הצעת תשובה למשימה 4

‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫משימות והצעת תשובות‬
‫קיץ תשע"ד‬
‫מתמטיקה‬
‫‪ 4‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬
‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫הסתברות‬
‫פרק ראשון — אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪- 2 - ,‬‬
‫(‪ 40‬נקודות)‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫ענה על שתיים מן השאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫בעיות מילוליות‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫משימה ‪1‬‬
‫‪.1‬‬
‫בגינה ציבורית שצורתה מלבן ‪ ABCD‬שתלו פרחים ודשא‪.‬‬
‫השטח שבו שתלו את הפרחים הוא בצורת המשולש ישר־הזווית ‪, ABK‬‬
‫והשטח שבו שתלו את הדשא הוא בצורת המרובע ‪( BCDK‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫נתון‪ 2 :‬מטר = ‪. AB = 6$ KD , AK‬‬
‫נסמן‪ x :‬מטר = ‪. KD‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ x‬את השטח שבו שתלו את הפרחים‪ ,‬ואת השטח שבו שתלו את הדשא‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מחיר השתילה למ"ר של הדשא הוא ‪ 40‬שקל‪.‬‬
‫מחיר השתילה למ"ר של הפרחים גדול ב־ ‪ 50%‬ממחיר השתילה למ"ר של הדשא‪.‬‬
‫המחיר הכולל של שתילת הדשא בגינה היה גדול ב־ ‪ 14,400‬שקל מהמחיר הכולל של‬
‫שתילת הפרחים‪.‬‬
‫מצא את השטח שבו שתלו את הדשא‪ ,‬ואת השטח שבו שתלו את הפרחים‪.‬‬
‫המשך בעמוד ‪3‬‬
‫הצעת תשובה למשימה ‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫שטח המשולש ישר הזווית ‪ ABK‬הוא‪:‬‬
‫‪AB $ AK‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪AB = 6x , AK = 2‬‬
‫מכאן השטח שבו שתלו את הפרחים הוא‪:‬‬
‫דרך ‪ I‬למציאת שטח הדשא‪:‬‬
‫המרובע ‪ BCDK‬הוא טרפז ששטחו‪:‬‬
‫‪6x $ 2‬‬
‫‪2 = 6x‬‬
‫‪(KD + BC) $ CD‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S3ABK‬‬
‫= ‪S3ABK‬‬
‫= ‪S:BCDK‬‬
‫‪0‬‬
‫השטח שבו שתלו את הדשא הוא‪:‬‬
‫‪(x + x + 2) 6x‬‬
‫‪= 6x2 + 6x‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S jBCDK‬‬
‫דרך ‪ II‬למציאת שטח הדשא‪:‬‬
‫באמצעות חיסור שטח המשולש ‪ABK‬‬
‫משטח המלבן ‪: ABCD‬‬
‫= ‪S jBCDK = S=ABCD - SiABK‬‬
‫‪= 6x (2 + x) - 6x = 6x2 + 6x‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫‪-3‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫המחיר של מ"ר של הפרחים גדול ב־ ‪( 50%‬גדול פי ‪)1.5‬‬
‫ממחיר מ"ר של הדשא‪,‬‬
‫‪ 60‬שקלים = ‪1.5 $ 40‬‬
‫לכן מחיר מ"ר של הפרחים הוא‪:‬‬
‫ריכוז הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מחיר למ"ר‬
‫(ש"ח)‬
‫שטח‬
‫(מ"ר)‬
‫סך הכול מחיר‬
‫(ש"ח)‬
‫דשא‬
‫‪40‬‬
‫‪6x2 + 6x‬‬
‫)‪40 (6x2 + 6x‬‬
‫פרחים‬
‫‪60‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪60 $ 6x‬‬
‫המחיר הכולל של שתילת דשא גדול ב־ ‪ 14,400‬שקלים‬
‫מהמחיר הכולל של שתילת פרחים‪ ,‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫)‪60 $ 6x + 14, 400 = 40 (6x2 + 6x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x = - 7.5 , x = 8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ , x 2 0‬לכן הפתרון הוא‪:‬‬
‫השטח ששתלו בו את הדשא הוא‪:‬‬
‫השטח ששתלו בו את הפרחים הוא‪:‬‬
‫‪ 8‬מטר = ‪x‬‬
‫‪ 432‬מ"ר = ‪S:BCDK = 6x2 + 6x = 6 $ 82 + 6 $ 8‬‬
‫‪ 48‬מ"ר = ‪STABK = 6x = 6 $ 8‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫‪-4-‬‬
‫‪-3‬‬‫‪.2‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫מס'‪ + 314 , 0358042‬נספח‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬משימות‪,‬‬
‫משימה‬
‫נתון מעגל שהמשוואה שלו היא ‪. (x + 4) 2 + (y + 2) 2 = 40‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת החיתוך של המעגל עם החלק החיובי‬
‫של ציר ה־ ‪( x‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הנקודה )‪ B (- 6 , 4‬נמצאת על המעגל‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח כי המיתר ‪ AB‬אינו קוטר במעגל‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ BC‬הוא מיתר במעגל הנתון‪.‬‬
‫נתון כי ‪ BC‬מאונך למיתר ‪. AB‬‬
‫מצא את השיעורים של הנקודה ‪. C‬‬
‫הצעת תשובה למשימה ‪2‬‬
‫‪.3‬‬
‫במשחק שבו מסובבים‬
‫אפשר‬
‫באחד הדוכנים בלונה פארק‬
‫להשתתףמתקיים‪:‬‬
‫הוא ‪ , 0‬לכן‬
‫א‪ .‬שיעור ה־ ‪ y‬של הנקודה ‪A‬‬
‫גלגל המחולק ל־ ‪ 20‬גזרות שוות‪ .‬כשהגלגל נעצר‪ ,‬מחוג מצביע על אחת הגזרות‪.‬‬
‫‪(x + 4) 2 + (0 + 2) 2 = 40‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(x + 4) 2 = 36‬‬
‫בגלגל יש ‪ 10‬גזרות ירוקות‪ 2 ,‬גזרות לבנות ו־ ‪ 8‬גזרות אדומות‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫אם המחוג מצביע על גזרה ירוקה‪ ,‬לא זוכים בנקודות‪.‬‬
‫‪ x = 2‬או ‪x = - 10‬‬
‫אם המחוג מצביע על גזרה לבנה‪ ,‬זוכים ב־ ‪ 15‬נקודות‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫אם המחוג מצביע על גזרה אדומה‪ ,‬זוכים ב־ ‪ 30‬נקודות‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על החלק החיובי של ציר ה־ ‪ , x‬לכן‪:‬‬
‫א‪ .‬אורי מסובב את הגלגל פעמיים‪.‬‬
‫)‪A (2 , 0‬‬
‫(‪ )1‬מהי ההסתברות שאורי יזכה בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות?‬
‫(‪ )2‬ידוע שאורי זכה בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצאנו‪:‬מהי ההסתברות שהמחוג הצביע פעמיים על אותו הצבע?‬
‫ב‪.‬‬
‫אילן מסובב את הגלגל שלוש פעמים‪.‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫מהי ההסתברות שאילן יזכה ב־ ‪ 90‬נקודות?‬
‫דרך ‪:I‬‬
‫אורך המיתר ‪ AB‬הוא‪:‬‬
‫רדיוס המעגל הוא ‪ , 40‬לכן קוטר המעגל הוא‪:‬‬
‫)‪A (2 , 0‬‬
‫)‪B (- 6 , 4‬‬
‫‪AB = (2 + 6) 2 + (0 - 4) 2 = 80‬‬
‫המשך בעמוד ‪4‬‬
‫‪2 40‬‬
‫אבל ‪ , 80 ! 2 $ 40‬לכן ‪ AB‬אינו קוטר‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫‪-5-‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫המשך תשובה למשימה ‪.2‬‬
‫דרך ‪:II‬‬
‫השיעורים של נקודת האמצע של המיתר ‪ AB‬הם‪:‬‬
‫‪2 + (- 6) 0 + 4‬‬
‫‪, 2 l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫כלומר נקודת האמצע של המיתר ‪ AB‬היא‪:‬‬
‫על פי הנתון‪ ,‬מרכז המעגל נמצא בנקודה‪:‬‬
‫‪^- 2 , 2h‬‬
‫)‪(- 4 , - 2‬‬
‫אמצע המיתר ‪ AB‬אינו מרכז המעגל‪ ,‬לכן ‪ AB‬אינו קוטר במעגל הנתון‬
‫דרך ‪:III‬‬
‫נמצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודות ‪ A‬ו־ ‪. B‬‬
‫שיפוע הישר ‪ AB‬הוא‪:‬‬
‫‪0-4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 - (- 6) = - 2‬‬
‫‪0‬‬
‫משוואת הישר ‪ AB‬היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y =- 2 x +1‬‬
‫נבדוק אם מרכז המעגל מונח על הישר ‪. AB‬‬
‫נציב את השיעורים )‪ (- 4 , - 2‬של מרכז המעגל‪,‬‬
‫במשוואת הישר ‪: AB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪- 2 = - 2 $ (- 4) + 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2 !3‬‬
‫‪0‬‬
‫מרכז המעגל לא נמצא על הישר ‪, AB‬‬
‫לכן ‪ AB‬אינו קוטר במעגל הנתון‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫‪-6‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫דרך ‪: I‬‬
‫)‪A (2 , 0) , B (- 6 , 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0-4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 + 6 =- 2‬‬
‫שיפוע המיתר ‪ AB‬הוא‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 =2‬‬
‫‪-2‬‬
‫שיפוע המיתר ‪ BC‬המאונך לישר ‪ AB‬הוא‪:‬‬
‫משוואת ‪ BC‬לפי שיפוע ונקודה‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫)‪y - 4 = 2 (x + 6‬‬
‫‪0‬‬
‫משוואת ‪ BC‬היא‪:‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על המעגל‬
‫וגם על הישר ‪, BC‬‬
‫לכן נציב ‪ y = 2x + 16‬במשוואת המעגל‪:‬‬
‫‪y = 2x + 16‬‬
‫‪(x + 4) 2 + (2x + 16 + 2) 2 = 40‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x = - 10 , x = - 6‬‬
‫שיעור ה־ ‪ x‬של ‪ B‬הוא ‪ , x = - 6‬לכן‬
‫שיעור ה־ ‪ x‬של ‪ C‬הוא‪:‬‬
‫‪x C = - 10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y C = 2 (- 10) + 16 = - 4‬‬
‫שיעורי הנקודה ‪ C‬הם‪:‬‬
‫)‪C (- 10 , - 4‬‬
‫דרך ‪: II‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪AB = BC‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ AC‬קוטר במעגל‬
‫נתון‪:‬‬
‫)‪A (2 , 0‬‬
‫נסמן את השיעורים של הנקודה ‪: C‬‬
‫)‪C (x , y‬‬
‫מרכז המעגל בנקודה )‪(- 4 , - 2‬‬
‫הוא נקודת האמצע של ‪ , AC‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫(אם זווית היקפית במעגל היא בת‬
‫אז היא נשענת על קוטר)‬
‫‪90 o‬‬
‫‪,‬‬
‫‪y+0‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪2 =- 4 , 2 =- 2‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪C (- 10 , - 4‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ BC‬הוא מיתר במעגל הנתון‪.‬‬
‫נתון כי ‪ BC‬מאונך למיתר ‪. AB‬‬
‫‪-7-‬‬
‫מצא את השיעורים של הנקודה ‪. C‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫הסתברות‬
‫משימה ‪3‬‬
‫‪.3‬‬
‫באחד הדוכנים בלונה פארק אפשר להשתתף במשחק שבו מסובבים‬
‫גלגל המחולק ל־ ‪ 20‬גזרות שוות‪ .‬כשהגלגל נעצר‪ ,‬מחוג מצביע על אחת הגזרות‪.‬‬
‫בגלגל יש ‪ 10‬גזרות ירוקות‪ 2 ,‬גזרות לבנות ו־ ‪ 8‬גזרות אדומות‪.‬‬
‫אם המחוג מצביע על גזרה ירוקה‪ ,‬לא זוכים בנקודות‪.‬‬
‫אם המחוג מצביע על גזרה לבנה‪ ,‬זוכים ב־ ‪ 15‬נקודות‪.‬‬
‫אם המחוג מצביע על גזרה אדומה‪ ,‬זוכים ב־ ‪ 30‬נקודות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫אורי מסובב את הגלגל פעמיים‪.‬‬
‫(‪ )1‬מהי ההסתברות שאורי יזכה בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות?‬
‫(‪ )2‬ידוע שאורי זכה בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהמחוג הצביע פעמיים על אותו הצבע?‬
‫ב‪.‬‬
‫אילן מסובב את הגלגל שלוש פעמים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שאילן יזכה ב־ ‪ 90‬נקודות?‬
‫הצעת תשובה למשימה ‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ההסתברות לא לזכות באף נקודה בסיבוב בודד‬
‫(ההסתברות שהמחוג יצביע על גזרה ירוקה)‪:‬‬
‫ההסתברות לזכות ב־ ‪ 15‬נקודות בסיבוב בודד‬
‫‪10‬המשך בעמוד ‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20 = 2 = 0.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20 = 10 = 0.1‬‬
‫(ההסתברות שהמחוג יצביע על גזרה לבנה)‪:‬‬
‫ההסתברות לזכות ב־ ‪ 30‬נקודות בסיבוב בודד‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪20 = 5 = 0.4‬‬
‫(ההסתברות שהמחוג יצביע על גזרה אדומה)‪:‬‬
‫פריסת מרחב המדגם של שני סיבובים באמצעות דיאגרמת עץ‪:‬‬
‫סיבוב ראשון‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ירוק (‪ 0‬נקודות)‬
‫לבן (‪ 15‬נקודות)‬
‫סיבוב שני‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ירוק‬
‫(‪ 0‬נקודות)‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫לבן‬
‫(‪ 15‬נקודות)‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫אדום (‪ 30‬נקודות)‬
‫סיבוב שני‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫אדום‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ירוק‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫לבן‬
‫(‪ 30‬נקודות) (‪ 15‬נקודות) (‪ 30‬נקודות)‬
‫סיבוב שני‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫אדום‬
‫(‪ 45‬נקודות)‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ירוק‬
‫(‪ 30‬נקודות)‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫לבן‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫(‪ 45‬נקודות)‬
‫אדום‬
‫(‪ 60‬נקודות)‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬
‫‪-8-‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫המשך תשובה למשימה ‪.3‬‬
‫(‪ )1‬ההסתברות לזכות בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות‬
‫כאשר מסובבים את הגלגל פעמיים היא‪:‬‬
‫‪o‬ירוק‪ ,‬אדום‪ o + P e‬לבן‪ ,‬לבן ‪o + P e‬אדום‪ ,‬ירוק‪ m = P (0 , 30) + P (15 , 15) + P (30 , 0) = P e‬לזכות ב־ ‪ 30‬נקודות‬
‫בשני סיבובים‬
‫‪Pc‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪41‬‬
‫‪ m = 2 $ 5 + 10 $ 10 + 5 $ 2 = 100 = 0.41‬לזכות ב־ ‪ 30‬נקודות ‪P c‬‬
‫בשני סיבובים‬
‫(‪)2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לזכות ב־ ‪30‬‬
‫‪$‬‬
‫) לבן‪ ,‬לבן ( ‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ o‬נקודות‬
‫‪= 104110 = 41 = 0.0244‬‬
‫בשני סיבובים‬
‫‪ o‬לזכות ב־ ‪ 30‬נקודות ‪P e‬‬
‫‪100‬‬
‫בשני סיבובים‬
‫ההסתברות לזכות ב־ ‪ 90‬נקודות‬
‫כאשר מסובבים את הגלגל ‪ 3‬פעמים היא‪:‬‬
‫‪/‬‬
‫אותו הצבע ‪P e‬‬
‫יופיע‬
‫לזכות ב־ ‪ 90‬נקודות‬
‫‪ o‬אדום‪ ,‬אדום‪ ,‬אדום ‪ m = P (30 , 30 , 30) = P e‬בשלושה סיבובים ‪P c‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪8‬‬
‫לזכות ב־ ‪ 90‬נקודות‬
‫‪ m = b 5 l = 125 = 0.064‬בשלושה סיבובים ‪P c‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬
‫‪-4‬‬‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫‪-9-‬‬
‫ענה על אחת מן השאלות ‪.5-4‬‬
‫(‪ 20‬נקודות)‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫במישור‬
‫גאומטריה‬
‫שבמחברתך‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה‬
‫משימה ‪4‬‬
‫‪.4‬‬
‫במלבן ‪ ABCD‬העבירו אלכסון ‪. AC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה ‪ K‬נמצאת על הצלע ‪. AD‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ CK‬חוצה את ‪BACD‬‬
‫‪K‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪ 5 :‬ס"מ = ‪ 4 , AK‬ס"מ = ‪. KD‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪D‬‬
‫מצא את היחס ‪ . AC‬נמק‪.‬‬
‫‪ M‬היא נקודת המפגש של אלכסוני המלבן‪.‬‬
‫המשך ‪ KM‬חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. P‬‬
‫הוכח כי ‪. PC = AK‬‬
‫הוכח כי ‪ AP‬חוצה את ‪. BBAC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪O‬‬
‫א‪(.‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הקטע ‪ KC‬חוצה את הזווית ‪ACD‬‬
‫נתון‪, BACB = 120o :‬‬
‫א‪.‬‬
‫למשימה ‪4‬‬
‫הצעת תשובה‬
‫‪C‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪120 o‬‬
‫‪, AC DC‬‬
‫‪KD‬מהצלע‬
‫הצלע ‪ AB‬גדולה ב־‪ 4 4‬ס"מ‬
‫על פי משפט חוצה זווית ‪O‬‬
‫‪AC = AK = 5‬‬
‫הצלע ‪ BC‬גדולה ב־ ‪ 2‬ס"מ מהצלע ‪. AC‬‬
‫‪ DC = AB‬במלבן הצלעות הנגדיות שוות‬
‫מצא את אורכי הצלעות של המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ BK‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫חשב את ‪. BCAK‬‬
‫‪K‬‬
‫‪AB 4‬‬
‫‪AC = 5‬‬
‫‪AM = MC‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫בעמוד ‪5‬‬
‫המשך את זה‬
‫במלבן האלכסונים חוצים זה‬
‫‪AD z BC‬‬
‫‪0‬‬
‫‪BCAD =B ACB‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים‬
‫‪BAMK =B PMC‬‬
‫זוויות קדקודיות‬
‫‪3AMK ,3CMP‬‬
‫על פי ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪PC = AK‬‬
‫צלעות מתאימות במשולשים חופפים‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬
‫‪- 10 -‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫המשך תשובה למשימה ‪.4‬‬
‫‪ 9‬ס"מ = ‪AD = AK + KD = 5 + 4‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 9‬ס"מ = ‪BC = AD‬‬
‫הוכחנו בסעיף ב‪:‬‬
‫במלבן צלעות נגדיות שוות‬
‫‪ 5‬ס"מ = ‪PC = AK‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 4‬ס"מ = ‪BP = BC - PC = 9 - 5‬‬
‫‪0‬‬
‫מכאן‬
‫‪BP 4‬‬
‫‪PC = 5‬‬
‫הוכחנו בסעיף א‪:‬‬
‫‪AB 4‬‬
‫‪AC = 5‬‬
‫‪0‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪AB BP 4‬‬
‫‪AC = PC = 5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ AP‬חוצה זווית ‪ , BAC‬על פי המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ M‬היא נקודת המפגש של אלכסוני המלבן‪.‬‬
‫המשך ‪ KM‬חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. P‬‬
‫הוכח כי ‪. PC = AK‬‬
‫הוכח כי ‪ AP‬חוצה את ‪. BBAC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫‪- 11 -‬‬
‫טריגונומטריה במישור‬
‫משימה ‪5‬‬
‫‪C‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪O‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪, BACB = 120o :‬‬
‫הצלע ‪ AB‬גדולה ב־ ‪ 4‬ס"מ מהצלע ‪, AC‬‬
‫‪120 o‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫הצלע ‪ BC‬גדולה ב־ ‪ 2‬ס"מ מהצלע ‪. AC‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את אורכי הצלעות של המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ BK‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫חשב את ‪. BCAK‬‬
‫בעמוד ‪5‬‬
‫הצעת תשובההמשך‬
‫למשימה ‪5‬‬
‫א‪.‬‬
‫נסמן ב־ ‪ x‬את אורך הצלע ‪. AC‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬אורכי הצלעות ‪ AB‬ו־ ‪ BC‬הם‪:‬‬
‫על פי משפט הקוסינוסים במשולש ‪ ABC‬מתקיים‪:‬‬
‫‪AB = x + 4 , BC = x + 2‬‬
‫‪AB2 = AC2 + BC2 - 2 $ AC $ BC $ cos 120 o‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪(x + 4) 2 = x2 + (x + 2) 2 - 2 $ x (x + 2) $ (- 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x = - 2‬או ‪x = 3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ , x 2 0‬לכן אורך הצלע ‪ AC‬הוא‪:‬‬
‫‪x= 3‬‬
‫אורכי צלעות המשולש ‪ ABC‬הם‪:‬‬
‫‪ 7‬ס"מ = ‪ 5 , AB‬ס"מ = ‪ 3 , BC‬ס"מ = ‪AC‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬
‫‪- 12 -‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫המשך תשובה למשימה ‪.5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חישוב זווית ‪: CAK‬‬
‫‪BCAK =BCAB +BBAK‬‬
‫‪BBAK = 90 o‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬על פי משפט הסינוסים‪:‬‬
‫זווית היקפית במעגל הנשענת על קוטר היא בת ‪90 o‬‬
‫‪CB‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪sin BCAB = sin 120 o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪sin BCAB = sin 120 o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪sin BCAB = 0.6185‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ BCAB = 38.21 o‬או ‪BCAB = 180 o - 38.21 o‬‬
‫נתון משולש ‪ ABC‬קהה זווית לכן‪ ,‬שתי הזוויות האחרות הן חדות‬
‫‪0‬‬
‫‪BCAB = 38.21 o‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪BCAK = 90 o + 38.21 o = 128.21 o‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬
‫‪-5-‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬משימות‪ ,‬מס' ‪ + 314 , 035804‬נספח‬
‫פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫ ‪- 13‬‬‫של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫(‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מן השאלות ‪( 8-6‬לכל שאלה — ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫חקירה של פונקציה רציונלית‬
‫הראשונות ‪6‬שבמחברתך‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות משימה‬
‫)‪4 (x + 1‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪+ 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.6‬‬
‫= )‪. f (x‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f(x‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪. g (x) = f (x‬‬
‫מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ f(x‬בתחום ‪. x 2 0‬‬
‫בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת )‪f'(x‬הצעת תשובה למשימה ‪6‬‬
‫בתחום ‪. x 2 0‬‬
‫א‪ .‬צריך להתקיים ‪ , x2 ! 0‬לכן תחום ההגדרה של )‪ f(x‬הוא‪:‬‬
‫א‪ .‬היעזר בנתונים שבגרף של )‪, f'(x‬‬
‫‪x!0‬‬
‫ומצא את שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת הקיצון‬
‫ב‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫של הפונקציה )‪ , f(x‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫האסימפטוטה האנכית של‪ 1‬הפונקציה )‪: f(x‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‪. f (1) = 4 3 , f (3) = 12 3 :‬‬
‫המוגבלהפונקציה )‪: f(x‬‬
‫האופקית של‬
‫האסימפטוטה‬
‫את השטח‬
‫(‪ )1‬מצא‬
‫על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f'(x‬‬
‫על ידי ציר ה־ ‪ x‬ועל ידי הישר ‪x = 3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫(השטח האפור בציור)‪.‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f'(x‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪y =1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x!0‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ )2‬נתון גם‪ a , f'(x) = 3ax2 - 2 :‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫לגרף הפונקציה )‪ f(x‬אין נקודות חיתוך עם ציר ה־ ‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫היעזר בערך של האינטגרל ‪ , # (3ax2 - 2 ) dx‬שמצאת בתת־סעיף ב(‪,)1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x) = 0‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫הפונקציה עם ציר ה־ ‪x‬‬
‫החיתוך של גרף‬
‫בנקודת‬
‫ומצא את‬
‫הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪0‬‬
‫המשך‪0‬בעמוד ‪6‬‬
‫)‪4 (x + 1‬‬
‫‪+1= 0‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4x + 4 + x2 = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x =- 2‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ה־ ‪: x‬‬
‫)‪(- 2 , 0‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬
‫ ‪- 14‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.6‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪- 4x2 - 8x‬‬
‫הנגזרת של )‪ f(x‬היא‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫= )‪f'(x‬‬
‫‪f'(x) = 0‬‬
‫‪- 4x2 - 8x = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x = 0 , x =- 2‬‬
‫תחום ההגדרה ‪ , x ! 0‬לכן‬
‫נקודה "חשודה" לקיצון היא‪:‬‬
‫‪x =- 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫תחום העלייה של הפונקציה )‪ f(x‬הוא‪:‬‬
‫‪-21x10‬‬
‫תחום הירידה של הפונקציה )‪ f(x‬הוא‪:‬‬
‫‪x 1- 2 , x 2 0‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫נקודת‬
‫מינימום‬
‫)‪f'(x‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y =1‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫)‪g (x) = f (x‬‬
‫‪4 (x + 1) + x2 x2 + 4x + 4‬‬
‫=‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫=‬
‫‪x ! 0 ,g (x) = 2‬‬
‫‪x + 4x + 4 (x + 2) 2‬‬
‫האסימפטוטה האנכית של )‪ g(x‬היא‪:‬‬
‫האסימפטוטה האופקית של )‪ g(x‬היא‪:‬‬
‫‪x =- 2‬‬
‫‪y =1‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ ‪- 15‬‬‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫‪1‬‬
‫חשבון= )‪. g (x‬‬
‫דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות רציונליות‬
‫נתונה הפונקציה )‪f (x‬‬
‫מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה )‪g(x‬‬
‫משימה ‪7.‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ f(x‬בתחום ‪. x 2 0‬‬
‫‪y‬‬
‫בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת )‪f'(x‬‬
‫בתחום ‪. x 2 0‬‬
‫א‪.‬‬
‫היעזר בנתונים שבגרף של )‪, f'(x‬‬
‫)‪f'(x‬‬
‫ומצא את שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת הקיצון‬
‫של הפונקציה )‪ , f(x‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‪. f (1) = 4 3 , f (3) = 12 3 :‬‬
‫(‪ )1‬מצא את השטח המוגבל‬
‫על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f'(x‬‬
‫‪x‬‬
‫על ידי ציר ה־ ‪ x‬ועל ידי הישר ‪x = 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫(השטח האפור בציור)‪.‬‬
‫‪3a‬‬
‫(‪ )2‬נתון גם‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫ ‪ a , f'(x) = 3ax2‬הוא פרמטר‪.‬‬‫‪3‬‬
‫היעזר בערך של האינטגרל‬
‫ומצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪# (3ax2 - 3xa2 ) dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬שמצאת בתת־סעיף ב(‪,)1‬‬
‫המשך בעמוד ‪6‬‬
‫הצעת תשובה למשימה ‪7‬‬
‫א‪.‬‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬מוגדרת בתחום ‪. x 2 0‬‬
‫פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬מתאפסת בנקודה ‪x = 1‬‬
‫עבור ‪0 1 x 11‬‬
‫‪ f (x) % f'(x) 1 0‬יורדת‬
‫עבור ‪x 21‬‬
‫‪ f (x) % f'(x) 2 0‬עולה‬
‫‪0‬‬
‫‪ x = 1‬היא נקודת מינימום של )‪f(x‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/16‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫ ‪- 16‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (3) = 12 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (1) = 4 3‬‬
‫(‪ )1‬השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת )‪, f'(x‬‬
‫על ידי ציר ה־ ‪ x‬ועל ידי הישר ‪ x = 3‬הוא‪f' (x) dx = f (x) = f (3) - f (1) = 8 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ )2‬נחשב את האינטגרל‪:‬‬
‫‪3a 3‬‬
‫‪3a 3‬‬
‫; ‪+ x ;= ax3 + x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪#‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪# (3ax2 - 3xa2 ) dx = 3 $ ax3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3$ a‬‬
‫‪3$ a‬‬
‫‪(a $ 33 + 3 ) - (a $13 + 1 ) = 24a‬‬
‫על פי סעיף ב (‪:)1‬‬
‫‪24a = 8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a=3‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/17‬‬
‫‪- 17 -‬‬
‫‪-6‬‬‫‪.8‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫בעיות מינימום ‪ /‬מקסימום‬
‫מס'‪ + 314 , 0358048‬נספח‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬משימות‪,‬‬
‫משימה‬
‫במשולש ישר־זווית ‪ ABC‬סכום הניצבים ‪ BA‬ו־ ‪ BC‬הוא ‪ 45‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ CD‬הוא תיכון לניצב ‪ BA‬במשולש ‪( ABC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫נסמן‪. BD = x :‬‬
‫מה צריך להיות אורך הקטע ‪, BD‬‬
‫כדי שאורך התיכון ‪ CD‬יהיה מינימלי?‬
‫ב‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫עבור הערך של ‪ x‬שמצאת בסעיף א‪,‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪. ADC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫הצעת תשובה למשימה ‪8‬‬
‫א‪ .‬נסמן‪:‬‬
‫‪BD = x‬‬
‫‪ DC‬תיכון לניצב ‪BA‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫בהצלחה!‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬
‫‪x‬‬
‫‪AD = DB = x‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪ 45‬ס"מ= ‪AB + BC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 45‬ס"מ= ‪2x + BC‬‬
‫‪0‬‬
‫‪BC = 45 - 2x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫על פי משפט פיתגורס במשולש ישר־זווית ‪: DBC‬‬
‫‪45 - 2x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪DC2 = DB2 + BC2‬‬
‫‪0‬‬
‫אורך התיכון ‪ DC‬הוא‪:‬‬
‫‪DC = x2 + (45 - 2x) 2‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/18‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬
‫ ‪- 18‬‬‫המשך פתרון למשימה ‪.8‬‬
‫‪ f (x) = x2 + (45 - 2x) 2‬בתחום ‪0 1 x 1 22.5‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪10x - 180‬‬
‫הנגזרת היא‪:‬‬
‫‪5x2 - 180x + 2025‬‬
‫‪2‬‬
‫=)‪f'(x‬‬
‫‪f'(x) = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x = 18‬‬
‫‪0 1 x 1 22.5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪18‬‬
‫‪0 1 x 118‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫נקודת‬
‫מינימום‬
‫‪x‬‬
‫)‪f'(x‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x = 18‬היא נקודת המינימום של )‪. f(x‬‬
‫‪0‬‬
‫אורך הקטע ‪ BD‬הוא‪:‬‬
‫ב‪ .‬עבור ‪: x = 18‬‬
‫‪ BC‬הוא גובה לצלע ‪AD‬‬
‫במשולש ‪ , ADC‬לכן‪:‬‬
‫‪ 18‬ס"מ‬
‫‪ 18‬ס"מ = ‪ AD‬ו־ ‪ 9‬ס"מ = ‪BC‬‬
‫‪AD $ BC‬‬
‫= ‪STADC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪18 $ 9‬‬
‫‪ 81‬סמ"ר = ‪2‬‬
‫= ‪STADC‬‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬