי למצוא את התאוצה ) 2מ\ש (2וממנה לחשב את המהירות ) ( v 2 v 0 2 a y
2
אבל הכי פשוט – שיקולי אנרגיה.
)(6.2
כוח משיקי קבוע של 100ניוטון פועל על גלגלת אחידה בעלת רדיוס 0.2מ',
כמתואר בציור .בעת סיבוב הגלגלת )סביב ציר הקבוע למקומו( פועל עליה כוח
52
F
m1
חיכוך כזה שגודל מומנט-הכוח שלו . 5 Nmהגלגלת מסתובבת בתאוצה זוויתית קבועה של 100
רדיאן\שניה.2
)(6.3
2
מהו מומנט ההתמד של הגלגלת? ] [ 0.15 kg m
)(6.4
מהי מסת הגלגלת? ] 3.75ק"ג[
)(6.3
מוט אחיד באורך Lובעל מסה Mתלוי אופקית כשהוא מחובר בצידו האחד לציר הקבוע בקיר
ובצידו האחר קשור לחוט אנכי חסר מסה .נתון מומנט ההתמד של המוט ביחס לציר . ML2 / 3 :
הזניחו חיכוך עם הציר.
א .מהי המתיחות בחוט? מהו הכוח שהמוט מפעיל על הציר?
] [ mg / 2
סעיף א'
ב .החוט נקרע .מהי תאוצתו הזוויתית של המוט ברגע הראשון
g
)כלומר בזווית [ 3 g / 2 L ] (θ = 0
ג .מהי תאוצת מרכז המסה ברגע הראשון? ] [ 3 g / 4
ד .מהי תאוצת נקודת קצה המוט ברגע הראשון? ] [ 3 g / 2
ה .מהי המהירות הזוויתית המקסימלית של המוט )] ? (θ =900
סעיפים ב' ו-ג'
[ 3g / L
ו .מהו הכוח שהציר מפעיל על המוט כאשר המוט במצב אנכי
) ?(θ =900רמז :מרכז המסה מבצע תנועה מעגלית ברדיוס
θ
[5mg/2] .L/2
)(6.4
על ציר גלגלת שרדיוסה החיצוני r = 1 mומסתה 2ק"ג מופעל מומנט סיבובי ע"י מנוע חשמלי
. 20 Nmסביב הגלגלת מלופף חוט בו תלויה משקולת שמסתה .1kgהמנוע מסובב את
הגלגלת והמשקולת עולה .הגלגלת מתחילה להסתובב ממנוחה .ניתן להזניח את השפעת החיכוך
בציר הגלגלת .הגלגלת – דסקה אחידה.
א .מהי תאוצת המשקולת? ] 5מ\ש[2
ב .מהי המהירות הזוויתית של הגלגלת לאחר 2סיבובים שלמים? מהי האנרגיה הקינטית שלה?
] 31.4 , 11.2 rad / secג'אול[
2
ג .פתור את אותה שאלה כאשר עבור מומנט סיבובי של המנוע התלוי בזמן לפי . 20 0.5t
] ] [SI
2
[ 7.685 rad / sec , 5 0.25t
53
)(6.5
משפט שטיינר
א .חשב את מומנט ההתמד של מוט המסתובב סביב ציר העובר בקצהו )ראה שאלה .(2
השתמש במשפט שטיינר ובנוסחה למומנט התמד של מוט יחסית לציר העובר במרכזו :
ML2 / 12
ב .מהו מומנט ההתמד של המוט אם הציר עובר במרחק L/4
מקצה המוט?
ג .חשב את מומנט ההתמד של גוף המורכב ממוט שאורכו L
ומסתו ,Mובקצהו מחוברת דיסקה שרדיוסה Rומסתה .M
נתון כי הציר נמצא במרחק L/4=Rמקצה המוט
)(6.6
חישוב מומנט אינרציה על ידי אינטגרציה:
א .חשב/י את מומנט ההתמד של דיסקה בעלת רדיוס Rומסה Mסביב ציר העובר במרכזה ומאונך
למשטחה .הדרכה (1) :ניקח אלמנט מסה dmבצורת טבעת ברדיוס rועובי . drנחשב את
אלמנט המסה . dmיש לבטא אותו בעזרת ,Mהמסה הכללית של הדיסקה (2) .נבטא את מומנט
ההתמד dIשל טבעת זו ) (3נבצע אינטגרל על התוצאה שקיבלת בסעיף הקודם על מנת למצוא
את סה"כ מומנט ההתמד של הדיסקה.
ב .מוט באורך Lשצפיפותו ליחידת אורך λמשתנה לפי k ) λ x kx :הוא קבוע נתון(
מסתובב סביב ציר המאונך לו ועובר דרך קצהו ,הנמצא ב . x 0חשב את מומנט ההתמד של
kL4
הגוף סביב ציר זה) .תשובה:
4
(I
גלגול ללא החלקה
מצב של גלגול ללא החלקה הוא מצב שבו נקודת המגע של הגוף עם
המשטח לא מחליקה ביחס למשטח עליה היא נמצאת )מהירותה
הרגעית היא אפס( .במקרה זה אפשר למצוא קשר בין התנועה הסיבובית של הגוף לבין תנועתו הקווית .אם
הגוף נע על משטח ישר אז כאשר הוא מבצע סיבוב שלם ) 2πרד'( מרכז המסה יזוז מרחק של ,2πRכאשר
Rהוא הרדיוס שסביבו מסתובב הגוף .מכאן ש-
a cm R vcm R x cm R
54
L/4
קשר זה מתקיים גם כאשר הגוף נע ללא החלקה על משטח עקום )כמו מסילה מעגלית(.
בפתרון בעיות של גלגול ללא החלקה נשתמש ב
) (1
) (2
F ma
I
cm
)a cm R (3
כוח החיכוך הפועל על הגוף )בנקודת המגע( הוא כוח חיכוך סטטי .כוח זה לא מבצע עבודה על הגוף ולכן ניתן
להשתמש בחוק שימור האנרגיה באופן המוכר.
האנרגיה הקינטית של הגוף ניתנת לכתיבה כסכום של שני ביטויים :אחד המתאר את תנועת מרכז המסה של
I cm 2
M vcm 2
הגוף )
( ,כלומר
( והשני המתאר את תנועתו הסיבובית של הגוף סביב מרכז המסה )
2
2
M v cm 2 I cm 2
)(4
2
2
Ek
תרגילים
)(6.7
חוט קשור למרכז גלגל ונמשך בכוח .Fהגלגל מבצע גלגול ללא החלקה .נתונים) M :מסת הגלגל(I ,
)מומנט ההתמד של הגלגל() R ,רדיוסו(.F ,
א .מהו כיוון כוח החיכוך הפועל על הגלגל?
F
ב .מהי תאוצת מרכז המסה של הגלגל?
ג .מהו גודל כוח החיכוך?
)(6.8
גליל מלא מתגלגל ללא החלקה במורד מדרון ששיפועו .β
א .מהי מהירות הגליל לאחר שירד גובה Hממצב של מנוחה .יש לפתור בשתי דרכים:
Iעל ידי חישוב תאוצת מרכז המסה ושימוש בנוסחאות קינמטיקה.
IIעל ידי שימוש בחוק שימור האנרגיה.
ב .הראה שכדי שיתקיים גלגול ללא החלקה על המישור מתחייב שמקדם החיכוך
1
הסטטי בין המישור לגליל גדול מtan -
3
55
)(6.9
גלגל בעל מסה Mמורכב משני גלילים ,אחד שרדיוסו Rוהשני שרדיוסו .R1 = R / 2הגלילים
מודבקים כך שמרכזם מתלכד .מלפפים חוט מסביב לגלגל שרדיוסו ,R1ובזמן t = 0מתחילים
למשוך בחוט בכוח הגדל כתלות בזמן b) F = btהוא קבוע חיובי ו t-הזמן( .הגלגל מתגלגל ללא
החלקה .מומנט ההתמד של הגלגל )ביחס למרכזו( הוא k ,I = k M R2הוא קבוע חסר יחידות.
נתונים.b ,k ,R ,M :
א .מהי תאוצת מרכז הגלגל כפונקציה
F
R1
של הזמן?
R
ב .מהי המהירות הזוויתית של הגלגל
כאשר ? F=Mg
תרגילים נוספים
) (6.10גוף שמסתו m=3kgקשור לחוט המלופף על גלגלת )גליל מלא ואחיד( .מסת הגלגלת M=6kg
.
ורדיוסו .R=0.2mהגוף mמתחיל לנוע ממנוחה.
א .מהי תאוצת הגוף [g/2] ?m
ב .מהי תאוצת נקודה Aהנמצאת במרחק 0.15מ' ממרכז הדיסקה?
ג .מצא/י ,על סמך חוק שימור האנרגיה ,את מהירות הגוף mלאחר שהגליל מבצע סיבוב שלם סביב הציר.
] 3.51מ\ש[
) (6.11מוט אחיד באורך Lומסה mמחובר לציר בקצהו .משחררים את המוט ממנוחה במצב אופקי ).(φ=0
א .מהי התאוצה הזוויתית של המוט כתלות בזווית [3gcosφ/2L] ?φ
φ
ב .מהי תאוצת נקודה בקצה מוט במצב ההתחלתי? ] .3g/2גדול מ[!g-
ג .מהי מהירותו הזוויתית כתלות ב[ω2=3g sinφ /L] ?φ-
) (6.12גוף נקודתי m=0.2kgמודבק לגליל שמסתו M=0.8kgורדיוסו .R=0.14mהמערכת
מתחילה כך שמסה mנמצאת בנק' (φ=0) Aבמנוחה .מסיטים את המסה mהסטה מזערית
A
ומשחררים .מהי התאוצה המשיקית ומהירות הגוף mבזווית ) φ=π/4נק' 2.31] ?(B
φ
מ\ש 0.8 ,2מ\ש[
M
56
m
) (6.13המערכת בציור מרימה את המסה .m=1kgהמערכת מורכבת משתי דיסקות ,מסת
כל אחת M=0.5kgורדיוס כל דיסקה ,R2=0.15mוכן מגליל שרדיוסו
M
R1=0.08mומסתו .M/2מנוע מפעיל על המערכת מומנט כוח קבוע .מה צריך
להיות מומנט הכוח שמפעיל המנוע על מנת שגוף mיעלה:
א .במהירות קבועה? ] 0.784נ' מ'[
M
M/2
m
ב .בתאוצה קבועה 0.922] ?a=0.6m/s2נ' מ'[
) (6.14כוח אנכי [mks] F=3tמושך חוט המגולגל על גלגלת ,כמוראה .הגלגלת מורכבת משני גלילים
מלאים ונתון I0) R1=0.1m, R2=0.2m, I0=0.05kg m2הוא מומנט ההתמד סביב מרכז הגלגלת,
R1ו R2-רדיוסי הגלילים( .אל חוט המגולגל סביב הגליל הקטן מחוברת מסה .m=3kgנתונים
מקדמי החיכוך בינה לבין השולחן עליו היא נמצאת .μs=0.5 ,μk=0.2 :ב t=0-הגלגלת במנוחה וF-
מתחיל לפעול.
א .מהו Fהמינימלי שיזיז את ?mאחרי כמה
זמן מושג כוח כזה? ] 7.5ניוטון 2.5 ,שניות[
ב .מהי התאוצה כתלות בזמן מרגע שהחלה
F
התנועה? ] t ,3(t-1)/4בשניות ,התאוצה ב-
m/s2
ג .כמה סיבובים הגלגלת מבצעת עד 134.3] ?t=10secסיבובים ,לא לשכוח שהתנועה מתחיל
מזמן 2.5שניות[
ד .נקודה Aנמצאת על היקף הגליל הגדול .מהי מהירות הנקודה Aבזמן הנ"ל? ] 59.1מ\ש[
) (6.15גלגל )גליל מלא( מתגלגל ממישור משופע בשיפוע 300ללא החלקה .רדיוסו Rומסתו .M
א .מהי תאוצתו? )(g/3
ב .גליל ריק בעל אותו רדיוס ומסה מתגלגל ללא החלקה מאותו גובה )ומאותה
מהירות התחלתית( .מי יגיע קודם? )מה מלא?(
) (6.16משולש שווה צלעות בנוי מ 3-מוטות דקים אחידים .מסת כל מוט mואורכו .Lהמשולש תלוי
מקודקודו על ציר )בעל חיכוך זניח(.
ציר
א .מצא/י את מרחק מרכז המסה מהציר.
ב .חשב/י את מומנט ההתמד של המשולש סביב הציר.
ג) .יש לפתור את הסעיף לאחר לימוד תנועה הרמונית פשוטה( מסיטים את המשולש בזווית
57
קטנה ומשחררים ממנוחה .תוך כמה זמן מרגע השחרור הגוף יגיע למהירות זוויתית מקסימלית?
)לסעיף זה יש להשתמש בקירוב של תנועה הרמונית(
ד .מהי המהירות הזוויתית המקסימלית של הגוף?
) (6.17דיסקה תלויה לציר חסר חיכוך הנמצא בקצה הדיסקה .הזווית היא זווית הסטיה של הדיסקה ממצב
שיווי המשקל .מסיטים את הדיסקה ב) 900 -משיווי משקל ,כלומר (0 = 900 ,ומשחררים ממנוחה.
א .מהי תאוצתה הזוויתית של הדיסקה ברגע השחרור? לאיזו נקודה על הדיסקה יש ,ברגע
השחרור ,את התאוצה הגדולה ביותר? מהי תאוצה זו?
ב .מהי תאוצתה הזוויתית כתלות ב? -
ג .מהי המהירות הזוויתית של הדיסקה כתלות ב ?-באיזו זווית המהירות היא מקסימלית? מהי
המהירות הזוויתית המקסימלית של הדיסקה?
2
) (6.18על גלגלת Aבעלת רדיוס של 0.3מ' ומומנט התמד )אינרציה( I 1 kg mמלופף חוט .בקצהו
השני קשור החוט אל גוף Bשמסתו 0.5ק"ג .הגוף Bקשור לקפיץ בעל קבוע כוח של 50 N / m
)ראה תרשים( .ציר הסיבוב של הגלגלת והמישור המשופע הם
A
חסרי חיכוך והחוט אינו מחליק על הגלגלת .מסובבים את הגלגלת
B
נגד כיוון השעון עד שהקפיץ מתארך בשיעור 0.2מ' יחסית למצבו
הרפוי ,ואז משחררים את המערכת ממצב מנוחה.
37
א .מה תהיה המהירות הזוויתית של הגלגלת ,ברגע בו הקפיץ יחזור למצבו הרפוי?
ב .מהו סוג התנועה שיבצע הגוף Bמרגע שחרור המערכת עד למצב שבו הקפיץ במצב הרפוי
)כתוב חוק שני של ניוטון עבור גוף . (B
) (6.19אל שתי דיסקות צמודות ,האחת ברדיוס 20ס"מ ומסה של 2ק"ג ,והשנייה ברדיוס של 10ס"מ
ומסה של 1ק"ג ,מחברים שתי מסות .אל הדיסקה הגדולה מחברים מסה של 2ק"ג.
א .מהי המסה שיש לחבר אל הדיסקה הקטנה כדי שהמערכת תהיה בשיווי משקל? ] 4ק"ג[
ב .מהי התאוצה של כל אחת מהמסות ,אם המסה המחוברת גדולה פי 2מהמסה
שחושבה בסעיף א'?
ג .מהו הכוח שמפעיל בכל אחד מהמקרים ציר החיבור על הדיסקות?
58
2 kg
מתקף זוויתי ותנע זוויתי
תנע זוויתי של גוף נקודתי
L r p mr v
תנע זוויתי של גוף קשיח המסתובב במהירות זוויתית סביב ציר קבוע
L I
מתקף זוויתי
J dt
משפט מתקף זוויתי-תנע זוויתי :המתקף הזוויתי הכולל שווה לשינוי בתנע הזוויתי של הגוף
חוק שימור התנע הזוויתי :כאשר המתקף הזוויתי של מערכת מתאפס )משמע שסכום המונטים החיצוניים על מערכת
מתאפס( התנע הזוויתי הכולל של המערכת נשמר.
) (6.20ילד שמסתו 25ק"ג יושב בקצה קרוסלה נייחת שרדיוסה 1.5
מטר .מומנט ההתמד של הקרוסלה )ללא הילד( סביב ציר העובר
במרכזה הוא ] .120 [kg m2הילד תופס כדור שמסתו 0.5ק"ג
הנזרק אליו מחברו .רגע לפני שהכדור נתפס מהירותו היא 16
מטר לשניה וכיוונה נוטה בזווית של 37מעלות למשיק לקרוסלה
v0
370
)ראה/י ציור( .הניחו כי מימדי הילד זניחים )ילד נקודתי(.
א .מה המהירות הזוויתית של הקרוסלה לאחר תפיסת הכדור?
ב .מהי המהירות המשיקית של הילד לאחר תפיסת הכדור?
ג .מהו המתקף הזוויתי הכולל שפעל על הילד? מי הפעיל אותו?
ד .מהו המתקף הזוויתי שהפעיל הכדור על הילד?
) (6.21לכדור ביליארד בעל מסה mורדיוס Rהנמצא במנוחה מוענק מתקף קווי בשיעור Jבגובה hמעל שולחן
הביליארד כמוראה בתרשים .נתונים. m, J , h, R :
א .מהי מהירותו הקווית של כדור הביליארד לאחר שהוענק המתקף הקווי?
ב .מהי מהירותו הזוויתית של כדור הביליארד לאחר שהוענק לו המתקף ?
ג .עבור איזה ערך של hיתחיל כדור הביליארד להתגלגל ללא החלקה ?
59
R
J
h
g
) (6.22מוט אחיד שמסתו 3 kgואורכו 0.5mתלוי בקצהו לציר קבוע
)חיכוך זניח( .קליע שמסתו 0.01kg
נע אופקית במהירות
v 0 100 m / secלעבר המוט .הקליע פוגע בקצה המוט וניתז
y
ממנו כלפי מטה במהירות השווה למחצית המהירות המקורית .זמן
ההתנגשות קצרצר.
א.
מהי המהירות הזוויתית של המוט מיד לאחר ההתנגשות?
ב.
מהי הזווית המכסימלית אליה יגיע המוט?
ג.
מהו ווקטור המתקף שהפעיל המוט על הקליע?
vo
Vo/2
) (6.23אדם שמסתו mנמצא במנוחה במרכז דיסקה שרדיוסה Rומסתה Mהמסתובבת במהירות זוויתית
.ω0האדם מתחיל לנוע לכיוון קצה הדיסקה.
א .מהי מהירות הזוויתית של הדיסקה כפונקציה של המרחק rשל האדם ממרכז הדיסקה?
ב .מהי כמות העבודה שהשקיע האדם בהתקדמותו ,כפונקציה של המרחק rממרכז הדיסקה?
) (6.24חרק שמסתו mנמצא במנוחה בקצה תקליט שרדיוסו Rומסתו Mהמסתובב במהירות זוויתית .
החרק מתחיל לנוע לכיוון מרכז התקליט.
א .מהי המהירות הזוויתית של התקליט כפונקציה של המרחק rשל החרק ממרכז התקליט?
ב .מהי כמות העבודה שהשקיע החרק בהתקדמותו ,כפונקציה של המרחק שלו rממרכז
התקליט?
) (6.25סחרחרה בצורת דיסקה שמסתה M 100Kgורדיוסה R 5mנמצאת במנוחה .סטודנט
שמסתו m = 70 Kgרץ לאורך קו המשיק לסחרחרה בשפתה החיצונית וקופץ עליה במהירות
.v 2 m/s
א .מהי המהירות הזוויתית של הסטודנט והסחרחרה לאחר נחיתת הסטודנט?
ב .מה תהיה מהירות הסחרחרה אם הסטודנט יעבור למרכזה?
)הנחת השאלה היא שסטודנט הוא גוף נקודתי(...
60
x
פרק ז' :תנועה הרמונית
תנועה מחזורית
תנועה מחזורית מאופיינת על ידי זמן מחזור .Tאם נסתכל על הגוף ברגע התחלתי כלשהו ,הרי שלאחר זמן T
יחזור לנקודת ההתחלה וישחזר את תנועתו בדיוק .תנועת כדוה"א סביב השמש היא תנועה מחזורית עם זמן
מחזור של שנה אחת .כרגע נמצא הכדור בנקודה מסוימת ביחס לשמש ,נע במהירות מסוימת מסביב לשמש.
בעוד שנה יחזור לאותו המצב בדיוק )מיקום ומהירות( ויתחיל מחדש ,כל שנה משחזר בדיוק את תנועתו
מהשנה שעברה.
תנועה הרמונית פשוטה
תנועה הרמונית היא תנועה מחזורית מיוחדת .מה שמיוחד בה -הגורם לתנועה הוא כוח מחזיר שגודלו
פרופורציוני למרחק מנקודת שיווי המשקל )תחשבו על קפיץ כדוגמה( .במקרה כזה התנועה תתואר על ידי
פונקציה הרמונית – למשל פונקצית סינוס .כך נראית פונקצית סינוס:
sinq
1.0
0.5
q
4p
7p
2
3p
5p
2
3p
2
2p
p
p
2
-0.5
-1.0
וכך נראית פונקצית קוסינוס:
cosq
1.0
0.5
q
4p
7p
2
3p
5p
2
2p
3p
2
p
p
2
- 0.5
- 1.0
נכון שהן נראות אותו הדבר? מה בכל זאת ההבדל? הקוסינוס זז אחורה ב ./2-ככה שבזווית אפס הקוסינוס
שווה לאחד והסינוס שווה לאפס )בדוק!(.
61
אם אנחנו מתעסקים בתנועה אז הציר האופקי הוא ציר הזמן והציר האנכי מיקום הגוף .זמן אפס מציין בדרך
כלל את הרגע בו התחלנו למדוד את התנועה ,אותו רגע בו לחצנו על הסטופר .הקוסינוס והסינוס מציינים ,אם
כן ,את אותה התנועה .רק שבמקרה של קוסינוס לחצנו על הסטופר כאשר הגוף הכי רחוק מנקודת שיווי
המשקל ובמקרה של הסינוס לחצנו על הסטופר כאשר הגוף בדיוק חלף על פני נקודת שיווי המשקל .x=0
שימו לב שמתקיים sin( / 2) cos שזה אומר שאת שתי הפונקציות למעלה אפשר להציג בעזרת
פונקצית סינוס אם מוסיפים לה את ה) /2-לא חייבים את הקוסינוס(.
מה אם לחצנו על הסטופר בנקודה אחרת כלשהי ,למשל כאשר הגוף בדיוק עבר חצי מהדרך בין נקודת שיווי
המשקל לבין הנקודה הרחוקה ביותר משיווי משקל?
אז עדיין מדובר בגרף סינוס רק שהוא לא זז /2אלא פחות:
p
6
sin q +
1.0
0.5
q
4p
7p
2
3p
5p
2
2p
3p
2
p
p
2
- 0.5
- 1.0
בציור רואים את הגרף ) . sin( / 6בזווית אפס הערך של הסינוס הוא חצי ,בדיוק באמצע בין 0ו...1-
קצת יותר פורמלי:
תנועה הרמונית היא תנועה בה מתקיים קשר מיוחד בין תאוצת הגוף לבין ההעתק של הגוף )התזוזה מנקודת
שיווי משקל ,שבה תאוצת הגוף היא אפס( .זה הקשר
a 2 x
הפתרון הכללי ביותר למשוואה זו של תנועה הרמונית הוא מצורה
), x ( t ) A sin( t
כאשר Aמסמן את האמפליטודה של הגוף )המרחק הגדול ביותר של הגוף מנקודת שיווי המשקל( ,הוא
קשורה לזמן המחזור של התנועה לפי T 2 / ו -נקראת זווית מופע )או זווית פאזה( התחלתית
וקשורה לתנאי התחלה ,אותו הזמן בו לחצנו על הסטופר.
למשל הנה הגרף )x ( t ) 3 sin( t / 6
62
x t m
3
2
1
tsec
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
שימו לב שזמן המחזור הוא 2שניות ) (T=2/=2 secוהאמפליטודה Aהיא 3מ' .הזמן ההתחלתי הוא זה
בו הגוף נמצא בדיוק באמצע בדרך בין x=0ו .x=3m-איך אפשר לדעת את זה? קודם כל רואים בגרף .חוץ
מזה – אם נציב t=0בנוסחת המיקום.נקבל. x (0) 3 cos( / 6) 1.5 m :
לא לשכוח לעבוד ברדיאנים!
מהי מהירות הגוף? נגזור את הביטוי ) x ( t ) A sin( t ונקבל
)v( t ) A cos( t
למשל במקרה של הדוגמה ) . v ( t ) 3 cos( t / 6מביטוי זה רואים מיד את מהירותו המקסימלית של
הגוף , (3 ) m / sובאופן כללי . v max Aניתן גם לדעת מהי מהירות הגוף ברגע ההתחלתי .נציב :t=0
) v(t ) 3 cos( / 6) (3 3 / 2) m / s 8.16 m/sרדיאנים!(.
כאשר אנחנו יודעים איפה הגוף נמצא ברגע מסוים )בד"כ (t=0ומהי אז מהירותו ,אז ניתן למצוא את וגם
את האמפליטודה .A
כדי להבין זאת נסתכל על מקרה בו הגוף מתחיל את תנועתו בחצי מהדרך בין נקודת שיווי המשקל למקסימום
מרחק ,כלומר . x 0 A / 2פתרון אחד אפשרי הוא זו שהוצג לעיל – אז הגוף נע ברגע ההתחלתי קדימה –
למקום רחוק יותר מנקודת שיווי משקל .אבל יתכן גם מקרה ובו הגוף נמצא בזמן התחלתי באותה נקודה אבל
נע "אחורה" לעבר נקודת שיווי המשקל .במקרה כזה הגרף יהיה
63
x t m
3
2
1
tsec
6
5
3
4
2
1
-1
-2
-3
זוהי הפונקציה ) , x ( t ) 3 sin( t 5 / 6כמעט אותו ביטוי ,רק עם זווית מופע אחרת ,הקשורה לכך
שתנאי ההתחלה השתנו )קודם הגוף התחיל לנוע קדימה ועכשיו הוא נע אחורה(.
בפועל כאמור אנחנו יודעים את תנאי ההתחלה ומקבלים את זווית המופע )וגם את האמפליטודה(:
)x(t ) A sin( t ) x 0 A sin(
)v(t ) A cos( t ) v 0 A cos(
שתי משוואות ,שני נעלמים ).( ,A
תרגילים
)(7.1
גוף שמסתו 0.9Mקשור לקפיץ בעל קבוע kומתנדנד בתה"פ שאמפליטודתה שווה ל.A0-
נתונים1=M:ק"ג.A0=0.8m ,k=100N/m ,
א .מהו זמן המחזור של התנועה? )מהי (T=0.596sec) (?
קליע שמסתו m=0.1Mנע אופקית לעבר המסה Mבמהירות u0=60m/sומתנגש בה התנגשות
פלסטית )זמן ההתנגשות קצר( .ההתנגשות מתרחשת בדיוק כאשר המסה Mנעצרה רגעית במצב בו
הקפיץ היה מתוח מקסימלית.
ב .מהי מהירות הגופים מיד לאחר ההתנגשות? )(6m/s
ג .מה תהיה האמפליטודה החדשה של התנועה? )(1m
ד .רשום את ) ,x(tכאשר הזמן tנמדד מרגע ההתנגשות )כלומר t=0הוא זמן ההתנגשות(.
ה .היכן הגוף יימצא לאחר 2שניות? )(x = -0.22m
ו .מה תהיה אז מהירותו? )(v = 4.855m/s
64
)(7.2
גוף שמסתו 2ק"ג נתון להשפעת כוח F=-kxעם .k=100N/mמסיטים את הגוף ממצב שיווי משקל
ל x=0.5m-ומשחררים ממנוחה.
א .מהו מיקום הגוף ,מהירותו ותאוצתו כתלות בזמן?
ב .מהי מהירות הגוף המכסימלית ובאיזה xהיא מושגת?
ג .מהי התאוצה המכסימלית ובאיזה xהיא מושגת?
ד .מתי יגיע הגוף בפעם הראשונה ל?x=-0.3m-
ה .מהי יהיה גודל וכיוון המהירות של הגוף במצב המתואר בסעיף ד'?
ו .מצאו את המהירות )סעיף ה'( משיקולי אנרגיה.
)(7.3
מסה mמחוברת לקפיץ שקבועו kונמצאת על מישור חסר חיכוך .מזיזים את המסה מנקודת שיווי
המשקל לעבר הקיר למרחק Aומשחררים ממנוחה.
א .מהו זמן המחזור של התנועה? כתוב/כתבי את המיקום והמהירות כפונקציה של הזמן ).v(t) ,x(t
m
ב .לאחר שליש זמן מחזור ניתקת מצד ימין של mחתיכה שמסתה
3
כך שלקפיץ שנשארת מחוברת מסה
2
שגודלה . mידוע כי מהירות שני הגופים מיד אחרי ההתפרקות לא משתנה .מהי מהירות הגופים ברגע
3
ההתנתקות?
2
ג .כתבו ביטוי המתאר את )) x(tשל המסה ( mמרגע ההתנתקות ואילך.
3
k
m
ציר x
)(7.4
גוף נע בתנועה הרמונית פשוטה .זמן המחזור של התנועה 4שניות .מצאו את )x(t), v(t), a(t
והאמפליטודה במקרים הבאים:
א. x ( t 0) 2 m , v( t 0) 0 .
ב.
x ( t 1sec) 0 , v ( t 1sec) m / s
ג.
5
5
sec) 2 m , v( t sec)
m/s
2
2
2
. x(t
ד .הסבר/בירי את התוצאה שקבלת לגבי ) x(tבכל המקרים .איך זה יתכן?
)(7.5
שתי מסות mו 2m-ושני קפיצים kו 2k-מורכבים כמוראה בשירטוט .הקפיצים רפויים ומחוברים אל
המסות אך המסות אינן מחוברות זו לזו .מזיזים את המסה השמאלית ) (2mמרחק Aשמאלה מהמצב
65
שתואר )המסה הימנית נשארת במקומה( ,ומשחררים אותה ממנוחה .הזניחו חיכוך .נתון ,m=2kg :
A=0.3m ,k=50N/m
א.
רשום/רשמי את משוואת התנועה )) a(t) ,v(t) ,x(tמיקום ,מהירות ותאוצה( לפני שהמסות מתנגשות.
ב .בהגיעה חזרה לנקודת ההתחלה המסה 2mמתנגשת התנגשות פלסטית במסה .mמהי האמפליטודה לאחר
ההתנגשות? מהו זמן המחזור?
ג * .רשום/רשמי את משוואות התנועה ) a(t) ,v(t) ,x(tמבלי לשנות את פרמטר הזמן )כלומר השעון
ממשיך לרוץ מההתחלה(.
2k
k
m
2m
תנועה הרמונית מרוסנת
משוואת התנועה :בבעיה ובה כוח הרמוני kxוכן כוח גרר הפרופורציוני למהירות הגוף bvנקבל מתוך
החוק השני שלל ניוטון:
. ma kx bv
משימוש בהגדרת המהירות והתאוצה מתקבל
d 2x
dx
b kx 0
2
dt
dt
.m
זוהי משוואה דיפרנציאלית מסדר שני .אופי הפתרון למשוואה תלוי בקשר בין המקדמים השונים .מפרידים
בין 3מקרים אפשריים:
א . 4km b 2 .במקרה זה הפתרון יהיה מחזורי-דועך ,כלומר התנועה היא תנועה הרמונית פשוטה עם
אמפליטודה שקטנה אקספוננציאלית .תדירות התנודות שונה מתדירות כפי שהיא ללא הריסון .הפתרון נקרא
.under-dumped
ב . 4km b 2 .במקרה זה הפתרון יהיה דועך )ללא תנודות( .הדעיכה אקספוננציאלית .פתרון זה נקרא
.over-dumped
ג . 4km b 2 .גם במקרה זה הפתרון יהיה דועך )ללא תנודות( אבל הביטוי המתמטי המתאר את הדעיכה יהיה
שונה מהביטוי במקרה ב' .מקדם שיכוך bבמקרה זה נקרא מקדם שיכוך קריטי ,כלומר . bcritical 2 k m
פתרן זה נקרא .critically-dumped
66
הפתרון המחזורי -דועך של משוואת התנועה
x t A0 e t sin t
כאשר
k
m
2
0 2 2
T
b
2m
, 0 זוהי תדירות התנודות ללא ריסון.
, 2 f זוהי התדירות כפי שהיא בנוכחות הריסון.
, אם אין ריסון הרי 0ואז אין דעיכה )חוזרים לבעיה של תה"פ(
2
x0
A0 x0 0
2
x0
0 x0
tan
זמן הרפיה (relaxation time) הזמן שלוקח לאמפליטודה לרדת ל 1/ e 0.368 -מערכה ההתחלתי
כלומר . 1 /
תרגילים
)(7.6
גוף שמסתו 100גרם מחובר לקפיץ בעל קבוע 5נ'\מ' .הגוף מתנדנד בתנועה הרמונית מרוסנת בעלת
מקדם ריסון .b=0.2kg/secברגע t = 0הגוף נמצא במרחק 3ס"מ ממצב שיווי משקל ומהירותו שווה
לאפס.
א .מצא/י את משוואת התנועה של הגוף.
ב .מהי תאוצת הגוף לאחר מחזור אחד?
)(7.7
גוף שמסתו 1grמחובר לקפיץ בעל קבוע כוח .0.05N/mהגוף מתנדנד בתוך מים ,שמקדם הריסון
6
שלהם . b 56 10 Kg / sec
א .מהו זמן ההרפיה של האמפליטודה?
ב .כיצד משפיעה צמיגות המים על זמן המחזור של התנודות?
ג .מצא את מספר התנודות ,שיבצע הגוף ,במשך הזמן הדרוש לאמפליטודה לרדת למחצית מערכה
ההתחלתי.
67
)(7.8
גוף שמסתו 2ק"ג קשור לקפיץ בעל קבוע .11.2N/mעל הגוף מופעל כוח ריסון F bvוהגוף
מבצע תנועה הרמונית מרוסנת .נתון כי במשך 12תנודות הגוף מגיע למצב הרפיה.
א .חשב/י את המקדם .b
ב .נתון כי ברגע ההתחלתי הגוף נמצא במרחק 4ס"מ ממצב שיווי משקל )בכיוןן החיובי( ונע במהירות
4ס"מ\ש' .מהי משוואת התנועה של הגוף?
ג .מצא/י את הזמן בו הגוף עובר את מצב שיווי משקל בפעם הראשונה ובפעם השניה.
)(7.9
גוף שמסתו 1ק"ג קשור לקפיץ הנמצא על מישור אופקי .נותנים לגוף מכה קצרה כך שהוא מקבל
מהירות .1 m/sהגוף מתחיל להתנדנד בתדירות של 1הרץ .התנודות מרוסנות ע"י כוח חיכוך f v
) - vמהירות הגוף(.
א .רשום את משוואת התנועה.
ב .מצא את הזמן בו האמפליטודה יורדת פי .2
) (7.10גוף בעל מסה של 10ק"ג תלוי בקצה הקפיץ .קבוע כוח של הקפיץ הוא 10נ'\ס"מ .הגוף נע בנוזל אשר
מפעיל על הגוף כוח התנגדות ) R 160Vכאשר – vמהירות( .רשום את משוואת התנועה של הגוף,
אם ידוע כי ברגע התחלתי הוא נמצא במרחק 4ס"מ מתחת למצב שיווי המשקל ונע מטה במהירות 4
ס"מ\שנ'.
) (7.11למטוטלת מתמטית יש זמן מחזור של 2 secואמפליטודה התחלתית של . 1.50לאחר 10תנודות שלמות
באוויר אמפליטודת התנודה קטנה לזווית של . 1.00
א.
חשב את זמן ההרפיה של האמפליטודה.
ב.
כיצד משפיעה צמיגות האוויר על זמן המחזור של התנודה? )ללא שינוי ,מקטינה ,או מגדילה ,פי כמה?(
) (7.12גוף שמסתו 1grמחובר לקפיץ בעל קבוע כוח .0.05N/mהגוף מתנדנד בתוך מים ,שמקדם הריסון
שלהם התלוי בצמיגות המים .b = 56x10-6Kg/sec
א .מהו זמן ההרפיה של האמפליטודה?
ב .כיצד משפיעה צמיגות המים על זמן המחזור של התנודות?
ג .מצא את מספר התנודות ,שיבצע הגוף ,במשך הזמן הדרוש לאמפליטודה לרדת למחצית מערכה
ההתחלתי.
68
) (7.13גוף שמסתו 1Kgקשור לקפיץ ומתנדנד ללא ריסון .המערכת עושה 5תנודות שלמות תוך .10 secלאחר
מכן מכניסים "ריסון" אשר גורם לכוח חיכוך אשר פרופורציוני למהירות התנועה .כתוצאה מכך במשך 5
תנודות שלמות המשרעת יורדת מי 0.1m-עד .0.05m
2
dx d x
,
א .כתוב משוואת התנועה הדינאמית ובטא מקדמים ליפני איברים
dt dt 2
ו x -בצורה
מספרית )בשיטה .(MKS
ב .מצא זמן מחזור של תנועה הרמונית מרוסנת.
ג .חשב את מספר התנודות )החל ממשרעת (0.1mבו תקטן המשרעת עד .0.05m
) (7.14גוף נקודתי מבצע תנודות חופשיות מרוסנות עם תדירות . 25 rad / secב t = 0 -מהירותו
ההתחלתית של הגוף שווה לאפס והעתקו ממצב שיווי משקל קטן פי 1.02ממשרעתו .חשב/י את מקדם
הריסון של המערכת.
69
פרק ח' :גרביטציה
חוקי קפלר
על סמך תצפיות שנאספו על ידי טיכו ברהה ,מורו של יוהנס קפלר ,מצא קפלר כי בתנועת כוכבי לכת מסביב
לשמש מתקיימים 3חוקים:
(1תנועתם היא תנועה סביב השמש ,במסלולים אליפטיים שבהם השמש נמצאת באחד ממוקדי
האליפסה.
(2וקטור המיקום של כוכב לכת מסוים ביחס לשמש "מטאטא" שטחים שווים בזמנים שווים .מכאן
שכאשר הכוכב מתרחק מהשמש ,מהירותו קטֵנה ולהיפך.
(3אם נסמן ב T-את זמן המחזור של כוכב לכת מסוים וב r -את רדיוסו )במקרה של תנועה אליפטית ,r
יסמן את הרדיוס הממוצע( נקבל כי היחס T 2 / r 3הוא גודל המשותף לכל כוכבי הלכת המקיפים את
השמש.
חוק הגרביטציה של ניוטון
בהשראת חוקי קפלר מסיק ניוטון את החוק הבא :בין כל שתי מסות ביקום פועל כוח משיכה המכוון לאורך
קו המחבר את הגופים והנתון בנוסחה
m m
)F G 1 2 2 rˆ (1
r
m1 m2
גודל הכוח הוא
r2
, Gכאשר m1ו m 2 -הן מסות הגופים r ,הוא המרחק בין הגופים ,ו G-הוא קבוע
אוניברסלי .הקבוע ,שנמדד לראשונה על ידי הנרי קוונדיש בשנת ,1798ערכו
m3 / kg s 2
11
. G 6.674 10
בכתיבה הווקטורית rהוא ווקטור המיקום של גוף אחד ביחס לשני .כיוון הכוח הפועל על הגוף הוא ̂, r
כלומר הפוך מכיוון , rמשמע – כוח משיכה.
כאשר הגופים אינם נקודתיים ובעלי סימטריה כדורית )כמו כוכבים רבים( ,המרחק rהוא המרחק בין מרכזי
הכדורים.
חוק זה ,ביחד עם חוקי ניוטון ,מסביר את כל חוקי קפלר ,כלומר מתאר את העיקרון של תנועת הכוכבים
ביקום.
70
הקשר בין Gוg-
כאשר מסה mנמצאת על פני כדור הארץ ,פועל בינה לבין הכדור כוח משיכה בהתאם לנוסחה ) ,(1עם r
שהוא , R Eהמרחק בין המסה ומרכז כדור הארץ,
ME m
2
RE
. F Gבנוסחה זו M Eהיא מסת כדור הארץ.
כוח זה הוא זה שקראנו לו עד לפרק זה .mg ,כלומר מתקיים
ME m
2
RE
. mg G
תנועת לווין
לווין הוא גוף הנע מסביב לגוף אחר בהשפעת כוח הגרביטציה .למשל ,כאשר בוחנים את תנועת כדוה"א
מסביב לשמש ,אז כדוה"א הוא הלווין .הירח ,המסתובב סביב כדור-הארץ )וכמוהו גם לווינים רגילים( ,הוא
לווין של כדור הארץ .בקורס נסתכל רק על מקרים בהם המסלול של הלווין הוא מסלול מעגלי .המסלולים
של רבים מהלוויינים ביקום הם ,בקירוב טוב ,מסלולים מעגליים.1
עבור לווין שמסתו mהנע בתנועה מעגלית ברדיוס rמסביב לכוכב שמסתו Mמתקיים
F ma
M
כלומר v 2
r
Mm
v2
G 2 m
r
r
. Gמתוך נוסחה זו והקשרים
2
T
v r, ניתן לקבל
לווין
Mm
שמסתו F G 2
r
m
T 2 4 2
) 3 זהו חוק קפלר מס' ,3עבור מסלולים מעגליים(.
r
GM
נתונים מספריים
מסת כדור הארץ5.971024 kg :
מסת השמש1.991030 kg :
רדיוס כדור הארץ6.38106 m :
רדיוס השמש6.95108 m :
מסת הירח7.351022 kg :
מרחק כדור הארץ מהשמש1.4951011 m :
רדיוס הירח1.74106 m :
מרחק הירח מכדור הארץ3.84108 m :
1כדור הארץ ,למשל ,נע סביב לשמש במסלול אליפטי ,ומרחקו מהשמש משתנה מ 146 -ל 152-מיליון ק"מ .כלומר בקירוב טוב
מדובר על מסלול מעגלי עם רדיוס של כ 150-מיליון ק"מ.
71
M
תרגילים בנושא גרביטציה
)(8.1
נתונות 4מסות שוות 2 ,ק"ג כל אחת ,המסודרות בקודקודי ריבוע בעל אורך צלע 0.5מ' .מהו
9
הכוח הגרביטציוני הפועל על כל מסה? ] 2.58 10 Nשכיוונו לאורך אלכסון הריבוע[
)(8.2
6
22
חשב את תאוצת הכובד על פני הירח .נתונים :מסת הירח 7.3510 kgורדיוסו . 1.7410 m
) g ' 1.6 m / s 2
)(8.3
11
הניחו כי המסלול של כדוה"א מסביב לשמש הוא מסלול מעגלי ברדיוס . 1.49510 mידוע גם
זמן המחזור )מהו?(.
30
א .מהי מסת השמש? ) ( 1.9910 kg
ב .מהי מהירות כדוה"א סביב השמש? ] 29.7קילומטר בשניה )!([
)(8.4
רוצים להכניס לוויין למסלול מעגלי קבועה סביב כדוה"א כך שיקיף אותו אחת ל 12-שעות.
א.
מהו רדיוס המסלול? ] [2.66 107mמהו מרחק הלוויין מפני כדור הארץ ?
ב.
מהי מהירות הלוויין? ][3869 m/s
אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית
האנרגיה הפוטנציאלית של כוח הגרביטציה הכללי הנ"ל נתונה בנוסחה
r
m m
U (r ) F d r G 1 2
r
r
הנוסחה האחרונה מתאימה למערכת של שתי מסות נקודתיות )או מערכת של שני כוכבים כדוריים ,במקרה זה
rיהיה המרחק בין מרכזי הכוכבים.
תרגילים )כולל אנרגיה פוטנציאלית(
)(8.5
גוף נופל ממנוחה בגובה 10ק"מ מעל פני כדור הארץ .מהי מהירות הפגיעה של הגוף בקרקע?
הזניחו את השפעת החיכוך עם האוויר.
72
א .יש להשתמש בנוסחה המקורבת .mghנוסחה זו מזניחה את השינוי בתאוצת הכובד של הגוף
הנופל ,שינוי הנובע מכך שמרחק הגוף ממרכז כדור הארץ איננו גודל קבוע[443m/s] .
ב .מהי מהירות הגוף ללא ההזנחה הנ"ל ? ] [ 440.6 m/s
ג .חזרו על החישוב למקרה שהגוף נופל מגובה של 1500ק"מ מעל פני כדור הארץ.
)(8.6
לוויין שמסתו 750ק"ג נע במסלול מעגלי בעל רדיוס של 7000
מטאור
לווין
ק"מ .מטאור שמסתו 250ק"ג נע על קו המשיק למסלול הלוויין
ומתנגש בו התנגשות פלסטית כך שהגופים נעצרים רגעית )מיד
לאחר ההתנגשות(.
א .מהי מהירות הלוויין לפני ההתנגשות? ][7549m/s
כדוה"א
ב .מהי האנרגיה האובדת בהתנגשות ? ][8.55 1010J
ג .מהי המהירות בה פוגעים הגופים בארץ ? ][3328m/s
)(8.7
שני גופים שמסתם 20ק"ג מונחים בטעות בו זמנית כלווינים סביב
כדוה"א ברדיוס סיבוב של 107מטרים כאשר המרחק בינהם הוא 2
107מטרים .המהירות ניתנת ללויינים בכיוונים מנוגדים.
v
v
א .התנגשות בין הגופים היא אלסטית ומהירה .מהו הזמן עד
להתנגשות הראשונה? מהו הזמן בין כל 2התנגשויות סמוכות?
ב .ההתנגשות בין הגופים היא פלסטית .מהי האנרגיה האובדת
בהתנגשות? מהי המהירות בה פוגעים הגופים בארץ ?
)(8.8
שני כוכבים בעלי מסות mו M-נמצאים במצב נייח כאשר המרחק בין מרכזיהם הוא .Rמנקודה זו
הם נופלים זה לקראת זה )הכוח היחיד המשפיע עליהם הוא כוח המשיכה ביניהם(.
א .מהם חוקי השימור בבעיה?
ב .מהי האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת כוכבים זו כתלות ב ,r -המרחק בין מרכזי הגופים
)?(r<R
ג .מהי מהירות הגופים כתלות ב?r-
ד .הניחו שרדיוס הגופים זניח )ביחס ל .(R-איזה מרחק יעבור הגוף Mעד הפגישה?
r
m
73
M
תרגילים נוספים
)(8.9
כדוה"א מקיף את השמש במסלול מעגלי )בקירוב( שרדיוסו .149.6 106kmהירח מקיף את כדוה"א
5
22
30
במסלול מעגלי שרדיוסו .3.84 10 kmמסת השמש 1.99 10ק"ג ,ומסת הירח הינה 7.17 10
ק"ג.
א .מהו כוח המשיכה החזק ביותר בין השמש לירח?
ב .מהו כוח המשיכה החלש ביותר האפשרי?
) (8.10גוף שמסתו mנמצא על ציר הסימטריה העובר בין שני כוכבים
y
נייחים שמסתם .Mהגוף מתחיל את תנועתו מנקודה y0במצב
מנוחה ומבצע תנועה מחזורית.
m
y0
א .מהו התנאי שעבורו הגוף יבצע בקירוב תנועה הרמונית?
ב .קבלו את ) y(tעבור הקירוב של תנועה הרמונית .מהו זמן
המחזור של התנועה?
ג .מהי המהירות המקסימלית של הגוף? פתרו פעם אחת משיקולי
M
M
a
אנרגיה )ללא הקירוב ההרמוני( ופעם שניה על ידי שימוש
בתוצאה של סעיף ב'(.
) (8.11רדיוס של כוכב מספר אחד הוא Rומסתו היא .Mהרדיוס של כוכב מספר שתיים הוא 4Rומסתו
.8Mנתונים קבוע הכבידה .R ,M ,G
א .בהנחה ששני הכוכבים בנויים מחומר בעל צפיפות אחידה ] ρ [Kg/m3מהו היחס בין צפיפויות
1
שני הכוכבים
2
?
g1
ב .מהו היחס בין תאוצת הכובד על פני הכוכבים
g2
?
V1
ג .מהו היחס בין מהירויות המילוט של שני הכוכבים
V2
?
ד .בגובה Rמעל פני הכוכב הראשון סובב לווין מספר אחד ובגובה 4Rמעל פני הכוכב השני סובב
T1
לווין מספר שתיים .מהו יחס זמני המחזור של הלווינים
T2
74
?
a
) (8.12מוט בעל מסה Mואורך Lנמצא בחלל .במרחק Dממרכזו יש מסה נקודתית .mמהו כוח
הגרביטציה שמפעיל המוט על המסה הנקודתית? ידוע כי המוט דק וצפיפות המסה שלו אחידה.
) (8.13שלושה כוכבים בעלי מסה זהה נעים בתנועה מעגלית ברדיוס Rבהשפעת כוחות
הגרביטציה שכל גוף מרגיש מצד שני הגופים האחרים .בכל רגע הגופים יוצרים
משלוש שווה צלעות.
א .אורך הצלע של המשולש?
ב .מהו כוח הגרביטציה שמרגיש כל גוף )כוח רדיאלי(?
ג .באיזו מהירות נעים הכוכבים?
) (8.14שלושה כוכבים בעלי מסה זהה נעים באופן הבא :כוכב אחד נמצע במנוחה והשניים
האחרים נעים בתנועה מעגלית ברדיוס .Rהתנועה היא בהשפעת כוחות הגרביטציה
שכל גוף מרגיש מצד שני הגופים האחרים .בכל רגע הגופים נמצאים על קו ישר.
א .מהו כוח הגרביטציה שמרגישים הגופים הנעים בתנועה מעגלית?
ב .באיזו מהירות נעים הכוכבים?
75
דפי נוסחאות
אלגברה של ווקטורים
הצגה קרטזית
מכפלה סקלרית
A B A B cos AB A x B x A y B y A z B z
ˆA A
A
ווקטור יחידה בכיוון של A
מכפלה ווקטורית
ˆA Ax iˆ Ay ˆj Az k
,
A A Ax2 Ay2 Az2
, A B A B sin ABהכיוון נקבע על פי כלל יד ימין
מכפלה וקטורית ברכיבים
ˆk
ˆj
Az
Ay
ˆi
A B Ax
Bz
By
Bx
קינמטיקה של גוף נקודתי
ˆ
ˆ
ווקטור מיקום במערכת קרטזית
ˆr t x t i y t j z t k
r r t2 r t1
העתק
t
dr
v
r t r0 v t dt
מיקום ומהירות
dt
t
0
t
dv
a
v t v0 a t dt
dt
t
מהירות ותאוצה
0
תנועה מעגלית
t
t 0 t dt
מיקום ומהירות זוויתיים
t0
t
t 0 t dt
מהירות ותאוצה זוויתיים
t0
d
dt
d
dt
v2
ar r
r
2
תאוצה רדיאלית
קשר בין גדלים משיקיים וזוויתיים
) ברדיאנים(
s R
v R
a at ar
תאוצה שקולה
a at 2 a r 2
גודל תאוצה שקולה
תנועה יחסית
מיקום יחסי
מהירות יחסית
תאוצה יחסית
76
rAB rA rB
v AB v A vB
aAB aA aB
R
dv
dt
at
דינמיקה
F ma
החוק השני של ניוטון
חיכוך קינטי
f k k N
חיכוך סטטי
f s s N
חוק הוק )כוח קפיץ(
F k x
עבודה ואנרגיה
WF A B F dr
B
עבודה של כוח
A
הספק ועבודה
t2
dW
F v W P t dt
dt
t1
אנרגיה קינטית
1
m v2
2
Ek
משפט עבודה – אנרגיה קינטית
Wtotal Ek
אנרגיה פוטנציאלית כובדית
אנרגיה פוטנציאלית אלסטית
U mgh
1
U k x2
2
U
עבודת כוחות משמרים
P
Wcכאשר Wcהיא עבודת הכוח המשמר
ו U -היא האנרגיה הפוטנציאלית.
כוח משמר ואנרגיה פוטנציאלית
kˆ
U ˆ U ˆ U
F U
i
j
y
z
x
אנרגיה מכאנית כוללת
E Ek U
משפט עבודה-אנרגיה מכאנית
E1 Wn.c E2
כאשר W n .cהיא עבודת הכוחות הלא משמרים.
מתקף ותנע
dP
F
dt
t
2
J F dt
הגדרת הכוח כנגזרת התנע
)החוק השני של ניוטון(
מתקף של כוח
t1
תנע קווי
משפט מתקף -תנע קווי
)החוק השני האינטגרלי(
תנועת מסה משתנה
p mv
J total P
m d Fext rel dmכאשר rel m m
dt
dt
תנועת מרכז המסה
, rcm m1r1 m2 r2 mi riכאשר M mi
מיקום מרכז המסה
M
מהירות מרכז המסה
) = Pהתנע הכולל של המערכת(
תאוצת מרכז המסה
m1 m2
mi vi pi P
mi
M
M
v cm
mi ai Fext
acm
M
M
77
מכניקה של גוף קשיח
הגדרת מומנט כוח
r F , r F sin F r
חוק שני בתנועה סיבובית
I כאשר Iהוא מומנט האינרציה
הגדרת מומנט האינרציה ) = rמרחק הניצב
I mi ri 2 r 2 dm
מאלמנט המסה לציר הסיבוב(
משפט שטיינר
I I cm mh2
)משפט הצירים המקבילים(
כאשר hהוא המרחק בין הצירים המקבילים.
אנרגיה קינטית סיבובית
1
Ek I 2
)סיבוב סביב ציר קבוע(
2
אנרגיה קינטית בגלגול
1
1
2
Ek m v cm
I cm 2
2
2
תנע זוויתי )תנ"ז( ,גוף נקודתי
L r P, L m v r sin m v r
t
מתקף זוויתי
2
J dt
t1
J L
מתקף זוויתי כולל והשינוי בתנ"ז
מומנטי אינרציה של גופים בעלי התפלגות מסה אחידה
מוט דק סביב ציר המאונך למוט והעובר במרכזו
2
1
m
12
1 2
m
3
1
mR 2
2
מוט דק סביב ציר המאונך למוט והעובר בקצה המוט
דסקה או גליל מלא סביב ציר הסימטריה העובר במרכז הגוף
טבעת או גליל חלול סביב ציר הסימטריה העובר במרכז הגוף
mR2
כדור מלא סביב ציר העובר במרכז הכדור
2
mR 2
5
m a 2 b 2 / 12
טבלה מלבנית )ארך צלעות aו , b -הציר עובר במרכז
המלבן )מפגש אלכסונים( ומאונך לו
כבידה
חוק הגרביטציה העולמי
אנרגיה פוטנציאלית כובדית
G m1m2
F
ˆr
r2
G m1 m2
r
קבוע הכבידה העולמי
U כאשר U 0
G 6.67 1011 N m2 / kg 2
תנועה הרמונית מרוסנת
משוואת תנועה
פתרון משוואת התנועה
2
d x
dx
cx b
2
dt
dt
x t A0 e t sin t כאשר, 0 c / m :
m
2 f 2 T 0 2 2ו b 2m -
78
x0
A0 x0 2 0
tan
האמפליטודה
2
x0
0 x0
(זווית המופע )פאזה
אינטגרלים ונגזרות
אינטגרלים
נגזרות
dx
1
dx
dx x
a f dx a
d
df
a f a
dx
dx
d
df dg
f x g x
dx
dx dx
d m
x m x m 1
dx
d
1
ln x
dx
x
d f x
df
e
e f x
dx
dx
d
sin x cos x
dx
d
cos x sin x
dx
d
1
tan x
dx
cos2 x
f dx
f g dx f dx g dx
x m1
m 1
m 1
dx
x ln x
1 ax b
ax b
e a e
m
x dx
sin x dx cos x
cos x sin x
tan x dx ln cos x
x 1
sin x 2 4 sin 2 x
2
x 1
cos x 2 4 sin 2 x
2
1
ax 1 e ax
2
a
dx
x
x 2 a 2 3/2 a 2 x 2 a 2
xe
ax
dx
1
x
arctan
2
a
a
a
dx
1 xa
a 2 x 2 2 ln x a
x
2
x
dx x 2 a 2
x a
dx
ln x x 2 a 2
2
2
x a
2
2
79
יחידות
Joule, J
Joule, J
Joule, J
Watt, W
meter, m
meter, m
Newton, N
meter/second, m/s
radian/second, rad/s
kg m2
Nm
meter, m
Kilogram, kg
Ns
Js
Joule, J
m/s2
rad/s2
Hertz, Hz
Ns
Js
סימון
E
U
Ek
P
r
r
F
v
I
r
m
J
J
W
a
f
p
L
Energy
potential energy
Kinetic energy
Power
displacement
Torque arm
גודל פיסיקלי
אנרגיה
אנרגיה פוטנציאלית
אנרגיה קינטית
הספק
העתק
זרוע
Force
Velocity
angular velocity
moment of Inertia
Torque
position
Mass
impulse
angular impulse
כוח
מהירות
מהירות זוויתית
התמד-מומנט
כוח-מומנט
מיקום
מסה
מתקף
מתקף זוויתי
Work
Acceleration
angular accelaration
Frequency
momentum
angular momentum
עבודה
תאוצה
תאוצה זוויתית
תדירות
תנע
תנע זוויתי
80
